f'(x) = 9x²- 6x 
f (0) =-3
இருபுறமும் தொகையீடு காண 
\(\int { f'(x)dx=\int { { 9x }^{ 2 }-6xdx } } \)
\(f(x)=9\int { { x }^{ 2 }dx-6\int { xdx } } \)
\(f(x)=\frac { { 9x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { 6x }^{ 2 } }{ 2 } +c={ 3x }^{ 2 }-{ 3x }^{ 2 }+c...(1)\)
f(0) =- என்பதால் 
\(\Rightarrow f(0)=3(0)-3(0)+c\Rightarrow c=-3\)
c =-3 என (1) - ல் பிரதியிட 
f(x) =3x³ -3x² -3
f(x) =3(x³ -x² -1)

\(\int { \frac { { x }^{ 2 }-x+1 }{ { x }^{ 3 } } } dx\) = \(\int { \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ { x }^{ 3 } } -\frac { x }{ { x }^{ 3 } } -\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) dx } \)
= \(\int { \frac { 1 }{ x } } dx-\int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } dx+\int { \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } } dx\)
= \(\log\left| x \right| +\frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ { 2x }^{ 2 } } +c\)

\(u=\sin { x } \) என எடுத்துக்கொண்டால்
\(y={ e }^{ u }\)
\( \frac { dy }{ dx } =\frac { d({ e }^{ u }) }{ dx } \times \frac { du }{ dx } ={ e }^{ u }\times \cos { x } =\cos { x } { e }^{ \sin { x } }\)

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \frac { 1-\cos { x } }{ { x }^{ 2 } } } } \)\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 2{ sin }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } } \)
[\(\because \) cos 2x = 1 - 2 sin² x]
\(=2\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { sin }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } \times 4 } } =\frac { 2 }{ 4 } { \left[ \lim _{ \frac { x }{ 2 } \rightarrow 0 }{ \frac { sin\frac { x }{ 2 } }{ \frac { x }{ 2 } } } \right] }^{ 2 }=\frac { 2 }{ 4 } \times { 1 }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\left[ \because \lim _{ \theta \rightarrow 0 }{ \frac { sin\quad \theta }{ \theta } =1 } \right] \)
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1-cos\quad x }{ { x }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } } \) 

\({ \lim _{ x\rightarrow \infty }{ \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) } }^{ 7x }=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left[ { \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ x } \right] }^{ 7 } } \)
\(\frac { 1 }{ x } =t\) என்க.
\(x\rightarrow \infty \) எனில், \(\frac { 1 }{ x } \rightarrow 0\)ஆகும்.
\(\therefore \frac { 1 }{ x } \rightarrow 0\) எனில், t \(\rightarrow\)0 ஆகும்
\(\therefore \lim _{ t\rightarrow 0 }{ { \left[ (1+t)^{ \frac { 1 }{ t } } \right] }^{ 7 } } ={ e }^{ 7 }\) \(\left[ \because \lim _{ x\rightarrow 0 }{ (1+x)^{ \frac { 1 }{ x } }=e } \right] \)
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 7x }={ e }^{ 7 } } \)

l,m,n \(\in\) p என்க.
தற்சுட்டு:
ஆனதிற்கு செங்குத்தாக இருக்க முடியாது.
ஒரு தற்சுட்டு தொடர்பு அல்ல.
சமச்சீர் தொடர்பு:
lRm=mRl
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது l ற்குச் செங்குத்து 
\(\therefore R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு.
கடப்புத் தொடர்பு:
l R m மேலும் m R n\(\neq\)l R n
l ஆனது m ற்குச் செங்குத்து 
m ஆனது n ற்குச் செங்குத்து
ஆனால் l ஆனது  n ற்குச் செங்குத்து ஆக இருக்க முடியாது 
\(\therefore R\) ஆனது ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல. 
\(\Rightarrow R\) என்பது ஒரு சமச்சீர் தொடர்பு மட்டுமே.

