Let I = \(\int { tan } ^{ -1 }\) x dx
Put t  = tan ^-1 x \(\Rightarrow\) x = tan t
\(\Rightarrow\)  dx = sec² t dt
I = \(\int { t } sec^{ 2 }\) t dt
Let u = t;  dv = sec² t dt
du = dt; v = tan t
Applying integration by parts, I = \(\int { u } \) dv = uv  - \(\int { v } \) dv
 \(\int { t } sec^{ 2 }\) t dt  =  t tant  - \(\int { tan } \) t.dt
I = t tan t + log |cos t| + c
I = x tan^-1 x + log \(\left| \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right| \) + c

Let I = \(\int { \frac { { e }^{ -x } }{ 16+9{ e }^{ -2x } } } \) = \(\int { \frac { { e }^{ -x }dx }{ { 4 }^{ 2 }+(3e^{ -x })^{ 2 } } } \)
Let  3e^-x = t \(\Rightarrow\) -3e^x dx = dt \(\Rightarrow\) e^-x dx = -\(\frac { dt }{ 3 } \)
\(\therefore\) I = \(\int { \frac { \frac { -dt }{ 3 } }{ { 4 }^{ 2 }+{ t }^{ 2 } } } =-\frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { dt }{ { 4 }^{ 2 }+{ t }^{ 2 } } =-\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 4 } { tan }^{ -1 }\left( \frac { t }{ 4 } \right) } +c\)
= \(\frac { -1 }{ 12 } { tan }^{ -1 }\left( \frac { 3e^{ -x } }{ 4 } \right) +c\)

Let I = \(\int { \frac { 1 }{ { 4x }^{ 2 }-4x+3 } } \)dx = \(\int { \frac { dx }{ \left( { x }^{ 2 }-x+\frac { 3 }{ 4 } \right) } } \)dx
= \(\frac { 1 }{ 4 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-x+\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } } =\frac { 1 }{ 4 } \int { \frac { 1 }{ \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 } } } \)dx
I = \(\frac { 1 }{ 4 } \times \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } { tan }^{ -1 }\left( \frac { x-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } \right) +c\)
\(\therefore\)  I = \(\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } { ta }n^{ -1 }\left( \frac { 2x-1 }{ \sqrt { 2 } } \right) +c\)

Let I = \(\int { cot^{ 3 } } \) x dx
I = \(\int { cot^{ 2 } } \) x.cot x dx = \(\int { \left( { cosec }^{ 2 }x-1 \right) } \) cot x dx = \(\int { cot } \) x cosec ² x dx - \(\int { cot } \) x dx
Let t = cot x \(\Rightarrow\) dt - cosec² x dx in the first intergral,
I = \(-\int { t } \) dt - log | sin x| + c = \(\frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } \) - log |sin x| + c = \(-\frac { cot^{ 2 }x }{ 2 } \) - log |sin x| +c

Let I = \(\int { \frac { sin }{ \sqrt { 3+2cosx } } dx } \)
Let t = 3 + 2 cos x \(\Rightarrow\) dt = -2 sin x dx
\(\Rightarrow\)  \(\frac { -dt }{ 2 } \) = sin x dx
I = \(-\int { \frac { 2 }{ \sqrt { t } } =-\frac { 1 }{ 2 } \int { t } ^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=-\frac { 1 }{ 2 } } \left[ \frac { { t }^{ -\frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ -\frac { 1 }{ 2 } +1 } \right] +c\)
= -\(\frac { 1 }{ 2 } \frac { { e }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ 2 } } +c\) = \(\sqrt { t } \) + c = -\(\sqrt { 3+2cosx } \) +c

Let I = \(\int { \sqrt { 1+sinx } } \) dx = \(\int { \sqrt { sin^{ 2 }\frac { x }{ 2 } +{ cos }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } +2sin\frac { x }{ 2 } cos\frac { x }{ 2 } } } \)dx
= \(\int { \sqrt { \left( { sin }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } +{ cos }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } \right) ^{ 2 } } } \) dx = \(\pm\)\(\int { \left( sin\frac { x }{ 2 } +cos\frac { x }{ 2 } \right) } +c\) = \(\pm\) \(\left( \frac { -cos\frac { x }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } +\frac { sin\frac { x }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) \) + c
= \(\pm 2\left( cos\frac { x }{ 2 } +sin\frac { x }{ 2 } \right) \)

