(i) சாதாரண வருடத்தில் 365 நாட்கள் 
365 நாட்கள் = 52 வாரங்கள் + 1 நாள் 
52 வாரங்களில 52 ஞாயிற்றுக்கிழமைகள் உள்ளன.
மீதமுள்ள ஒரு நாள் கீழ்வரும் ஏதேனும் ஒரு நாள் கிழமையாகும்.
1 - ஞாயிறு , 2 - திங்கள், 3 - செவ்வாய், 4 - புதன், 5 - வியாழன், 6 - வெள்ளி, 7 - சனி
∴ 53 ஞாயிற்றுக்கிழமை நிகழ்தகவு = \(\frac { 1 }{ 7 } \)
(ii) லீப் வருடத்தில் 366 நாட்கள் உள்ளன.
366 நாட்கள் = 52 வாரங்கள் + 2 நாட்கள்.
மீதமுள்ள 2 நாட்கள் கீழ்க்கண்ட ஏதேனும் கூட்டு நிகழ்ச்சிகளில் இருக்கும்.
1) திங்கள் & செவ்வாய் 
2) செவ்வாய் & புதன் 
3) புதன் & வியாழன் 
4) வியாழன் & வெள்ளி 
5) வெள்ளி & சனி 
6) சனி & ஞாயிறு 
7) ஞாயிறு & திங்கள் 
∴ தேவையான நிகழ்தகவு = \(\frac { n\left( A \right) }{ n\left( S \right) } =\frac { 2 }{ 7 } \)

\(x=\tan { \theta } \) என்க 
எனவே, \(\frac { 1+x }{ 1-x } =\frac { 1+\tan { \theta } }{ 1-\tan { \theta } } =\tan { \left( \frac { \pi }{ 4 } +\theta \right) } \)
\(\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1+x }{ 1-x } \right) } =\tan ^{ -1 }{ \left[ \tan { \left( \frac { \pi }{ 4 } +\theta \right) } \right] } =\frac { \pi }{ 4 } +\theta =\frac { \pi }{ 4 } +\tan ^{ -1 }{ x } \)
\(y=\frac { \pi }{ 4 } +\tan ^{ -1 }{ x } \)
\({ y }^{ ' }=\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \)

இங்கு sine சார்பு வெளிப்புறச் சார்பாகவும் வர்க்க சார்பு உட்சார்பாகவும் உள்ளது.
u = x²  எனக்.
அதாவது, \(y=\sin { u. } \)
எனவே, \(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } \)
\(=\cos { u\quad \times } (2x)\\ =\cos { { (x }^{ 2 }) } .2x\\ =2x\cos { { (x }^{ 2 }) } .\)

\(f(x)=\begin{cases} -x+2,\quad x\le 2 \\ 2x-4,\quad x>2 \end{cases};\ x=2\)
\(f'({ 2 }^{ - })={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { f(x)-f(2) }{ x-2 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { -x+2-(0) }{ x-2 } \)
\(\left[ \begin{matrix} \because f(x)=-x+2 \\ \Rightarrow f(2)=-2+2=0 \end{matrix} \right] \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { -x+2 }{ x-2 } \)
......(1)
\(\therefore f'({ 2 }^{ + })={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { f(x)-f(2) }{ x-2 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { (2x-4)-0 }{ x-2 } \)
\(\left[ \begin{matrix} \because f(x)=2x-4 \\ f(2)=4-4=0 \end{matrix} \right] \)

\(\\ (1),(2)\Rightarrow f'({ 2 }^{ - })\neq f'({ 2 }^{ + })\)
∴f(x) க்கு x =2-ல் வகைமை இல்லை.

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -3 & 4 & -7 \\ 6 & 2 & -3 \end{matrix} \right| =\hat { i } (-12+14)-\hat { j } (9+24)+\hat { k } (-6-24)=2\hat { i } -51\hat { j } -30\hat { k } \)
\(\vec { a } .(\vec { a } \times \vec { b } )=(-3\hat { i } +4\hat { j } -7\hat { k } ).(2\hat { i } -51\hat { j } -30\hat { k } )=-6-204+210=0\)
எனவே,   \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { a } \times \vec { b } \) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து 

