\(f(x)=\tan ^{ -1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } \) என்க 
\(g(x)={ x }^{ 2 }+x+1\)
\(\frac { df }{ dg } =\frac { { f }^{ ' }(x) }{ { g }^{ ' }(x) } \)
\({ f }^{ ' }(x)=\frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \)
\({ g }^{ ' }(x)=2x+1\)
\(\frac { df }{ dg } =\frac { \frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{ 2x+1 } =\frac { 2x }{ (2x+1)(1+{ x }^{ 2 }) } \)

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } \)
\(\vec { b } =6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \)
\(\vec { c } =3\hat { i } -6\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } ).(6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )\)
=2 x 6 +3 x 2 + 6 x -3
=12+6-18=0    ∴ \(\vec { a } \bot \vec { b } \)
\(\vec { b } .\vec { c } =(6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } ).(3\hat { i } -6\hat { j } +2\hat { k } )\)
=6 x 3 + 2 x -6 + (-3 x 2)
=18-12-6
=18-18=0     ∴ \(\vec { b } \bot \vec { c } \)
\(\vec { c } .\vec { a } =(3\hat { i } -6\hat { j } +2\hat { k } ).(2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } )\)
=3 x 2 +(-6 x 3) + 2 x 6
=6-18+12
=18-18=0   ∴ \(\vec { c } \bot \vec { a } \)
∴ \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து ஆகும்.

A  = \(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{matrix} \right] \)என்க.
\(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{matrix} \right] \quad \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix} \right] \)

a₁₂ = \(\frac { 6 }{ -3 } =-2\quad \)
a₁₂ = -2 என (1)-ல் பிரதியிட 
a₁₁ +4a₁₂ = -7
a₁₁  + 4 x  -2 = -7
a₁₁ - 8 = -7
a₁₁ = -7 + 8 = 1

a₂₂ = 0 என (3)-ல் பிரதியிட 
1a₂₁ + 4 x 0 = 2   .......(3)
a₂₁ = 2  .........(4)
\(\therefore \)  A = \(\left( \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) \).  

\(AB=\left[ \begin{matrix} 4 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 16 & 2 & 22 \\ -2 & 9 & 9 \\ 7 & 1 & 14 \end{matrix} \right] \)
\({ (AB) }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 16 & -2 & 7 \\ 2 & 9 & 1 \\ 22 & 9 & 14 \end{matrix} \right] ...(1)\)
\({ B }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{matrix} \right] ,\quad { A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\( { B }^{ T }{ A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 16 & -2 & 7 \\ 2 & 9 & 1 \\ 22 & 9 & 14 \end{matrix} \right] ...(2)\)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து, \({ (AB) }^{ T }={ B }^{ T }{ A }^{ T }\)

\(\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } } =\frac { \tan { C } }{ \tan { B } } \)  = tan C cot B என நிரூபிப்போம்
L.H.S = \(\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } } =\frac { { k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ A }-{ k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ B }+{ k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ C } }{ { k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ A }+{ k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ B }-{ k }^{ 2 }sin^{ 2 }{ C } } \)
(∵ \(\frac { a }{ \sin { A } } =\frac { b }{ \sin { B } } =\frac { c }{ \sin { C } } \) = k ⇒ a = k sinA = k sinB , c = k sinC)
= \(\frac { sin^{ 2 }{ A }-sin^{ 2 }{ B }+sin^{ 2 }{ C } }{ sin^{ 2 }{ A }-sin^{ 2 }{ C }+sin^{ 2 }{ B } } \)
= \(\frac { \sin { C } .\sin { \left( A-B \right) } +sin^{ 2 }{ C } }{ \sin { B } .\sin { \left( A-C \right) } +sin^{ 2 }{ B } } \)    (∵  A + B = 180 - C, A + C = 180 - B)
= \(\frac { \sin { C } \left[ \sin { \left( A-B \right) +\sin { C } } \right] }{ \sin { B } \left[ \sin { \left( A-C \right) } +\sin { B } \right] } \)
= \(\frac { \sin { C } \left[ \sin { \left( A-B \right) } +\sin { \left( A+B \right) } \right] }{ \sin { B } \left[ \sin { \left( A-C \right) } +\sin { \left( A+B \right) } \right] } \)
= \(\frac { \sin { C } .2\sin { A } .\cos { B } }{ \sin { B } .2\sin { A } \cos { C } } \)
= \(\frac { \sin { C } .\cos { B } }{ \cos { C } .\sin { B } } \)
= tan C. cot B = R.H.S.
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

i) 3x + 4y -12 = 0 கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோட்டின் சமன்பாடு
செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 4x - 3y + k = 0
நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு = 4x - 3y + k = 0, K\(\in \)R  
ii) 3x + 4y - 12 = 0ற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 4y +k₁ = 0 ஆகும். இது நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாட்டினைக் குறிப்பதால் நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு.
=3x + 4y + k₁ = 0, k₁ \(\in \) R 

