நிலை ஆற்றல் = நேர்க்கோட்டு இயக்க ஆற்றல் + சுழற்சி இயக்க ஆற்றல் 
\(m g h= \frac{1}{2} m v^2+\frac{1}{2} I \omega^2  \)
\(=\frac{1}{2} m v^2+\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \times \frac{v^2}{R^2}\left(\omega=\frac{v}{R}\right)  \)
\(= \frac{1}{2} m v^2+\frac{1}{5} m v^2  \)
\(= \frac{7}{10} M v^2  \)
\(m g h =\frac{7}{10} m v^2  \)
\(g h =\frac{7 v^2}{10} \quad v^2=\frac{10 g h}{7}  \)
\(\therefore v =\sqrt{\frac{10 g h}{7}}\)

சறுக்கலின்றி, உருளும் திண்ம
உருளையின் முடுக்கம்
\(a_1=\frac{g \sin \theta}{1+\frac{K^2}{r^2}}\)
கீழ்நோக்கி (சறுக்கும்போது, முடுக்கம் \(\mathrm{a}_2=\mathrm{g} \sin \theta\)
\(\therefore \frac{a_1}{a_2} =\frac{g \sin \theta /\left(1+K^2 / r^2\right)}{g \sin \theta}  \)
\(=\frac{1}{1+\frac{K^2}{r^2}}\)
திண்மக் கோளத்திற்கு
\(\frac{K^2}{r^2}=\frac{2}{5}\)
∴ முடுக்கங்களின் தகவு
\(\frac{a_1}{a} =\frac{1}{1+\frac{2}{5}}  \)
\(=\frac{1}{\frac{(5+2)}{5}}=\frac{1}{7 / 5}  \)
\(=\frac{5}{7}  \)
\(\therefore a_1: a_2 =5: 7\)

\(K \cdot E =\frac{1}{2} I \omega^2 \quad L=I \omega  \)
\(\therefore K \cdot E =\frac{L^2}{2 I}  \)
\(\therefore K \cdot E \quad(E) \propto L^2  \)
\(E_1 \propto L_1^2 ; \quad E_2 \propto L_2^2  \)
\(\therefore \frac{E_1}{E_2} =\left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2 \)
\(E_1=E \quad E_2 =E / 2=L_1=L \quad L_2=?  \)
\(\frac{E}{E / 2} =\left(\frac{L}{L_2}\right)^2  \)
\(\frac{2 E}{E} =\left(\frac{L}{L_2}\right)^2 \therefore\left(\frac{L}{L_2}\right)^2=2  \)
\(\therefore \frac{L}{L_2} =\sqrt{2}  \)
\(\therefore L_2 =\frac{L}{\sqrt{2}}\)

m நிறை கொண்ட பொருள் t கால இடைவெளியில் கிடைத்தளத்தில் நகர்ந்த தொலைவு X என்க. 
கோணத்தின் உந்தம் \(\vec { L } =\int { \vec { \tau } dt } \)
ஆனால் \(\vec { \tau } =\vec { r } \times \vec { F } \)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } \)
\(\therefore \vec { \tau } =(x\hat { i } +y\hat { j } )\times \left( -mg\hat { j } \right) \)
\(\vec { \tau } -mgx\left( \hat { i } \times \hat { j } \right) =-mgx\hat { k } \)
\(\vec { L } =-mg\int { (xdt) } \hat { k } =-mgvcos\theta \left( \int { tdt } \right) \hat { k } \)
ஆரம்ப நிலையில் t=O மற்றும் இறுதி நிலையில் t=t_f
\(\therefore \vec { L } =-mgvcos\theta \left( \int _{ 0 }^{ { t }_{ f } }{ tdt } \right) \hat { k } =-\frac { 1 }{ 2 } mgvcos\theta { t }_{ f }^{ 2 }\hat { k } \)
எதிர் குறியானது உந்தம் ஆனது தளத்தின் உள் நோக்கியதாக உள்ளது என்பதை குறிக்கிறது.

1. மேசையின் மேலும் கட்டையின் செங்குத்து விசை (N)h - ஐ சார்ந்து இருக்காது.
2. ஏனெனில் கிடைத்தாலே விசை மேல்நோக்கி செங்குத்தாக ஈர்ப்பு மையத்தை நோக்கி செயல்படும்.

மரமானது வெட்டப்படும் போது அதன் ஈர்ப்பு மையமானது மாறுகிறது.
எடையின் காரணமாக மரத்தின் ஈர்ப்பு மையம் மாற்ற மடைகிறது எனவே மரமானது முடுக்கதை பெறுகிறது.
இதனால் வெட்டப்படும் இடம் சுழன்று மரமானது விழுகிறது.
இதனால் மரம் விழவேண்டிய திசையிலேயே மரமானது வெட்டப்படுகிறது.

பொருளொன்றின் ஒட்டு மொத்த நிறையும் செறிந்திருப்பதாகத் தோன்றும் புள்ளியானது பொருளின் நிறை மையம் எனப்படும்.

