புவிநிலை துணைக்கோள் மற்றும் துருவத் துணைக்கோள்:
(i) புவியினைச் சுற்றி வரும் துணைக்கோளின் சுற்றுகாலங்கள் அவற்றின் சுற்றுப்பாதை ஆரத்தைப் பொறுத்து அமைகின்றன. சுற்றுக்காலம் 24 மணி நேரம் உடைய துணைக்கோளி சுற்றுப்பாதை ஆரத்தை கெப்ளரின் மூன்றாம் விதியைச் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.
\({ T }^{ 2 }=\quad \cfrac { { 4\pi }^{ 2 } }{ { GM }_{ E } } \left( { R }_{ E }+h \right) ^{ 3 }\)
\(\left( { R }_{ E }+h \right) ^{ 3 }=\cfrac { GM_{ E }{ T }^{ 2 } }{ 4\pi ^{ 2 } } \)

\({ R }_{ E }+h=\left( \cfrac { { GM }_{ E }{ T }^{ 2 } }{ { 4\pi }^{ 2 } } \right) \)
(ii)புவியின் நிறை ஆரம் மற்றும் சுற்றுக்காலம் T (=24மணி =86400 வினாடிகள்) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை பிரதியிட்டு கணக்கிட h ன் மதிப்பு 36,000km எனக் கிடைக்கிறது. இவ்வகை துணைக்கோள்கள் புவிநிலைத் துணைக்கோள்கள் (geo -stationary satelites) எனப்படுகின்றன. ஏனென்றால் புவியிலிருந்து பார்க்கும் போது இவை நிலையாக இருப்பது போலத் தோன்றும்.
(iii) இந்தியா செய்தி தொடர்புக்குப் பயன்படுத்தும் புவிநிலைத் துணைக்கோளான இன்சாட் அடிப்படையில் புவி நிலைத் துணைக்கோள்களே. புவியின் பரப்பிலிருந்து 500 முதல் 800 km உயரத்தில் புவியினை வடக்கு-தெற்கு திசையில் மற்றொரு வகை துணைக்கோள்கள் சுற்றி வருகின்றன. புவியின் வட-தென் துருவங்கள் மேல் செல்லும் சுற்றும் பாதையில் புவியினை சுற்றி வரும் இவ்வகை துணைக்கோள்கள் துருவத் துணைக்கோள்கள் எனப்படுகின்றன.
(இவ்) துருவத் துணைக்கோள்களின் சுழற்சிக்காலம் 100 நிமிடங்கள். எனவே ஒரு நாளில் பலமுறை புவியினை சுற்றி வருகின்றன. ஒரு சுற்றின்போது புவியின் வடதுருவம் முதல் தென் துருவம் வரை ஒரு சிறிய  நிலப்பரப்பே (strip of area) கடந்து செல்லும். அடுத்தச் சுற்றின் போது வேறு நிலப்பரப்பு பகுதி மேல் கடந்து செல்லும்.
(v) முதல் சுற்று கால அளவில் புவியானது ஒரு சிறிய கோண அளவு சுழன்று இருக்கும். இவ்வ்ரு அடுத்தடுத்த சுற்றுகள் மூலம் துருவ துணைக்கோளானது புவியின் முழு நிலப்பரப்பையும் கடக்க முடியும்.

இயற்கையாக நடைபெறும் அனைத்து நிகழ்வுகளும் மீளா நிகழ்வுகள் ஆகும். சில ஆர்வமூட்டும் எடுத்துக்காட்டுகளை இங்கு காண்போம்.
1. வாயு அடைத்து வைக்கப்பட்ட குடுவையை திறந்தவுடன், குடுவையில் இருந்த வாயு மூலக்கூறுகள் மெதுவாக அறை முழுவதும் பரவுகின்றன. அவை மீண்டும் குடுவைக்கு வருவதில்லை.
2. பேனா மைத்துளி சொட்டு ஒன்றைத் தண்ணீரில் விடும்போது, மைத்துளி தண்ணீரில் மெதுவாக பரவும். அந்த பரவிய மைத்துளி மீண்டும் ஒன்று சேராது.
3. சர்றே உயரமான இடத்திலிருந்து விழும் பொருள் தரையை அடைந்த உடன், பொருளின் மொத்த இயக்க ஆற்றல் தரையின் மூலக்கூறுகளின் இயக்க ஆற்றலாக மாற்றமடைகிறது. அதில் ஒரு சிறுபகுதி ஒலி ஆற்றலாக இழக்கப்படுகிறது. தரையின் மூலக்கூறுகளுக்கு மாற்றமடைந்த இயக்க ஆற்றலை மீண்டும் ஒன்றிணைத்து பொருள் தானாகவே மேலே செல்ல இயலாது.
வெப்ப இயக்கவியலின் முதல் விதியின்படி மேலே கூறப்பட்ட அனைத்து நிகழ்ச்சிகளும் எதிர்த்திசையில் நடக்கவும் சாத்தியமுண்டு. ஆனால் வெப்ப இயக்கவியலின் இரண்டாம் விதி இந்நிகழ்ச்சிகளை எதிர்த்திசையில் நடக்க அனுமதிக்காது. இயற்கையின் முக்கிய விதிகளில் வெப்ப இயக்கவியலின் இரண்டாம் விதியும் ஒன்றாகும். இவ்விதி இயற்கை நிகழ்வுகள் நடைபெறும் திசையை தீர்மானிக்கிறது.

