n(p(A))=1024=2¹⁰
n(p(A))=2^n(A)
\(\therefore n(A)=10\)
n(P(B))=32=2⁵
n(B)=5
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
15=10+5-n(A∩B)
n(A∩B)=15-15=0

அனைத்து \(a \in S\) க்கும், \((a, a)\in R\) என்பதால் R ஆனது தற்சுட்டாகும்.
\((b,a)\notin R\) என்பதுபோல் அமையுமாறு \((a,b)\in R\)  என எந்த உறுப்பும் இல்லை. வேறு விதமாகக் கூறினால் ஒவ்வொரு உறுப்பு \((a,b)\in R\) க்கும் \((b,a)\in R\) எனக் கூற முடியும். இதனால் R ஆனது சமச்சீராகும்.
\((a,c)\notin R\) எனுமாறு (a, b) மற்றும் (b, c)ஆகிய இரு உறுப்புகளை R-ல் காண இயலாது. இதனால் R ஆனது ”கடப்பு அல்ல” என்பது உண்மையன்று. எனவே “R ஆனது கடப்பு ஆகும்” என்ற கூற்று உண்மையாகும். எனவே R ஆனது கடப்பு ஆகும்.
இதனால் R ஆனது தற்சுட்டு, சமச்சீர், கடப்புத் தொடர்பு  ஆகும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொடர்பு சமானத் தொடர்பாகும்.

A∩B'∩C' ⊆ A ⊆ A U B' U C என்பது தெளிவு 
எனவே (A U B' U C) ∩ (A ∩ B' ∩ C') = A ∩ B' ∩ C'
மேலும் B'∩C'⊆ C'⊆ A U B U C'
எனவே (A U B U C') ∩ (B' ∩ C') = B'∩C' மேலும் A ∩ B' ∩ C' ⊆ B' ∩ C'
எனவே  ((A U B' U C)∩(A ∩ B' ∩ C')) U ((A U B' U C') ∩ (B' ∩ C')) = B'∩C'

B = { x ∈ N : x என்பது ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண்}என்க,
\(\Rightarrow\) B = {3,5,7,11...............} ஒரு முடிவுறாக் கணம்.

a,b,c ∈ A என்க 
தற்சுட்டு;
a R a \(\Rightarrow \)a- ஆனது a-ன் சகோதரி அல்ல.
∴ R ஒரு தற்சுட்டு
சமச்சீர் தொடர்பு;
a R a\(\Rightarrow \)b R a  
a-ன் சகோதரி அல்ல.
b-ன் சகோதரி அல்ல.
∴R  ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு 
கடப்பு தொடர்பு: 
a R b, b R c\(\Rightarrow \) a R c
a ஆனது b -ன் சகோதரி அல்ல.
b ஆனது c -ன் சகோதரி அல்ல.
a ஆனது c -ன் சகோதரி ஆவார்.
(எடு) தாய் மகளின் அல்ல, மகள் சித்தியின் சகோதரி அல்ல, ஆனால் தாய் சித்தியின் சகோதரி.
∴R ஒரு தற்சுட்டு, சமச்சீர், கடப்பு தொடர்பு ஆகும்.

l,m,n \(\in\) p என்க.
தற்சுட்டு:
ஆனதிற்கு செங்குத்தாக இருக்க முடியாது.
ஒரு தற்சுட்டு தொடர்பு அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பு:
lRm=mRl
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது l ற்குச் செங்குத்து 
\(\therefore R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு.
கடப்புத் தொடர்பு:
l R m மேலும் m R n\(\neq\)l R n
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது n ற்குச் செங்குத்து
ஆனால் l ஆனது  n ற்குச் செங்குத்து ஆக இருக்க முடியாது 
\(\therefore R\) ஆனது ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல. 
\(\Rightarrow R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு மட்டுமே.

m – m = 0 என்பதால், 0 = 0 × 12 என எழுதுவதன்மூலம் பூஜ்ஜியமும் 12 -ன் மடங்கு என்பது உண்மை. ஆகவே mRm என்பது எல்லா \(m \in Z\) -க்கும் பொருந்தும். எனவே, R தற்சுட்டாகும்.
mRn என்க. அப்பொழுது \(k,\in Z\) க்கு m-n = 12k ஆகும். இதனால் n-m=12(-k) ஆகையால் nRm ஆகும். இது R சமச்சீர் என்பதைக் காட்டுகிறது.
mRn மற்றும் nRp என்க. அதாவது ,\(k,l\in Z\) -க்கு, m–n = 12k மற்றும் n–p = 12l ஆகும். ஆகவே m – p = 12(k+l). அதாவது mRp. இது R என்பது கடப்பு தொடர் எனக் காட்டுகிறது. எனவே R என்பது சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

X = {a, b, c, d}
R = {{a, a}, {b, b} {a, c}}
(i) தற்சுட்டு
(c, c), (d, d) R - ல் சேர்க்கப்பட வேண்டும்
(ii) சமச்சீர்
(c, a) R- ல் சேர்க்கப்பட வேண்டும்
(iii) கடப்பு
R ஒரு கடப்புத் தொடர்பு ஆக இருக்க R-ல் (c,d),(a,d)இருக்க வேண்டும்.
(iv) சமானத் தொடர்பு
{(c, c),  (d, d), (c, a)}