\(\int { \left( { x }^{ 5 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 8 } }dx } =\int { x^{ \frac { 5 }{ 8 } } } dx=\frac { { x }^{ \frac { 5 }{ 8 } +1 } }{ \frac { 5 }{ 8 } +1 } +C\)
\(=\frac { { x }^{ \frac { 13 }{ 8 } } }{ \frac { 13 }{ 8 } } +c=\frac { 8 }{ 13 } { x }^{ \frac { 13 }{ 8 } }+C\)

இருபக்கமும் மடக்கையை எடுக்க,
\(\log { y } =\frac { 1 }{ 2 } \log { ({ x }^{ 2 }+4) } +2\log { (\sin { x } ) } +x\log { (2) } \) எனக் கிடைக்கிறது.
இதிலிருந்து  \(\frac { { y }^{ ' } }{ y } =\frac { 1 }{ 2 } \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+4 } +2.\frac { \cos { x } }{ \sin { x } } +\log { 2 } \)
\(=\frac { x }{ { x }^{ 2 }+4 } +2\cot { x } +\log { 2 } \)
எனவே, \({ y }^{ ' }=\frac { dy }{ dx } =y\left( \frac { x }{ { x }^{ 2 }+4 } +2\cot { x } +\log { 2 } \right) .\)

f(x) = 2x² + 3x - 5
ஒரு இயற்கணித சார்பு, பல்லுறுப்புச் சார்பு
இச்சார்பு R-மெய்யெண்கள் தொகுப்பில் தொடர்ச்சியானது என்பதால் f(x)-ம் R தொடர்ச்சியானது.

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1-x } -1 }{ { x }^{ 2 } } } \)
தொகுதி, பகுதியை \(\sqrt { 1-x } +1\) ஆல் பெருக்க,
\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1-x } -1 }{ { x }^{ 2 } } } \) \(\times \\ \times \)\(\frac { \sqrt { 1-x } +1 }{ \sqrt { 1-x } +1 } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { -1 }{ (\sqrt { 1-x } +1) } =\frac { -1 }{ 0(\sqrt { 1-0 } +1) } =\frac { -1 }{ 0 } =\infty } \)

A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] \) என்க 
|A| = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right| \)
= 1 (45- 48) - 2 (36- 42) + 3 (32 - 35)
= 3 -2 (-6) + 3 (-3)
= -3 + 12 - 9 = -12 + 12 = 0
\(\therefore \) A ஒரு பூஜ்ஜியக் கோவை அணியாகும்.

5 ஆண்களிலிருந்து  3 ஆண்களை  ⁵C₃ வழிகளிலும் 
4 பெண்களிலிருந்து 2 பெண்களை ⁴C₂ வழிகளிலும் 
2 திருநங்கைகளிலிருந்து  1 திருநங்கையை  ²C₁ வழிகளிலும்  தேர்வு செய்யலாம் 
\(\therefore \)  மொத்த தேர்வுகளின் எண்ணிக்கை  = ⁵C₃ x ⁴C₂ x  ²C₁            
= \(\frac { 5! }{ 2!3! } \times \frac { 4! }{ 2!2! } \times 2=\frac { 5\times 4\times 3! }{ 2\times 3! } \times 2=\frac { 4\times 3\times 2! }{ 2!2! } \) = 10 x  6 x  2 = 120

இரண்டு கோடுகளின் சமன்பாடுகள் பொது வடிவில் கீழ்கண்டவாறு அமையும் எனில்
a₁x+b₁y+c₁=0 (அ) a₂x+b₂y+c₂=0
\(\frac { { { a }_{ 1 } } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { { { b }_{ 1 } } }{ b_{ 2 } } \)(அ) a₁b₁=a₂b₂
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் 3x+2y+9=0(அ) 12x+8y-15=0
\(\frac { 3 }{ 12 } =\frac { 2 }{ 8 } \)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
\(\therefore \) இரண்டு நேர்க்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாகும்.