(i) சூறைக்க்கற்றில் கூரைகள் தூக்கி எறியப்படுத்தல்:
மூர்க்களங்களில் வீடுகள் அல்லது குடிசைகளின் மேற்கூரைகள் சாய்வாக வடிவமைக்கப்பட்டன. அறிவியல் காரணம் என்னெவெனில் பெர்னௌலியின் தத்துவத்தின்படி வீடுகள்  சூறைக்காற்று அல்லது புயலில் இருந்து பாதுகாக்கப்படுகின்றன.

புயல் காற்று வீசும்போது மற்ற பகுதிகளுக்கு சேதம் ஏற்படா வண்ணம் குடிசைகளின் கூரைகள் தூக்கி எறியப்படும். பெர்னௌலியின் தேற்றப்படி அதிகமாக வீசும் காற்றானது கூரைக்கு மேலே P₁  என்ற குறைந்த அழுத்தத்தை ஏற்படுகிறது.கூரைக்கு கீழேயுள்ள P₂ என்ற அழுத்தம் அதிகமாகும். எனவே இந்த அழுத்த வேறுபாடு (P₂-P₁) மேல்நோக்கிய உந்து விசையை உருவாக்கி கூரை மேலெழுப்பி காற்றுடன் சேர்ந்து தூக்கி எறியப்படுகிறது.
(ii) விமான இறக்கை உயர்த்தல்(Aerofoil lift): வானூர்தியின் இறக்கைகளானது, மேல்பகுதி கீழ்ப்பகுதியை விட அதிகமாக வளைந்தும், முன்பகுதியின் முனை பின்பகுதி முனையை விட அகலமாகவும் இருக்குமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன.

வானூர்தி இயங்கும்போது இறக்கையின் கீழுள்ள காற்றை விட இறக்கையின் மேல்பகுதியில் வேகமாக நகருகிறது. பெர்னௌலியின் தத்துவத்துப்படி இறக்கையின் கீழ்பகுதியில் உள்ள அழுத்தமானது, மேல்பகுதியை விட அதிகமாக இருப்பப்பதால் சக்தி வாய்ந்த உயர்த்தல் எனப்படும். மேல்நோக்கிய உந்துவிசை செயல்பட்டு அது வானூர்தியை மேல்நோக்கி உயரச் செய்கிறது.

(iii) புன்சன் சுடரடுப்பு:புன்சன் சுடரடுப்பில் எரிவாயு நுண்துளையின் வழியாக அதிக திசைவேகத்துடன் வெளிவருகிறது. இதனால் குழாயில் உள்ள அழுத்தம்குறைகிறது. எனவே வெளிக்காற்றானது வேகமாக அடுப்பினுள் காற்றுத் திறப்பின் வழியே நுழைந்து எரிவாயுடன் கலந்து உள்ளவாறு நீல நிறச் சுடரைத் தருகிறது.  