-1 < cos x   < 1 என நமக்குத் தெரியும்.
⇒ -3 < -3cos x < 3
⇒ 1-3 < 1-3cos x < 1 + 3
⇒ -2 < 1-3 cos x < 4
\(⇒\ {1\over 1-3 \cos\ x}\le -{1\over 2}\) மற்றும் \({1\over 1-3 \cos\ x}\ge {1\over4}\)
அதாவது f -ன் வீச்சகம் \(\left(-\infty-{1\over 2}]U[{1\over 4},\infty\right)\)ஆகும்

(i) \(\frac{3(x-2)}{5}\le\frac{5(2-x)}{3}\)
\(\Rightarrow \frac { 3x-6 }{ 5 } \le \frac { 10-5x }{ 3 } \)
\(\Rightarrow 3(3x-6)\le 5(10-5x)\)
\(\Rightarrow 9x-18\le 50-25x\)
\(\Rightarrow 9x+25x\le 50+18\)
\(\Rightarrow 34x\le 68\)
\(\Rightarrow x\le 2.\)
\(\therefore \)தீர்வு கணம் \(\left( -\infty ,2 \right) \)
(ii) \(\frac{5-x}{3}<\frac{x}{2}-4\)
முழுவதையும் 3 ஆல் பெருக்க,
 \(5-x<\frac { 3x }{ 2 } -12\)
2 ஆல் பெருக்க 
\(\Rightarrow 10-2x<3x-24\)
\(\Rightarrow 10+24<3x+2x\)
\(\Rightarrow 34<5x\)
\(\Rightarrow \frac { 34 }{ 5 }\)
\(\Rightarrow x\ge \frac { 34 }{ 5 } \)
\(\therefore \) தீர்வுகணம்\( \left( \frac { 34 }{ 5 } ,\infty \right) \)

x=-2-ல் \(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)
\(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow -{ 2 }^{ - } }{ \frac { x-2 }{ (x+2)(x+3) } } \)
\(=\frac { -Ve }{ 0(-Ve) } =\infty \)
\(\therefore\)  f(-2^-) \(\rightarrow\) \(\infty\) (x\(\rightarrow\)-2^- எனும் பொழுது)

\(f(-{ 2 }^{ + })=\lim _{ x\rightarrow { -2 }^{ + } }{ \frac { x-2 }{ (x+2)(x+3) } } \)

\(\therefore\) f(-2⁺) \(\rightarrow\) -\(\infty \)(x\(\rightarrow\) 2⁺ எனும் பொழுது)

சார்பின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு f(-2) மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்பு f(2) ஆகும். இவை துணைச்சார்பகத்தில் அமைகிறது . மேலும் அவற்றின் மதிப்பு முறையே -16 மற்றும் 16 ஆகும். எனவே B = [-16, 16] என இருக்கும்போது f மேற்கோர்த்தலாக அமையும்.

A, B என்பன இரு புள்ளிகள் அவற்றின் அச்சுத் தொலைவுகள் A(x, 0), B(0, y) என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
P(r, c) ஆனது AB-ன் மையப்புள்ளி.
\(\therefore\) மையப்புள்ளி (r, c) =\(\left( \frac { x+0 }{ 2 } ,\frac { 0+y }{ 2 } \right) \)
\(r=\frac { x }{ 2 } ,c=\frac { y }{ 2 } \)
x = 2r , y = 2c
\(\therefore\) AB என்ற புள்ளிகள் \(\begin{pmatrix} { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } \\ 0 & { 2c } \end{pmatrix}\)மற்றும் \(\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } \\ 2r, & 0 \end{matrix} \right) \)
AB-ன் சமன்பாடு \(\frac { y-0 }{ 2c-0 } =\frac { x-2r }{ 0-2r } \)
\(\Rightarrow \frac { y }{ 2c } =\frac { x-2r }{ -2r } \Rightarrow \frac { y }{ c } =\frac { x-2r }{ -r } \)
\(\Rightarrow\) -ry = cx - 2rc \(\Rightarrow\) cr + xy = -2rc
\(\Rightarrow\) cx + ry = 2rc 
rc ஆல் வகுக்க, \(\frac { cx }{ rc } +\frac { ry }{ rc } =\frac { 2rc }{ rc } \) \(\Rightarrow \frac { x }{ r } +\frac { y }{ c } =2\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

மிகை முழு எண்களில் தொடர்பு R ஆனது “n -ன் வகுத்தி m ஆக இருந்தால் mRn” தற்சுட்டு;
m ஆனது m ஆல் வகுபடும்பொழுது m என்பது அனைத்து மிகை முழுக்கள் ஆகும்.
\(\therefore \)R என்பது தற்சுட்டுத் தொடர்பு ஆகும். 
சமச்சீர் தொடர்பு :
\(mRn\Rightarrow nRm\)
m ஆனது n-ன் வகுத்தியின்\(\Rightarrow 4-\) ன் வகுத்தியின் 2\(\neq \)2-ன் வகுத்தியின்4 
\(\therefore \)R என்பது சமச்சீர் அல்ல 
கடப்புத் தொடர்பு:
\(mRn,nRp \Rightarrow mRp \)
m ஆனது n-ன் வகுத்தியின் n-ஆனது p-ன் வகுத்தியின் \(\Rightarrow \)m ஆனது P-ன் வகுத்தியின் \(\therefore \)R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு எனப்படும் 
\(\therefore \)R ஒரு தற்சுட்டு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்புத் தொடர்பு ஆகும்.