\(\left[ \begin{matrix} 0 & \sin { \alpha } & \cos { \alpha } \\ \sin { \alpha } & 0 & \sin { \beta } \\ \cos { \alpha } & -\sin { \beta } & 0 \end{matrix} \right] =0{ M }_{ 11 }-\sin { \alpha } { M }_{ 12 }+\cos { \alpha } { M }_{ 13 }\)
\(=0-\sin { \alpha } (0-\cos { \alpha } \sin { \beta } )+\cos { \alpha } (-\sin { \alpha \sin { \beta } -0)=0. } \)

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையில் 6 எழுத்துகள் (V, O, W, E, L, S) உள்ளன.
(i) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் துவங்க வேண்டும். எனவே, மீதமுள்ள 5 எழுத்துகளை வரிசைப்படுத்த ⁵P₅ = 5! வழிகள் உள்ளன. ஆகவே, E இல் தொடங்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 5! = 120.
(ii) எல்லா எழுத்துச் சரங்களும் E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்க வேண்டும், 5! = 120.

எனவே, E ஐ முதலிலும், W ஐ கடைசியிலும் வைக்கவேண்டும். மீதமுள்ள 4 எழுத்துகளை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம்.
ஆகவே, E இல் தொடங்கி, W இல் முடிக்கும் எழுத்துச் சரங்களின் எண்ணிக்கை 4! = 24.

x -ன் மதிப்புகள் -3 -ஐ விடக் குறைவாகவோ அல்லது 3 -ஐ விட கூடுதலாக இருப்பின் 9-x² என்ற கோவை குறையெண்ணாக மாறும். எனவே இம்மதிப்புகளுக்கு \(\sqrt{9-x^2}\) காண இயலாது.அதாவது \(\sqrt{9-x^2}\) ஆனது [-3, 3] என்ற இடைவெளியில் மட்டுமே காண இயலும்.
x –ன் மதிப்புகள் -1 அல்லது அதனை விடக் கூடுதலாகவும், அதே நேரத்தில் 1 அல்லது அதனை விடக் குறைவாகவும் இருக்கும்போது x² - 1- என்ற கோவை குறையெண்ணாகவோ அல்லது பூஜ்ஜியமாகவோ மாறும். அதாவது குறையெண்ணாக இருக்கும்போது \(\sqrt{x^2-1}\)என்பதனைக் காண இயலாது. மேலும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது f வரையறுக்க இயலாது. அதாவது \(\sqrt{x^2-1}\) ன்பதனை [-1, 1] என்ற இடைவெளிக்கு வெளியில் காணலாம். அதாவது (-∞, -1)U (1, ∞) என்ற இடைவெளியில் \(\sqrt{x^2-1}\)–ன் மதிப்பு காணலாம்.
மேற்காணும் இரண்டு நிபந்தனைகளையும் இணைக்கும்போது \(f(x)={\sqrt{9-x^2}\over \sqrt{x^2-1}}\) –ன் மதிப்பு [-3, 3]  ∩ ((-∞, -1)U(1,∞))என்ற இடைவெளியில் மட்டுமே காணலாம். அதாவது f ன் மீப்பெரு சார்பகம் [-3, -1) U(1,3] ஆகும்.

\(\sqrt{x+14}\) வரையறுக்கப்பட x + 14 ≥ 0 என இருத்தல் வேண்டும்.
x ≥ -14 எனவே, x + 2 > 0, அதாவது x ≥ -2.
மேலும், (x + 14)<(x + 2)² அதாவது, x² + 3x - 10 > 0 எனவே, (x + 5)(x - 2)>0.
x = -5 மற்றும் x = 2 ஆகிய மாறுநிலைப் புள்ளிகளைக் கொண்டு எண்கோட்டில் இடைவெளிகளை உருவாக்கி, அவற்றிலிருந்து புள்ளிகளைப் பிரதியிடக் கிடைக்கும் தீர்வு x < -5 மற்றும் x > 2 ஆகும். x ≥ -2 என்பதால் அவற்றின் தீர்வு x > 2 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட அசமன்பாட்டிலிருந்து 2>|x - 4| எனக் கிடைக்கும்.
அதாவது, -2 < x - 4 < 2 மற்றும் x ≠ 4
மேலும், 4 ஐக் கூட்ட 2 < x < 6 மற்றும் 2 ≠ 4, அதாவது, (2,4) U (4,6)  என்பது தீர்வு ஆகும்