வாயுவில் ஒலியின் திசைவேகத்தை பாதிக்கும் காரணிகள்
நல்லியல்பு வாயு ஒன்றைக் கருதுக. அதன் சமைப்பது 
PV = \(\mu \) RT   .....(1)
இங்கு P-அழுத்தம், V-பருமன், T-வெப்பநிலை, \(\mu \) - மோல்களின் எண்ணிக்கை, R- பொது வாயு மாறிலி, கொடுக்கப்பட்ட நிறை கொண்ட மூலக்கூறுக்கு சமைப்பது (1) யை கீழ்கணடவாறு எழுதலாம் 
\(\frac { PV }{ T } \) = மாறிலி     (2)
நிறை mயை, மாறிலியாக வைத்தல், வாயுவின் அடர்த்தியானது, பருமனுக்கு எதிர்தகவில் மாறும் 
\(\rho \propto \frac { 1 }{ V } \quad V=\frac { m }{ \rho } \)   .....(3)
சமன்பாடு (3) யை (2) ல் பொருந்தினால் கிடைப்பது 
\(\frac { P }{ \rho } =cT\)
இங்கு c ஒரு மாறிலி 
சமன்பாடு v_A = \(\sqrt { \frac { { B }_{ A } }{ \rho } } =\sqrt { \frac { \gamma P }{ \rho } } =\sqrt { \gamma } { v }_{ T }\) இல் 
கொடுக்கப்பட்ட காற்றில் ஒலியின் திசைவேகத்தின் கீழ்காணுமாறு எழுதலாம்.
v = \(\sqrt { \frac { \gamma P }{ \rho } } =\sqrt { \gamma cT } \)
மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் அறிவது.
(a) அழுத்தத்தின் விளைவு:
ஒரு நிலையான வெப்பநிலையில், அழுத்தம் மாறுபடும் போது, அடர்த்தியும் நேர்விகிதத்தில் மரிக்கிறது; அதாவது \(\left( \frac { P }{ \rho } \right) \) நிலையாக அமைகிறது. இதன் பொருள் நிலையான வெப்பநிலையில், ஒலியின் திசைவேகம் அழுத்தத்தை சாராதது. ஒரு மலையின் மேலும், கீழும் வெப்பநிலை சமமாக இருந்தால், ஒலியின் திசைவேகம் மாறாமல் இருக்கும். அனால் நடைமுறையில் மழையின் மேலும் கீழும் வெப்பநிலை சமமாக இருக்காது. எனவே, ஒலியின் திசைவேகமும் மாறுபட்டிருக்கும்.
(b) வெப்பநிலையின் விளைவு:
v \(\propto \sqrt { T } \)
ஒலியின் திசைவேகம், வெப்பநிலையின் (கல்வின் மதிப்பு) இருமடி மூலத்திற்கு நேர்தகவில் மாறுகிறது. v₀ என்பது 0⁰C  அல்லது 273 K இல் ஒலியின் திசைவேகம் v என்பது ஏதேனும் ஒரு வெப்பநிலை T இல் ஒலியின் திசைவேகம் எனவும் கொண்டால்,
\(\frac { v }{ { v }_{ 0 } } =\sqrt { \frac { T }{ 273 } } =\sqrt { \frac { 273+t }{ 273 } } \)
\(v={ v }_{ 0 }\sqrt { 1+\frac { t }{ 273 } } ={ v }_{ 0 }\left( 1+\frac { t }{ 546 } \right) \)
(ஈருறுப்பு விரிவை பயன்படுத்தி)
0⁰C ஒலியின் திசைவேகம் v₀ = 331 ms^-1 என்பதால், ஏதேனும் ஒரு வெப்பநிலை t⁰C யில்
v = (331 + 0.60t) ms^-1
ஒவ்வொரு 1⁰C வெப்பநிலை உயர்வுக்கும் ஒலியின் திசைவேகம் 0.61 ms^-1 அதிகரிக்கிறது.