\(I=\int{\frac{3x+5}{x^{2}+4x+7}}dx\) என்க. 
3x+5=A\(\frac{d}{dx}(x^{2}+4x+7)+B\)
3x+5=A(2x+4)+B
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த, 
\(2A=3 \Rightarrow A =\frac{3}{2};4A+B=5 \Rightarrow B=-1\)
\(I=\int{\frac{\frac{3}{2}(2x+4)-1}{x^{2}+4x+7}}dx\)
\(I=\frac{3}{2}\int{\frac{2x+4}{x^{2}+4x+7}}dx-\int{\frac{1}{x^{2}+4x+7}}dx\)
=\(\frac{3}{2}\log|x^{2}+4x+7|+c-\int{\frac{1}{(x+2)^{2}+(\sqrt{3}^{2})}}dx\)
=\(\frac{3}{2}\log|x^{2}+4x+7|-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{3}})+c\)

\(f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } ,\quad x\neq 1 \\ 2\quad ,\quad x=1 \end{cases}\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ } \)x+1 = 1 + 1 =2
\(\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } \)
f(1) = 2
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x₀ = 1 - ல் தொடர்ச்சியானது.

\(\vec { a } ={ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } \)
=\(\vec { a } \times \hat { i } =({ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } )\times \hat { i } \)
=\({ a }_{ 2 }(\hat { j } \times \hat { i } )+{ a }_{ 3 }(\hat { k } \times \hat { i } )\)
=\({ a }_{ 2 }(-\hat { k } )+{ a }_{ 3 }\hat { j } ={ a }_{ 3 }\hat { j } -{ a }_{ 2 }\hat { k } \)
\(|\vec { a } \times \hat { i } |=\sqrt { { a }_{ 3 }^{ 2 }+(-{ a }_{ 2 })^{ 2 } } =\sqrt { { a }_{ 3 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 } } \)
∴ \(|\vec { a } \times \hat { i } |^{ 2 }={ a }_{ 3 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }\)     ....(1)
\(\vec { a } \times \hat { j } =({ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } )\times \hat { j } \)
=\({ a }_{ 1 }(\hat { i } \times \hat { j } )+{ a }_{ 2 }(\hat { j } \times \hat { j } )+{ a }_{ 3 }(\hat { k } \times \hat { j } )\)
=\({ a }_{ 1 }\hat { k } +{ a }_{ 2 }(0)+{ a }_{ 3 }(-\hat { i } )\)
=\({ a }_{ 1 }\hat { k } -{ a }_{ 3 }(\hat { i } )\)
\(|\vec { a } \times \hat { j } |=\sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 } } \)
∴ \(|\vec { a } \times \hat { j } |^{ 2 }={ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 }\)     ....(2)
\(\vec { a } \times \hat { k } =({ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } )\times \hat { k } \)
=\({ a }_{ 1 }(\hat { i } \times \hat { k } )+{ a }_{ 2 }(\hat { j } \times \hat { k } )+{ a }_{ 3 }(\hat { k } \times \hat { k } )\)
=\(-{ a }_{ 1 }\hat { j } +{ a }_{ 2 }\hat { i } +{ a }_{ 3 }(0)\)
\(|\vec { a } \times \hat { k } |=\sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 } } \)
∴ \(|\vec { a } \times \hat { k } |^{ 2 }={ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }\)    .....(3)
(1),(2),(3) ஐக் கூட்ட
\(|\vec { a } \times \hat { i } |^{ 2 }+|\vec { a } \times \hat { j } |^{ 2 }+|\vec { a } \times \hat { k } |^{ 2 }\)
=\({ a }_{ 3 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }\)
=\(2({ a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 })\)
=2\((\sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }^{ 2 } } )^{ 2 }=2|\vec { a } |\)=RHS.
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

நாற்கரம் ABCD-யின் முனைப்புள்ளிகள் -யின் நிலைவெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ,\vec { d } \) என்க. E, F என்பன AC, BD-யின் நடுப்புள்ளிகள்.

\(\vec { OE } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } ,\vec { OF } =\frac { \vec { b } +\vec { d } }{ 2 } \)
நிருபிக்க வேண்டியது:
LHS=\(\vec { AB } +\vec { AD } +\vec { CB } +\vec { CD } \)
=\(\vec { OB } -\vec { OA } +\vec { OD } -\vec { OA } +\vec { OB } -\vec { OC } +\vec { OD } -\vec { OC } \)
=\(\vec { b } -\vec { a } +\vec { d } -\vec { a } +\vec { b } -\vec { c } +\vec { d } -\vec { c } \)
=\(-2\vec { a } +2\vec { b } -2\vec { c } +2\vec { d } \)
=2\((\vec { b } +\vec { d } )-2(\vec { a } +\vec { c } )\)
=2\([(2\vec { OF } )-(2\vec { OE } )]\)
=2 x 2.\((\vec { OF } -\vec { OE } ]=4\vec { EF } \)=RHS
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