0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \), 0 < y < \(\frac { \pi }{ 2 } \) ,
(x,y) I கால் பகுதியில் அமைவதால் இவை அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களும் மிகையாகும்.
\(\sqrt { { 17 }^{ 2 }-{ 15 }^{ 2 } } =\sqrt { 289-225 } =\sqrt { 64 } \) = 8
\(\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 12 }^{ 2 } } =\sqrt { 169-144 } =\sqrt { 25 } \) = 5

sin x = \(\frac { 15 }{ 17 } \)    sin y = \(\frac { 5 }{ 13 } \)
cos x = \(\frac { 8 }{ 17 } \)    cos y = \(\frac { 12 }{ 13 } \)
tan x = \(\frac { 15 }{ 8 } \)    tan y = \(\frac { 5 }{ 12 } \)
cosec x = \(\frac { 17 }{ 15 } \)   cot y = \(\frac { 12 }{ 5 } \) 
sec x = \(\frac { 17 }{ 8 } \)    cosec y = \(\frac { 13 }{ 5 } \)
cot x = \(\frac { 8 }{ 15 } \)      sec y = \(\frac { 13 }{ 12 } \)
tan (x + y)  = \(\frac { \tan { x } +\tan { y } }{ 1-\tan { x } \tan { y } } \)
= \(\frac { \frac { 15 }{ 8 } +\frac { 5 }{ 12 } }{ 1-\frac { 15 }{ 8 } \times \frac { 5 }{ 12 } } =\frac { \frac { 180+40 }{ 96 } }{ \frac { 96-75 }{ 96 } } \)
= \(\frac { 220 }{ 21 } \)

\(I=\int { \frac { (3x-9)dx }{ (x-1)(x+2)({ x }^{ 2 }+1) } } \)
\(\therefore \frac { (3x-9)dx }{ (x-1)(x+2)({ x }^{ 2 }+1) } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x+2 } +\frac { Cx+D }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
(பகுதி பின்னமாக்கியதால்)
\(\Rightarrow \) 3x - 9 = A (x² +1) + B (x-1) (x² +1) (Cx+D) (x-1) (x+2) ...(1)
x = 1 என (1)-ல் பிரதியிட 
-6 = A (3)(2) \(\Rightarrow \) -6 = A (6) \(\Rightarrow \)A=-1
x = 1 என (1)-ல் பிரதியிட 
-15 = B(-3)(5)
\(\Rightarrow -15=-15\Rightarrow B=\frac { 15 }{ 15 } =1\)
x =0 என (1) -ல் பிரதியிட 
-9 = 2A -B -2D
\(\Rightarrow -9=-2-1-2D\Rightarrow -9=-3-2D\)
\(\Rightarrow -9+3=-2D\Rightarrow -6=-2D\Rightarrow D=3\)
x =-1 என (1) -ல் பிரதியிட 
-12 = A(1)(2) + B(-2)(2) + (-C+D)(-2)(1)
\(\Rightarrow \) -12 = 2A -4B + 2C -2D
\(\Rightarrow \)-12 =-2 -4 +2C -6
\(\Rightarrow \)-12 =-12 + 2C
\(\Rightarrow \)C =0
\(\therefore \frac { 3x-9 }{ (x-1)(x+2)({ x }^{ 2 }+1) } =\frac { -1 }{ x-1 } +\frac { 1 }{ x+2 } +\frac { 3 }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\therefore I=\int { \frac { (3x-9)dx }{ (x-1)(x+2)({ x }^{ 2 }+1) } } \)
\(=-1\int { \frac { dx }{ x-1 } + } \int { \frac { dx }{ x+2 } +3 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } \)
\(=-\log|x-1|+log|x+2|+3\tan^{ -1 }x+c\) 
=\(\log|\frac{x+2}{x-1}|+3\tan^{-1}x+c\)