3x - 5 ≤ x + 1 என்பது 2x ≤ 6 ஆகும்.
எனவே , x ≤ 3 அதாவது, தீர்வு (- ∞, 3] ஆகும்.

ஞாயிற்றுக்கிழமையை துவக்க நாளாக கொள்வோம்.
\(\frac { dA }{ dt } =\frac { -3 }{ (t+2)^{ 2 } } \) செ.மீ/நாள்
dA=-3(t+2)^-2 dt
இருபுறமும் தொகையீடு காண
\(\int { dA } =-3\int { (t+2)^{ -2 }dt } \)
⇒ A=-3\(\frac { (t+2)^{ -2+1 } }{ -2+1 } +c\)
⇒ A=3(t+2)^-1+c
⇒ A=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+c    .....(1)
t=1, A=2 செ.மீ² எனில்
2=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+c
⇒ 2=1+c
⇒ c=1
∴ (1) ⇒ A=\(\frac { 3 }{ 1+2 } \)+1     ....(2)
(அ) ஞாயிற்றுக்கிழமை துவக்க நேரம் t =0 என்க
∴ A=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+1
=\(\frac { 3 }{ 2 } +1=\frac { 5 }{ 2 } \)=2.5 செ.மீ²
(ஆ) ஞாயிறு முதல் வியாழன் வரையுள்ள 4 நாட்களில்
∴ t=4, (2) ⇒ A=\(\frac { 3 }{ 4+2 } +1=\frac { 3 }{ 6 } +1=\frac { 1 }{ 2 } +1\)
=1.5  செ.மீ²

நடப்பு ஆண்டுக்கான FIDE கோப்பையை X, Y மற்றும் Z வெற்றிபெறும் நிகழ்ச்சிகளை A, B மற்றும் C என்க.X-ன் வெற்றி வாய்ப்பு Y-ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 3மடங்காக இருக்கும் எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே 
A : B : : 3 : 1       (1)
Y-ன் வெற்றி வாய்ப்பு Z -ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 3மடங்காக இருக்கும் எனவே
B : C : : 2 : 1       (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து 
A : B :C : : 6 :2:1
A = 6k, B = 2k , C = k, இங்கு k என்பது ஒரு விகித மாறிலி ஆகும்.
கோப்பையை X வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு P(A) \(={6k\over 9k}={2\over 3}\) 
கோப்பையை Y வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு P(B) \(={2k\over 9k}={2\over 9}\) மற்றும் 
கோப்பையை Z வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு P(C) \(={k\over 9k}={1\over 9}\)

\( y=\sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x } } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\(y^{ 2 }={ x+\sqrt { x+\sqrt { x } } }\)
\(\therefore 2y\frac { dy }{ dx } =\frac { d }{ dx } (x)+\frac { d }{ dx } (\sqrt { x+\sqrt { x } } )\)
[26-வது விடையை பின்பற்றி]
\(=\frac { 4\sqrt { x+\sqrt { x } } +2\sqrt { x } +1 }{ 4\sqrt { x } .\sqrt { x+\sqrt { x } } } \)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ 2y } \left[ \frac { 4\sqrt { x+\sqrt { x } } +2\sqrt { x } +1 }{ 4\sqrt { x } .\sqrt { x+\sqrt { x } } } \right] \)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ \sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x } } } } \left[ \frac { 4\sqrt { x+\sqrt { x } } +2\sqrt { x } +1 }{ 4\sqrt { x } .\sqrt { x+\sqrt { x } } } \right] \)
\(=\frac { 4\sqrt { x } \sqrt { x+\sqrt { x } } +2\sqrt { x } +1 }{ 8\sqrt { x } .\sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x } } } .\sqrt { x+\sqrt { x } } } \)

