வட்டப்பாதை இயக்கம் மேற்கொள்ளும் புள்ளித் துகள் ஒன்றின் திசைவேகம் எண் மதிப்பிலும் (வேகம்) திசையிலும் தெரடர்ந்து மாறினால் அது சீரற்ற வட்டப்பாதை இயக்கம் எனப்படும்.

வட்டத்தின் ஆரத்திற்கு சமமான நீளமுடைய வட்டவில் அந்த வட்டத்தின் மையத்தில் தாங்கும் கோணம் ரேடியன் எனப்படும்.
1 ரேடியன் \(=\frac{180}{\pi}\)  டிகிரி = 57,295⁰

நீரூற்றிலிருந்து வரும் நீா் வட்டப் பாதை இயக்கம் உடையது. எனவே
மையநோக்கு முடுக்கம் \(=\frac{v^2}{r}\)
மைய நோக்கு முடுக்கத்தை புவி ஈர்ப்பு முடுக்கம் அளிக்கிறது.
\(\therefore \mathrm{g}=\frac{v^2}{r}\)
அல்லது \(\mathrm{r}=\frac{v^2}{g}\)
நீரூற்றை சுற்றி ஈரமாகும் பகுதியின் பரப்பு \(=\pi r^2\)
\(=\pi\left(\frac{v^2}{g}\right)^2=\frac{\pi v^4}{g^2}\)

\(l=1 m,  \theta =30^{\circ}  \)
\(l_x =l \cos \theta  \)
\(=1 \times \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{~m}  \)
\(l_y =l \sin \theta  \)
\(=1 \times \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}=0.5 \mathrm{~m}\)

கார்டீசியன் ஆய அச்சுத் தொகுப்பின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர் சமன்பாட்டை x, y மற்றும் z கூறுகளாகப் பகுத்து அதன் கூறுகளை ஒப்பிட வேன்டும்.
F_1x + F_2x + F_3x = F_4x
F_1y + F_2y + F_3y = F_4y
F_1z + F_2z + F_3z = F_4z

r ஆரமுடைய வட்டப்பாதையில் சீரான இயக்கம் பெற்றுள்ள புள்ளிப் பொருள் ஒன்றைக் கருதுக. சீரான வட்டப்பாதை இயக்கத்தில் பொருளின் திசைவேகத்தின் எண் மதிப்பில் (வேகம்) எவ்வித மாற்றமும் அடையாமல் திசைவேக வெக்டரின் திசை மட்டும் தொடர்ந்து மாறிக் கொண்டேயிருக்கும். v என்பது ஆதன் திசைவேகம் என்க. வட்டப்பாதையின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இத்திசைவேகம் தொடுகோட்டின் திசையில் செயல்படும். ஆனால் முடுக்கம் 'a' ஆரத்தின் வழியே மையத்தை நோக்கி செயல்படும். இது மைய நோக்கு முடுக்கம் எனப்படும். இது எப்போதும் வட்டத்தின் மையம் நோக்கியே செயல்படும்.

படத்தில் காட்டியவாறு Δt இடைவெளியில் பொருளின் நிலைவெக்டர் மற்றும் திசைவேக வெக்டர் ஆகியவை θ கோண இடப்பெயர்ச்சியை உருவாக்குகிற்து.
சீரான வட்ட இயக்கத்தில்,
\(\mathrm{r} =\left|\vec{r}_1\right|=\left|\vec{r}_2\right| \) மற்றும்
\(\mathrm{v}=\left|\vec{v}_1\right| =\left|\overrightarrow{v_2}\right|\)
துகளின் நிலை வெக்டர் \(\overrightarrow{r_1}\) லிருந்து \(\vec{r}_2\)-க்கு மாறும்போது இடப்பெயர்ச்சி
\(\Delta \vec{r}=\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\) மற்றும் 
திசைவேகம் \(\overrightarrow{v_1}\) விலிருந்து \(\overrightarrow v_2\) மாறுகிறது.
\(\Delta \vec{v}=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}\)
இடப்பெயர்ச்சியின் எண்மதிப்பு Δt மற்றும் Δv ஆகியவற்றின் தொடர்பு
\(\frac{\Delta r}{r}=-\frac{\Delta v}{v}=\theta\)
எதிர்க்குறி Δv ஆரத்தின் வழியே வட்டத்தின் மையத்தை நோக்கி செயல்படுவதைக் குறிக்கிறது.
எனவே \(\mathrm{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\frac{v}{r}\left(\frac{\Delta r}{\Delta t}\right)=-\frac{v^2}{r}\)
சீரான வட்டப்பாதை இயக்கத்திற்கு v = ωr இதில் ω என்பது வட்டத்தின் மையம் பற்றிய கோணத் திசைவேகம் ஆகும். எனவே மையநோக்கு முகுக்கம் a = -ω²r என எழுதலாம்.