நுண்கணிதப் பயன்பாட்டில் திசை வேகம் \(v=\frac{ds}{dt}\) என்பது காலத்தை பொறுத்து அதன் நிலையில் மாறும் வீதம் ஆகும்.இங்கு s என்பது தொலைவினைக் குறிக்கிறது.தொடர்வண்டியின் திசைவேகம் v(t)=20t+50
ஆகவே \(\frac{ds}{dt}=20t+50\)
தொலைத்தூரச் சார்பு s-ஐ காண்பதற்கு வகையிடல் சார்பினைத் தொகையிட வேண்டும்.
அதாவது \(s =\int {(20t +50)}dt \)
s =10t²+50t+c 
காலம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் தொடர்வண்டி பயணித்திற்கும் தூரம் பூஜ்ஜியமாகும்.ஆரம்ப கால நிபந்தனை t=0 எனும் போது s=0 எனப் பயன்படுத்தித் தொகை மாறிலி c-ஐக் கணக்கிடலாம்.
⇒ s =10t²+50t+c ⇒ c=0
எனவே, s=10t²+50t
2 மணி நேரத்தில் தொடர் வண்டி பயணித்த தூரம் காண t=2 என s=10t²+50t-ல் பிரதியிட வேண்டும்.
ஆகவே , s=10(2)²+50(2)=140 கிமீ. மாலை 5 மணிக்கு அத்தொடர் வண்டி 140கிமீ தூரம் பயணித்திருக்கும். 

S என்பது கூறுவெளி,A என்பது இரட்டைப்படை எண் மற்றும் 
B என்பது மூன்றின் மடங்காக்க கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
எனவே 
S ={1,2,3,4,5,6} \(\Rightarrow\)n(S)=6
A ={2,4,6}\(\Rightarrow\)n(A)=3
B ={3,6} \(\Rightarrow\)n(B)=2
தேவையான நிகழ்தகவுகள் 
(i) P(இரட்டைப்படை எண் கிடைக்க) =\(P(A)={n(A)\over n(S)}={3\over6}={1\over2}\)
(ii) P (மூன்றின் மடங்கு கிடைக்க)=\(P(B)={n(B)\over n(S)}={2\over6}={1\over3}\).

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \frac { \sqrt { 1+\sin { x } } -\sqrt { 1-\sin { x } } }{ \tan { x } } } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1+sin\quad x } -\sqrt { 1-sin\quad x } }{ tan\quad x } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1+sin\quad x } -\sqrt { 1-sin\quad x } }{ tan\quad x } } \)\(\times \\ \times \)\(\frac { \sqrt { 1+sin\ x } +\sqrt { 1-sin\ x } }{ \sqrt { 1+sin\ x } +\sqrt { 1-sin\ x } } \)
(தொகுதி, பகுதியை \(\sqrt { 1+sin\ x } +\sqrt { 1-sin\ x } \) ஆல் பெருக்க)
\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { (1+sin\quad x)-(1-sin\ x) }{ tan\ x(\sqrt { 1+sin\ x } +\sqrt { 1-sin\ x } } } \)


\(=2\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { cos\quad x }{ \sqrt { 1+sin\ x } +\sqrt { 1-sin\ x } } } \)

\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1+sin\ x } -\sqrt { 1-sin\ x } }{ tan\ x } =1 } \)

(i) AB \(\neq \) BA
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \),B = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
AB = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \left( 2-2 \right) & \left( 1+0 \right) \\ \left( 0+1 \right) & \left( 0+0 \right) \end{matrix} \right] \)
=\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) .......(1)
BA = \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}=\left[ \begin{matrix} \left( 2+0 \right) & \left( 4-0 \right) \\ \left( -0+1 \right) & \left( -2+0 \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}\) ............(2)
(1) \(\neq \) (2)
(ii) AB = 0 = BA, A \(\neq \) 0, B \(\neq \) 0
A = \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\), B = \(\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)
AB = \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)
= \(\begin{bmatrix} \left( -1+1 \right) & \left( 1-1 \right) \\ \left( -1+1 \right) & \left( 1-1 \right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)= 0
BA = \(\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
= \(\begin{bmatrix} \left( -1+1 \right) & \left( -1+1 \right) \\ \left( 1-1 \right) & \left( 1-1 \right) \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=0\)
\(\therefore \)  AB = 0 = BA  எனவே நிருபிக்கப்பட்டது
(iii) AB = 0 மற்றும்    BA \(\neq \) 0 
A = \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\), B = \(\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)
AB = \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)
= \(\begin{bmatrix} \left( -1+1 \right) & \left( -2+2 \right) \\ \left( -1+1 \right) & \left( -2+2 \right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)= 0
BA = \(\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
= \(\begin{bmatrix} \left( -1-2 \right) & \left( -1-2 \right) \\ \left( 1+2 \right) & \left( 1+2 \right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\neq 0\)
AB = 0, BA \(\neq \)0.

