7A  - (I  + A )³ = 7A  [I³ +A³ + 3A  (I  + A ) ]
=7A  - [I  + A  + 3A  + 3A ]
= 7A  - [I  + 7A ]
= 7A -I  - 7A = -I 

முக்கோணத்தின் பரப்பு =\(\left| \frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 } & { y }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| \right| \)
\(\left| \frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} -2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & -8 & 1 \end{matrix} \right| \right| =\left| \frac { 1 }{ 2 } (-20+12-22) \right| =\left| -15 \right| =15\)
எனவே தேவையான பரப்பு 15 சதுர அலகுகள் .

\({ A }^{ 2 }=AA=\left[ \begin{matrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} { c }_{ 11 } & { c }_{ 12 } & { c }_{ 13 } \\ { c }_{ 21 } & { c }_{ 22 } & { c }_{ 23 } \\ { c }_{ 31 } & { c }_{ 32 } & { c }_{ 33 } \end{matrix} \right] \)
இங்கு \({ c }_{ 11 }=\left[ \begin{matrix} 0 & c & b \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ c \\ b \end{matrix} \right] =0.0+c.c+b.b={ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }.\)  இதேபோல் மற்ற உறுப்புகளின் c_ij -க்கைளை கணக்கிடலாம் . 
\({ A }^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0+{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } & 0+0+ab & 0+ac+0 \\ 0+0+ab & a^{ 2 }+0+b^{ 2 } & bc+0+0 \\ 0+ac+0 & bc+0+0 & b^{ 2 }+a^{ 2 }+0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } & ab & ac \\ ab & { c }^{ 2 }+a^{ 2 } & bc \\ ac & bc & a^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \end{matrix} \right] \) 

அணிகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் வரையறைகளின் படி ,
  \(A+B=\left[ \begin{matrix} 4\sqrt { 3 } & 2\sqrt { 5 } & 14.3 \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 3 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)  மற்றும்  \(A-B=\left[ \begin{matrix} 4-\sqrt { 3 } & 0 & -0.3 \\ -2 & -\frac { 1 }{ 3 } & \frac { 1 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)

முக்கோணத்தின் பரப்பு  \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 } & { y }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| \) ன் எண்ணளவு ஆகும் 
எனவே  4 = \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \begin{matrix} k & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \quad \)
\(\Rightarrow \) 8 =  \(\pm \)  [k  (4 - 2) - 2 (2 -3) + 1 (4 - 12)]
\(\Rightarrow \) 8  = \(\pm \) [k  (2) + 2 - 8]
\(\Rightarrow \) 8 = \(\pm \) (2k  - 6)
நிலை (i)
\(\Rightarrow \)  8 = 2k  - 6
\(\Rightarrow \)  2k  = 14 k  = 7
நிலை (ii)
-2k  = 8 - 6
-2k = 2
k = -1
தீர்வு :  k = -1, 7

\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \)  A⁴   = AAAA 
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
A² = \(\left( \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( 1\times 1+a\times 0 \right) & \left( 1\times a+a\times 1 \right) \\ \left( 0\times 1+1\times 0 \right) & \left( 0\times a+1\times 1 \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( 1+0 \right) & \left( a+a \right) \\ \left( 0+0 \right) & \left( 0+1 \right) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
A⁴ = A²A² = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( \left( 1\times 1 \right) +\left( 2a\times 0 \right) \right) & \left( 2a+2a \right) \\ \left( 0+0 \right) & \left( 0+1 \right) \end{matrix} \right] \)
 \(\therefore \)   A⁴ = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 4a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

கொடுக்கப்பட்ட கோவையினை A எனக்கொள்க.
அணிகளின் திசையிலிப் பெருக்கலுக்கான வரையறையைப் பயன்படுத்த ,
\(A=\left[ \begin{matrix} \sec { ^{ 2 }\theta } & \sec { \theta } \tan { \theta } \\ \sec { \theta } \tan { \theta } & \sec { ^{ 2 }\theta } \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} \tan { ^{ 2 }\theta } & \sec { \theta } \tan { \theta } \\ \sec { \theta } \tan { \theta } & \tan { ^{ 2 }\theta } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