ஸ்கேலார் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் எண் மதிப்புகள் மற்றும் அவைகளுக்கு இடையேயான கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத்தொகை ஸ்கேலார் பெருக்கல் எனப்படும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகிய இரு வெக்டர்களுக்கு இடையேயான கோணம் θ எஎில் \( \vec{A} \cdot \vec{B}=\mathrm{AB} \cos \theta.\) A மற்றும் B என்பவை வெக்டர் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியவற்றின் எண் மதிப்புகள்.
(எ.கா) வேலை, ஆற்றல் மற்றும் மின்புலப்பாயம்
பண்புகள்:
(i)  \(\vec { A } \).\(\vec { B } \)  எப்போதும் ஒரு ஸ்கேலார். θ < 90^o எனில் அது நேர்க்குறி. \(90^{\circ}<\theta<180^{\circ}\) எனில் அது எதிர்க்குறி.
(ii) வெக்டர்கள் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=0^{\circ}, \cos \theta=1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\)_{பெரும்} = AB.
(iii) வெக்டர்கள் எதிரெதிர் திசையில் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=180^{\circ}, \cos \theta=-1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\) = AB.
(iv) வெக்டர்கள் ஒன்றுக்கொ்ன்று செங்குத்தாக இருந்தால் \(\theta=90^{\circ}, \cos 90^{\circ}=0, \therefore \vec{A} \cdot \vec{B}=0\)
(v) இது பரிமாற்று வி|திக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}\)
(vi) இது பங்கீட்டு விதிக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{C})=\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot \vec{C}\)
(vii) சுய புள்ளி பெருக்கல்,\(\vec{A} \cdot \vec{A}=A A \cos \theta=A^2\left(\theta=0^{\circ}\right)\) எனில் வெக்டர் \(\vec { A } \)யின் எண்மதிப்பு \(|\vec{A}|\) ஆகும். \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}}\)
(viii) \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) என்பன அலகு வெக்டரின் செங்குத்துக் கூறுகள் எனில்
\(\hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1\) மற்றும் \(\hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{k}=\hat{k} \cdot \hat{i}=0\)
(ix) வெக்டா்களுக்கு இடையேயான் கோணம் \(\theta=\cos ^{-1}\left[\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{A B}\right]\)
(x) கூறுகளின் அடிப்படையில்,
\(\vec{A} \cdot \vec{B} =\left(A_x \hat{i}+\mathrm{A}_y \hat{j}+\mathrm{A}_z \hat{k}\right) \cdot\left(\mathrm{B}_x \hat{i}+B_y \hat{j}+B_z \hat{k}\right) \)
\(=A_x B_x \hat{i}+A_y B_y \hat{j}+A_z B_z \hat{k}\), மற்றவை சுழியாகும். 
\(\vec { A } \) யின் எண் மதிப்பு \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}\) மற்றும்
\(|\vec{B}|=\mathrm{B}=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}\)
வெக்டர் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் வெக்டர் பெருக்கல் மற்றொரு வெக்டர் ஆகும். இதன் எண்மதிப்பு அவ்விரு வெக்டர்களின் எண்மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றிற்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத் தொகைக்குச் சமம் ஆகும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன இரு வெக்டர்கள் எனில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\vec{G}=(A B \sin \theta) \check{n}\)
\(\hat{n}\) ன் திசை \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) வெக்டர்களின் தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் இருக்கும். வலது கை திருகு ஒன்றை \(\vec { A } \) வெக்டரிலிருந்து (முதல் வெக்டர்) \(\vec { B } \) வெக்டரை நோக்கி அவற்றின் சிறிய கோணத்தின் வழியே சுழற்றும்போது திருகு முன்னேறும் திசையில் \(\vec{C}\) வெக்டரின் திசை இருக்கும்.
(எ.கா) திருப்புவிசை \(\vec{C}=\vec{r} \times \vec{F}\) மற்றும் \(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\)
பண்புகள்:
(i) வெக்டா் பெருக்கலின் தொகுபயன் எப்போதும் ஒரு வெக்டராக இருக்கும். இவ்விரு வெக்டர்கள் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான வெக்டர்களாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும் தொகுபயனின் திசை அவ்விரு வெக்டர்கள் அமைந்த தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் அமையும்.
(ii) பரிமாற்று விதிக்கு உட்படாது. \(\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A} \cdot\) ஆனால் \(\vec{A} \times \vec{B}=-[\vec{B} \times \vec{A}]\)
(iii) \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையுமானால் \(\theta=90^{\circ}, \sin \theta=1, (\vec{A} \times \vec{B})\)_{பெருமம்} = \(A B \hat{n}\)
(iv) θ = 0^o அல்லது 180^o எனில் sin θ = 0, சுழியற்ற வெக்டா்களாக இருந்தாலும் வெக்டர் பெருக்கல் \((\vec{A} \times \vec{B})\)_{சிறுமம்} = 0
இதன் பொருள் என்னவெனில், வெக்டர்கள் இணையாக இருந்தாலோ எதிர் திசையில் இணையாக அமைந்தாலும் வெக்டா் பெருக்கல் அழிந்துவிடும்.
(v) சுய வெக்டர் பெருக்கல் சுழி வெக்டா் ஆகும்.
\(\vec{A} \times \vec{A}=A A \sin 0^{\circ} \hat{A}=\overrightarrow{0}\)
(vi) அலகு வெக்டர் கூறுகளின் சுய வெக்டா் பெருக்கல் சுழியாகும்.
\(\hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0\)
(vii) அலகு வெக்டர்களின் செங்குத்துக் கூறுகள் \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) ஆகியவற்றின் வெக்டர் பெருக்கல்கள்
\(\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}\)  மற்றும்
\(\hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k} \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}\)
(viii) கூறுகளின் அடிப்படையில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{array}\right|=\begin{array}{} \hat{i} \left(A_y B_z-A_z B_y\right) \\ + \hat{j} \left(A_z B_x-A_x B_z\right) \\ +  \hat{k} \left(A_x B_y-A_z B x\right) \end{array}\)
(ix) வெக்டா் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரு இணைகரத்தின் இரு பக்கங்களைக் குறித்தால் \(|\vec{A} \times \vec{B}|\) அவ்விணைகரத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.
(x) வெக்டர் \(\vec { A } \) ம்ற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரே வரிசையில் எடுக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களாக குறுக்கப்பட்டன. \(\frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}|\) என்பது அம்முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.