எளிதாக இப்புள்ளிகள் ஒரு முக்கோணத்தை அமைக்கும் எனத் தெரியும். இப்போது ஏதேனும் ஒரு கோணம் \(\frac { \pi }{ 2 } \) என நிறுவ  வேண்டும்.எனவே இம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைக் காணவேண்டும்.
O -வை ஆதிபுள்ளி என்க. A,B,C  ஆகியவற்றை (4,-3,1)(2,-4,5) மற்றும் (1,-1,0) எனக் கொள்க .
\(\overrightarrow { OA } =4\hat { i } -3\hat { j } +\hat { k } ,\overrightarrow { OB } =2\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } ,\overrightarrow { OC } =\hat { i } -\hat { j } \)
இப்பொழுது \(\overrightarrow { AB } =\overrightarrow { OB } -\overrightarrow { OA } =-2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } \)
இதுபோலவே \(\overrightarrow { BC } =-\hat { i } +3\hat { j } -5\hat { k } ;\overrightarrow { CA } =3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\overrightarrow { AB } .\overrightarrow { CA } = 0\)
ஆகவே ஒரு கோணம் \(\frac { \pi }{ 2 } \). எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் .

\(\frac { a+b }{ a-b } =\tan { \left( \frac { A+B }{ 2 } \right) } \cot { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } \)
\(\frac { a }{ \sin { A } } =\frac { b }{ \sin { B } } =\frac { c }{ \sin { C } } =k\)  என்க 
⇒ a = k sin A, b = k sin B, c = k sin C

= \(\frac { 2\sin { \left( \frac { A+B }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } }{ 2\cos { \left( \frac { A+B }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } } =\tan { \left( \frac { A+B }{ 2 } \right) } \cot { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } \) = RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

x -அச்சானது நேரத்தை மணியிலும், y -அச்சானது தூரத்தை கிலோமீட்டரிலும் குறிப்பிடுகிறது என்க. கொடுக்கப்பட்ட தகவலின்படி,
   \(y=6(x-\frac { 10 }{ 60 } )\Rightarrow y=6x-1\)              (6.43)
   \(y=4(x-\frac { 5 }{ 60 } )\Rightarrow y=4x+\frac { 1 }{ 3 } \)            (6.44)
மேற்கண்ட சமன்பாடுகள் (6.43) மற்றும் (6.44) தீர்க்க (x,y) = \(\left( \frac { 2 }{ 3 } ,3 \right) \)
 x =\(\frac { 2 }{ 3 } \)  மணிகள் = 40 நிமிடங்கள், y = 3 கிமீ
(i) அவனது பள்ளிக்கும் வீட்டிற்கும் உள்ள தொலைவு 3 கிமீ
(ii) பள்ளிக்கு நேரத்திற்குச் செல்ல எடுத்துக் கொள்ளும் குறைந்தபட்ச சராசரி
வேகம்  = \(\frac { 60 }{ 40 } \times 3\)=4.5 கிமீ / மணி மற்றும் பள்ளியை அடைய ஆகும் நேரம்  =\(\frac { 2 }{ 3 } \) மணி அல்லது 40 நிமிடம்
(iii) பள்ளி தொடங்கும் நேரம் காலை 8.40 ஆகும்
(iv) நடைபாதையின் இரட்டை நேர்கோடுகளின் சமன்பாடு
(6x-y-1) (4x-y+\(\frac { 1 }{ 3 } \)) =0
72x²-30xy+3y²-6x+2y-1  = 0

கொடுக்கப்பட்ட தகவலின் படி

முதல் பந்தை எடுக்க பயணித்த தூரம் =24+24=48மீ
இரண்டாவது பந்தை எடுக்க பயணித்த தூரம் =2(24+4)=56மீ
மூன்றாவது பந்தை எடுக்க பயணித்த தூரம்=2(24+4+4)=64மீ
48,56,64,...20
a=48, d=56-48=8 & n=20
எல்லாப் பந்துகளையும் தொடக்கப்புள்ளிக்கு கொண்டு வந்து சேர்க்க போட்டியாளர் ஓடவேண்டிய தூரம் =20 உறுப்புகளின் கூடுதல்
S_n=\(\frac { n }{ 2 } \)[2a+(n-1)d]
∴ S_n=\(\frac { 20 }{ 2 } \)[2(48)+19(8)]=10[96+152]
⇒ S₂₀=2480மீ.