குறிப்பு: வெப்பநிலை அதிகரிக்கும்போது மூலக்கூறுகள் அக ஆற்றல் அதிகரிப்பால் வேகமாக அதிர்வுறும், எனவே திசைவேகம் அதிகரிக்கிறது.
(c) அடர்த்தியின் விளைவு: 
சம வெப்பநிலை, அழுத்தத்தில் உள்ள இரு வாயுக்களை கருதுக. அவற்றின் அடர்த்தி மட்டும் வெவ்வேறு என்க. அந்த இரு வாயுக்களின் வழியே ஒலியின் திசைவேகங்கள் முறையே,
\({ v }_{ 1 }=\sqrt { \frac { { \gamma }_{ 1 }P }{ { \rho }_{ 1 } } } \)   ...(4)
\({ v }_{ 2 }=\sqrt { \frac { { \gamma }_{ 2 }P }{ { \rho }_{ 2 } } } \)    ....(5)
(4) யை (5) ல் வகுக்க 
\(\frac { { v }_{ 1 } }{ { v }_{ 2 } } =\frac { \sqrt { \frac { { \gamma }_{ 1 }P }{ { \rho }_{ 1 } } } }{ \sqrt { \frac { { \gamma }_{ 2 }P }{ { \rho }_{ 2 } } } } =\sqrt { \frac { { \gamma }_{ 1 }{ \rho }_{ 2 } }{ { \gamma }_{ 2 }{ \rho }_{ 1 } } } \)
மதிப்பு சமமான வாயுக்களுக்கு,
\(\frac { { v }_{ 1 } }{ { v }_{ 2 } } =\sqrt { \frac { { \rho }_{ 2 } }{ { \rho }_{ 1 } } } \)    ...(6)
எனவே வாயு ஒன்றின் வழியே ஒலியின் திசைவேகம் அடர்த்தியின் இருமடி மூலத்திற்கு எதிர்த்தகவில் அமைகிறது.
(d) ஈரப்பதத்தின் விளைவு (humidity)
ஈரப்பதம் உள்ள காற்றின் அடர்த்தி உலர்ந்த காற்றின் அடர்த்தியைப்போல் 0.625 மடங்கு ஆகும். அதாவது ஈரப்பதம், காற்றின் அடர்த்தியை குறைத்து விடுகிறது. எனவே, ஈரப்பதம் உள்ள காற்றில் ஒலியின் திசைவேகம் அதிகரிக்கிறது.
\({ \rho }_{ 1 }\),v₁ மற்றும் \({ \rho }_{ 2 }\),v₂ என்பவை முறையே உலர்ந்த காற்று, ஈரப்பதம் உள்ள காற்றின் அடர்த்தி மற்றும் ஒலியின் திசைவேகம் என்க.
\(\frac { { v }_{ 1 } }{ { v }_{ 2 } } =\frac { \sqrt { \frac { { \gamma }_{ 1 }P }{ { \rho }_{ 1 } } } }{ \sqrt { \frac { { \gamma }_{ 2 }P }{ { \rho }_{ 2 } } } } =\sqrt { \frac { { \rho }_{ 2 } }{ { \rho }_{ 1 } } } \)   (\({ \gamma }_{ 1 }={ \gamma }_{ 2 }\) எனில்)
P என்பது வளிமண்டல அழுத்தமாதலால் கீழ்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(\frac { { \rho }_{ 1 } }{ { \rho }_{ 2 } } =\frac { P }{ { p }_{ 1 }+0.625{ p }_{ 2 } } \)
இங்கு p₁,p₂ முறையே உலர்ந்த காற்று மற்றும் நீராவியின் பகுதி அழுத்தங்கள்.
v₁ = \({ v }_{ 2 }\sqrt { \frac { P }{ { p }_{ 1 }+0.625{ p }_{ 2 } } } \)
(e) காற்றின் விளைவு:
காற்று வீசுவதாலும் ஒலியின் திசைவேகம் மாறும். காற்றின் திசையில் ஒலி செல்லும்போது அதன் திசைவேகம் அதிகரிக்கிறது. காற்றிற்கு எதிர்திசையில் ஒலியின் திசைவேகம் குறைகிறது.
 