தானாக விழும் பொருளுக்கு,
\(h =\frac{1}{2} g p t^2  \)
\(\therefore g_p =\frac{2 h}{t^2}=\frac{2+50}{4}=25 m s^{-2}\)

சீரான வட்டப்பாதை இயக்கத்தில் திசைவேகத்தின் எண் மதிப்பு மாறாது. திசை மட்டும் மாறும். எனவே மாறாத வேகம் உடையது. மேலும் முடுக்கத்தின் எண்மதிப்பும் மாறாது.

\(\mathrm{V} =2 \hat{i}+t^2 \hat{j}-9 \hat{k}  \)
\(\vec{a} =\frac{d v}{d t}=2 t \cdot \hat{j} \)
\(\mathrm{t} =\mathrm{t}=0.5 \mathrm{~s} \) எனில் 
\(\mathrm{a} =1 \mathrm{~ms}^{-2}\)

நிறை, நீளம் ஆகியவை ஸ்கேலார்கள். முடுக்கம் என்பது வெக்டா். ஆனால் முடுக்கத்தின் எண்மதிப்பு என்பது ஸ்கேலார்.

(அ) (ஆ) மற்றும் (இ) ஆகிய தோ்வுகள் எதிர்க் கடிகாரத் திசையில் அமையப் பெற்ற அச்சுகளைக் கொண்டுள்ளது. தேர்வு (ஈ) மட்டும் கடிகாரத் திசையில் அச்சுகள் அமைந்துள்ளன.

திசைவேகம்:
நேரத்தைப் பொருத்து பொருள் ஒன்றின் நிலை வெக்டா் மாறும் வீதம் திசைவேகம் எனப்படும். இது ஒரு வெக்டர் அளவு.
\(\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}\)
வேகம்:
திசைவேகத்தின் எண் மதிப்பு வேகம் எனப்படும்.
அதன் மதிப்பு \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\)  இது ஒரு நோ்க்குறி ஸ்கேலாா் அளவு.