0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \), x முதல் கால் பகுதியில் அமைவதால் அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களும் மிகையாகும்.
\(\cos y=-\frac { 24 }{ 25 }\) ,\(\pi < y < \frac {3\pi}{2}\)  , y ஆனது இரண்டாவது கால் பகுதியில் அமைவதால் tan y, cot y மட்டுமே மிகையாகும்.

\(\sqrt { { 17 }^{ 2 }-{ 8 }^{ 2 } } =\sqrt { 225 } \)  = 15
\(\sqrt { { 25 }^{ 2 }-{ 24 }^{ 2 } } =\sqrt { 625-576 } \)
= \(\sqrt { 49 } \) = 7 
sinx = \(\frac { 8 }{ 17 } \)
siny = \(\frac { -7 }{ 25 } \)
cosx = \(\frac { 15 }{ 17 } \)
cosy = \(\frac { -24 }{ 25 } \)
sin(x - y) = sinx cosy - cosxsiny
= \(\left( \frac { 8 }{ 17 } \right) \left( \frac { -24 }{ 25 } \right) -\left( \frac { 15 }{ 17 } \right) \left( \frac { -7 }{ 25 } \right) \)
= \(\frac { -192 }{ 425 } +\frac { 105 }{ 425 } \)
= \(\frac { -87 }{ 425 } \)

இடப்புறம் = \((\frac{1}{cosA}-\frac{1}{sinA})[1+\frac{sinA}{cosA}+\frac{cosA}{sinA}]\)
= \(\frac{\sin^3A-\cos^3A}{\sin^2A\cos^2A}\) ......(i)
வலப்புறம் = \(\frac{\sin A}{\cos^2A}-\frac{\cos A}{\sin^2A}=\frac{\sin^3A-\cos^3A}{\sin^2A\cos^2A}\) ......(ii)
(i) மற்றும் (ii) இலிருந்து நமக்குத் தேவையான தீர்வு கிடைத்துள்ளது.

cos (– 45°) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° . cos 45° - sin 60° sin 45°
= \(\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
= \(\frac { 1-\sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } \)

A + B = 45⁰ ⇒ B = 45⁰ - A⁰ 
LHS = (1 + tan A) (1 + tan B)
= (1 + tan A) (1 + tan (45 - A))
(1 + tan A) \(\left( 1+\frac { \tan { 45 } -\tan { A } }{ 1+\tan { 45 } .\tan { A } } \right) \) (∵ \(\tan { \left( A-B \right) } =\frac { \tan { A } -\tan { B } }{ 1+\tan { A } .\tan { B } } \))
= (1 + tan A) \(\left( 1+\frac { 1-\tan { A } }{ 1+\tan { A } } \right) \)

= 2 = RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

tan²θ = 1 - k², 1 -ஐ இருபுறமும் கூட்ட
1 + tan²θ = 1 - k² + 1
sec²θ = 2 - k²
இருபுறமும் (3/2) மடங்கு காண 
⇒ \({ \left( \sec ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec ^{ 3 }{ \theta } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec { \theta .\sec ^{ 2 }{ \theta } } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec { \theta } \left( 1+\tan ^{ 2 }{ \theta } \right) ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)   (∵ 1 + tan²θ = sec²θ)
⇒ \(\sec { \theta } +\sec { \theta } \tan ^{ 2 }{ \theta } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec { \theta } +\frac { 1 }{ \cos { \theta } } .\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ \(\sec { \theta } +\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \times \frac { 1 }{ \sin { \theta } } .\frac { \sin ^{ 2 }{ \theta } }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } ={ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)   (∵ 2வது உறுப்பை sinθ ஆல் பெருக்கி வகுக்க)
⇒ secθ + tanθ . cosecθ . tan²θ =\({ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
⇒ secθ + cosecθ tan³θ = \({ \left( 2-{ k }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

sinθ + cosθ = m எனத் தரப்பட்டுள்ளது
LHS = cos⁶θ + sin⁶θ 
= (cos²θ)³ + (sin²θ)³ ∴ a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
= (cos²θ + sin²θ) (cos⁴θ - cos²θ sin²θ + sin⁴θ)
= 1. ((cos²θ)² + (sin²θ)² - cos²θ sin²θ)   [∵ cos²θ + sin²θ =1]
= ((cos²θ + sin²θ)² - 3 cos²θ sin²θ)  ∴ a² + b² = (a + b)² -2ab
= 1 - 3 cos²θ sin²θ
RHS = \(\frac { 4-3{ \left( { m }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 } }{ 4 } \)
= \(\frac { 4-3{ \left( { \left( \cos { \theta } +\sin { \theta } \right) }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 } }{ 4 } \)        ∵ 1 = cos²θ + sin²θ
 = \(\frac { 4-3{ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } +2\cos { \theta } \sin { \theta } -\left( \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } \right) \right) }^{ 2 } }{ 4 } \)
= \(\frac { 4-3{ \left( 2\cos { \theta } \sin { \theta } \right) }^{ 2 } }{ 4 } =\frac { 4-12\cos ^{ 2 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } }{ 4 } \)
= 1 - 3 cos²θ sin²θ  = LHS
⇒ ∴ LHS = RHS

t நேரத்தில் விளைவு அலையின் உயரம் H எனக் கொள்க.
H = 8 cos t + 6 sin t
8 cos t + 6 sin t = k cos (t - \(\alpha\))
= k (cos t cos \(\alpha\) + sin t sin \(\alpha\))
இங்கு, k = 10 மற்றும் tan \(\alpha=\frac{3}{4}\)
எனவே, H = 10 cos (t - \(\alpha\))
 H - ன் மீப்பெரும் உயரம் = 10 மிமீ
t = \(\alpha\) எனும்போது மீப்பெரும் மதிப்பையடைகிறது. இங்கு tan \(\alpha=\frac{3}{4}\)

cos (α - β) + cos (β - ⋎) + cos (⋎ - α) = \(-\frac { 3 }{ 2 } \)
⇒ cos α cosβ + sin α sinβ + cosβ. cos⋎ + sinβ sin⋎ + cos⋎ cosα + sinα sin ⋎ = \(-\frac { 3 }{ 2 } \)
⇒ 2 [cosα cosβ + sinα sinβ + cosβ. cos ⋎ + sinβ sin⋎ + cos ⋎ cosα + sinα sin⋎] = -3
⇒ 2 cosα cosβ + 2 cosβ. cos ⋎ + 2 cos ⋎ cosα + 2  sinα sinβ + 2 sinβ sin⋎ + 2 sinα sin⋎ + 3 = 0
⇒(2 cosα cosβ + 2 cosβ. cos ⋎ + 2 cos ⋎ cosα + 2  sinα sinβ + 2 sinβ sin⋎ + 2 sinα sin⋎) + (cos²α + sin² β) + (cos² ⋎ + sin²⋎) = 0
⇒ cos²α + cos²β + cos²⋎ + 2 cosα cosβ + 2 cosβ. cos ⋎ + 2 cos ⋎ cosα + sin²α sin² β + sin² ⋎ + 2  sinα sinβ + 2 sinβ sin⋎ + 2 sin⋎. sinα = 0
⇒ (cos α + cos β + cos⋎)² + (sin α + sin β + sin⋎)² = 0
⇒ cos α + cos β + cos⋎ = 0
⇒ sin α + sin β + sin⋎ = 0 எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.