\(\mu=\frac{v^{2}}{rg} \Rightarrow v=\sqrt{\mu rg}\).
r=50 m
\(\mu=0.4\)
முடுக்கம் (g)=9.8 ms-2
வேகம் \(v=\sqrt{\mu rg}\)
=\(\sqrt{0.4\times 50 \times 9.8}\)
=\(\sqrt{196}\)
பெரும வேகம் =14ms^-1.

வில்லின் 1 செகண்டு =1"=\(\frac { 1^{ 0 } }{ 60\times 60 } \)
=\(\frac { 1^{ 0 } }{ 60\times 60 } \times \frac { \pi }{ 180 } \)  \(\left[ \because { 1 }^{ 0 }=\frac { \pi }{ 180 } \right] \)
=\(\left[ \frac { 1 }{ 3600 } \times \frac { 3.14 }{ 180 } \right] \)
∴ வில்லின் 1 செகண்டு =4.85 x 10^-6 ரேடியன்.

\(\omega =\frac{\pi}{12} \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}  \)
\(\theta =\omega \mathrm{t}  \)
\(=\frac{\pi}{2} \times 4=\frac{\pi}{3}=\frac{180}{3}=60^{\circ}\)

விழுக்காட்டுப்பிழை = 0.04 × 100 = 4%

தொலைவு d = 6.3 × 10¹⁰ m
நேரம் t = 7 நிமிடம் = 7 × 60 s.
துடிப்பின் திசைவேகம் v = ?
துடிப்பின் திசைவேகம்
\(v={2d\over t}={2\times6.3\times10^{10}\over 7\times60}=3\times10^8ms^{-1}\)

கணக்கீடு முழுமைக்கு இரண்டு கனச் செவ்வகப் பொருட்களுக்கும் வெவ்வேறு குறிப்பாயங்களைப் பயன்படுத்தினால் தீர்வு காண்பது எளிமையாக்கும். 
கனச் செவ்வகப் பொருள் 1ஐப் பொருத்த வரை சாய்தளத்திற்கு இணையாக மேல் நோக்கிச் செல்லும் இயக்கத்தை நேர்குறி X அச்சுத் திசையிலும் சாய்தளத்திற்கு செங்குத்தாக மேல் நோக்கிச் செல்லும் இயக்கத்தை நேர்குறி y அச்சுத் திசையிலும் கருத வேண்டும். மேலும் கனச் செவ்வகப் பொருள் 2ஐப் பொறுத்தவரை அதன் கீழ் நோக்கிய இயக்கத்தை நேர்குறி y அச்சுத் திசையாகக் கருத வேண்டும்.
கனச் செவ்வகப் பொருள் 1 றிற்கும் சாய்தளத்திற்கும் இடையேயான தொடுவிசையின் செங்குத்துக்கூறு N பின்வருமாறு 
N = m₁g cos\(\theta \)   (1)
கனச் செவ்வகப் பொருள் 1 இன் மீது செயல்படும் தொகுபயன்விசையின் x கூறு 
F_1x = T− f_friction − m₁ g sin\(\theta \)  (2)
இங்கு T என்பது மெல்லிய கயிற்றின் இழு விசை சற்றே சறுக்கும் நிபந்தனையில், உராய்வு விசையின் எண் மதிப்பு 
f_friction = \(\mu\)_sN = \(\mu\)_s m1g cos\(\theta \)  (3)
தொங்கிக் கொண்டிருக்கும் நிறையின் ஈர்ப்பு விசை கயிற்றின் இழு விசையாகச் செயல்படும் 
T = m₂ g (4)
சற்றே சறுக்கும் நிபந்தனையில் கனச் செவ்வகப் பொருள் 1 இன் மீது செயல்படும் தொகுப்பயன் விசை சுழியாகும். 
சமன்பாடுகள் (2),(3) மற்றும் (4) ஆகியவற்றிலிருந்து 
0 = m₂g- \(\mu\)s m₁gcos θ – m₁g sin θ
m₂=m₁( \(\mu\)s cos θ + sin θ)

ஆற்றல், நீளம் மற்றும் காலம் இவற்றின் பரிமாணங்கள் முறையே [E], [L] மற்றும் [T] என்க.
விசை = நிறை \(\times \) முடுக்கம்
என்பதை நாம் அறிவோம்

\(=\frac { [E] }{ [{ LT }^{ 2 }][L] } =\frac { [E] }{ [{ L }^{ 2 }{ T }^{ 2 }] } =[{ EL }^{ 2 }{ T }^{ 2 }]\)

