(i) (n + 1)! = 20 (n - 1)! கொடுக்கப்பட்டுள்ளது   
\(\Rightarrow \)  (n + 1) (n) (n - 1)! = 20 (n - 1)!
\(\Rightarrow \) (n + 1) (n) = 20
\(\Rightarrow \) n² + n - 20 = 0
\(\Rightarrow \) (n  + 5) (n - 4) = 0
n = -5  ஆக இருக்க முடியாது 
\(\therefore \)  n  = 4

ஒவ்வொரு முதல் பரிசும் எந்த ஒரு மாணவர்களுக்கும் 10 வழிகளில் பகிர்ந்தளிக்கலாம் 
 \(\therefore \)  12 பரிசுகளை  ஒவ்வொரு  10 மாணவர்களுக்கும்  
= 10 x  10 x 10  x 10  x 10  x 10  x10  x 10 x 10  x 10  
= 10¹² வழிகளில் பகிர்ந்தளிக்கலாம்   

முதல் மனிதர் ஒரு இருக்கையில்  = 10 வழிகளில் அமரலாம்.
இரண்டாவது மனிதர்  ஒரு இருக்கையில் =  9 வழிகளில் அமரலாம்.
மூன்றாவது மனிதர் ஒரு இருக்கையில் =  8 வழிகளில் அமரலாம்.
\(\therefore \) பெருக்கலின் அடிப்படைக் கொள்கையின் படி மூன்று மனிதர்கள்  = 10 x  9 x  8 = 720  வழிகளில் அமரலாம்.

¹⁰P_r = ⁷P_{r + 2}
\(\frac { 10! }{ \left( 10-r \right) ! } =\frac { 7! }{ \left( 5-r \right) ! } \)
\(\frac { 10\times 9\times 8\times 7! }{ \left( 10-r \right) \times \left( 9-r \right) \times \left( 8-r \right) \times \left( 7-r \right) \times \left( 6-r \right) \times \left( 5-r \right) ! } =\frac { 7! }{ \left( 5-r \right) ! } \)
\(\left( 10-r \right) \times \left( 9-r \right) \times \left( 8-r \right) \times \left( 7-r \right) \times \left( 6-r \right) =10\times 9\times 8\)
\(\left( 10-r \right) \times \left( 9-r \right) \times \left( 8-r \right) \times \left( 7-r \right) \times \left( 6-r \right) =6\times 5\times 4\times 3\times 2\)
(10× 9 × 8 ஐ ஐந்து அடுத்தடுத்த எண்களின் பெருக்கலாக இறங்கு வரிசையில் எழுத)
எனவே, 10 - r = 6 ⇒ r = 4.

n = 7, r = 5 எனில்
\(\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } =\frac { 7! }{ 5!\left( 7-5 \right) ! } =\frac { 7\times 6\times 5! }{ 5!\times 2! } =\frac { 7\times 6 }{ 1\times 2 } =21\)

ஒரு பெண் ஒரு பட்டுப் புடவையும் மற்றும் ஒரு சுங்குடி புடவையையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். அந்த பெண் பட்டுப் புடவையைத் தேர்ந்தெடுக்க 20 வழிகளும் சுங்குடி புடவையை தேர்ந்தெடுக்க 8 வழிகளும் உள்ளன. இந்த இரண்டு புடவைகளையும் தேர்ந்தெடுக்க பெருக்கல் விதிப்படி, 20 x 8 = 160 வழிகள் உள்ளன.

⁸P₄= 8×7×6×5 = 1680

முதல் செயலான ஒரு மாணவியை தேர்ந்தெடுக்க 29 வழிகளும், இரண்டாவது செயலான ஒரு மாணவனை தேர்ந்தெடுக்க 17 வழிகளும் உள்ளன. எனவே இந்த தேர்வினை செய்ய எண்ணுதலின் கூட்டல் விதியின்படி, 17 + 29 = 46 வழிகள் உள்ளன.