L.H.S=C - (B-A)
B-A={4,5,6,7}-{1,2,3}={4,5,6,7}
C - (B-A)={3,4,5,9}-{4,5,6,7}={3,9}.........(1)
R.H.S=(C∩A)U(C∩B')
C∩A={3,4,5,9}∩{1,2,3}={3}
C∩B'={3,4,5,9}∩{1,2,3,8,9} ={3,9}
R.H.S=(C∩A)U(C∩B')
={3,9}.......(2)
(1)=(2)
∴L.H.S=R.H.S.நிரூபிக்கப்பட்டது.

B = { x ∈ N : x என்பது ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண்}என்க,
\(\Rightarrow\) B = {3,5,7,11...............} ஒரு முடிவில்லாக் கணம்.

\(u={ x }^{ x },\ v=x\log { x } \)
\(\log { u } =x\ \log { x } \)
\(\frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } =x.\frac { 1 }{ x } +1.\log { x } =1+\log { x } \)
\(\frac { du }{ dx } =u(1+\log { x } )={ x }^{ x }(1+\log { x } )\)
\(\frac { dv }{ dx } =1+\log { x } \)
\(\frac { d({ x }^{ x }) }{ d(x\log { x } ) } =\frac { du }{ dv } =\frac { \frac { du }{ dx } }{ \frac { dv }{ dx } } ={ x }^{ x }\)

\(y=\frac { \sin { x } }{ { x }^{ 2 } } \)
வகுத்தல் விதிப்படி,
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 }.\frac { d }{ dx } (sinx)-sinx.\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }) }{ { x }^{ 4 } } \)
\(=\frac { { x }^{ 2 }cosx-sinx(2x) }{ { x }^{ 4 } } =\frac { x[xcosx-2sinx] }{ { x }^{ 4 } } \)
\(=\frac { { x }cosx-2sinx }{ { x }^{ 3 } } \)

i) 3x + 4y -12 = 0 கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோட்டின் சமன்பாடு
செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 4x - 3y + k = 0
நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு = 4x - 3y + k = 0, K\(\in \)R  
ii) 3x + 4y - 12 = 0ற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 4y +k₁ = 0 ஆகும். இது நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாட்டினைக் குறிப்பதால் நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு.
=3x + 4y + k₁ = 0, k₁ \(\in \) R 

2x+3y =10 ற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 2x+3y+k=0 ஆகும்.
\(\Rightarrow \)2x+3y=-k
-k ஆல் வகுக்க
\(\frac { 2x }{ -k } +\frac { 3y }{ -k } \)=1
\(\Rightarrow \frac { x }{ \left( \frac { -k }{ 2 } \right) } +\frac { y }{ \left( \frac { -k }{ 3 } \right) } =\pm \left( \frac { 5+k }{ 5 } \right) \)
வெட்டுத்துண்டுகள் \(\frac { -k }{ 2 } ,\frac { -k }{ 3 } \)
மேலும் வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 15 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்
\(\left( \frac { -k }{ 2 } \right) +\left( \frac { -k }{ 3 } \right) \)=15
\(\Rightarrow\)\(\frac { -3k-2k }{ 6 } \)=15
\(\Rightarrow\)-\(\frac {5k}{6}\)=15
\(\Rightarrow\)5k=15×6 \(\Rightarrow\)k=\(\frac {-15\times 6}{5}\)=-18
\(\Rightarrow\)k=-18
\(\therefore \)தேவையான கோடுகளின் சமன்பாடுகள் 2x+3y-18=0

log ₄2^8x = 2^log₂8
\(8x{ \log }_{ 4 }^{ 2 }={ 2 }^{ { \log }^{ { 2 }^{ 3 } } }\)
\(\Rightarrow 8x{ \log }_{ 4 }^{ 2 }={ 2 }^{ { 3\log }^{ { 2 }^{ 3 } } }\)
\(\Rightarrow 8x{ \log }_{ 4 }^{ 2 }=2^{ 3(1) }[\because { \log }_{ 2 }^{ 2 }=1]\)
\(\Rightarrow \frac { 8x }{ { \log }_{ 2 }^{ 4 } } =8\)
\(\Rightarrow x={ \log }_{ 2 }^{ 4 }\)
\(\Rightarrow x={ \log }_{ 2 }^{ { 2 }^{ 2 } }\)
\(\Rightarrow x=2{ \log }_{ 2 }^{ { 2 }^{ 2 } }\)
\(\Rightarrow x=1\)

ஒரு கூற்று உண்மையில்லை என்பதனை ஒரு எடுத்துக்காட்டு மூலம் நிரூபிக்கலாம். கீழ்க்காணும் படத்தை கவனிக்கவும்.
படத்திலிருந்து, தெளிவாக f மற்றும் g o f ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்றாகும். ஆனால் g ஒன்றுக்கொன்று அல்ல. எனவே கூற்று உண்மையில்லை என்பதை படம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது.