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 12x²+2kxy+2y²+11x-5y+2=0 
இங்கு a=12, h=k, b=2, g=\(\frac {11}{2}\),f=\(\frac {-5}{2}\), c=2
இரட்டை இணை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
⟶abc+2 fgh-af²-bg²-ch²=0 
12(2)(2)+(-5)(\(\frac{1}{2}\))(k)-12(\(\frac{25}{4}\))-2(\(\frac{121}{4}\))-2k²=0

முழுவதையும் 4 ஆல் பெருக்க
192-110 k-300-242-8k²=0
\(\Rightarrow \)-8k²-110k-350=0
\(\Rightarrow \)4k²+55k +175=0
\(\Rightarrow \)(k-5)(4k+35)=0
\(\Rightarrow \)k=-5 (அ) k =\(\frac {-35}{4}\)

கொடுக்கப்பட்ட இரட்டை கோடுகள்.
x² - 4xy + y² = 0    ..(1)
x + y - 2 = 0 ⇒ y = 2 - x     ....(2)
(2) ஐ (1)-ல் பிரதியிட
x² - 4x (2 - x) + (2 - x)² = 0
⇒ x² - 8x + 4x² + 4 + x² - 4x = 0
⇒ 6x² - 12 x + 4 = 0
⇒ 3x² - 6x + 2 = 0

∴  x = \(\frac { 6\pm \sqrt { { \left( -6 \right) }^{ 2 }-4\left( 3 \right) \left( 2 \right) } }{ 2\times 3 } =\frac { 6\pm \sqrt { 36-24 } }{ 6 } =\frac { 6\pm \sqrt { 12 } }{ 6 } \)
= \(\frac { 3\pm \sqrt { 3 } }{ 3 } \)
x = \(\frac { 3\pm \sqrt { 3 } }{ 3 } \), y = 2 - \(\left( \frac { 3+\sqrt { 3 } }{ 3 } \right) =\frac { 3-\sqrt { 3 } }{ 3 } \)
x = \(\frac { 3-\sqrt { 3 } }{ 3 } \), y = 2 - \(\left( \frac { 3-\sqrt { 3 } }{ 3 } \right) =\frac { 3+\sqrt { 3 } }{ 3 } \)
Δ OPQ-ன் முனைகள் - o(0, 0), P \(\left( \frac { 3+\sqrt { 3 } }{ 3 }, \frac { 3-\sqrt { 3 } }{ 3 } \right) \) , Q \(\left( \frac { 3-\sqrt { 3 } }{ 3 } \frac { 3+\sqrt { 3 } }{ 3 } \right) \)
∴ O- லிருந்து வரையப்படும் நடுக்கோட்டின் சமன்பாடு \(\begin{pmatrix} { x }_{ 1 } & { y }_{ 1 } \\ 0, & 0 \end{pmatrix}\) மற்றும் \(\begin{pmatrix} { x }_{ 2 } & { y }_{ 2 } \\ 1, & 1 \end{pmatrix}\) இவற்றின் வழியாக செல்கிறது. இரு புள்ளி வடிவ சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \Rightarrow \frac { y-0 }{ 1-0 } =\frac { x-0 }{ 1-0 } \) ⇒ y = x
இதுவே தேவையான நடுக்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.