Given f'(x) = 3x² - \(\frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } \) = 3x² - 2x^-3
Intergrating both sides with respect to 'x' we get
\(\int { f'\left( x \right) } \) = \(\int { \left( { 3x }^{ 2 }-{ 2x }^{ -3 } \right) } \)dx
\(\Rightarrow\) f(x) = \(\frac { 3.{ { x }^{ 2 } } }{ 3 } -2.\frac { x^{ -3+1 } }{ -3+1 } \) +c
\(\Rightarrow\) f(x) = x³ + \(\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \) + c
\(\therefore\) (1) = 1³ + \(\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \) + c
\(\Rightarrow\)  0 = 1 + 1 + c \(\Rightarrow\) c = -2     [ \(\therefore\) f(1) = 0 ]
\(\therefore\) f (x) = x² + \(\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \) - 2     [From (1)]

Let I = \(\int { \frac { \left( { a }^{ x }+{ b }^{ x } \right) ^{ 2 } }{ { a }^{ x }{ b }^{ x } } } \) dx = \(\int { \frac { { a }^{ 2x }+{ b }^{ 2x }+{ 2a }^{ x }{ b }^{ x } }{ { a }^{ x }{ b }^{ x } } } dx\)
= \(\int { \frac { { a }^{ x } }{ { b }^{ x } } dx } +\int { \frac { { a }^{ x } }{ { b }^{ x } } dx+2 } \int { dx } =\int { \left( \frac { a }{ b } \right) ^{ x } } dx+\left( \frac { a }{ b } \right) ^{ x }dx+2\int { dx } \)
= \(\frac { \left( \frac { a }{ b } \right) ^{ x } }{ log\left( \frac { a }{ b } \right) } +\frac { \left( \frac { a }{ b } \right) ^{ x } }{ log_{ e }\left( \frac { a }{ b } \right) } +2x+c\)

= \(\int { \frac { { sin }^{ 6 }x+cos^{ 6 }x }{ sin^{ 2 }xcos^{ 2 }x } } \)
= \(\int { \frac { \left( { sin }^{ 2 }x \right) ^{ 3 }+\left( { cos }^{ 2 }x \right) ^{ 3 } }{ { sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x } } \) dx\(\left[ { a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }=\left( a+b \right) ^{ 3 }-3ab\left( a+b \right) \right] \)
= \(\int { \frac { \left( { sin }^{ 2 }x \right) ^{ 3 }+\left( { cos }^{ 2 }x \right) ^{ 3 }-{ 3sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x\left( { sin }^{ 2 }x+{ cos }^{ 2 }x \right) }{ { sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x } } \)
= \(\int { \frac { { 1 }^{ 3 }-3{ sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x(1) }{ { sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x } } \) dx = \(\int { \frac { 1-3{ sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x }{ { sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x } } \)dx
= \(\int { \left( \frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x } -3 \right) } \)dx = \(\int { \frac { { sin }^{ 2 }x{ +cos }^{ 2 }x }{ { sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x } } -3\)dx
= \(\int { \frac { { sin }^{ 2 }x }{ { sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x } } dx+\int { \frac { { cos }^{ 2 }x }{ { sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 2 }x } } dx-\int { 3 } \)dx
= \(\int { sec^{ 2 } } \) x dx + \(\int { cosec } ^{ 2 }xdx\) - 3 \(\int { dx } \) = tan x - cot x - 3x + c

Let I = \(\int { \frac { { x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }+1 }{ { x }^{ 2 }+x-1 } } \)dx
= \(\int { \frac { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) ^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }-x+1 } } \) dx
= 
= \(\int { \left( { x }^{ 2 }+1+x \right) dx } \) = \(\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +c\)