ABCD ஓர் இணைகரம் \(\vec { AB } =\vec { a } ,\vec { AC } =\vec { b } \)
ΔABC-ல் \(\vec { AC } =\vec { AB } +\vec { BC } \)
⇒ \(\vec { b } =\vec { a } +\vec { BC } \)
⇒ \(\vec { BC } =\vec { b } -\vec { a } \)
ABCD ஓர் இணைகரம் என்பதால்,
\(\vec { CD } ||-\vec { AB } \)
∴ \(\vec { CD } =\vec { AB } =-\vec { a } \)
\(\vec { DA } =-(\vec { BC } )=-(\vec { b } -\vec { a } )\)
⇒ \(\vec { DA } =\vec { a } -\vec { b } \)
ΔBCD-யில் \(\vec { BD } =\vec { BC } +\vec { CD } \)
=\(\vec { b } -\vec { a } +(-\vec { a } )=\vec { b } -2\vec { a } \)
∴ இணைகரத்தின் மற்ற மூன்று பக்கங்கள்
\(\vec { b } -\vec { a } ,-\vec { a } ,\vec { a } -\vec { b } \) மற்றும் மூலைவிட்டம் \(\vec { b } -2\vec { a } \).

\(LHS=\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| ^{ 2 }\quad =\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| \times (-1)\left| \begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} \right| \) [இரண்டாவது அணிக்கோவையில் \({ R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 }\) ]
\(=\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} -a & -b & -c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} \right| \)
நிரை -நிரல் பெருக்கல் முறைப்படி 
\(=\left| \begin{matrix} { -a^{ 2 }+bc }+cb & -ab+ab+{ c }^{ 2 } & -ac+{ b }^{ 2 }+ac \\ -ab+{ c }^{ 2 }+ab & -{ b }^{ 2 }+ac+ac & -bc+bc+{ a }^{ 2 } \\ -ac+ac+{ b }^{ 2 } & -bc+{ a }^{ 2 }+bc & { -c }^{ 2 }+ab+ab \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} 2bc-a^{ 2 } & { c }^{ 2 } & { b }^{ 2 } \\ { c }^{ 2 } & { 2ca-b }^{ 2 } & a^{ 2 } \\ { b }^{ 2 } & a^{ 2 } & { 2ab-c }^{ 2 } \end{matrix} \right| =RHS\)

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 1 & { x }^{ 2 } & { x }^{ 3 } \\ 1 & { y }^{ 2 } & { y }^{ 3 } \\ 1 & { z }^{ 2 } & { z }^{ 3 } \end{matrix} \right| \) என்க.
x=y  எனப்பிரதியிட, \(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 1 & { y }^{ 2 } & { y }^{ 3 } \\ 1 & { y }^{ 2 } & { y }^{ 3 } \\ 1 & { z }^{ 2 } & { z }^{ 3 } \end{matrix} \right| =0\quad ({ R }_{ 1 }={ R }_{ 2 })\)
எனவே, (x-y) என்பது \(\left| A \right| \)-ன் ஒரு காரணியாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட அணிக்கோவை x,y,z  என்பவற்றில் வட்ட சமச்சீரானது. ஆகவே, (y-z ) மற்றும் (z-x )ஆகியவையும்  \(\left| A \right| \)-ன் காரணிகளாகும்.
இப்போது    (x-y)(y-z )(z-x) என்பது  \(\left| A \right| \)-ன்  காரணியாகும். இதன் படி 3 ஆகும்.
முதன்மை மூளைவிட்ட உறுப்புகளின் பெருக்கல் \(1\times { y }^{ 2 }\times { z }^{ 3 }.\) இதன் படி 5 ஆகும்.
எனவே மீதமுள்ள மற்றொரு காரணி \(k({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 })+l(xy+yz+zx)\) ஆகும் 
\(\left| \begin{matrix} 1 & { x }^{ 2 } & { x }^{ 3 } \\ 1 & { y }^{ 2 } & { y }^{ 3 } \\ 1 & { z }^{ 2 } & { z }^{ 3 } \end{matrix} \right| =[k({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 })+l(xy+yz+zx)]\times (x-y)(y-z)(z-x)\)
\(x=0,y=0\) மற்றும் \(z =2\) எனப்பிரதியிட,
\(\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 8 \end{matrix} \right| =[k(0+1+4)+l(0+2+0)](-1)(1-2)(2-0)\)
\( \Rightarrow (8-4)=[(5k+2l0](-1)(-1)(2)\)
\(4=10k+4l\Rightarrow 5k+2l=2 ...(1)\)
மேலும் \(x=0,y=-1\)மற்றும் \(z=1\) எனப்பிரதியிட​​​​​​​,​​​​​​​
\(\\ \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =[k(2)+l-1)](1)(-2)(1)\)
\(\Rightarrow [(2k-l)(-2)]=2\)
2k-l=-1...  (2)
(1),(2)-ஐ தீர்க்க, \(k =0,l =1\) எனப்பெறுகிறோம்.
எனவே, \(\left| \begin{matrix} 1 & { x }^{ 2 } & { x }^{ 3 } \\ 1 & { y }^{ 2 } & { y }^{ 3 } \\ 1 & { z }^{ 2 } & { z }^{ 3 } \end{matrix} \right| =(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)\)