பந்தின் நிறை m =\(\frac {35}{1000}\)=0.035kg.
பந்தானது ஸ்டம்பைத் தாக்கும்போது 
உண்டாக்கும் கோணம் (\(\theta _ {1}\)=30^o) 
பந்து திரும்ப அனுப்பப்படும் கோணம் \(\theta _ {2}\)=60^o 
கிடைமட்டத் திசையில் உந்த மாறுபாடு 
= -mu cos30° - (mu cos30° )
= -2 mu cos30°
= -2 x 0.035 x 20 x cos30°
=-2 x 0.035 x 20 x \(\sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \) \(\left[ \therefore cos{ 30 }^{ o }=\sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } \right] \)
=-1.4x \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)= 1.21kg ms^-1
பந்தினால் பெறப்பட்ட கணத்தாக்கு விசை 
J =1.2 kg ms^-1

AB=|A| |B|cos \(\theta \)
cos \(\theta \)=\(\frac { \overrightarrow { A } .\overrightarrow { B } }{ |\overrightarrow { A } |\quad |\overrightarrow { B } | } \)
\(\hat { A } \hat { B } =(\hat { i } +2\hat { j } -\hat { k } )-(4\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\)
=(-4+2+2)
=-4+4=0
cos\(\theta \)=0^o 
\(\theta \)=cos^-1 0
\(\theta \)=90^o 
s =0+\(\frac {1}{2}\)x 10x =\(\frac {1}{2}\)x 90
s =45m 
t =3 to 6 sec ல் திசைவேகம் 30m/s 
கடந்த தொலைவு =30x3=60m 
மொத்த தொலைவு 0 முதல் 6 செகண்டுகளில் 
=30m +60m  =90m 
(ii) t =3 செகண்டில் u =30ms^-1 t=6செகண்டில் 
v=u+at 
0=30+ax 3
a=-10m/s²
t = 3 முதல் t=6 sec களில் கடந்த தொலைவு 
v²=u² +2as 
(0)²=(30)²-2x 10xs 
s =\(\frac{900}{20}\)=45m 

1. பொருத்தமான நிலைமக்குறிப்பாயம் ஒன்றைக் கருத வேண்டும் பொதுவாக புவியினை ஒரு நிலைமக்குறிப்பாயமாகக் கருதலாம்.
2. நியூட்டன் விதிகளைப் பயன்படுத்தத் தேவையான அமைப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். அவ்வமைப்பானது ஒரு பொருள் அமைப்பாகவோ அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பொருள்கள் சேர்ந்த அமைப்பாகவோ இருக்கலாம்.
3. பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளைக் கண்டறிந்து அவற்றைக் கொண்டு விசைப்படம் வரைய வேண்டும். பின்னர் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பயன்படுத்த வேண்டும். இடப்பக்கம் பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும். வலப்பக்கம் பொருளின் நிறை மாற்றம் அப்பொருள் முடுக்கம் இவற்றின் பெருக்கல்பலனை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும். ஏனெனில் முடுக்கம் ஒரு வெக்டர் அளவாகும்.

4. முடுக்கம் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் விசையைக் கண்டறியலாம். அதே போல் விசை கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் பொருளின் முடுக்கத்தைக் காணலாம்.
மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கருத்துகளின்படி படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு தரையில் ஒரு நிலமைக் குறிப்பாயத்தைக் கருத வேண்டும்.

மாங்காயின் மீது பின்வரும் இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
i) மாங்காயின் மீது எதிர்க்குறி y அச்சுத்திசையில் கீழ் நோக்கி செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை, நேர்க்குறி y அச்சுத்திசையில் செயல்படும் மாங்காயைத் தாங்கியுள்ள காம்பு, மாங்காயின் மீது செலுத்தும் மேல் நோக்கிய இழுவிசை.
மாங்காயின் விசைப்படம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