தரவு : A  = A^T , B = B^T
AB  = BA  நிருபிக்க வேண்டியது :
(AB)^T = AB
நிருபணம் : 
(AB)^T = B^T.A^T
[\(\because \) நிரை நிரல் மற்றும் விதியின் பின் திருப்புகை விதி ] 
= B.A  [ \(\therefore \) B^T = B, A^T = A ]
= AB [AB = BA ] 
\(\therefore \) (AB)^T = AB
 \(\therefore \) AB  என்பது ஒரு சமச் சீர் அணியாகும் என்பது நிருபிக்கப்பட்டது.      
மறுதலை : 
A = A^T, B = B^T
(AB)^T = AB
நிருபணம் :
(AB)^T = B^TA^T = BA
AB = BA    

\(LHS=\left| \begin{matrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{matrix} \right| ^{ 2 } =\left| \begin{matrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{matrix} \right| \)

\(=\left| \begin{matrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{matrix} \right| \times (-1)(-1)\left| \begin{matrix} 1 & x & x \\ -x & -1 & -x \\ -x & -x & -1 \end{matrix} \right|\)
\(=\left| \begin{matrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 1 & x & x \\ -x & -1 & -x \\ -x & -x & -1 \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} 1-{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } & x-x-{ x }^{ 2 } & x-{ x }^{ 2 }-x \\ x-x-{ x }^{ 2 } & { x }^{ 2 }-1-{ x }^{ 2 } & { x }^{ 2 }-x-x \\ x-{ x }^{ 2 }-x & { x }^{ 2 }-x-x & { x }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }-1 \end{matrix} \right|\)
\(=\left| \begin{matrix} 1-2x^{ 2 } & { -x }^{ 2 } & { -x }^{ 2 } \\ { -x }^{ 2 } & -1 & { x }^{ 2 }-2x \\ { -x }^{ 2 } & { x }^{ 2 }-2x & -1 \end{matrix} \right| =RHS\)

\(LHS=\left| \begin{matrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{matrix} \right| ^{ 2 } =\left| \begin{matrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} 0+{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } & 0+0+ab & 0+ac+0 \\ 0+0+ab & { c }^{ 2 }+0+a^{ 2 } & bc+0+0 \\ 0+ac+0 & bc+0+0 & { b }^{ 2 }+a^{ 2 }+0 \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} { c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } & ab & ac \\ ab & { c }^{ 2 }+a^{ 2 } & bc \\ ac & bc & { b }^{ 2 }+a^{ 2 } \end{matrix} \right| =RHS\)

\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ -6 & 8 & 3 \\ -4 & 6 & 5 \end{matrix} \right] \Rightarrow { A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 1 & -6 & -4 \\ 3 & 8 & 6 \\ 5 & 3 & 5 \end{matrix} \right] \\ \) 
\(P=\frac { 1 }{ 2 } (A+{ A }^{ T })=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 1 \\ -3 & 16 & 9 \\ 1 & 9 & 10 \end{matrix} \right] \)  என்க 
இப்பொழுது \({ P }^{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 1 \\ -3 & 16 & 9 \\ 1 & 9 & 10 \end{matrix} \right] =P\)
ஆகையால், \({ P }=\frac { 1 }{ 2 } (A+{ A }^{ T })\) ஒரு சமசீசீர் அணியாகும்.
\({ Q }=\frac { 1 }{ 2 } (A-{ A }^{ T })\) என்க 
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 0 & 9 & 9 \\ -9 & 0 & -3 \\ -9 & 3 & 0 \end{matrix} \right] \\ { Q }^{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 0 & -9 & -9 \\ 9 & 0 & 3 \\ 9 & -3 & 0 \end{matrix} \right] =-Q\)
ஆகையால், \({ Q }=\frac { 1 }{ 2 } (A-{ A }^{ T })\) ஒரு எதிர் சமசீசீர்​​​​​​​ அணியாகும்.
\(A=P+Q=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 1 \\ -3 & 16 & 9 \\ 1 & 9 & 10 \end{matrix} \right] +\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 0 & 9 & 9 \\ -9 & 0 & -3 \\ -9 & 3 & 0 \end{matrix} \right] \)
ஆகவே A என்பதை ஒரு சமசீசீர் மற்றும் எதிர் சமசீசீர்  அணிகளில் கூடுதலாக எழுதலாம் .

\(\left[ \begin{matrix} x & 2 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] =0\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x-2+1 & x-8+1 & 2x+2+2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] =0\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x-1 & x-7 & 2x+4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] =0\)
\(\Rightarrow x(x-1)+2(x-7)+1(2x+4)=0\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+3x-10=0 \Rightarrow x=-5,2\)