P(n) : \((r(cos\theta+isin\theta))^{n}=r^{n}(cosn \theta+isinn\theta)\)என்க.
n = 1 எனப் பிரதியிட
P(1)=\((r(cos\theta+isin\theta))^{1}=r(cos\theta+isinn\theta)\)
எனவே P(1) என்பது உண்மை.இந்த கூற்று n=k-க்கு P(k) என்பது உண்மை எனக் கொள்க. எனவே
\((r(cos\theta+isin\theta))^{k}=r^{k}(cosk\theta+isinnk\theta)\)
இப்பொழுது P(k+1) என்பது உண்மை என நிறுவவேண்டும்.
P(k+1)=\((r(cos\theta+isin\theta))^{k+1}\)
=\((r(cos\theta+isin\theta))^{k}=r(cos\theta+isinn\theta)\)
=\(r^{k}(cosk\theta+isink\theta)\times r(cos\theta+isin\theta)\)
=\(r^{k+1}\times((cosk\theta cos\theta+i^{2}sink\theta sin\theta)\times i(sin\theta cos\theta+cos\theta sin\theta))\)
=\(r^{k+1}\times((cosk\theta cos\theta-sink\theta sin\theta)+ i(sin\theta cos\theta+cos\theta sin\theta))\)
=\(r^{k+1}\times(cos({k+1})\theta+isin(k+1)\theta)\)
ஆகவே, P(k+1)என்பது உண்மை. P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம். எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி எந்த ஒரு இயல் எண் n-க்கும்,
\((r(cos\theta+isin\theta))^{n}=r^{n}(cos\theta+isinn\theta)\).

P=Rs.500, R-வட்டி வீதம் =10%
ஓராண்டு முடிவில் தொகை =\(\left( p+\frac { PR }{ 100 } \right) =P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) \)
இரண்டாம் ஆண்டு முடிவில் தொகை =\(P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) \left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) \left( \frac { R }{ 100 } \right) \)
=\(P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) \left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) =P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) ^{ 2 }\)
முதல் உறுப்பு மற்றும் பெருக்கு விகிதம் ஒரு G.P.-யை அமைக்கிறது.
10-ஆவது ஆண்டு முடிவில் G.P. யின் தொகை = 11^th உறுப்பு 
=\(P\left( 1+\frac { R }{ 100 } \right) ^{ 10 }\)
=500\(\left( 1+\frac { 10 }{ 100 } \right) ^{ 10 }\)=500\(\left( \frac { 11 }{ 10 } \right) ^{ 10 }\)
10-ம் ஆண்டு முடிவில் தொகை = 500(1.1)¹⁰=1296.87

y=m₁s,y=m₂x என்பன ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்லும் கோடுகளின் சமன்பாடுகள் என்க 

\(m=tan \theta \Rightarrow {-1\over-1}=1\)
\(\theta=45^o\)
\(\therefore y=x\) என்ற கோடு X அச்சுடன் 45^o கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது. 
y= m₁x,y=xஎன்ற கோட்டுடன் \(\alpha\) கோணத்தை உண்டாக்குகிறது.
y= m₁x-ன் சாய்வு(\(\alpha\)+45)^o
y= m₂x-ன் சாய்வு(45-\(\alpha\)')
\(\therefore m_1=\tan(\alpha'+45)\)
m₂=tan(45-\(\alpha\))
\(\Rightarrow m_{ 1 }=\frac { tan\alpha +tan45 }{ 1-tan\alpha -tan45 } \) மற்றும் \( m_{ 2 }=\frac { tan45 -tan\alpha }{ 1+tan\ 45 -tan\alpha } \)
\(\Rightarrow m_{ 1 }=\frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } \),மற்றும் \( m_{ 2 }=\frac {1 -tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)....(1)
\(\Rightarrow m_{ 1 }=\frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } m_{ 2 }=\frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)
\(\Rightarrow m_{ 1 }+m_{ 2 }=\frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } +\frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)
\(\Rightarrow m_{ 1 }+m_{ 2 }=\frac { (tan\alpha +1)^{ 2 }+(tan\alpha -1)^{ 2 } }{ 1-tan^{ 2 }\alpha } \)

\(=\frac { 2+2tan^{ 2 }\alpha }{ 1-tan^{ 2 }\alpha } \left[ cos2\alpha =\frac { 1-tan^{ 2 }\alpha }{ 1+tan^{ 2 }\alpha } \right] \)
\(m_{ 1 }+m_{ 2 }=2sec2\alpha \)
\(m_{ 1 }+m_{ 2 }=\left( \frac { tan\alpha +1 }{ 1-tan\alpha } \right) \left( \frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \right) =1\)
y= m₁x,y=m₂x-ன் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள் 
\(\Rightarrow\)m₁ m₂x² -(m₁ + m₂)xy+ y² = 0
\(\Rightarrow\)1 (x²) - (2 sec²\(\alpha\)) xy +y² = 0
\(\Rightarrow\)x² - 2xy sec2\(\alpha\)+y² = 0
\(\Rightarrow\)y² - 2xy sec2\(\alpha\)+x² = 0