இரண்டு பக்கங்களிலும் ஒன்றை கூட்டவும்.
P(n): 1+\(\frac { 1 }{ 1+2 } +\frac { 1 }{ 1+2+3 } +..+\frac { 1 }{ 1+2+3+..+n } =1+\frac { n-1 }{ n+1 } \) என்க.
=\(\frac { n+n+n-1 }{ n+1 } =\frac { 2n }{ n+1 } \)
படி (1)
n =2 ⇒ 2 என்க
\(1+\frac { 1 }{ 1+2 } =\frac { 2(2) }{ 2+1 } \Rightarrow 1+\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 4 }{ 3 } \frac { 4 }{ 3 } =\frac { 4 }{ 3 } \)
P(2) உண்மை.
படி (2)
⇒ P(k) உண்மை எனக் கொள்வோம்.
\(\frac { 1 }{ 1+2 } +..+\frac { 1 }{ 1+2+3+..+n } =\frac { 2k }{ k+1 } \)   ....(1)
படி (3)
எனவே P(k+1) உண்மை என நிரூபிப்போம்.
அதாவது \(1+\frac { 1 }{ 1+2 } +..+\frac { 1 }{ 1+2+3+k } +\frac { 1 }{ 1+2+..+k+1 } =\frac { 2(k+1) }{ k+2 } \)
LHS =\(1+\frac { 1 }{ 1+2 } +..+\frac { 1 }{ 1+2+3+...+k } +\frac { 1 }{ 1+2+..+(k+1) } \)
=\(\frac { 2k }{ k+1 } +\frac { 1 }{ 1+2+3+...+(k+1) } \) [(1) பயன்படுத்தி]
=\(\frac { 2k }{ k+1 } +\frac { 1 }{ \frac { (k+1)(k+1) }{ 2 } } \)  \(\left[ \therefore \Sigma n=\frac { n(n+1) }{ 2 } \right] \)
=\(\frac { 2k }{ k+1 } +\frac { 2 }{ (k+1)(k+2) } =\frac { 2 }{ k+1 } \left[ k+\frac { 1 }{ k+2 } \right] \)
=\(\frac { 2 }{ k+1 } \left[ \frac { { k }^{ 2 }+2k+1 }{ k+2 } \right] \)
=\(\frac { 2(k+1)^{ 2 } }{ (k+1)(k+2) } =\frac { 2(k+1) }{ k+2 } \)=RHS 
P(k+1) என்பது உண்மையாகும். எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் கொள்கையின்படி n-ன் மதிப்புகளுக்கும் P(n) உண்மை நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } ={ ({ x }^{ 3 }+7) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=\left[ { x }^{ 3 }\left( 1+\frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } \right) \right] ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)  (x பெரிய எண் என்பதால் \(\left| {7\over x^3} \right|<1\))
\(=x\left( 1+\frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ \)
\(=x\left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \left( \frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ 2 }+.... \right) \)
\(=x\left( 1+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } -\frac { 49 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +.... \right) \)
\(=x+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } -\frac { 49 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +......\)
\(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+4 } ={ ({ x }^{ 3 }+4) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=\left[ { x }^{ 3 }\left( 1+\frac { 4 }{ { x }^{ 3 } } \right) \right] ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)  (x பெரிய எண் என்பதால் \(\left| {{4}\over{x^ 2}} \right|<1\))
\(=x\left( 1+\frac { 4}{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ \)
\(=x\left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 4 }{ { x }^{ 3 } } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \left( \frac { 4 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ 2 }+.... \right) \)
\(=x\left( 1+\frac { 4}{ 3 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } -\frac { 16 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +.... \right) \)
\(=x+\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } -\frac { 16 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +......\)
x ஒரு பெரிய எண் என்பதால் \(\frac {1}{x}\) மிகச் சிறிய எண்ணாக இருக்கும். எனவே\(\frac {1}{x}\) -ன் உயர் அடுக்குகள் நீக்கப்படலாம்.
எனவே \(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } =x+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } }\) மற்றும் \( \sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+4 } =x+\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } .\)
அதனால்\(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } -\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+4 } =\left( x+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } \right) -\left( x+\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } \right) =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \) 
 

sinθ + cosθ = m எனத் தரப்பட்டுள்ளது
LHS = cos⁶θ + sin⁶θ 
= (cos²θ)³ + (sin²θ)³ ∴ a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
= (cos²θ + sin²θ) (cos⁴θ - cos²θ sin²θ + sin⁴θ)
= 1. ((cos²θ)² + (sin²θ)² - cos²θ sin²θ)   [∵ cos²θ + sin²θ =1]
= ((cos²θ + sin²θ)² - 3 cos²θ sin²θ)  ∴ a² + b² = (a + b)² -2ab
= 1 - 3 cos²θ sin²θ
RHS = \(\frac { 4-3{ \left( { m }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 } }{ 4 } \)
= \(\frac { 4-3{ \left( { \left( \cos { \theta } +\sin { \theta } \right) }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 } }{ 4 } \)        ∵ 1 = cos²θ + sin²θ
 = \(\frac { 4-3{ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } +2\cos { \theta } \sin { \theta } -\left( \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } \right) \right) }^{ 2 } }{ 4 } \)
= \(\frac { 4-3{ \left( 2\cos { \theta } \sin { \theta } \right) }^{ 2 } }{ 4 } =\frac { 4-12\cos ^{ 2 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } }{ 4 } \)
= 1 - 3 cos²θ sin²θ  = LHS
⇒ ∴ LHS = RHS