\(y=x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +...\)  என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
இருபுறமும் (-1) ஆல் பெருக்க
⇒ -y-x-\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \)-....
⇒ -y=log(1-x) \(\left[ \because \log(1-x)=-x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -... \right] \)
⇒ e^-y=(1-x)
⇒ x=1-e^-y
⇒ x=1-\(\left[ 1-\frac { y }{ 1! } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2! } -\frac { { y }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { y }^{ 4 } }{ 4! } -.... \right] \)
⇒ x=1-1+\(\frac { y }{ 1! } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { y }^{ 3 } }{ 3! } -\frac { { y }^{ 4 } }{ 4! } +..\)
⇒ x=y-\(\frac { { y }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { y }^{ 3 } }{ 3! } -\frac { { y }^{ 4 } }{ 4! } \)+...

y = x² + x + 2 
a = 1, b = 1, c = 2
D = b² - 4ac = 1² -4 x 1 x 2
= 1 - 8 
= -7 < 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் x அச்சை வெட்டாது.

f (x) = sin (cos (x)) என்க ,
f (– x) = f (x), f (x) ஓர் இரட்டைச் சார்பு.

A என்பது X என்பவர் உண்மை பேசும் நிகழ்ச்சி என்க.B என்பது Y என்பவர் உண்மை பேசும் நிகழ்ச்சி என்க.C என்பது ஒருவருக்கொருவர் முரண்பட்ட கருத்தினைக் கூறும் நிகழ்ச்சி என்க.
\(\overline{A}\) என்பது X என்பவர் உண்மை பேசாமல் இருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க. \(\overline{B}\)என்பது Y என்பவர் உண்மை பேசாமலிருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
C =(A உண்மை பேசுவது மற்றும் B உண்மை பேசாதிருப்பது அல்லது B உண்மை பேசுவது மற்றும் A உண்மை பேசாதிருப்பது என்க.)
கொடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து,

P(A)=0.70 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{A}\))=1-P(A)=0.30
P(B)=0.90 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{B}\))=1-P(B)=0.10
C=[\((A \cap \overline{B})\cup (\overline{A}\cap B)\)](படத்தைக் காண்க)
\((A \cap \overline{B})\) மற்றும் \( (\overline{A}\cap B)\) ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சி,
P(C) =\((A \cap \overline{B})\)+\( (\overline{A}\cap B)\)
= P (A)P(\(\overline{B}\))+P(\(\overline{A}\)) P(B)
(A, B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள்,மேலும் A,\(\overline{B}\)-ம் சார்பில்லா நிகழ்ச்சிகள்)
=(0.70)(0.10)+(0.30)(0.90)
=0.070+0.270=0.34
P(C)=0.34.

\(I=\int { x(1-x)^{ 17 } } \)என்க
\(u=1-x\Rightarrow x=1-u\)
du =-dx 
\(\therefore I=\int { (1-u)({ u }^{ 17 })(-dx) } \)
\(=-\int { { u }^{ 17 }- } { u }^{ 18 }dx\)
\(=\int { { u }^{ 18 }d-\int { { u }^{ 17 }dx } } \)
=\(\frac{(1-x)^{19}}{19}-\frac{(1-x)^{18}}{18}+c\)
\([\because u=1-x]\)

I = \(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \)
= tan \(\theta\) \(\Rightarrow\) dx = sec² \(\theta\)d\(\theta\)
I = \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( \frac { 2tan\theta }{ 1-{ tan }^{ 2 }\theta } \right) { sec }^{ 2 }\theta d\theta \)
= \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( tan2\theta \right) { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(\int { 2 } \theta { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(2\int { \left( \theta \right) \left( { sec }^{ 2 }\theta d\theta \right) } \)
பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த
I = \(2\left[ \theta tan\theta -\int { tan } \theta d\theta \right] \)
= \(2\left( \theta tan\theta -log\left| sec\theta \right| \right) +c\)
\(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \) = 2x tan^-1 x - 2log |\(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)| +c

tan θ = x 
sec θ = \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)