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

i) x ஐ சமையல் வாயுவின் எடை எனவும் y ஐ நாட்களின் எண்ணிக்கை எனவும் கொள்க.

x1 (0) கி.கி.	y1(0)
x1(14.2)கி.கி	y2(24)

(0, 0)
(14.2, 24)
இரு புள்ளி வடிவம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, சமையல் எரிவாயுவின் அளவிற்றும் பயன்படுத்தப்பட்ட நாட்களுக்கும் உள்ள தொடர்புடைய சமன்பாட்டை அடையலாம்.
\(\therefore\) சமன்பாடு \(\frac { x }{ 24 } +\frac { y }{ 14.2 } =1\Rightarrow \frac { y }{ 14.2 } =1-\frac { x }{ 24 } \)
\(y=\frac { -14.2x }{ 24 } +14.2\)
\(\Rightarrow y=\frac { 71x }{ 120 } +14.2,0\le x\le 24\)
ii) முதல் 96 நாட்களுக்கான வரைபடம்

x	0	96	14.2
y	0	162.25	24

x=f(x) என்பது காலத்தைப் பொருத்தது 24 f(x) = f(x+24)

5ⁿ⁺¹+4x 6ⁿ -ஐ 20 ஆல் வகுக்க. மீதி 9
படி (1)
\(\Rightarrow \)n=1 என்க
5²+4x 6=15+24=49=2x20+9
படி (2)
\(\Rightarrow \)P(k) என்பது உண்மை
5^k+1+4x 6^k =m(20+9)
\(\Rightarrow \)P(k+1) உண்மை என நிரூபிப்போம்.
5^k+1=20m +9-4(6^k)+24.6^k -----(1)
\(\Rightarrow \)P(k+1) என்பது உண்மை என நிரூபிப்போம்.
5^k+2+4x 6^k+1
=5^k+1.5¹+4.6^k .6¹=5^k+1.5+246^k 
=20 m+9-(6^k )+24.6^k  [(1) ஐ பயன்படுத்த]
=20 m +9+20.6^k =20(m+6^k )+9 =20(m+6^k ).
\(\therefore \)P(k+1) என்பது உண்மை. எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் எல்லா மதிப்புகளும் P(n) உண்மை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(=\frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ x({ x }^{ 2 }+1) } =\frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\Rightarrow (x-1)^{ 2 }=A({ x }^{ 2 }+1)+\left( Bx+C \right) x.....(1)\)
x = 0 என (1) -ல் பிரதியிட 
1 = A 
x = 1 என (1) -ல் பிரதியிட
0 = A(2) +(B + C)1
\(\Rightarrow \) 0 = 2A +B +C........(2)
x² -ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 
1 = A +B  \(\Rightarrow \) 1 = 1+ B \(\Rightarrow \) B = 0
A =1, B = 0 என (2) -ல் பிரதியிட
0 = 2 + 0 + C  \(\Rightarrow \) C = -2
\(\therefore =\frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+x } =\frac { 1 }{ x } +\frac { 0x-2 }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\Rightarrow \frac { (x-1)^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+x } =\frac { 1 }{ x } -\frac { 2 }{ { x }^{ 2 }+1 } \)

1. y = -x

y = -x-ன் வரைபடம் 
y = x வரைபடத்தின் x அச்சை ஒத்த பிரதிபலிப்பு ஆகும்.
2. y = 2x

y = 2x என்பது y அச்சை நோக்கி அழுத்தப்படுவதால் வரையப்படுகிறது. ஏனென்றால் இங்கு பெருக்கும் காரணி 2
\(\because 2>1\)
3. y = x +1

y = x +1 வரைபடம் ஓர் அலகு மேல்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.
4.\(y={1\over2}x+1\)

வரைபடம் x அச்சை நோக்கி பெறப்படுகிறது ஏனென்றால் பெருக்கப் படும் காரணி \({1\over 2}<1\)மேலும் ஓரலகு மேல் நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது 
5.2x + y + 3 = 0
\(\Rightarrow y=-2x-3\)

வரைபடம் -2<1
\(\therefore x\) அச்சை நோக்கி 3 அலகுகள் கீழ்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.