வாயுக்களின் இயக்கவியற் கொள்கையிலிருந்து பெறப்பட்ட சில அடிப்படை விதிகள் 
பாயில் விதி:
\(PV=\frac { 2 }{ 3 } U\)
அனால் நல்லியல்பு வாயு ஒன்றின் அகஆற்றல், அதன் ஒவ்வொரு மூலக்கூறில் சராசரி இயக்க ஆற்றலின் (\(\in \)),N மடங்கிற்குச் சமமாகும்.
\(U=N\in \)
\(PV=\frac { 2 }{ 3 } N\in \)
மாறா வெப்பநிலையில், சராசரி இடப்பெயர்வு இயக்கஆற்றல் ஒரு மாறிலியாகும். இதிலிருந்து PV=மாறிலி என அறியலாம்.
எனவே, மாறா வெப்பநிலையில், கொடுக்கப்பட்ட வாயு ஒன்றின் அழுத்தம் அதன் பருமனுக்கு எதிர்த்தகவில் இருக்கும், இதுவே பாயில் விதியாகும்.
சார்லஸ் விதி: ஒரு குறிப்பிட்ட அழுத்தத்தில், வாயு ஒன்றின் பருமன் அதன் அகஆற்றலுக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும் அல்லது வாயுவின் சராசரி இயக்க ஆற்றலுக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும். மேலும் வெப்பநிலைக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும்.
இதிலிருந்து நாம் அறிவது என்னவென்றால் 
\(V\propto T\)அல்லது \(=\frac { V }{ T } \)மாறிலி 
இதுவே சார்லஸ் விதியாகும்.
அவகாட்ரோ விதி:
மாறா வெப்பநிலை மற்றும் அழுத்தத்தில் சம பருமனுள்ள அனைத்து வாயுக்களும் ஒரே எண்ணிக்கையில் வாயுமூலக்கூறுகளைப் பெற்றிருக்கும். ஒரே வெப்பநிலை மற்றும் அழுத்தத்தில் உள்ள இரண்டு வெவ்வேறு வாயுக்களுக்கு, வாயுக்களின் இயக்கவியற் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\(P=\frac { 1 }{ 3 } \frac { { N }_{ 1 } }{ V } m_{ 1 }\overline { { v }_{ 1 }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3 } \frac { { N }_{ 2 } }{ V } m_{ 2 }\overline { { v }_{ 2 }^{ 2 } } \)...(1)
இங்கு\(\overline { { v }_{ 1 }^{ 2 } } \) மற்றும்\(\overline { { v }_{ 2 }^{ 2 } } \) என்பவை இரண்டு வெவ்வேறு வாயுக்களின் சராசரி இருமுடி வேகங்களாகும். மேலும்\({ N }_{ 1 }\) மற்றும் \({ N }_{ 2 }\)என்பவை அவ்விரு வாயுக்களில் உள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையாகும்.
இவ்விரண்டு வாயுக்களிலும் உள்ள வாயு மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல். ஒரே வெப்பநிலையில் சமமதிப்பைப் பெற்றிருக்கும்.
\(=\frac { 1 }{ 2 } m_{ 1 }\overline { { v }_{ 1 }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } m_{ 2 }\overline { { v }_{ 2 }^{ 2 } } \)..........(2)
சமன்பாடு (1)ஐ சமன்பாடு (2)ஆல் வகுக்கும்போது \({ N }_{ 1 }\)=\({ N }_{ 2 }\)எனக்கிடைக்கும்.
இதுவே அவகாட்ரோ விதியாகும்.  