\(\overrightarrow { { F }_{ g } } mg\left( -\hat { j } \right) =-mg\hat { j } \)
இங்கு mg என்பது புவியீர்ப்பு விசையின் எண்மதிப்பு மற்றும் \(\left( -\hat { j } \right) \) என்பதை எதிர்குறி y அச்சுத்திசையைக் குறிக்கும் ஓரலகுவெக்டர்.
\(\vec{T}=T \hat{j}\)
இங்கு T என்பது மாங்காயின் மீது செயல்படும் இழுவிசை மற்றும் \((\hat{j})\) என்பது நேர்குறி y அச்சுத்திசையைக் குறிக்கும் ஓரலகு வெக்டர்
\(\vec{F}_{\text {net }}=\vec{F}_g+\vec{T }=-mg \hat{j }+T \hat{j}=(T-m g) \hat{j}\)
நியூட்டன் இரண்டாம் விதிப்படி, \(\vec{F}_{n e t}=m \vec{a}\)
நம்மைப்பொருத்து (நிலைமக்குறிப்பாயத்தை பொருத்து) மாங்காய் ஓய்வு நிலையில் உள்ளது. எனவே அதன் முடுக்கம் சுழி \((\vec{a}=0)\)
எனவே, \(\vec{F}_{n e t}=m \vec{a}=0\)
\((T-m g) \hat{j}=0\)
மேமே உள்ள சமன்பாட்டின் இரண்டுபக்கங்களின் வெக்டர் கூறுகளை ஒப்பிடும்போது T - mg = 0 எனக்கிடைக்கும்.
எனவே, மாங்காய்க் காம்பின் இழுவிசை T = mg
மாங்காயின் நிறை m = 400 g மேலும் \(\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}\)
எனவே மாங்கையின் மீது செயல்படும் இழுவிசை T = 0.4 x 9.8 = 3.92 N.

தானாக விழும் பொருளுக்கு, செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய தொடக்க திசைவேகம் = 0. அதே போன்று கிடைத்தளத்தில் எறியப்பட்ட பொருளின் செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய தொடக்க திசைவேகம் = 0. எனவே எந்தவொரு கணத்திலும் அவை கடக்கும் செங்குத்துத் தொலைவுகள் சமமாக அமையும்.

நிறை, நீளம் ஆகியவை ஸ்கேலார்கள். முடுக்கம் என்பது வெக்டா். ஆனால் முடுக்கத்தின் எண்மதிப்பு என்பது ஸ்கேலார்.

அடா்த்தி = 4 g cm³ 
நீளம் = 10 x 10^-2  மீ 
நிறை = 100 x 10³ கி.கி
நீள் அடர்த்தி
\(=\frac{100 \times 10^3}{10 \times 10^{-2}}=\frac{10}{10}=1\) கி.கி / மீ³

6.3200 J-ன் முக்கிய எண்ணுருக்கள் = 5

h இன் அலகு-(h-பிளாங்க் மாறிலி)-Js
C இன் அலகு-(ஒளியின் திசைவேகம்) ms^-1
G இன் அலகு-(புவி ஈர்ப்பு மாறிலி)- \( \frac{\mathrm{Nm}^2}{\mathrm{~kg}^2}\)
\(\therefore \frac{h c}{G}\) இன் அலகு \(=\frac{J s \times m s^{-1}}{N m^2 / \mathrm{kg}^2} \)
\(=\frac{(\mathrm{Nm}) s \times m \mathrm{~s}^{-1} \times \mathrm{kg}^2}{\mathrm{Nm}^2} \)
\({[J} =\mathrm{Nm}]=\mathrm{kg}^2\)

(C + \(\Delta\)C) = (3.0 \(\pm \) 0.1) \(\mu\)F
(V+\(\Delta\)V) = (18 \(\pm \) 0.4) V
Q = CV
Q = 3.0 \(\times\) 10^-6 \(\times\) 18 = 54 \(\times\) 10^-6 C
C இல் உள்ள சதவீதப் பிழை =\(\frac { \Delta C }{ C } \times 100\)
\(=\frac { 0.1 }{ 3 } \times 100=3.3\)%
V இல் உள்ள சதவீதப் பிழை = \(\frac { \Delta V }{ V } \times 100\)
\(=\frac { 0.4 }{ 18 } \times 100=2.2\)%
Q இல் உள்ள சதவீதப் பிழை = C இல் உள்ள சதவீதப் பிழை + V இல் உள்ள சதவீதப் பிழை
= 3.3% + 2.2% = 5.5%
\(\therefore \) மின்னூட்டம் Q = (54 \(\times\) 10^-6 \(\pm \) 5.5%) C   

