r = 3, எந்த n-க்கும்
\(\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } =\frac { n! }{ 3!\left( n-3 \right) ! } =\frac { n\left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \left( n-3 \right) ! }{ 1\times 2\times 3\times \left( n-3 \right) ! } =\frac { n\left( n-1 \right) \left( n-2 \right) }{ 6 } \)

ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டும் போது {தலை, பூ} என 2 விளைவுகள் கிடைக்கும். எண்ணுதல் விதிப்படி, 5 நாணயங்களைச் சுண்டும் போது ஏற்படும் விளைவுகளின் எண்ணிக்கை 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁵ = 32.

⁵P₃ = 5×4×3 = 60

முதல் செயலான ஒரு மாணவியை தேர்ந்தெடுக்க 29 வழிகளும், இரண்டாவது செயலான ஒரு மாணவனை தேர்ந்தெடுக்க 17 வழிகளும் உள்ளன. எனவே இந்த தேர்வினை செய்ய எண்ணுதலின் கூட்டல் விதியின்படி, 17 + 29 = 46 வழிகள் உள்ளன.

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையில் 6 எழுத்துகள் (V, O, W, E, L, S) உள்ளன.
(i) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் துவங்க வேண்டும். எனவே, மீதமுள்ள 5 எழுத்துகளை வரிசைப்படுத்த ⁵P₅ = 5! வழிகள் உள்ளன. ஆகவே, E இல் தொடங்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 5! = 120.
(ii) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்க வேண்டும், 5! = 120.

எனவே, E ஐ முதலிலும், W ஐ கடைசியிலும் வைக்கவேண்டும். மீதமுள்ள 4 எழுத்துகளை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.
ஆகவே, E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 4! = 24.

P(n)=1+3+5+...+(2n-1) என்க.
எனவே, P(1)=1=1² என்பது உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம்.
எனவே,
P(k)=1+3+5+...+(2k-1)
அதாவது P(k)=k²
இப்பொழுது P(k+1)=(k+1)² என நிறுவவேண்டும்.
P(k+1)=1+3+5+...+(2(k+1)-1)
=\(\underbrace { 1+3+5+7+...+(2k-1) } +2k+1\)
=P(k)+2k+1
=k²+2k+1=(k+1)²
எனவே, P(k+1) என்பது உண்மை.
P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.
எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம், எல்லா முழு எண்கள் n≥1-க்கும்,முதல் n ஒற்றை மிகை எண்களின் கூடுதல் n² என நிறுவப்பட்டது.

படமானது மின் வழங்கல் வலைப்பின்னல் முறையை விளக்குகிறது.

இங்கு 110 குறைந்த மின் திறனுடைய மின் மாற்றிகள் அதிக மின் திறனுடைய மின்மாற்றியுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு குறைந்த மின் திறனுடைய மின் மாற்றியுடனும் 100 நுகர்வோர்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ளதால், 109 மின்மாற்றிகளுக்கு மொத்தம் 109 × 100 = 10900 இணைப்புகள் இருக்கும். 110 வது மின்மாற்றியில் 29 நுகர்வோர்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ளனர். எனவே, 238 வது அதிக மின் திறன் கொண்ட மின்மாற்றியில் மொத்தம் 10900 + 29 = 10929 மின் இணைப்புகள் இருக்கும்.

P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . ...n (n  + 1) = \(\frac { n\left( n+1 \right) n+2 }{ 3 } \)
படி (1) 
\(\Rightarrow\) n=1 என்க 
1.2 = \(\frac { 1(1+1)\left( 1+2 \right) }{ 3 } =\frac { 2\left( 3 \right) }{ 3 } \)
 \(\therefore \) P(1) உண்மையாகும் 
படி (2)
P(k ) உண்மை எனக்கொள்வோம் 
1.2 + 2.3 + .3.4+ .....+ k (k  + 1) = \(\frac { k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) }{ 3 } \)  ..... (1)
படி (3)
P(k  + 1) உண்மை என நிரூபிப்போம் 
நிரூபிக்க 1.2 + 2.3 + 3.4 +  ... + k(k  + 1) + (k  + 1) (k  + 2) = \(\frac { k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) \left( k+3 \right) }{ 3 } \)
LHS  = 1.2 + 2.3  + 3.4 + ...k (k  + 1) + (k  +1 ) (k  + 2)
= \(\frac { k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) }{ 3 } \) = (k + 1) (k  +2)  = (k  +1)(k  + 2)\(\left[ \frac { k }{ 3 } +1 \right] \)
= \(\frac { \left( k+1 \right) \left( k+2 \right) \left( k+3 \right) }{ 3 } \) = RHS 
\(\therefore \) p (k  + 1) உண்மை 
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின் படி n -ன் அணைத்து மதிப்புகளும் P(n) உண்மையாகும் என நிரூபிக்கப்பட்டது.              

P(n)= aⁿ-bⁿ ஆனது a - b ஆல் வகுபடும் என்க.
n = 1 என பிரதியிட
P(1)=a-b இது a - b ஆல் வகுபடும்.
எனவே P(1) உண்மை. இந்த கூற்று n = k-க்கு உண்மை எனக் கொள்க. எனவே P(k)=a^k-b^k ஆனது a - b ஆல் வகுபடும்.
P(k)=a^k-b^k,λ(a-b), λ∈N
நிறுவவேண்டியது P(k+1)=a^k+1-b^k+1,ஆனது a - b ஆல் வகுபடும்.
P(k+1)=a^k+1-b^k+1
=a^k+1-ab^k+ab^k-b^k+1
=a(a^k-b^k)+b^k(a-b)
=a(λ(a-b))+b^k(a-b)
=(a-b)(aλ+b^k​)
=(a-b)λ₁, λ₁=aλ+b^k,λ₁∈N
எனவே, இது a - b ஆல் வகுபடும். ஆகவே, P(k+1) என்பது உண்மை. P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம். எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி எந்த ஒரு இயல் எண் n-க்கும், a>b எனில் aⁿ-bⁿ ஆனது a - b ஆல் வகுபடும்.