A : (விருது கிடைப்பது)}
B : (நேர்த்தியான முறையில் மூலப்பொருட்களை பயன்படுத்தியதற்கு விருது)
P(A) =0.48, P(B) =0.36
P(A ⋂ B) = 0.2
(i) P(குறைந்தது ஒரு விருது கிடைப்பதற்க்கான நிகழ்தகவு)
= P(A U B)
= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0.48 + 0.36 + 0.2 = 0.84 - 0.2 = 0.64
(ii) P(ஒரே ஒரு விருது மட்டும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு)
= P(A ∩ \(\overline { B } \)) + P(\(\overline { A } \) ∩ B)
= P(A) - P(A ⋂ B) + P(B) - P(A ⋂ B)
= P(A) + P(B) - 2 P(A ∩ B)
= 0.48 + 0.36 - 2 (0.2)
= 0.84 - 0.4 = 0.44

\(f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } ,\quad x\neq 1 \\ 2\quad ,\quad x=1 \end{cases}\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ } \)x+1 = 1 + 1 =2
\(\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } \)
f(1) = 2
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x₀ = 1 - ல் தொடர்ச்சியானது.

(i) \(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { b } =3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } \)
\(\vec { c } =-3\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } =(2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } )+(3\hat { i } -4\hat { j } -5\hat { k } )+(-3\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )\)
=\(2\hat { i } +\hat { j } -6\hat { k } \)
\(|\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+(-6)^{ 2 } } =\sqrt { 4+1+336 } \)
எண்ணளவு =\(\sqrt { 41 } \)
திசைக்கொசைன்கள் =\(\frac { 2 }{ \sqrt { 41 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 41 } } .\frac { -6 }{ \sqrt { 41 } } \)
(ii) \(3\vec { a } -2\vec { b } +5\vec { c }\)
 \(3\vec { a } -2\vec { b } +5\vec { c } =3(2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } )\) \(-2(3\hat { i } -4\hat { j } -5\hat { k } )+5(-3\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )\)
=\(-15\hat { i } +27\hat { j } +13\hat { k } \)
\(|3\vec { a } -2\vec { b } +5\vec { c } |=\sqrt { (-15)^{ 2 }+27^{ 2 }+{ 13 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 225+729+169 } \)
எண்ணளவு =\(\sqrt { 1123 } \)
திசைக்கொசைன்கள் =\(\frac { -15 }{ \sqrt { 1123 } } ,\frac { 27 }{ \sqrt { 1123 } } ,\frac { 13 }{ \sqrt { 1123 } } \)

\(\vec { a } \), \(\vec { b } \) எனபது A, B எனும் புள்ளிகளைப் பொறுத்த நிலை வெக்டர்கள் என்க.
⇒ \(\vec { OA } \)=\(\vec { a } \), \(\vec { OB } \)=\(\vec { b } \)
P எனும் புள்ளி ABஐ 1:2 என்ற விகிதத்திலும் Q எனும் புள்ளி ABஐ 2:1 விகிதத்திலும் பிரிக்கும் புள்ளிகள்.
 ∴\(\vec { OP } =\frac { 1.(\vec { OB)+2(\vec { OA) } } }{ 1+2 } =\frac { 1\vec { b } +2\vec { a } }{ 3 } \)
\(\vec { OQ } =\frac { 2.(\vec { OB)+1(\vec { OA) } } }{ 2+1 } =\frac { 2\vec { b } +2\vec { a } }{ 3 } \)
∴ தேவையான நிலை வெக்டர்கள்
= \(\frac { \vec { b } +2\vec { a } }{ 3 } ,\frac { 2\vec { b } +\vec { a } }{ 3 } \)
ஆகும் என்பது நிருபிக்கப்பட்டது.