சுழற்சி ஆரம் என்பது சுழலும் அச்சிலிருந்து சமமான புள்ளி நிறை துகளின் செங்குத்து தொலைவு ஆகும்.

ஒரு புள்ளி அல்லது அச்சைப் பொருத்து பொருளின் மீது செய்படுத்தப்படும் புறவிசையின் திருப்புத்திறன் திருப்பு விசை என வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}.\)  இதன் அலகு Nm.

நிறை, M = 3 kg, ஆரம் R = 50 cm = 50 × 10^-2 m = 0.5 m
(i) வட்ட தட்டின் மையத்தில் தளத்திற்கு செங்குத்தாக செல்லும் அச்சைப் பற்றிய நிலைமத்திருப்புத் திறன் (I) ஆனது.

I =\(\frac { 1 }{ 2 } \)MR²
I = \(\frac { 1 }{ 2 } \) x 3 x (0.5)²= 0.5 x 3 x 0.5 x 0.5
I = 0.375 kg m²
(ii) வட்டத்தட்டின் பரிதியில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி

I = I_c + Md²
வழிச் செல்வதும் தளத்திற்கு செங்கத்தானதுமான அச்சைப் பற்றிய நிலைமத்திருப்புத்திறன் (I) யை இணையச்சு தேற்றத்தின் படி
இங்கு, I_c= \(\frac { 1 }{ 2 } \)MR² மற்றும் d = R
I = \(\frac { 1 }{ 2 } \)MR² + MR² = \(\frac { 3 }{ 2 } \)MR²
I = \(\frac { 3 }{ 2 } \) x (0.5)² = 1.5 x 3 x 0.5 x 0.5
I = 1.1.25 kgm²
(iii) வட்டத்தட்டின் மையம் வழியாகவும் அதே தளத்திலேயே செல்வதுமான அச்சைப் பற்றிய நிலைமத்திருப்புத் திறனை, செங்குத்து அச்சு தேற்றத்தின் படி (I) ,

I_z = I_x + I_y
இங்கு I_x = I_y = I, மற்றும் I_z = \(\frac { 1 }{ 2 } \)MR²
I_z = 2I; I = \(\frac { 1 }{ 2 } \)I_z
I = \(\frac { 1 }{ 2 } \) x \(\frac { 1 }{ 2 } \) MR² = \(\frac { 1 }{ 4 } \)MR²
I = \(\frac { 1 }{ 4 } \) x 3 x (0.5)² = 0.25 x 3 x 0.5 x 0.5
I = 0.1875 kgm²

வெட்டப்படாத வட்டத்தட்டின் நிறையானது M என எடுத்துக் கொள்க. இதனுடைய நிறை மையமானது வட்டத்தட்டின் வடிவியல் மையத்தில் அமையும். இப்புள்ளியிலேயே ஆதிப்புள்ளியும் ஒருங்கமைகிறது
வெட்டி எடுக்கப்பட்ட சிறு வட்டத்தட்டின் நிறை m என்க. (அதன் நிறை மையம் ஆதிப்புள்ளிக்கு) வலது புறத்தில் \(\frac { R }{ 2 } \) என்ற தொலைவில் படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு அமைந்திருக்கும்.
எனவே வட்டத்தட்டின் மீதமுள்ள பகுதியின் நிறை மையம் ஆதிப்புள்ளிக்கு இடது புறத்தில் X தொலைவில் உள்ளதாக எடுத்துக் கொள்வோம். திருப்புத்திறன்களின் தத்துவத்திலிருந்து, கீழ்கண்டவாறு எழுத முடியும்.

(M - m)x = (m)\(\frac { R }{ 2 } \)
x =\(\left( \frac { m }{ M-m } \right) \frac { R }{ 2 } \)
பரப்பு நிறை அடர்த்தி \(\sigma =\frac { M }{ \pi { R }^{ 2 } } \) (\(\sigma \) என்பது ஓரலகு பரப்பின் நிறை) எனில், சிறிய வட்டத் தட்டின் நிறை (m) என்பது
m = பரப்பு நிறை அடர்த்தி x பரப்பு
m = \(\sigma \times \pi \left( \frac { R }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)
m =\(\left( \frac { M }{ \pi { R }^{ 2 } } \right) \pi \left( \frac { R }{ 2 } \right) ^{ 2 }=\frac { M }{ \pi R^{ 2 } } \pi \frac { { R }^{ 2 } }{ 4 } =\frac { M }{ 4 } \)
x-ன் சமன்பாட்டில் m-ன் மதிப்பைப் பிரதியிட
x =\(\frac { \frac { M }{ 4 } }{ \left( M-\frac { M }{ 4 } \right) } \times \frac { R }{ 2 } =\frac { \frac { M }{ 4 } }{ \left( \frac { 3M }{ 4 } \right) } \times \frac { R }{ 2 } \)
x = \(\frac { R }{ 6 } \)
மீதமுள்ள வட்டத் தட்டின் நிறைமையமானது வட்டத் தட்டின் மையத்திற்கு இடப்புறம் \(\frac { R }{ 6 } \) தொலைவில் இருக்கும்.