நீண்ட உருளை வடிவக் குழாயில் குறுக்குவெட்டுப்பரப்பு A, நிலையான நிறை கொண்ட மீட்சித் தன்மை ஊடகம் (இங்கு காற்றைக் கருதுக) P அழுத்தத்தில் உள்ளது என்க. இந்தக் குழாயில் நெட்டலைகள் ஓர் இசைக்கவையை அதிர வைத்தோ, பிஸ்டன் ஒன்றைக் கொண்டு கட்டை அலுத்தியோ ஏற்படலாம். உருளையின் அச்சுக்கு இணையாக அலை முன்னேறுவதாகக் கொள்க. ஆரம்பத்தில் ஓய்வில் உள்ள ஊடகத்தின் அடர்த்தி ρ என்க. t = 0 நேரத்தில் பிஸ்டன் இடது முனையிலிருந்து, u திசைவேகத்துடன் வலது முனைநோக்கி நகர்கிறது.

v என்பது மீட்சி அலையின் திசைவேகம் மற்றும் u பிஸ்டனின் திசைவேகம் என்க. Δt நேர இடைவெளியில் பிஸ்டன் நகரும் தூரம் Δd = uΔt மீட்சி தன்மை கொண்ட மாறுபாடு நகர்ந்த தொலைவு x = vΔt 
Δt நேர இடைவெளியில் v திசைவேகத்தை அடைந்து காற்றின் நிலை Δm என்க.
Δm = ρ A Δx = ρA(vΔt)
பிஸ்டன் u என்ற திசைவேகத்தில் இயங்குவதால்ஏற்படும் உந்தம் 
Δp = [ ρ A (vΔt) ] u 
கணத்தாக்கு  என்பது உந்தமாறுபாடு என்பதால், நிகர கணத்தாக்கு 
I = ( ΔP A )]Δt
அல்லது   ( ΔP A )]Δt = [ ρ A (vΔt) ] u 
ΔP = ρ v u    ........(1)
காற்றின் வழியாக, ஒலி அலை செல்லும்போது, சிறிய பருமன் உடைய காற்றுப்பகுதி, தொடர்ந்து இருக்கங்களுக்கும், தளர்ச்சிகளுக்கும் உட்படுகிறது 
\(\Delta P=B\frac { \Delta V }{ V } \)
இங்கு V என்பது காற்றின் தொடக்க பருமன் மற்றும் B என்பது மீட்சி ஊடகத்தின் பருமக்குணகம் (Bulk modulus).
ஆனால் V = A Δx = A v Δt
மேலும் ΔV = A Δd  =  A u Δt
எனவே 
\(\Delta P=B\frac { Au\Delta t }{ Av\Delta t } =B\frac { u }{ v } \)     .........(2)
சமன்பாடு (1) யம் சமன்பாடு (2) யம் ஒப்பிட கிடைப்பது,
அல்லது 
 ρ v u = \(B\frac { u }{ v } \) அல்லது v² = \(\frac { B }{ \rho } \)
⇒ v = \(\sqrt { \frac { B }{ \rho } } \)
பொதுவாக, மீட்சி ஊடகத்தில் நெட்டிலையின் 
திசைவேகம் ⇒  v = \(\sqrt { \frac { E }{ \rho } } \)
இங்கு, E ஊடகத்தின் மீட்சிக்குணகம் (Modulus of elasticity)
நேர்வுகள்: தின்மத்திற்கு:
(i) ஒரு பரிமாண தண்டு (1 dimensional rod):
v = \(\sqrt { \frac { Y }{ \rho } } \)
இங்கு Y என்பது தண்டுச் செய்யப்பட்ட பொருளின் யங்குணகம்,  ρ தண்டின் அடர்த்தி. ஒரு பரிமாண தண்டு யங் குணகத்தை மட்டும் பெற்றிருக்கும்.
(ii) முப்பரிமாண தண்டு (3 dimensional rod):
திண்மம் ஒன்றின் வழியே நெட்டலையின் வேகம் 
v  = \(\sqrt { \frac { B+\frac { 4 }{ 3 } \eta }{ \rho } } \)
இங்கு, \(\eta \) விறைப்புக்குணகம், B பருமக் குணகம் மற்றும் தண்டின் அடர்த்தி.

தகைவு -திரிபு விவரப்படம் என்பது ஒவ்வொரு பளு மதிப்பிற்கும் தகைவு மற்றும் திரிபு அளவிடப்பட்டு திரிபை X -அச்சிலும் , தகைவை y - அச்சிலும்  கொண்டு வரையப்பட்ட ஒரு வரைபடம் ஆகும். பொருள்களின் மீட்சிப்பண்புகளை தகைவு -திரிபு  விவரப்படத்திலுருந்து பகுப்பாய்வு செய்யலாம். 

(i) பகுதி OA : இந்த பகுதியில் தகைவானது  திரிபுக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும் வகையில் தகைவானது மிகவும் குறைவாக உள்ளது.அதாவது ஹீக்  விதிக்கு  உட்படுகிறது..புள்ளி A ஆனது  விகித எல்லை எனப்படும், ஏனென்றால்  இந்த புள்ளிக்கு மேல் ஹீக் விதி பொருந்தாது. OA கோட்டின் சாய்வு கம்பியின் யங் குணகம் ஆகும்.
(ii) பகுதி AB தகைவானது மிக குறைவான அளவு அதகர்க்கப்பட்டால் இந்தப் பகுதி  அடையப்படுகிறது. இந்த பகுதியில் தகைவானது திரிபுக்கு நேர்த்தகவில்  இல்லை.ஆனால் நீட்சி  விசை நீக்கப்பட்டால் கம்பியானது அதன் தொடக்க நீளத்திர்ற்கு திரும்பும் . இந்த பண்பு B புள்ளியில் முடிவடைகிறது. எனவே பி புள்ளி விளைவுபுள்ளி (மிட்சீ எல்லை )எனப்படும் . தகைவு -திரிபு  வரைபடத்தில் OAB ஆனது பொருளின் (இங்கு கம்பி )மீட்சிப்பணப்பை குறிக்கிறது.
(iii) பகுதிBC : கம்பியானது புள்ள (B)க்கு  (மிட்சீ எல்லை) மேல் நீட்டப்படுமானால் , தகைவு அதிகரிக்கிறது மற்றும் கம்பியானது நீட்சி விசை நீக்கப்படும் போது  தனது ஆரம்ப நீளத்தை மீண்டும் பெறாது.
(iv) பகுதி CD: தகைவானது C-க்கு அப்பால்  அதிகரிக்கப்பட்டால் திரிபு  மிக விரைவாக அதிகரித்து புள்ளி D ஐ அடையும். Dக்கு அப்பால் கம்பியானது எந்த பளுவும் சேர்க்கப்படாமலேயே நீண்டு கொண்டே சென்று புள்ளி E இல் முறிகிறது.எந்த பெருமத்தகைவிற்கு (இங்கு D) அப்பால் கம்பி முறிவடைகிறதோ அங்கு தகைவு முறிவுத்தகைவு  அல்லது நீட்சி வலிமை (tensile  strength) எனப்படும். அதற்குரிய புள்ளி (D ) முறிவுப்புள்ளி  எனப்படும். BCDE பகுதிகம்பிப் பொருளின் மீட்சியற்றத் தன்மையைக்  குறிக்கிறது.                                                                                         