\(\left| \begin{matrix} 1 & { \log _{ x }{ y } } & \log _{ x }{ z } \\ \log _{ y }{ x } & 1 & \log _{ y }{ z } \\ \log _{ z }{ x } & \log _{ z }{ y } & 1 \end{matrix} \right| \)
= 1 (1 - log_zy.log_yz) - log_xy (log _yx - log_zx.log_yz) + log _xz [log_yx log_zy - log_zx] 
= (1 - 1)log_xy \( \left[ \log_{ y }x-\frac { \log_{ z }x }{ \log_{ z }y } \right] +\log_{ x }z\left[ \frac { { \log }_{ y }x }{ \log_{ y }z } -\log_{ z }x \right] \)
= -log_xy.log_yx + \(x+\frac { { \log }_{ x }y.{ \log }_{ z }x }{ { \log }_{ z }y } +\frac { { \log }_{ x }z.\log_{ y }x }{ \log_{ y }z } -1\)
=\(-1+\frac { { \log }_{ z }y }{ { \log }_{ z }y } +\frac { { \log }_{ y }z }{ { \log }_{ y }z } \) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0

IITJEE-ல் உள்ள எழுத்துகள் அகராதி வரிசையில் E,E,I,I,J,T என்றவாறு இருக்கும். அகராதியில் E யில் துவங்கும் வார்த்தைகள் முதலில் வரும். முதல் இடத்தை E ஆல் நிரப்பி, மீதமுள்ள 5 (E,I,I,J,T) எழுத்துகளை \(\frac { 5! }{ 2! } \)வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.
இதுபோல் தொடர நமக்கு கிடைப்பது,
E _ _ _ _ _ = \(\frac { 5! }{ 2! } \) = 60 வழிகள்
E _ _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
I I E _ _ _ = 3! = 6 வழிகள்
I I J _ _ _ = \(\frac { 3! }{ 2! } \) = 3 வழிகள்
I I T E _ _ = 2! = 2 வழிகள்
I I T J E E = 1 வழி.
எனவே, IITJEE என்ற வார்த்தையின் தரம் 60 + 24 + 6 + 3 + 2 + 1 = 96 ஆகும்.

தேவையான வடிவம் x cos α +y sin α = p
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு, \(( -\sqrt { 3 })x - y = 4\)  (\(\because\) p என்பது எப்போதும் மிகை எண்)
இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஒரே நேர்க்கோட்டைக் குறிக்கின்றன. எனவே ஒத்த குணகங்கள் சமவிகிதத்தில் இருக்கும்.
\(\frac { cos\alpha }{ -\sqrt { 3 } } =\frac { sin\alpha }{ -1 } =\frac { p }{ 4 } \)
\(\frac { cos\alpha }{ -\sqrt { 3 } } =\frac { sin\alpha }{ -1 } =\frac { p }{ 4 } =\frac { \sqrt { cos^{ 2 }\alpha +sin^{ 2 }\alpha } }{ (-\sqrt { 3 } )^{ 2 }+(-1)^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\cos\ α=\frac { -\sqrt { 3 } }{ 2 } \) \(,\sin\ α=\frac { -1 }{ 2 } \)  மற்றும் p=\(\frac { 4 }{ 2 } \)
\(α=210^0=\frac { 7\pi }{ 6 } \) மற்றும் p=2
செங்குத்து வடிவத்தின் சமன்பாடு \(x\cos\frac { 7\pi }{ 6 } +y\sin\frac { 7\pi }{ 6 } \)=2 ஆகும்.

