f(x) = 2x² + 3x - 5
ஒரு இயற்கணித சார்பு, பல்லுறுப்புச் சார்பு
இச்சார்பு R-மெய்யெண்கள் தொகுப்பில் தொடர்ச்சியானது என்பதால் f(x)-ம் R தொடர்ச்சியானது.

\({ \lim _{ x\rightarrow \infty }{ \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) } }^{ 7x }=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left[ { \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ x } \right] }^{ 7 } } \)
\(\frac { 1 }{ x } =t\) என்க.
\(x\rightarrow \infty \) எனில், \(\frac { 1 }{ x } \rightarrow 0\)ஆகும்.
\(\therefore \frac { 1 }{ x } \rightarrow 0\) எனில், t \(\rightarrow\)0 ஆகும்
\(\therefore \lim _{ t\rightarrow 0 }{ { \left[ (1+t)^{ \frac { 1 }{ t } } \right] }^{ 7 } } ={ e }^{ 7 }\) \(\left[ \because \lim _{ x\rightarrow 0 }{ (1+x)^{ \frac { 1 }{ x } }=e } \right] \)
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 7x }={ e }^{ 7 } } \)

\(\lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { \sqrt { x+4 } -3 }{ x-5 } } \)
தொகுதி, பகுதியை \(\sqrt { x+4 } +3\) ஆல் பெருக்க
\(=\lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { \sqrt { x+4 } -3 }{ x-5 } } \times \frac { \sqrt { x+4 } +3 }{ \sqrt { x+4 } +3 } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 5 }{ \frac { (x+4)-{ 3 }^{ 2 } }{ (x-5)\left[ \sqrt { x+4 } +3 \right] } } \)

\(=\frac { 1 }{ \sqrt { 4+4 } +3 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 9 } +3 } =\frac { 1 }{ 3+3 } =\frac { 1 }{ 6 } \)

இங்கு \(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ (x-1) } ={ 0 }\) எனவே தொகுதியை விகிதப்படுத்துக.  
\(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { \sqrt { x } -1 }{ x-1 } } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { (\sqrt { x } -1) }{ (\sqrt { x } -1)(\sqrt { x } -1) } } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { x } +1 } } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 1 }{ (1) } }{ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ (\sqrt { x } +1) } } =\frac { 1 }{ 2 } \)

\(\lim _{ x\rightarrow -1 }{ ({ x }^{ 2 }-3) } =1-3=-2\)
எனவே \(\lim _{ x\rightarrow -1 }{ ({ x }^{ 2 }-3) } ^{ 10 }=\lim _{ x\rightarrow -1 }{ ({ x }^{ 2 }-3) }{ ({ x }^{ 2 }-3) }...{ ({ x }^{ 2 }-3) }\) (10 முறை )
\(=\lim _{ x\rightarrow -1 }{ ({ x }^{ 2 }-3) } \lim _{ x\rightarrow -1 }{ ({ x }^{ 2 }-3) } ...\lim _{ x\rightarrow -1 }{ ({ x }^{ 2 }-3) } \)(10 முறை )
\(=\left[ \lim _{ x\rightarrow -1 }{ ({ x }^{ 2 }-3) } \right] ^{ 10 }={ (-2) }^{ 10 }={ 2 }^{ 10 }=1024.\)
\(\lim _{ x\rightarrow -1 }{ ({ x }^{ 2 }-3) } ^{ 10 }=[\lim _{ x\rightarrow -1 }{ ({ x }^{ 2 }-3) }] ^{ 10 }\) என்பதை கவனிக்கவும்.

\(P(x)={ x }^{ 3 }-2x+6\) ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை.
எனவே. \(\lim _{ x\rightarrow 3 }{ P(x)=P(3)={ 3 }^{ 3 }-2\times 3+6=27 } \)

x = 1 எனும் பொழுது
y = 1² + 2 = 3
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x)=3 } \)

\(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( { x }^{ 2 }+2 \right) } =1\)
x = 1
எனும் பொழுது வளைவரை y அச்சின் 3 ஐக் குறிக்கும்.
x = 1 எனில் y = 3
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 1 }{ ({ x }^{ 2 }+2)=3 } \)

\(f(x)=\frac { sin\ x }{ x } \)என்க.

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\ x }{ x } =1 } \)

\(f(x)=\frac { x-2 }{ { x }^{ 2 }-x-2 } \)
\(=\frac { x-2 }{ (x-2)(x+1) } \)என்க.
\(f(x)=\frac { 1 }{ (x+1) } \)

\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { x-2 }{ { x }^{ 2 }-x-2 } } =0.\bar { 3 } \)

அத்தியாயம் 1-ல் உள்ளபடி  \(\left| x \right| =\begin{cases} -x\quad ,\quad x<0 \\ 0\quad ,\quad x=0 \\ x\quad ,\quad x>0 \end{cases}\)
x >0 எனில், \(\left| x \right| =x,\) இங்கு x-ன் மதிப்பு  0-ஐ வலப்பக்கமாக நெருங்கும்.
எனவே \(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \left| x \right| } =0\)
x < 0 எனில், \(\left| x \right| =-x,\) இங்கு x-ன் மதிப்பு  0-ஐ இடப்பக்கமாக நெருங்கும்.
எனவே \(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \left| x \right| } =0\)
இவ்வாறாக, \(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ \left| x \right| } =0=\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \left| x \right| } \) , எனவே \(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \left| x \right| } =0\)