(i) GARDEN  இதில் உள்ள எழுத்துகளை ஆங்கில எழுத்துகள் வரிசையில் எழுத A, D, E , G,N, R  கிடைக்கும்  இதில் எந்த எழுத்தும் திரும்ப வரவில்லை.
\(\therefore \)  A  என்ற எழுத்தை  முதல் எழுத்தாக  வைத்து எழுதப்படும்  வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை  = 5! = 120
D என்ற எழுத்தை  முதல் எழுத்தாக  வைத்து எழுதப்படும்  வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 5! = 120
E  என்ற எழுத்தை  முதல் எழுத்தாக  வைத்து எழுதப்படும்  வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 5! = 120 
GAD  என்ற எழுத்தை  முதல் எழுத்தாக  வைத்து எழுதப்படும்  வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
GAE என்ற எழுத்தை  முதல் எழுத்தாக  வைத்து எழுதப்படும்  வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
GAN என்ற எழுத்தை  முதல் எழுத்தாக  வைத்து எழுதப்படும்  வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
GARDE என்ற எழுத்தை  முதல் எழுத்தாக  வைத்து எழுதப்படும்  வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை = 1! = 1
\(\therefore \) GARDEN என்ற வார்த்தையின் தரம்  = 120 + 120 + 120 + 6 + 6 + 6 + 1 = 379   
(ii) DANGER என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்தகளை  ஆங்கில எழுத்துகளின் வரிசையில் A, D, E, G, N, R  என எழுதலாம்
DANGER  என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்கள்  = 6.
எந்த ஒரு எழுத்தும்  ஒரு தடவைக்கு மேல் வரவில்லை .
\(\therefore \)  A யை  வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை  = 5! = 120
DAE யை  வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை  = 3! = 6
DAG யை  வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை  = 3! = 6
DANG யை  வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை  = 2! = 2
DANGER யை  வைத்து துவங்கும் வார்த்தையின் எண்ணிக்கை  = ! = 1
DANGER என்ற வார்தையில் உள்ள எழுத்துச்சரம்  = 120 + 6 + 6  + 2 +  1 = 135         

கொடுக்கப்பட்ட 5 இலக்கங்களை கொண்டு உருவாக்கப்படும் 4-இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை ⁵P₄ = 120 நாம் முதலில் ஒன்றாம் இடத்தில் உள்ள எல்லா 120 எண்களின் கூடுதலைக் காண்போம். ஒன்றாம் இடத்தில் 1ஐ அமைத்து, மற்ற இடங்களில் மீதமுள்ள 4 எண்களை ⁴P₃ = 24 வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். இதுபோலவே, 2, 4, 6, 8 ஆகிய இலக்கங்கள் ஒன்றாம் இடத்தில் 24 முறை வருகின்றன. எல்லா 120 எண்களின் ஒன்றாம் இடத்தில் வரும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை கிடைக்கும். எனவே
\(\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 1 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 2 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 4 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 6 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 8 \right) \)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times \left( 1+2+4+6+8 \right) \)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times \)(இலக்கங்களின் கூடுதல்)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\)
இதுபோலவே, 10ஆம் இடத்தில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை .\(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\) இது 10ஆம் இடத்தில் உள்ளதால் இதன் மதிப்பு .\(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 10\) இதுபோலவே, 100ஆம் இடம் மற்றும் 1000மாவது இடத்தில் உள்ள எண்களின் மதிப்புகள் முறையே \(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 100\)மற்றும் .\(^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 1000\) எனவே, 1, 2, 4, 6, 8 என்ற இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாகும் எல்லா 4-இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகை
\(\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 10 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 100 \right) +\left( ^{ 4 }{ P }_{ 3 }\times 21\times 1000 \right) \)
\(=^{ 4 }{ P }_{ 3 }\left( 21\times 1111 \right) \)
\(=24\times 21\times 1111\)
= 559944

(i) நான்கு-இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கையானது கொடுக்கப்பட்ட 5 இலக்கங்களிலிருந்து 4 இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும் வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். எனவே, இதன் மதிப்பு \(^{ 5 }{ P }_{ 4 }=5\times 4\times 3\times 2=120\)
(ii) இரட்டைப்படை எண்ணிற்கு கடைசி இலக்கம் 2 அல்லது 4 ஆக இருக்கவேண்டும். எனவே, கடைசி இலக்கத்தை ²P₁ வழிகளில் நிரப்பலாம். மேலும் மீதி இருக்கும் 3 இடங்களை மீதி இருக்கும் 4 இலக்கங்களை கொண்டு ⁴P₃ வழிகளில் நிரப்பலாம். எனவே தேவையான இரட்டைப்படை எண்களின் எண்ணிக்கை \(^{ 2 }{ P }_{ 1 }\times ^{ 4 }{ P }_{ 3 }=2\times 24=48\)

(iii) ஓர் எண் 4 ஆல் வகுபட அந்த எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 4 ஆல் வகுபட வேண்டும். எனவே, கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் நிரப்ப 12, 24, 32, 52 (4 வழிகள்) என இருக்க வேண்டும். மீதமுள்ள முதல் இரண்டு இடங்களை மீதமுள்ள 3 இலக்கங்களை கொண்டு ³P₂ வழிகளில் நிரப்பலாம். எனவே, 4 ஆல் வகுபடும் எண்களின் எண்ணிக்கை \(^{ 4 }{ P }_{ 1 }\times ^{ 3 }{ P }_{ 2 }=4\times 6=24\)

P(n) என்பது கொடுக்கப்பட்டுள்ள தொடர் என்க .
1³ +2³ + 3³ + .... +n³ = \(\left[ \frac { n\left( n+1 \right) ^{ 2 } }{ 2 } \right] \) 
படி (1) n  = 1 என்க.
 \(\Rightarrow \) 1³ = \(\left[ \frac { 1\left( 1+1 \right) ^{ 2 } }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 1\left( 2 \right) }{ 2 } \right] ^{ 2 }\quad \)
1 = 1 எனவே  p(1) உண்மை 
படி (2)
p (n) = p(k); 1³ + 2³ + 3³ + ......k³ = \(\left[ \frac { k\left( k+1 \right) }{ 2 } \right] ^{ 2 }\)...... (1)
படி (3)
p (k  + 1) ம் உண்மை என நிரூபிக்க 
p(k  +1)1³ + 2³ + ...k³ + (k  + 1)³ = \(\left[ \frac { \left( k+1 \right) \left( k+2 \right) }{ 2 } \right] \)
LHS  = 1³ + 2³ + .....k³ + (k  +1)³
= \(\left[ \frac { k\left( k+1 \right) }{ 2 } \right] ^{ 2 }\) + (k  + 1)³ (1) பயன்படுத்தப்பட்டது
= (k  +1)² \(\quad \left[ \frac { { k }^{ 2 } }{ 4 } +k+1 \right] \) = (k  +1)² = \(\left[ \frac { { k }^{ 2 }+4k+4 }{ 4 } \right] \)
= \(\frac { \left( k+1 \right) ^{ 2 }\left( k+2 \right) ^{ 2 } }{ 4 } \) = \(\left[ \frac { \left( k+1 \right) \left( k+2 \right) }{ 2 } \right] \) = RHS 
எனவே P (k  + 1) என்பது உண்மை 
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின் படி n -ன்  எல்லா மதிப்புகளும் p(n ) உண்மையாகும் என நிரூபிக்கப்பட்டது.                   
 

P(n):=1+2+3+...+n=\(\frac{n(n+1)}{2}\) என்க.
n = 1 என பிரதியிட
P(1)=\(\frac{1(1+1)}{2}\)=1
எனவே, n = 1-க்கு இது உண்மை. அதாவது P(1) என்பது உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம்.
எனவே,
P(k)=1+2+3+...+k=\(\frac{k(k+1)}{2}\)
இப்பொழுது P(k+1) என்பது உண்மையென நிறுவவேண்டும்.
P(k+1)=\(\underbrace { 1+2+3+...+k } +(k+1)=\frac { k(k+1) }{ 2 } +(k+1)\)
P(k+1)=\(\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\)
எனவே, P(k + 1) என்பது உண்மை.
P(k) உண்மை எனக்கொண்டு P(k + 1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.
எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின் படி, எல்லா முழு எண்கள் n-≥1-க்கும் 1+2+3+...+n=\(\frac{n(n+1)}{2}\) .

நான்கு பாடப்புத்தகங்கள்  4! வழிகளில் அடுக்கலாம் .
4 கணித  பாடப்புத்தகங்களை 4! வழிகளிலும்
3 இயற்பியல் பாடப்புத்தகங்களை 3! வழிகளிலும்
2 வேதியியல் பாடப்புத்தகங்களை 2! வழிகளிலும் 
1 உயிரியல்  பாடப்புத்தகங்களை 1!  வழிகளிலும் அடுக்கலாம்.
எனவே மொத்த புத்தகங்களையும்  = 4! x  4! x  3! x  2! x  1! வழிகளில் அடுக்கலாம் 
= (4 x 3 x 2 x 1 ) (4 x 3 x 2 x 1) (3 x 2) (2 x  1)
= (24) (24) (6) (2)
தேவையான எண்ணிக்கை  = 6912 வழிகள்           

 ¹⁰P_{r -1} = 2×⁶P_r என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 
\(\Rightarrow\)  \(\frac { 10! }{ \left( 10-r+1 \right) ! } =2\times \frac { 6! }{ \left( 6-r \right) ! } \left[ \because n{ P }_{ r }=\frac { n! }{ (n-r)! } \right] \)
\(\Rightarrow\) \(\frac { 10\times 9\times 8\times 7\times 6! }{ \left( 11-r \right) ! } =\frac { 10\times 9\times 8\times 7\times 6! }{ \left( 11-r \right) ! } \)
\(\Rightarrow\) \(\frac { 10\times 9\times 8\times 7 }{ \left( 11-r \right) 10-r\left( 9-r \right) \left( 8-r \right) \left( 7-r \right) \left( 6-r \right) } =\frac { 2 }{ \left( 6-r \right) ! } \)
\(\Rightarrow\) \(\frac { 10\times 9\times 8\times 7 }{ \left( 11-r \right) 10-r\left( 9-r \right) \left( 8-r \right) \left( 7-r \right) } =2\)
\(\Rightarrow\) (11- r) (10 -r)(9 -r)(8 -r)(7 -r) = 5 x 9 x 8 x 7
 \(\Rightarrow\) (11- r) (10 -r)(9 -r)(8 -r)(7 -r) = 7 x 6 x 5 x 4 x 3
\(\Rightarrow\) (11- r) (10 -r)(9 -r)(8 -r)(7 -r) = (11 - 4) (10 - 4) (9- 4) (8 -4) (7 -4)
\(\Rightarrow\) r = 4

இதில் காணப்படும் 6 இடங்களில் உள்ள 3 இரட்டைப்படை இடங்களில் 2,4,2 என்ற இரட்டைப்படை எண்கள் வரவேண்டும். 2,4,2 என்ற இலக்கங்களை 3 இரட்டைப்படை இடங்களில்\(\frac { 3! }{ 2! } =3\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். மீதமுள்ள, 1,3,1 என்ற இலக்கங்களை மீதமுள்ள 3 இடங்களில் \(\frac { 3! }{ 2! } =3\) வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். எனவே, தேவையான எண்களின் எண்ணிக்கை 3 x 3 = 9

4 மாணவர்களை ஒரு வரிசையில் நிற்க வைக்கும் வழிகள் ⁴P₄ = 4! மாணவனவனை முதலாவதாகக் கொண்டு, இந்த ஒவ்வொரு வரிசையும் 4 இடைவெளிகளை உருவாக்கும். இந்த 4 இடங்களில் 4 மாணவிகளை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் அமர வைக்கலாம்.
B₁_B₂_B₃_B₄_ or G₁_G₂_G₃_G₄_
எனவே, மாணவனை முதலாவதாக கொண்ட வரிசைகளின் எண்ணிக்கை \(4!\times 4!\) இதுபோலவே, மேற்கூறிய வழிமுறையின்படி மாணவியை முதலாவதாகக் கொண்ட வரிசைகளின் எண்ணிக்கை \(4!\times 4!\) எனவே கூட்டல் விதிப்படி, மாணவனையோ அல்லது மாணவியையோ முதலாவதாகக் கொண்ட வரிசை மாற்றங்களின்,மொத்த எண்ணிக்கை. \(\left( 4!\times 4! \right) +\left( 4!\times 4! \right) =2{ \left( 4! \right) }^{ 2 }=1152. \)

n≥2-க்கு  3ⁿ ≥n² என்பதை P(n) என்ற கூற்று என்க. முதல்படி n = 2 ஆகும்.
P(2)=3²=9 மேலும் 2²=4
9 > 4 ஆதலால் P(2) உண்மை.
n = k-க்கு P(n) உண்மை எனக் கொள்க.
எனவே, P(k) > k²
P(k+1) = 3 × 3k = 3 × P(k)
>3k²
>(k+1)² 
எனவே n≥2 என உள்ள அனைத்து முழு எண்களுக்கும் 3ⁿ>n².

P(n)=1+3+5+...+(2n-1) என்க.
எனவே, P(1)=1=1² என்பது உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம்.
எனவே,
P(k)=1+3+5+...+(2k-1)
அதாவது P(k)=k²
இப்பொழுது P(k+1)=(k+1)² என நிறுவவேண்டும்.
P(k+1)=1+3+5+...+(2(k+1)-1)
=\(\underbrace { 1+3+5+7+...+(2k-1) } +2k+1\)
=P(k)+2k+1
=k²+2k+1=(k+1)²
எனவே, P(k+1) என்பது உண்மை.
P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.
எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம், எல்லா முழு எண்கள் n≥1-க்கும்,முதல் n ஒற்றை மிகை எண்களின் கூடுதல் n² என நிறுவப்பட்டது.