\(\frac{x}{(x^2+1)(x-1)(x+2)}\) = \(\frac { Ax+B }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { C }{ (x-1) } +\frac { D }{ (x+2) } \)
\(=\frac { { (Ax+B)(x-1)(x+2)+C(x }^{ 2 }+1)(x+2)+D(x^{ 2 }+1)(x-1) }{ { (x }^{ 2 }+1)(x-1)(x+2) } \)
\(\Rightarrow x={ (Ax+B)(x-1)(x+2)+C(x }^{ 2 }+1)(x+2)+D(x^{ 2 }+1)(x-1).....(1)\)
x =1 என (1)- ல் பிரதியிட 
1 = C (2)(3) \(\Rightarrow \boxed { C=\frac { 1 }{ 6 } } \)
x =-2 என (1)-ல் பிரதியிட 
 -2 = D (5)(-3) \(\Rightarrow \boxed { D=\frac { 2 }{ 15 } } \)
x = 0 என (1)- ல் பிரதியிட 
\(\Rightarrow 0=B(-1)(2)+C(1)(2)+D(1)(-1)\)
\(\Rightarrow 0=-2B+2C-D\)
\(\Rightarrow 0=-2B+2\left( \frac { 1 }{ 6 } \right) -\frac { 2 }{ 15 } \)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 2 }{ 6 } -\frac { 2 }{ 15 } =\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 2 }{ 15 } \)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 5-2 }{ 15 } =\frac { 3 }{ 15 } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \boxed { B=\frac { 1 }{ 10 } } \)
x³ - ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 
0 = A+ C+ D
\(\Rightarrow A=-C-D\)
\(\Rightarrow A=\frac { -1 }{ 6 } -\frac { 2 }{ 15 } \Rightarrow A=\frac { -5-4 }{ 30 } =\frac { -9 }{ 30 } =\frac { -3 }{ 10 } \)
\(\Rightarrow \boxed { A=\frac { -3 }{ 10 } } \)
\(\therefore \frac { x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( x-1 \right) \left( x+2 \right) } =\frac { \frac { -3 }{ 10 } x+\frac { 1 }{ 10 } }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { \frac { 1 }{ 6 } }{ \left( x-1 \right) } -\frac { \frac { 2 }{ 15 } }{ \left( x+2 \right) } \)
\(=\frac { -3x+1 }{ 10\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { 1 }{ 6(x-1) } +\frac { 2 }{ 15(x+2) } \) 

மூன்று அடுத்தடுத்த உறுப்புகள் முறையே r, (r+1),(r+2) என்க.
∴ பொது உறுப்பு =T_r+1=ⁿC_rx^n-r a^r   ....(1)
இவற்றின் கெழுக்களின் விகிதம்
=ⁿC_r-1 : ⁿC_r : ⁿC_r+1=1:7:42
\(\frac { { n }_{ { C }_{ r-1 } } }{ { n }_{ { C }_{ r } } } =\frac { 1 }{ 7 } \) ⇒ 7 x C_r-1 =ⁿC_r
\(\frac { n! }{ \frac { (r-1)!(n-r+1)! }{ \frac { n! }{ r!(n-r)! } } } =\frac { 1 }{ 7 } \)
\(\frac { n! }{ (r-1)!(n-r+1)(n-r)! } \times \frac { r(r-1)!(n-r)! }{ n! } =\frac { 1 }{ 7 } \)
\(\frac { r }{ n-r+1 } =\frac { 1 }{ 7 } \)
⇒ 7r=n-r+1
⇒ n-8r+1=0   ....(2)
\(\frac { { n }_{ C_{ r } } }{ { n }_{ { C }_{ r+1 } } } =\frac { 7 }{ 42 } \)
\(\Rightarrow \because \frac { { n }_{ C_{ r+1 } } }{ { n }_{ { C }_{ r } } } =\frac { n-r }{ r+1 } \Rightarrow \frac { r+1 }{ n-r } =\frac { 7 }{ 42 } =\frac { 1 }{ 6 } \)
⇒ 6r+6=n-r ⇒ n-7r-6=0    ....(3)
(2)-(3)
(n-8r+1)-(n-7r-6)=0
⇒ -r+7=0 ⇒ r=7
r=7 என (2) ல் பிரதியிட
n-8(7)+1=0
⇒ n-56+1=0
⇒ n-55=0 ⇒ n=55
n=55 & r=7