x²- ax +b = 0 ...(1) கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகள் 
 x² - ex +  f= 0 ...(2)
\(\alpha \) என்பது பொதுவான மூலம் என்க.
\(\alpha ,\beta \) என்பன (1) ன் மூலங்கள் என்க.
\(\therefore \alpha +\beta =\frac { -b }{ \alpha } =\frac { -(-a) }{ 1 } =a\)
\(\alpha \beta =\frac { c }{ \alpha } =\frac { b }{ 1 } =b;1=\frac { c }{ a } \)
\(\alpha ,\alpha \) என்பன (2) ன் மூலங்கள் எனில் 
x² - ex +f  = 0
\(\alpha +\alpha =e\Rightarrow 2\alpha =e\)
\({ \alpha }^{ 2 }=f\)
நிரூபிக்க வேண்டியது ae = 2(b+ f)
\(\therefore L.H.S=ae\)
\(=(\alpha +\beta )(2\alpha )\)
\(ae={ 2\alpha }^{ 2 }+2\alpha \beta \)
= 2f + 2b 
=2 (b + f) ....R.H.S
\(\therefore \) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.    

செவ்வெண்மை மற்றும் வென்படம் என இரு வழிகளில் தீர்வு காணலாம்.
(i) செவ்வெண்மை மூலம் தீர்வு காணல்
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி விவரங்களிலிருந்து n(A) = 5000 -ல் 45% = 2250
இதே போன்று 
n(B)=1250, n(C)=500, n(A∩B)=250, n(B∩C)=200, n(C∩A)=200 மற்றும் n(A∩B∩C)=150
மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள்
n (A∩B'∩C') = n{ ( A ∩ (B U C)' } = - n (A ) - n(A ∩ (B ∪ C))}
= n(A) - n (A∩B)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)
= 2250 - 250 - 200 + 150 = 1950
A மொழி மட்டும் தெரிந்தவர்களின் எண்ணிக்கை 1950
(ii) வென்படம் மூலம் தீர்வு காணல்:

படத்திலிருந்து, மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள் 39 சதவீதம் ஆகும்.

\(\int { { 5x }^{ 4 }dx=5\int { { x }^{ 4 }dx=5\frac { { x }^{ 4+1 } }{ 4+1 } +c=5\left( \frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right) +c={ x }^{ 5 }+c } } \)

\(\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { k }{ x } \right) }^{ \frac { m }{ x } } } \)
\(\\ \frac { 1 }{ x } =t\) என்க
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { k }{ x } \right) }^{ \frac { m }{ x } }=\lim _{ \frac { 1 }{ x } \rightarrow 0 }{ { (1+kt) }^{ mt } } } \)
\(=\lim _{ t\rightarrow 0 }{ ({ 1+0) }^{ m(0) } } =\lim _{ t\rightarrow 0 }{ { 1 }^{ 0 }=1 } \)

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { { 1+x }^{ 2 } } -1 }{ x } } \)
தொகுதி, பகுதியை \(\\ \left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +1 \right) \) ஆல் பெருக்க
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -1 }{ x } } \times \frac { \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +1 } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { (1+{ x }^{ 2 })-1 }{ x\left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +1 \right) } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +1 } } =\frac { 0 }{ \sqrt { 1+0 } +1 } =\frac { 0 }{ 2 } =0\)

ஒவ்வொரு பரிசும் எந்த ஒரு மாணவர்களுக்கும் 10 வழிகளில் பகிர்ந்தளிக்கலாம் 
 \(\therefore \)  12 பரிசுகளை  ஒவ்வொரு  10 மாணவர்களுக்கும்  
= 10 x  10 x 10  x 10  x 10  x 10  x 10  x 10 x 10  x 10  
= 10¹² வழிகளில் பகிர்ந்தளிக்கலாம்   

\(sin^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)=y என்க, \(-\frac { \pi }{ 2 } \le y\le \frac { \pi }{ 2 } \Rightarrow siny=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
siny=\(sin\frac { \pi }{ 4 } \Rightarrow y=\frac { \pi }{ 4 } \)
முதன்மை மதிப்பு=\(sin^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \).