2x² + 3xy - 2y² + 3x + y + 1 = 0 கொடுக்கப்பட்ட இணை கோடுகளின் சமன்பாடு
இரட்டை இணைகோடுகளுக்கான பொதுச் சமன்பாடு ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
a = 2
2h = 3
\(h=\frac { 3 }{ 2 } \)
b = -2
2g = 3
g=\(\frac { 3 }{ 2 } \)
2f = 1
f=\(\frac { 1 }{ 2 } \)
c = 1
இரட்டைக் கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு.
a + b = 0
\(\therefore\) 2 + (-2) = 0
 \(\therefore\) இவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் 3x + 4y + 2 = 0 மற்றும் 5x + 12y – 5 = 0
முதலில், இரு சமன்பாடுகளின் மாறிலியை மிகையாக மாற்ற,
3x + 4y + 2 = 0 மற்றும் -5x -12y +5 = 0 ஆகும்.
இரு கோடுகளின் இரு சமவெட்டியின் சமன்பாடு,
\(\frac { 3x + 4y + 2 }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{4 }^{ 2 } } } = ± \frac { -5x -12y +5 }{ \sqrt { { 5 }^{ 2 }+{12 }^{ 2 } } } \)
(நகரும் புள்ளி கோட்டிலிருந்து சமதூரத்தில் இருக்கும்)
a₁a₂ + b₁b₂ = – 15 – 48 < 0, என்பதால்
இரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறுங்கோணத்தின் இரு சமவெட்டிகளின் சமன்பாடு,
\(\frac { 3x + 4y + 2 }{ 5 } = + \frac { -5x -12y +5 }{ 13 } \)
\(\Rightarrow \) 64x + 112y + 1 = 0

இங்கு p = 12 மற்றும் கோணம் α=150⁰
எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
x cosα+y sinα=p
அதாவது, x cos150⁰+y sin150⁰=12
⇒ \(\sqrt { 3 } \)x-y+24=0

P(h,k) என்பது தேவையான பாதையின் மீது அமைந்துள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி
h= a θ sec மற்றும் k= b tan θ
⇒  \(\frac { h }{ a } \)=sec θ  , \(\frac { k }{ b } \) =tan θ
முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, துணையலகு θ-ஐ நீக்கலாம்.
\(\left( \frac { h }{ a } \right) ^{ 2 }-\left( \frac { k }{ a } \right) ^{ 2 }\)    = sec²θ - tan²θ
\(\left( \frac { h }{ a } \right) ^{ 2 }-\left( \frac { k }{ a } \right) ^{ 2 }\)  =1  .  
⇒\(\frac { h^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { k^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \) =1
P(h,k)  என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை  \(\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \) =1 

(x₁,y₁) மற்றும் (x₂,y₂) என்பன முறையே (5, 7) மற்றும் (7, 5) என்க.
\(\theta \) என்பது x -அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் சாய்வுக் கோணம் என்க.
கோட்டின் சாய்வு  m=\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 5-7 }{ 7-5 } \)=-1
மேலும், m =tanፀ
tanፀ=-1 ⇒ \(\theta =\frac { 3\pi }{ 4 } \) அல்லது 135°
சாய்வு மற்றும் சாய்வு கோணம் முறையே
m =-1 மற்றும் \(\theta =\frac { 3\pi }{ 4 } \).

தனித்தனிச் சமன்பாடுகள் x- 2y -3 = 0,  x + y + 5 = 0
அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடு 
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }\) + xy +5x -2xy -2y - 10y -3x -3y -15 =0
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-{ 2y }^{ 2 }\) -xy + 5x -3y -15 =0

தேவையான நியமப்பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி P(h,k)என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களிலிருந்து, h = ct மற்றும் \(k=\frac { c }{ t } \)  ஆகும்.
இவ்விரு சமன்பாடுகளைப் பெருக்கி t-ஐ நீக்கலாம்.
(h)(k) = ct\(\left( \frac { c }{ t } \right) \)  ⇒ hk = c², h = x மற்றும் k = y எனப் பிரதியிட
∴ தேவையான நியமப்பாதையின் சமன்பாடு xy=c²

வெட்டுத்துண்டு வடிவம்
\(\sqrt { 3 } \)x-y+4=0
\(\sqrt { 3 } \)x-y =-4
⇒ \(\frac { -\sqrt { 3 } }{ 4 } x+\frac { y }{ 4 } \)=1
⇒ \(\frac { x }{ \left( -\frac { 4 }{ \sqrt { 3 } } \right) } +\frac { y }{ 4 } \)     (6.16)- ஐ
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } \)=1 என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது x -ன் வெட்டுத்துண்டு =-\(\frac { 4 }{ \sqrt { 3 } } \), மற்றும் y -ன் வெட்டுத்துண்டு = 4

a₁x+b₁y+c₁ =0 மற்றும் இவ்விரு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்
 \(D=\frac { \left| { c }_{ 1 }-{ c }_{ 2 } \right| }{ \sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+b_{ 1 }^{ 2 } } } \)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை  3x+4y-12=0 மற்றும் 3x+4y+\(\frac { 1 }{ 2 } \) =0 என எழுதலாம்.
இங்கு a₁ = 3,b₁= 4,c₁=-12 ,c₂ = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
 D =\(\frac { |c_{ 1 }-c_{ 2 }| }{ \sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+b_{ 1 }^{ 2 } } } =\left| \frac { -12-\frac { 1 }{ 2 } }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+4^{ 2 } } } \right| =\frac { 25 }{ 2\times 5 } \)=2.5 அலகுகள்.

P(h, k) நகரும் புள்ளி என்க.
A(4, 0), B(-4, 0) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்.
PA + PB = 10
\(\sqrt { { (h-4) }^{ 2 }+{ (k-0) }^{ 2 } } +\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ (k-0) }^{ 2 } } =10\)
\(\sqrt { { (h-4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } =10-\sqrt { { (h-4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\Rightarrow { (h-4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 }=100+\left[ { \left( h+4 \right) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } \right] -20\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow h^{ 2 }-8h+16+{ k }^{ 2 }=100+{ h }^{ 2 }+16+8h+{ k }^{ 2 }-20\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)

\(\Rightarrow -16h-100=-20\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
-4 ஆல் இருபுறமும் வகுக்க
\(\Rightarrow 4h+25=5\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தினால் கிடைப்பது.
\(\Rightarrow\) (4h + 25)² = 25(h² + 8h + 16 + k²)
\(\Rightarrow\)(16h² + 625 + 200h = 25h² + 400 + 200h + 25k²
\(\Rightarrow\) 9h² + 25k² = 225 \(\Rightarrow\) 9h² + 25k² = 225  (\(\because\) 225 ஆல் இருபுறமும் வகுக்க)
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ 25 } +\frac { { k }^{ 2 } }{ 9 } =1\)
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\)

P(h, k) நகரும் புள்ளி A(1, -6), B(4, -2) கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் \(\angle \)APB = 90° கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\Delta\)ஒரு செங்கோண முக்கோணம் என்பதால்

AB² = PA² + PB²
\(\Rightarrow \)(1-4)² + (-6+2)² = (h-4)² + (k+2)² + (h-1)² + (k+6)²
\(\Rightarrow \)h² - 8h + 16 + k² + 4k + 4 + h² - 2h + 1 + k² + 12k + 36 = (-3)² + (-4)²
\(\Rightarrow \)2h² + 2k² - 10h + 16k + 57 = 9 + 16
\(\Rightarrow \)2h² + 2k² - 10h + 16k + 57 - 25 = 0
\(\Rightarrow \)2h² + 2k² - 10h + 16k + 32 = 0 \(\div \) 2
\(\Rightarrow \)h² + k² - 5h + 8k + 16 = 0
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை x²+y²-5x+8y+16 = 0

P(h, k) நகரும் புள்ளி
A(3, 5), B(1, -1) என்பன கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள்
PA² + PB² = 20 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\Rightarrow \) (h-3)² + (k-5)² + (h-1)² + (k+1)² = 20
h² - 6h + 9 + k² - 10k + 25 + h² - 2h + 1 + k² + 2k + 1 = 20
\(\Rightarrow \) 2h² + 2k² - 8h - 8k + 36 = 20 (2 ஆக வகுக்க)
h² + k² - 4h - 4k + 8 = 0
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை = x² + y² - 4x - 4y + 8 = 0

ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையானது ஒரு நேரிய சார்பு ஆகும். x என்பது உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் y என்பது அந்த உறுப்பின் மதிப்பு என்க
(x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) முறையே (7, 30) மற்றும் (10, 21) என்க.
y-y₁=m(x-x₁) என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து
y-y₁=\(\frac { ({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }) } (x-x_ 1)\) 
y-30=\(\frac { (21-30) }{ (10-7) } (x -7)\)
y=-3x+51      ....(6.14)
(i) x = 1, 2 மற்றும் 3 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட A.P. -ன் முதல் மூன்று உறுப்புகள் முறையே 48, 45 மற்றும் 42 ஆகும்
(ii) y = 0 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட
0=-3x+51 ⇒ x=17
அதாவது, கூட்டுத்தொடர் முறையில் பதினேழாவது உறுப்பு பூச்சியமாகும்.
(iii) இந்நேர்கோட்டின் சாய்வு -3, கூட்டுத் தொடரின் பொது வித்தியாசத்திற்குச் சமம் என்பது தெளிவாகியது.(கூட்டுத்தொடரின் பொது வித்தியாசமும், அதன் கோட்டின் சாய்வும் ஒன்றே என நிரூபிக்க முயற்சிக்கவும்).