1. y=-x³

x	0	1	-1	2	-2
y	0	-1	1	-8	8

y=f(x)=x³
y=-f(x)=-x³ இது y=f(x)-ன் x ஐப் பொறுத்து நேர்மாறு வரைபடம் ஆகும்  
2. y=x³+1

x	0	1	-1	2	-2
y	1	2	0	9	-7

f(x)=x³
y=f(x)+1
இது f(x)-ன் வரைபடத்தில் ஓரலகு மேல்நோக்கி நகர்வால் கிடைப்பது ஆகும்.
3. y=x³-1

x	0	1	-1	2	-2
y	-1	0	-2	7	-9

f(x)=x³
y=f(x)-1
இது வரைபடம்  f(x)-ன் வரைபடத்தில் ஓரலகு கீழ்நோக்கி நகர்வால் கிடைப்பது ஆகும்.
4. y=(x+1)³

x	0	1	-1	2	-2
y	1	8	0	27	-1

f(x)=x³
y=(x+1)³ இதன் வரைபடம் f (x) வரைபடத்தை ஓரலகு இடப்பக்க நகர்வால் கிடைக்கப் பெறுவது ஆகும்.

LHS = \(\cos { A } +\cos { B } -\cos { C } \)
= \(2cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) -\left( 1-2{ sin }^{ 2 }\cfrac { C }{ 2 } \right) \)
\(A+B+C={ 180 }^{ 0 }\Rightarrow A+B=180-C\Rightarrow \cfrac { A+B }{ 2 } =90-\cfrac { C }{ 2 } \)
\(\therefore cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) =cos\left( 90-\cfrac { C }{ 2 } \right) =sin\cfrac { C }{ 2 } \)
LHS = \(2sin\cfrac { C }{ 2 } cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) -1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \)
= \(2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +sin\cfrac { C }{ 2 } \right] -1\)
= \(-1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right] \)
= \(-1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ 2cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B }{ 2 } \right] \)
= \(-1+4cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B }{ 2 } .sin\cfrac { C }{ 2 } \)  \(\left( \because cosC=1-2{ \sin }^{ 2 }\cfrac { C }{ 2 } =90-\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right) \)
= RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. 

\(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } ={ ({ x }^{ 3 }+7) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=\left[ { x }^{ 3 }\left( 1+\frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } \right) \right] ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)  (x பெரிய எண் என்பதால் \(\left| {7\over x^3} \right|<1\))
\(=x\left( 1+\frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ \)
\(=x\left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \left( \frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ 2 }+.... \right) \)
\(=x\left( 1+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } -\frac { 49 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +.... \right) \)
\(=x+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } -\frac { 49 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +......\)
\(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+4 } ={ ({ x }^{ 3 }+4) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=\left[ { x }^{ 3 }\left( 1+\frac { 4 }{ { x }^{ 3 } } \right) \right] ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)  (x பெரிய எண் என்பதால் \(\left| {{4}\over{x^ 2}} \right|<1\))
\(=x\left( 1+\frac { 4}{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ \)
\(=x\left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 4 }{ { x }^{ 3 } } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \left( \frac { 4 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ 2 }+.... \right) \)
\(=x\left( 1+\frac { 4}{ 3 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } -\frac { 16 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +.... \right) \)
\(=x+\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } -\frac { 16 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +......\)
x ஒரு பெரிய எண் என்பதால் \(\frac {1}{x}\) மிகச் சிறிய எண்ணாக இருக்கும். எனவே\(\frac {1}{x}\) -ன் உயர் அடுக்குகள் நீக்கப்படலாம்.
எனவே \(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } =x+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } }\) மற்றும் \( \sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+4 } =x+\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } .\)
அதனால்\(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } -\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+4 } =\left( x+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } \right) -\left( x+\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } \right) =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \) 
 

a³ = cosecθ - sinθ
= \(\frac { 1 }{ \sin { \theta } } -\sin { \theta } =\frac { 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } =\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \)
= \({ \left( \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
b³ = secθ - cosθ = \(\frac { 1 }{ \cos { \theta } } -\cos { \theta } =\frac { 1-\cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } =\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } \)
b = \({ \left( \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
LHS = a²b²(a² + b²)
= \({ \left( \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }.{ \left( \frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ { \left[ \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \right] }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+{ \left[ \frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } \right] }^{ \frac { 2 }{ 3 } } \right] \)
= \(\frac { \cos ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } }{ \sin ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } \frac { \sin ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } }{ \cos ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } \left[ \frac { \cos ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } }{ \sin ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } +\frac { \sin ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } }{ \cos ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } \right] \)
= \(\cos ^{ \frac { 4 }{ 3 } .\frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } .\sin ^{ \frac { 4 }{ 3 } .\frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } \left[ \frac { \cos ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } .\cos ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } +\sin ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } .\sin ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ } }{ \sin ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } .\cos ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } \right] \)

= cos²θ + sin²θ = 1 = RHS.
LHS = RHS ⇒ a²b² (a² + b²) = 1. 