மையத்தின் வழியே செங்குத்து அச்சைப்பற்றி செல்லும் வட்டின் நிலைமைத் திருப்புத்திறன் 
\(I=\cfrac { 1 }{ 2 } m{ r }^{ 2 }\)
இணை அச்சுத் தோற்றத்தின்படி ஊசி முனையின் வட்டின் நிலைமைத் திருப்புத்திறன் 

\({ I }^{ ' }=I+Md^{ 2 }=\cfrac { 2.5\times 0.6\times 0.6 }{ 2 } +2.5\times 0.30\times 0.30\)
= \(\cfrac { 0.9 }{ 2 } +0.225=0.675\quad kgm^{ 2 }\)
ஒரு கூட்டு ஊசலின் அலைவுகளுக்கான கோண அதிர்வெண் 
\(\omega =\sqrt { \cfrac { Mgd }{ { I }^{ ' } } } =\sqrt { \cfrac { 2.5\times 9.8\times 0.30 }{ 0.675 } } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 7.35 }{ 0.675 } } =3.3rad/s\)

அறிவியல் அறிஞர்கள் மற்றும்  பொறியியல் வல்லுனர்களால் உலகம் முழுவதும் பயன்படுத்தப்பட்ட அலகு முறை மெட்ரிக் முறை (Metric System)என அழைக்கப்பட்டது. 1960 க்கு பிறகு இது பன்னாட்டு அலகு முறை அல்லது SI அலகு முறையாக (Systeme International- French name) அனைவராலும் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது. உலகளாவிய அறிவியல், தொழில்நுட்பம், தொழில்  துறை மற்றும் வணிகப் பயன்பாட்டிற்காக, 1971 இல் நடைபெற்ற எடைகள் மற்றும் அளவீடுகள் பொதுமாநாட்டில் SI அலகு முறையின் நிலையான திட்டக் குறியீடுகள், அலகுகள் மற்றும் சுருக்கக்குறியீடுகள்  உருவாக்கப்பட்டு அனைவராலும் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டன.
1.இம்முறையில் ஒரு இயற்பியல் அளவிற்கு ஒரே ஒரு அலகு மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது இம்முறை ஓர் பங்கீட்டு, பகுத்தறிவுக்கிசைந்த (rational method)முறையாகும்.
2.இம்முறையில் அனைத்து வழி அலகுகளும், அடிப்படை அலகுகளில் இருந்து எளிதாக தருவிக்கப்படுகின்றன. எனவே, இது ஓர் ஓரியல் (coherent) அலகு முறையாகும்.
3.இது ஓர் மெட்ரிக் அலகு முறையாதலால் பெருக்கல் மற்றும் துணைப்பெருக்கல் ஆகியன 10 இன் மடங்குகளாக நேரடியாக தரப்படுகின்றன.SI அலகு முறையின் ஏழு அடிப்படை அளவுகளும் அட்டவணையில் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன.
அடிப்படை அளவுகளும் அவற்றின் SI அலகுகளும் 

அடிப்படை அளவுகள்	அலகு	குறியீடு
நீளம்	மீட்டர்	m
நிறை	கிலோகிராம்	kg
காலம்	வினாடி	s
மின்னோட்டம்	ஆம்பியர்	A
வெப்பநிலை	கெல்வின்	K
பொருளின் அளவு	மோல்	mol
ஒளிச்செறிவு	கேண்டிலா	cd