\(f(x)=x\ sin\frac { \pi }{ x } \)
\(-x\le xsin\frac { \pi }{ x } \le x.\)
\(g(x)=-x,f(x)=x\ sin\frac { \pi }{ x } \)
h(x) = x
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ g(x)=0,\lim _{ x\rightarrow 0 }{ h(x)=0 } } \)
இடையீட்டுத் தேற்றத்தின்படி
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \ xsin\frac { \pi }{ x } } =0\)
f(x) தொடர்ச்சியானதாக இருக்க வேண்டும் எனில்
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ xsin\frac { \pi }{ x } =0=f(0) } \)
\(\Rightarrow\) f(0) = 0

\(g(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }-{ b }^{ 2 };\quad x<4 \\ bx+20;\quad x\ge 4 \end{cases}\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 4 }^{ - } }{ g(x)=\lim _{ x\rightarrow { 4 }^{ - } }{ { x }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } } \)
= 4² - b² = 16 - b² .....(1)
\(\lim _{ x\rightarrow { 4 }^{ + } }{ g(x)=\lim _{ x\rightarrow { 4 }^{ + } }{ bx+20 } } \)
= b(4) + 20 .....(2)
g(4) = bx +20
=b(4) + 20  .....(3)
g(x) ஆனது (-\(\infty \), \(\infty \))-ல் தொடர்ச்சியானது என்பதால்
\(\lim _{ x\rightarrow { 4 }^{ - } }{ g(x)=\lim _{ x\rightarrow { 4 }^{ + } }{ g(x)=g(4) } } \)
(1), (2), (3) \(\Rightarrow \)
16 - b² = 4b + 20
\(\Rightarrow\)b² + 4b + 4 = 0
\(\Rightarrow\)(b+2) (b+2) = 0
\(\Rightarrow\)(b+2)² = 0
\(\Rightarrow\)b + 2 = 0
\(\Rightarrow\)b = -2

\(C(t)=\frac { 30t }{ 200+t } \)

\(=\lim _{ t\rightarrow \infty }{ \frac { 30 }{ 1+\frac { 200 }{ t } } =\frac { 30 }{ 0+1 } =30 } \)
[\(\therefore\)t \(\rightarrow\)\(\infty \) எனில் \(\frac { 1 }{ t } \rightarrow 0\)]
t\(\rightarrow\)\(\infty \) எனில் உவர்நீரின் அடர்த்தி 30 கிராம் ஆகும்.

\((i)f(-{ 5 }^{ - }).\)
\(x<-5\) எனில், \(\left| x+5 \right| =-(x+5)\)
எனவே, \( f(-{ 5 }^{ - })=\lim _{ x\rightarrow -{ 5 }^{ - } }{ \frac { -(x+5) }{ (x+5) } } =-1\)
\((ii)f(-{ 5 }^{ + }).\)
\(x>-5\) எனில், \(\left| x+5 \right| =(x+5)\)
எனவே, \( f(-{ 5 }^{ + })=\lim _{ x\rightarrow -{ 5 }^{ + } }{ \frac { (x+5) }{ (x+5) } } =1\)    
\(f(-{ 5 }^{ - })\neq f(-{ 5 }^{ + })\). எனவே எல்லை மதிப்பு இல்லை.

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \frac { \sin ^{ 3 }{ \left( \frac { x }{ 2 } \right) } }{ { x }^{ 3 } } } } \)\(=\lim _{ x0 }{ \frac { { sin }^{ 3 }\left( \frac { x }{ 2 } \right) }{ \frac { { x }^{ 3 } }{ 8 } \times 8 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 8 } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin^{ 3 }\frac { x }{ 2 } }{ { \left( \frac { x }{ 2 } \right) }^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 8 } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \left( \frac { sin\frac { x }{ 2 } }{ \frac { x }{ 2 } } \right) }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 8 } \times { 1 }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 8 } } \) \(\left[ \because \lim _{ \frac { x }{ 2 } \rightarrow 0 }{ \frac { sin\frac { x }{ 2 } }{ \frac { x }{ 2 } } =1 } \right] \)

\(\frac { 1 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 1 }{ x } +1\)
\(\frac { 2 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 2 }{ x } +1\)

\( \frac { 15 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 15 }{ x } +1\)
கூடுதல் காண,
\(\frac { 120 }{ x } -15\le \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 120 }{ x } +15\)
\(120-15x\le x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] \le 120+15x\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (120-15x) } \le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } \le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (120+15x) } \)
\(120\le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } \le 120\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } =120.\)

\(\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { x }^{ 3 }+x }{ { { x }^{ 4 }-3x }^{ 2 }+1 } } \)
தொகுதியிலிருந்து x³, பகுதியிலிருந்து x⁴ ஐ வெளியில் எடுக்க
\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { x }^{ 3 }\left( 1+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) }{ { x }^{ 4 }\left( 1-\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } \right) } } \)
\(\left[ \because \frac { 1 }{ x } \rightarrow 0;x\rightarrow \infty \right] \)
\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { \left( 1+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) }{ x\left( 1-\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } \right) } =\frac { 1 }{ \infty } =0 } \)

\(\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { { x }^{ 3 }-{ 3 }^{ n } }{ x-3 } = } n.{ 3 }^{ n-1 }=27\)
அதாவது,\(n.{ 3 }^{ n-1 }=3\times { 3 }^{ 2 }=3\times { 3 }^{ 3-1 }\Rightarrow n=3\)