P(n)=\(1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+n^{2}=\frac{n(+1)(2n+1)}{6}\) என்க.
n = 1 என பிரதியிட
\(P(1)=\frac{1(1+1)2(1)+1}{6}=1\)
எனவே, n = 1-க்கு இது உண்மை. அதாவது P(1) என்பது உண்மை
n = k-க்கு, இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம்.
எனவே,
\(P(k)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
இப்பொழுது P(k+1) உண்மை என நிறுவவேண்டும்.
\(P(k+1)=\underbrace { 1+3+5+7+...+k^{2}}+(k+1)^{2}\)
=P(k)+P(k+1)²
=\(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\)
=\(\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6}\)
=\(\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}\)
=\(\frac{(k+1)(2k^{2}+7k+6)}{6}\)
=\(\frac{(k+1)[(k+2)(2k+3)]}{6}\)
=\(\frac{(k+1)[{((k+1)+1})(2(k+1)+1)]}{6}\)
எனவே P(k+1) என்பது உண்மை
P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.
எனவே, கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம் எல்லா முழு எண்கள்   \(n≥1\)-க்கு \(1^{2}+2^{2}+3^{3}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\).

\(\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } } +\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } } \) = 1
⇒ \(\frac { \cos ^{ 4 }{ \alpha } .\sin ^{ 2 }{ \beta } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } .\sin ^{ 2 }{ \beta } } +\frac { \cos ^{ 2 }{ \beta } .\sin ^{ 4 }{ \alpha } }{ \cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 2 }{ \beta } } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 4 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) +\cos ^{ 2 }{ \beta } { \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \alpha } \right) }^{ 2 }=\cos ^{ 2 }{ \beta } \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } -\cos ^{ 4 }{ \alpha } .\cos ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } +\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 4 }{ \alpha } -2\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 2 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } -\cos ^{ 4 }{ \beta } \)
⇒ \(\cos ^{ 4 }{ \alpha } -2\cos ^{ 2 }{ \beta } \cos ^{ 2 }{ \alpha } +\cos ^{ 4 }{ \beta } \) = 0
⇒ \({ \left( \cos ^{ 2 }{ \alpha } -\cos ^{ 2 }{ \beta } \right) }^{ 2 }\) = 0
⇒ \(\cos ^{ 2 }{ \alpha } =\cos ^{ 2 }{ \beta } \)  .......(1)
⇒ \(1-\sin ^{ 2 }{ \alpha } =1-\sin ^{ 2 }{ \beta } \)
⇒ \(\sin ^{ 2 }{ \alpha } =\sin ^{ 2 }{ \beta } \)   .....(2)
\(\sin ^{ 4 }{ \alpha } +\sin ^{ 4 }{ \beta } =2\sin ^{ 2 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
LHS = \(\sin ^{ 4 }{ \alpha } +\sin ^{ 4 }{ \beta } \)
= \(\left( \sin ^{ 2 }{ \alpha } -\sin ^{ 2 }{ \beta } \right) +2\sin ^{ 2 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } \)
∵ \(\sin ^{ 2 }{ \alpha } =\sin ^{ 2 }{ \beta } \)   (மேற்கண்ட சமன்பாடு (2) - இல் இருந்து)
LHS = \(2\sin ^{ 2 }{ \alpha } \sin ^{ 2 }{ \beta } \) = RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

கொடுக்கப்பட்டது x = a cos³ \(\theta\) , y = a sin³ \(\theta\)
\(\frac { x }{ a } ={ cos }^{ 3 }\theta ,\frac { y }{ a } ={ sin }^{ 3 }\theta \)
இருபுறம் வர்க்கப்படுத்தி கனமூலம் காண
\({ \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ \left( { cos }^{ 3 }\theta \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } },{ \left( \frac { y }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }=({ sin }^{ 3 }\theta )^{ \frac { 2 }{ 3 } }\)
\(\Rightarrow { \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ cos }^{ 2 }\theta ,\)மற்றும் \({ \left( \frac { y }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ sin }^{ 2 }\theta \)
அவற்றைக் கூட்ட  (\(\because\) cos² \(\theta\) + sin² \(\theta\) =1)
\(\Rightarrow { \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+\left( \frac { y }{ a } \right) ^{ \frac { 2 }{ 3 } }=1\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } +\frac { { y }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } =1\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+{ y }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } =1\)
\({ x }^{ 2/3 }+{ y }^{ 2/3 }=a^{ 2/3 }\)  இதுவே நகரும் புள்ளியின் நியமப்பாதையாகும்.

x²- ax +b = 0 ...(1) கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகள் 
 x² - ex +  f= 0 ...(2)
\(\alpha \) என்பது பொதுவான மூலம் என்க.
\(\alpha ,\beta \) என்பன (1) ன் மூலங்கள் என்க.
\(\therefore \alpha +\beta =\frac { -b }{ \alpha } =\frac { -(-a) }{ 1 } =a\)
\(\alpha \beta =\frac { c }{ \alpha } =\frac { b }{ 1 } =b;1=\frac { c }{ a } \)
\(\alpha ,\alpha \) என்பன (2) ன் மூலங்கள் எனில் 
x² - ex +f  = 0
\(\alpha +\alpha =e\Rightarrow 2\alpha =e\)
\({ \alpha }^{ 2 }=f\)
நிரூபிக்க வேண்டியது ae = 2(b+ f)
\(\therefore L.H.S=ae\)
\(=(\alpha +\beta )(2\alpha )\)
\(ae={ 2\alpha }^{ 2 }+2\alpha \beta \)
= 2f + 2b 
=2 (b + f) ....R.H.S
\(\therefore \) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.