\(\lim _{ a\rightarrow 0 }{ { \frac { \sin { { (a) }^{ n } } }{ { (\sin { \alpha ) } }^{ m } } } } \)
நிலை (i): m = n ஆக இருத்தல்
\(\lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( { \alpha }^{ m } \right) }{ { (sin\quad \alpha ) }^{ m } } =\lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( { \alpha }^{ m } \right) }{ { \alpha }^{ m } } \times \frac { { \alpha }^{ m } }{ { (sin\quad \alpha ) }^{ m } } } } \)
\(=\lim _{ { \alpha }^{ m }\rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( { \alpha }^{ m } \right) }{ { (\alpha ) }^{ m } } \times \frac { 1 }{ \lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ { \left( \frac { sin\quad \alpha }{ \alpha } \right) }^{ m } } } } \)
\(=1\times \frac { 1 }{ { 1 }^{ m } } =1\left[ \because \lim _{ \theta \rightarrow 0 }{ \frac { sin\quad \theta }{ \theta } =1 } \right] \)
\(\therefore \lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( { \alpha }^{ n } \right) }{ { (sin\quad \alpha ) }^{ m } } } =1\)
நிலை (ii) m > n ஆக இருத்தல்
\(\lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( { \alpha }^{ n } \right) }{ { (sin\ \alpha ) }^{ m } } =\lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( { \alpha }^{ n } \right) }{ { \alpha }^{ n } } } \times \frac { { \alpha }^{ n } }{ \frac { { (sin\ \alpha ) }^{ m }.{ \alpha }^{ m } }{ { \alpha }^{ m } } } } \)
\(=\left( \lim _{ { \alpha }^{ n }\rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( { \alpha }^{ n } \right) }{ { \alpha }^{ n } } } \right) .\frac { { \alpha }^{ n } }{ { \alpha }^{ m } } .\frac { 1 }{ { \left( \lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ \frac { sin\quad \alpha }{ \alpha } } \right) }^{ m } } \)
=1.\({ \alpha }^{ n-m }\times 1={ \alpha }^{ n-m }=0\)   \(\left( \because m>n \right) \)
நிலை (iii) m < n ஆக இருந்தால்
\(\lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( { \alpha }^{ n } \right) }{ { (sin\quad \alpha ) }^{ m } } =\lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ \frac { sin{ \alpha }^{ n } }{ { \alpha }^{ n } } \times \frac { { \alpha }^{ n } }{ { \frac { \left( sin\quad \alpha \right) }{ { \alpha }^{ m } } }^{ m }\times { \alpha }^{ m } } } } \)
\(=\lim _{ { a }^{ n }\rightarrow 0 }{ \frac { sin\left( { \alpha }^{ n } \right) }{ { \alpha }^{ n } } \times \frac { { \alpha }^{ n } }{ { \alpha }^{ m } } \times \frac { 1 }{ \lim _{ \alpha \rightarrow 0 }{ { \left( \frac { sin\quad \alpha }{ \alpha } \right) }^{ m } } } } \)
\(=1\times { \alpha }^{ n-m }\times 1=\frac { 1 }{ { \alpha }^{ m-n } } \)

\(\vec { a } =-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } \)
\(|\vec { a } |=\sqrt { (-1)^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+(-6)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 1+4+36 } =\sqrt { 41 } \)
\(\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \)
\(|\vec { b } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-1)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 4+1+1 } \)
=\(\sqrt { 6 } \)
\(\vec { c } =-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \)
\(|\vec { c } |=\sqrt { (-1)^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+5^{ 2 } } =\sqrt { 1+9+25 } \)
=\(\sqrt { 35 } \)
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி
\(|\vec { a } |^{ 2 }=|\vec { b } |^{ 2 }+|\vec { c } |^{ 2 }\)
\(\sqrt { 41 } ^{ 2 }=\sqrt { 6 } ^{ 2 }+\sqrt { 35 } ^{ 2 }\)
41=35+6=41
∴ கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

ΔABC-யின் உச்சிப்புள்ளிகள் A, B, C-யின் நிலை வெக்டர்கள் \(\vec { OA } ,\vec { OB } ,\vec { OC } \) முறையே என்க.
\(\vec { OA } =\vec { a } ,\vec { OB } =\vec { b } ,\vec { OC } =\vec { c } \)
D, E என்பன பக்கம் AB, AC-யின் நடுப்புள்ளிகள்.