பொருள் ஒன்று 'a' என்ற சீரான அல்லது மாறாத முடுக்கத்துடன் நேர்கோட்டில் இயங்குவதை கருதுவோம். u என்பது தொடக்கத் திசைவேகம் மற்றும் 't' காலத்திற்குப்பின் அதன் திசைவேகம் V என்க.
(i) திசைவேகம் - காலம் தொடர்பு:
எந்தவொரு கணத்திலும் முடுக்கம் என்பது காலத்தைச் சார்ந்தது திசைவேகத்தின் முதல் வகைக்கெழு எனில்
\(\mathrm{a}=\frac{d v}{d t}\) அல்லது dv = adt
காலமானது 0 விலிருந்து t ஆக மாறும் காலத்தில் அதன் திசைவேகம் u விலிருந்து v ஆக மாறுகிறது என்ற நிபந்தனையில் இருபுறமும் தொகைக் காணல் காண, சீரான முடுக்கத்திற்கு
\(\int_u^v d v=a \int_0^t d t \Rightarrow[v]_u^v=a[t]_0^t\)
v = -u = at அல்லது v = u + at   .....(1)
(ii) இடப்பெயர்ச்சி - காலம் தொடா்பு:
திசைவேகம் என்பது காலத்கை சாா்ந்து இடப்பெயச்சியின் முதல் வகைக் கெழு எனில்
\(v=\frac{d s}{d t}\) அல்லது ds = vdt 
v = u + at என்பதால்
\(\mathrm{ds}=(\mathrm{u}+\mathrm{at}) \mathrm{dt}\)
தொடக்க காலத்தில், t = 0. அப்போது பொருள் ஆதிப்புள்ளியில் இருப்பதாக கருதுவோம். t காலத்தில் அது அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி s என்க. முடுக்கம் காலத்தைச் சாா்ந்ததல்ல எனக் கருதுவோம். எனவே, \( \int_0^t d s=\int_0^t u d t+\int_0^t a t\)   ....(2)
(iii) திசைவேகம் - இடப்பெயர்ச்சி தொடா்பு:
காலத்தை சாா்ந்து, திசைவேகத்தின் முதலாவது வகைக் கெழு முடுக்கம் எனப்படும்.
\(\mathbf{a}=\frac{d v}{d t}=\frac{d v}{d s} \frac{d s}{d t}=\frac{d v}{d s} . \quad v, \frac{d s}{d t}=v\) என்பதனால் 
மேலும், s இடப்பெயர்ச்சியாகும்.
இதனை, \( \mathbf{a}=\frac{1}{2} \frac{d v^2}{d s}\) என எழுதலாம் அல்லது
\(\mathrm{ds}=\frac{1}{2 a} d\left(v^2\right)\)
இடப்பெயர்ச்சி s என மாறும் பொழுது திசைவேகம் u², v² என மாறுகிறது என்ற நிபந்தனையில் இச்சமன்பாட்டை தொகை காணல் காண்
\(\int_0^s d s=\int_u^v \frac{1}{2 a} d\left(v^2\right) \)
\(s =\frac{1}{2 a}\left(v^2-u^2\right)  \)
\(v^2 =u^2+2 a s\)     .....(3)
(iv) சமன்பாடு 1ன்படி:
at = v - u
இதனை சமன்பாடு 2 ல் பிரதியிட
\(\mathrm{s}=\mathrm{ut}+\frac{1}{2}(v-\mathrm{u}) \mathrm{t}  \)
\(\mathrm{s}=\frac{(u+v) t}{2}\)       .....(4)

பொருள் சாய்தளத்தில் சறுக்கிச் செல்லும்போது இயக்க உராய்வு ஏற்படுகிறது.
பொருளின்மீது கீழ்க்கண்ட விசைகள் செயல்படுகின்றன அவை தளத்திற்கு செங்குத்தாக செயல்படும். செங்குத்து விசை, கீழ்நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்புவிசை மற்றும் தளத்திற்கு இணையாகச் செயல்படும் இயக்க உராய்வு விசை

x அச்சுத்திசையில்
mg sinθ - f_k = ma
ஆனால் a = g / 2
mg sin60^o - f_k = mg/2
\({\sqrt{3}\over2}mg-f_k=mg/2\)
\(f_k=mg\left({\sqrt3\over2}-{1\over2}\right)\)
\(f_k=\left(\sqrt3-1\over2\right)mg\)
y- அச்சுத்திசையில் எவ்வித இயக்கமும் இல்லை. எனவே செங்குத்து விசை (N), mg cosθ என்ற கூறினால் சமன் செய்யப்படுகிறது.
mg cosθ = N = mg / 2
f_K = μ_K N = μ_K mg / 2
\(μ_k={\left(\sqrt3-1\over2\right)mg\over {mg\over 2}}\)
\(μ_k=\sqrt3-1\)