a³ = cosecθ - sinθ
= \(\frac { 1 }{ \sin { \theta } } -\sin { \theta } =\frac { 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } =\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \)
= \({ \left( \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
b³ = secθ - cosθ = \(\frac { 1 }{ \cos { \theta } } -\cos { \theta } =\frac { 1-\cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } =\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } \)
b = \({ \left( \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
LHS = a²b²(a² + b²)
= \({ \left( \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }.{ \left( \frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ { \left[ \frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin { \theta } } \right] }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+{ \left[ \frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos { \theta } } \right] }^{ \frac { 2 }{ 3 } } \right] \)
= \(\frac { \cos ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } }{ \sin ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } \frac { \sin ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } }{ \cos ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } \left[ \frac { \cos ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } }{ \sin ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } +\frac { \sin ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } }{ \cos ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } \right] \)
= \(\cos ^{ \frac { 4 }{ 3 } .\frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } .\sin ^{ \frac { 4 }{ 3 } .\frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } \left[ \frac { \cos ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } .\cos ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } +\sin ^{ \frac { 4 }{ 3 } }{ \theta } .\sin ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ } }{ \sin ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } .\cos ^{ \frac { 2 }{ 3 } }{ \theta } } \right] \)

= cos²θ + sin²θ = 1 = RHS.
LHS = RHS ⇒ a²b² (a² + b²) = 1. 

tan²θ = 1 - k², 1 -ஐ இருபுறமும் கூட்ட
1 + tan²θ = 1 - k² + 1
sec²θ = 2 - k²
இருபுறமும் (3/2) மடங்கு காண 
⇒ \({ \left( \sec ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec ^{ 3 }{ \theta } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec { \theta .\sec ^{ 2 }{ \theta } } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec { \theta } \left( 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } \right) ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)   (∵ 1 + tan²θ = sec²θ)
⇒ \(\sec { \theta } +\sec { \theta } \tan ^{ 2 }{ \theta } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec { \theta } +\frac { 1 }{ \cos { \theta } } .\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec { \theta } +\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \times \frac { 1 }{ \sin { \theta } } .\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)   (∵ 2வது உறுப்பை sinθ ஆல் பெருக்கி வகுக்க)
⇒ secθ + tanθ . cosecθ . tan²θ =\({ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ secθ + cosecθ tan³θ = \({ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

P(n)=\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\)
n = 1 என பிரதியிட
\(P(n)=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\)
எனவே, P(1) உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்றை உண்மை எனக் கொள்வோம்.
எனவே, \(P(k)=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\)
இப்பொழுது P(k+1) என்பது உண்மை என நிறுவவேண்டும்.
\(P(k+1)=\underbrace{\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
=\(P(k)+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
=\(\frac{k}{(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
=\(\frac{1}{(k+1)}(\frac{k}{1}+\frac{1}{k+2})\)
=\(\frac{1}{(k+1)}(\frac{k^{2}+2k+1}{k+2})\)
=\(\frac{1}{(k+1)}\left(\frac{(k+1)^{2}}{k+2}\right )=\frac{(k+1)}{(k+2)}\)
எனவே P(k+1) என்பது உண்மை.
P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம்.
எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்படி, எல்லா இயல் எண்கள் n-க்கும்,
\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\).

y = \(\frac { 2\sin { \alpha } }{ 1+\cos { \alpha } +\sin { \alpha } } =\frac { 2\sin { \alpha } }{ \left( 1+\sin { \alpha } \right) +\left( \cos { \alpha } \right) } \times \frac { \left( 1+\sin { \alpha } \right) -\left( \cos { \alpha } \right) }{ \left( 1+\sin { \alpha } \right) -\left( \cos { \alpha } \right) } \)
= \(\frac { 2\sin { \alpha } \left( 1+\sin { \alpha } -\cos { \alpha } \right) }{ { \left( 1+\sin { \alpha } \right) }^{ 2 }-{ \left( \cos { \alpha } \right) }^{ 2 } } =\frac { 2\sin { \alpha } \left( 1+\sin { \alpha } -\cos { \alpha } \right) }{ { \left( 1+\sin { \alpha } \right) }^{ 2 }-\left( 1-\sin ^{ 2 }{ \alpha } \right) } \)
= \(\frac { 2\sin { \alpha } \left( 1+\sin { \alpha } -\cos { \alpha } \right) }{ { \left( 1+\sin { \alpha } \right) }^{ 2 }-\left( 1-\sin { \alpha } \right) \left( 1+\sin { \alpha } \right) } =\frac { 2\sin { \alpha } \left( 1+\sin { \alpha } -\cos { \alpha } \right) }{ \left( 1+\sin { \alpha } \right) \left( 1+\sin { \alpha } -1+\sin { \alpha } \right) } \)

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.