\(\vec { OD } =\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } ,\vec { OE } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } \)
\(\vec { DE } =\vec { OE } -\vec { OD } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } -\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)

=\(\frac { 1 }{ 2 } (\vec { OC } -\vec { OB } )=\frac { 1 }{ 2 } (\vec { BC } )\)
⇒ \(\vec { DE } =\lambda (\vec { BC } ),=\frac { 1 }{ 2 } \)
∴ \(\vec { DE } ||\vec { BC } \) and \(\vec { DE } =\frac { 1 }{ 2 } (\vec { BC } )\)
எனவே \(\vec { DE } \) மூன்றாவது பக்கம் \(\vec { BC } \) க்கு இணை மற்றும் அதன் நீளத்தில் பாதி எனவும் நிறுவப்பட்டது.

\(LHS=\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| ^{ 2 }\quad =\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| \times (-1)\left| \begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} \right| \) [இரண்டாவது அணிக்கோவையில் \({ R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 }\) ]
\(=\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} -a & -b & -c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} \right| \)
நிரை -நிரல் பெருக்கல் முறைப்படி 
\(=\left| \begin{matrix} { -a^{ 2 }+bc }+cb & -ab+ab+{ c }^{ 2 } & -ac+{ b }^{ 2 }+ac \\ -ab+{ c }^{ 2 }+ab & -{ b }^{ 2 }+ac+ac & -bc+bc+{ a }^{ 2 } \\ -ac+ac+{ b }^{ 2 } & -bc+{ a }^{ 2 }+bc & { -c }^{ 2 }+ab+ab \end{matrix} \right| \)
\(=\left| \begin{matrix} 2bc-a^{ 2 } & { c }^{ 2 } & { b }^{ 2 } \\ { c }^{ 2 } & { 2ca-b }^{ 2 } & a^{ 2 } \\ { b }^{ 2 } & a^{ 2 } & { 2ab-c }^{ 2 } \end{matrix} \right| =RHS\)

R₁ மற்றும் R₂ ஆகியவை ரேடார் நிலையங்கள் என்க. போர் விமானத்தைக் கண்டறியும்போது அப்போர் விமானத்தின் நிலை A என்க, x என்பது தரைக்கும் போர் விமானத்திற்கும் இடைப்பட்ட தேவையான உயரம் என்க. R₁ R₂ க்கு A லிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு வரைய அது N இல் சந்திக்கிறது.
\(\angle \)A = 180° – (30° + 45°) = 105°
எனவே, \(\frac { a }{ \sin { { 45 }^{ o } } } =\frac { 100 }{ \sin { { 105 }^{ o } } } \Rightarrow a=\frac { 100 }{ \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 200\left( \sqrt { 3 } -1 \right) }{ 2 } \)
  \(=100\times \left( \sqrt { 3 } -1 \right) \) கி.மீ.
\(\sin { { 30 }^{ o } } =\frac { x }{ a } \Rightarrow x=50\times \left( \sqrt { 3 } -1 \right) \) கி.மீ.

A+B+C=180⁰
\(\Rightarrow B+C=180-A=180^{ 0 }-{ 60 }^{ 0 }=120^{ 0 }\)
\(\Rightarrow \cfrac { B+C }{ 2 } ={ 60 }^{ 0 }\)
எனவே sin சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி 
\(\cfrac { a }{ sin\quad A } =\cfrac { b }{ sin\quad B } =\cfrac { c }{ sinC } =k\)
\(\Rightarrow a=k\quad sinA,\quad b=\quad k\quad sin\quad B,\quad c=\quad k\quad sinc\)
\(R.H.S=2a\quad cos\left( \cfrac { B-C }{ 2 } \right) \)
= \(2.k\quad sin\quad Acos\left( \cfrac { B-C }{ 2 } \right) \)
= \(2.k\quad sin{ 60 }^{ 0 }\quad cos\left( \cfrac { B-C }{ 2 } \right) \)
= \(2\quad k\quad sin\left( \cfrac { B+C }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { B-C }{ 2 } \right) ,\angle A=60^{ 0 }\)
= \(2\quad k\quad sin\left( \cfrac { B+C }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { B-C }{ 2 } \right) \)
= \(k\left[ sin\cfrac { \left( B+C+B-C \right) }{ 2 } +sin\left( \cfrac { B+C-B+C }{ 2 } \right) \right] \)
= k[sin B+sin C]
= k sin B +k sin C
= b+c[2-ல் இருந்து]
= L.H.S. எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

⁽ⁿ⁺¹⁾C₈: ^(n-3)P₄ = 57 : 16
\(\Rightarrow\)  \(\frac { ^{ (n+1) }{ C }_{ 8 } }{ ^{ (n-3) }{ C }_{ 8 } } =\frac { 57 }{ 16 } \) \(\left[ \because { nP }_{ r }=\frac { n! }{ \left( n-r \right) ! } ,{ nC }_{ r }=\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } \right] \)
\(\Rightarrow\)  16 (n + 6)C8 = 57. (n - 3)P₄ 
\(\Rightarrow\) \(\frac { 16\left( n+1 \right) ! }{ 8!\left( n+1-8 \right) ! } =\frac { 57\left( n-3 \right) ! }{ \left( n-3-4 \right) ! } \)

(n + 1)n (n - 1) (n - 2) = \(\frac { 57\times 8! }{ 16 } \)

 

(n+1)n (n -1) (n - 2) = 21 x 20 x 19 x 18
 n = 20

இலக்கங்கள் திரும்ப வராமல்  (0,1,2,3,4,5)

ஒற்றைப்பட  எண்களை பயன்படுத்த 
ஒன்றாம் இடம்  = 3 வழிகளில் (1,3,5)
பத்தாம் இடம்  = 4 வழிகளில் 
நூறாம் இடம்  = 4 (0, ஒன்றாம்  இட இலக்கம் தவிர )
பெருக்கலின் அடிப்படைக் கொள்கையின் படி  = 3 x 4 x  4 = 48 வழிகளில் ஒற்றை எண்களை அமைக்கலாம்.

S =6+66+666+.....n உறுப்புகள் வரை
=6(1+11+111+.......)n உறுப்புகள் வரை
=\(\frac { 6 }{ 9 } \)(9+99+999+........) n உறுப்புகள் வரை
(∵ 9 ஆல் பெருக்கி 9 ஆல் வகுக்க)
= \(\frac { 6 }{ 9 } \)[(10-1)+(10²-1)+(10³-1)+.....] n  உறுப்புகள் வரை
= \(\frac { 6 }{ 9 } \)(10+10²+10³+......) - (1+1+1+.......) n உறுப்புகள் வரை
=\(\frac { 6 }{ 9 } \left( \frac { 10(10^{ n }-1) }{ 10-1 } -n \right) \)  [பெருக்கி தொடரில் a=10, r=10, S_n=\(\frac { ({ r }^{ n }-1) }{ r-1 } \)]
=\(\frac { 6 }{ 9 } \left[ \frac { 10({ 10 }^{ n }-1) }{ 9 } -n \right] =\frac { 6 }{ 9 } \left[ \frac { 10({ 10 }^{ n }-1)-9n }{ 9 } \right] \)
∴ S_n=\(\frac { 6 }{ 18 } \)[10(10ⁿ-1)-9n]

LHS =log 2+16 log \(\frac { 16 }{ 15 } +12\log\frac { 25 }{ 24 } +7\log\frac { 81 }{ 80 } =1\)
\(=\log2\times \log(\frac { 16 }{ 15 } )^{ 16 }+\log(\frac { 25 }{ 24 } )^{ 12 }+\log(\frac { 81 }{ 80 } )^{ 7 }\)
\(=\log2\times [\frac { (2^{ 4 })^{ 16 } }{ (3\times 5)^{ 16 } } ]\times [\frac { (5^{ 2 })^{ 12 } }{ (2^{ 3 }\times 3)^{ 12 } } ]\times [\frac { (3^{ 4 })^{ 7 } }{ (2^{ 4 }\times 5)^{ 7 } } ]\)\([\because ({ a }^{ m })^{ n }=a^{ mn }]\)
\(=\log2\times [\frac { { 2 }^{ 64 } }{ { 3 }^{ 16 }\times { 5 }^{ 16 } } ][\frac { { 5 }^{ 24 } }{ { 2 }^{ 36 }\times { 3 }^{ 12 } } ][\frac { { 3 }^{ 28 } }{ { 2 }^{ 28 }\times { 5 }^{ 7 } } ]\)

\(=\log{ 2 }^{ 1 }\times { 5 }^{ 1 }={ \log }_{ 10 }^{ 10 }\) =1= RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையானது ஒரு நேரிய சார்பு ஆகும். x என்பது உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் y என்பது அந்த உறுப்பின் மதிப்பு என்க
(x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) முறையே (7, 30) மற்றும் (10, 21) என்க.
y-y₁=m(x-x₁) என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து
y-y₁=\(\frac { ({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }) } (x-x_ 1)\) 
y-30=\(\frac { (21-30) }{ (10-7) } (x -7)\)
y=-3x+51      ....(6.14)
(i) x = 1, 2 மற்றும் 3 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட A.P. -ன் முதல் மூன்று உறுப்புகள் முறையே 48, 45 மற்றும் 42 ஆகும்
(ii) y = 0 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட
0=-3x+51 ⇒ x=17
அதாவது, கூட்டுத்தொடர் முறையில் பதினேழாவது உறுப்பு பூச்சியமாகும்.
(iii) இந்நேர்கோட்டின் சாய்வு -3, கூட்டுத் தொடரின் பொது வித்தியாசத்திற்குச் சமம் என்பது தெளிவாகியது.(கூட்டுத்தொடரின் பொது வித்தியாசமும், அதன் கோட்டின் சாய்வும் ஒன்றே என நிரூபிக்க முயற்சிக்கவும்).

a+b\(\le\)6,a,b ∈ N ; a R b 
\(a+b\le6\Rightarrow a\le6-b\)

வரிசை ஜோடிகள் (5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)
கடப்புத்  தொடர்பு: 
\((4,2)\in R\)
\((2,4)\in R\)
\(\Rightarrow(4,4)\notin R\) \(\therefore R\) ஒரு கடப்புத் தொடர்பு அல்ல;

கொடுக்கப்பட்ட தொடரின் n ஆவது உறுப்பு a_n என்க. அதனால்,\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+5n+6 } \) பகுதி பின்னத்தை பயன்படுத்தி \({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n+2 } -\frac { 1 }{ n+3 } \) என அறியலாம்
இந்த தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் s_n என்க
\({ s }_{ n }={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+...+{ a }_{ n }=\left( \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 5 } -\frac { 1 }{ 6 } \right) +..+\left( \frac { 1 }{ n+2 } -\frac { 1 }{ n+3 } \right) =\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ n+3 } \)
n ஆனது முடிவிலியை நோக்கி செல்லும்போது \(\frac { 1 }{ n+3 } \) ஆனது பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்லும். எனவே,\(\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ n+3 } \rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \) அல்லது \({ s }_{ n }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \)எனலாம். அதாவது \(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+5n+6 } } ={1\over 3}\) 

30 விழுக்காடு அமிலம் கலந்த கரைசல் = x லிட்டர் என்க.
\(\therefore \) மொத்த கரைசல் = (600+x)
30% x + 12% 600 > 15% (600+x)
\(\Rightarrow \frac { 30x }{ 100 } +\frac { 12 }{ 100 } \times 600>\frac { 15 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>9000+15x\) (100 ஆல் பெருக்க) 
\(\Rightarrow 15x+7200>9000\)
\(\Rightarrow 15x>9000-7200\)
\(\Rightarrow 15x>1800\)
\(\Rightarrow x>120...(1)\)
\(30\) % of x + 12% of 600 < \(\frac { 18 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow \frac { 30x }{ 100 } +\frac { 12 }{ 100 } \times 600<\frac { 18 }{ 100 } (600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>18(600+x)\)
\(\Rightarrow 30x+7200>10800+18x\)
\(\Rightarrow 12x>10800-7200\)
\(\Rightarrow 12x>3600\)
\(\Rightarrow x<\frac { 3600 }{ 12 } \)
\(\Rightarrow x<300.....(2)\)
(1), (2) லிருந்து 120 < x <300
\(\therefore \) 30% அமிலம் கலந்த கரைசல் 120 லிட்டரை விட அதிகமாகவும் மற்றும் 300 லிட்டரை விட குறைவாகவும் கிடைக்கிறது.

S என்பது கூறுவெளி என்க.
A என்பது 2 நூறு ரூபாய்த் தாள்களை எடுக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
எனவே n(S) = 12c₂ = 66 , n(A) = 4c₂ = 6 மற்றும் n(\(\overline{A}\))=66−6=60
A -விற்கு சாதகமான விகிதம் 6:60 அதாவது A விற்கு சாதகமான விகிதம் 1:10,மற்றும் P(A)=\({1\over11}\).

இங்கு sine சார்பு வெளிப்புறச் சார்பாகவும் வர்க்க சார்பு உட்சார்பாகவும் உள்ளது.
u = x²  எனக்.
அதாவது, \(y=\sin { u. } \)
எனவே, \(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } \)
\(=\cos { u\quad \times } (2x)\\ =\cos { { (x }^{ 2 }) } .2x\\ =2x\cos { { (x }^{ 2 }) } .\)

தரவு  : A^T = A.B^T = B
(AB + BA)^T = (AB)^T + (BA)^T
= B^TA^T + A^TAB^T
= BA + AB
= AB + BA
\(\therefore \)  AB + BA  என்பது  சமச்சீர் அணியாகும் 

\(\cos { 2x } =1-3\sin { x } \)
cos 2x=1-2sin²x
\(\Rightarrow cos2x=1-3\Rightarrow 1-2sin^{ 2 }x\)
\(\Rightarrow \) -2sin²x=-3sinx
\(\Rightarrow \) sinx(2sinx-3)=0
\(\Rightarrow \) sinx=0 அல்லது 2sin x -3=0
2sin x=3
\(sinx=\cfrac { 3 }{ 2 } \)
வகை (i) sin x =0
x=0,\(\pi \)
வகை (ii) \(x=\cfrac { 3 }{ 2 } \)-ஆக இருக்க முடியாது
\(\therefore \) sin x ன் மதிப்புகள் I ஐ விட பெரியதாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore \) x-ன் மதிப்புகள் 0, \(\pi \)

(i) 

இலக்கங்கள்  திரும்ப  வரும் வழியில் 
ஒன்றாம் இடம்  = 1
பத்தாம் இடம்  = 10
நூறாம் இடம்  = 9 (0 வைத் தவிர  ) 
பெருக்கலின்  அடிப்படைக் கொள்கையின் படி 
3 ஆனது ஒன்றாம்  இலக்க  இடத்தில்  திரும்ப  வரும் நிலைகள்  = 1 x 10 x 9 = 90
(ii)  இலக்கங்கள்  திரும்ப வராதவாறு 

 ஒன்றாம் இடம்  = 1 வழியில் 
பத்தாம் இடம்  = 8 வழிகளில் 
நூறாம் இடம்  = 8 வழிகளில் 1,2,3,4,5,6,7,8, (0 மற்றும்  9 ஐத்  தவிர  )
\(\therefore \)  மொத்த வழிகள்  = 1 x 8 x  8 = 64 

LHS=sin x+ sin 2x+sin 3x
=(sin x+sin3x)+sin2x
= \(2\sin\left( \frac { x+3x }{ 2 } \right) .\cos\left( \frac { x-2x }{ 2 } \right) +\sin2x\)
= 2sin 2x.cos(-x)+sin2x
= 2sin2xcosx+sin2x (∵cos(−x)=cox)
= sin 2x(2cosx+1)
= sin2x(1+2cosx)= RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

f(x)=\(1\over1-2 \sin x\)
பகுதி =0 எனில் 1-2sin x=0
\(\Rightarrow 1=2\sin x\)
\(\Rightarrow \therefore \sin x={1\over2}\)
\(\Rightarrow \sin x=\sin{\pi\over 6}\)
\(\Rightarrow x=n\pi+(-1)^{n}{\pi\over6},n\in z\)
\((\because \sin x=\sin \alpha \Rightarrow x=n\pi+(-1)^n\alpha,n\in z)\)
f-ன் சார்பகம் = \(R-[n\pi+(-1)^n{\pi\over6}],n\in Z\)

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு x+y-2=0 ----(1)
x+y -2=0 என்ற சமன்பாட்டின் செங்குத்துக்கோடு x-y-k=0
இது (-10, -2) வழிச் செல்வதால் கிடைப்பது
\(\therefore \)-10+2+k =0
\(\Rightarrow \)k=8
\(\therefore \)AB ன் சமன்பாடு \(\Rightarrow \)x-y+8=0  -----(2)
அடிப்புள்ளியானது (1), (2) வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியாகும் 

(1) \(\Rightarrow \)x+y -2=0
(2) \(\Rightarrow \)x-y+8 =0
_____________ 
  2x+6 =0
\(\Rightarrow \)x=-3
x=-3 என பிரதியிட
-3+y-2=0
\(\Rightarrow \)y=5
அடிப்புள்ளியின் அச்சு தொலைவு B=(-3, 5)
(-10, -2) லிருந்து x+y-2=0 ற்கு இடைப்பட்ட செங்குத்துக் கோட்டின் நீளம்
=\(\pm \left( \frac { -10-2-2 }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } \right) =\pm \left( \frac { -14 }{ \sqrt { 2 } } \right) =\frac { 14 }{ \sqrt { 2 } } \)
(செங்குத்து தூரம் குறையெண்ணாக இருக்க முடியாது)

\(\therefore d=\frac { 14 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 14\sqrt { 2 } }{ 2 } \)=7\(\sqrt {2}\) அலகுகள்

வெட்டுத்துண்டு வடிவம் \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)  .....(1)
கொடுக்கப்பட்டது a + b =1 \(\Rightarrow\) b = 1-a
\(\Rightarrow \frac { x }{ a } +\frac { y }{ 1-a } =1\)
(8, 3) இக்கோட்டில் மீது அமைவதால் நமக்குக் கிடைப்பது.
\(\Rightarrow \frac { 8 }{ a } +\frac { 3 }{ 1-a } =1\quad \Rightarrow \frac { 8(1-a)+3a }{ a(1-a) } =1\)
\(\Rightarrow \frac { 8-8a+3a }{ a-{ a }^{ 2 } } =1\Rightarrow 8-8a+3a=a-{ a }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \) 8 - 8a + 3a - a + a² = c
a² - 6a +8 = 0
​​​​​ \(\Rightarrow \) (a-4)(a - 2) = 0 ​​ \(\Rightarrow \) a = 4 (அ) 2
a=4 எனில் b =1 -4 = -3
a=2 எனில் b = 1 - 2 = -1
a = 4, b = -3 எனில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac { x }{ 4 } +\frac { y }{ -3 } =1\)
\(\Rightarrow \) -3x + 4y = -12    ((1)ன் மூலம்)
\(\Rightarrow \) -3x - 4y = 12
a =2, b = -1 எனில் \(\frac { x }{ 2 } +\frac { y }{ -1 } =1\)
\(\Rightarrow \) -x + 2y = -2 \(\Rightarrow \) x - 2y = 2