(i) பறக்கும் நேரம் எறிபொருள் தன்னுடைய பாதையை நிறைவு செய்ய எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம் பறக்கும் நேரம் எனப்படும்.
(ii) எடுத்துக்காட்டாக, கட்டிடத்தின் உயரம் h என்க. எறிபொருள் எறியப்பட்ட கணத்திலிருந்து அதன் பாதை வழியே தரையை அடைய நாம் அறிந்தபடி செங்குத்து இயக்கத்திற்கு 
\({ s }_{ y }={ u }_{ y }t+\frac { 1 }{ 2 } { at }^{ 2 }\)
இங்கு s_y =h, t =T , u_y =O (ஆரம்ப செங்குத்துத் திசைவேகம் சுழி)
a =g (எறிபொருள் புவி ஈர்ப்பு விசையின் காரணமாக கீழே விழுகிறது)
\(h=\frac { 1 }{ 2 } { gt }^{ 2 }\)அல்லது \(T=\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)
(iii) எனவே, பறக்கும் நேரம் கட்டிடத்தின் உயரத்தைச் சார்ந்துள்ளது. ஆனால் அது கிடைத்தளத் திசைவேகத்தைச் சார்ந்ததல்ல. ஒரு பந்து செங்குத்தாக மேலிருந்து கீழ் நோக்கி விழுகிறது. அதே நேரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட திசைவேகத்தில் பந்து ஒன்றை கிடைத்தளத்தில் வீசி எறியப்படுகிறது. இவ்விரண்டு பந்துகளும் ஒரே நேரத்தில் தலையை அடையும். இது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

(iv) கிடைத்தள நெடுக்கும் எறியப்பட்ட புள்ளிக்கு நேர் கீழே கட்டிடத்தின் தரையிலிருந்து எறிபொருள் தலையை அடைந்த புள்ளி வரை உள்ள தொலைவு, கிடைத்தள நெடுக்கும் எனப்படும்.நாம் அறிந்தபடி கிடைத்தள இயக்கத்தில் 
\({ s }_{ x }={ u }_{ x }t+\frac { 1 }{ 2 } { at }^{ 2 }\)
(v) இங்கு s_x =R (கிடைத்தள நெடுக்கும்) u_x =u, a =0 (கிடைத்தளத்திசையில் முடுக்கம் இல்லை) பறக்கும் நேரம் 'T' எனவே கிடைத்தள நெடுக்கும் =uT
நாம் அறிந்தபடி பறக்கும் நேரம்=\(\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)
எனவே கிடைத்தள நெடுக்கும் R =u \(\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)
(vi) மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து கிடைத்தள நெடுக்கும் ஆரம்பத் திசைவேகத்திற்கு (u) நேர்த்தகவிலும், புவியீர்ப்பு முடுக்கத்திற்கு (g) எதிர்த்தகவிலும் உள்ளதைக் காட்டுகிறது.
தொகுப்பயன் திசைவேகம் (ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் எறிபொருள் திசைவேகம்)
(vii) ஒரு குறிப்பிட்ட நேரம் வரையிலும் எறிபொருளுக்கு x -அச்சு மற்றும் y -அச்சு ஆகிய இரண்டு அச்சுகளிலும் திசைவேகக் கூறுகள் உள்ளன. இவ்விரண்டு கூறுகளின் தொகுபயன் திசைவேகத்தைக் கொடுக்கும்.

படத்திலிருந்து கீழ்க்கண்டவாறு சமன்பாடுகளை எழுதலாம்.
கிடைத்தளத்திசையில் (x - அச்சில்)திசைவேகக்கூறு 
v_x = u_x +a_x t 
இங்கு u_x =u, a_x =0 எனவே v_x =u
(viii) செங்குத்துத்திசையில் (y அச்சில்) திசைவேகக்கூறு 
v_y =u_y +a_y t 
இங்கு u_y =0, a_y =g எனவே v_y =gt
எந்தவொரு குறிப்பிட்ட நேரத்திலும் எறிபொருளின் திசைவேகம்
\(\overrightarrow { v } =u\widehat { i } +gt\widehat { j } \)
எந்தவொரு குறிப்பிட்ட நேரத்திலும் எறிபொருளின் வேகம்
\(v=\sqrt { { v }_{ x }^{ 2 }+{ v }_{ y }^{ 2 } } \)
எறிபொருள் தரையைத் தொடும்போது அதன் வேகம்
\(v=\sqrt { { u }^{ 2 }+{ g }^{ 2 }{ t }^{ 2 } } \)
(ix) எறிபொருள் எறியப்பட்ட கணத்திலிருந்து தரையை அடைய எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம்
\(T=\sqrt { \frac { 2h }{ g } } \)
எறிபொருளின் கிடைத்தளத்திசை வேகக்கூறு மாறாதது அதாவது v_x =u
T நேரத்தில் எறிபொருளின் செங்குத்துத் திசைவேகக்கூறு
\({ v }_{ x }=gT=g\sqrt { \frac { 2h }{ g } } =\sqrt { 2gh } \)
எனவே எறிபொருள் தரையைத் தொடும் போது அதன் வேகம்
\(v=\sqrt { { u }^{ 2 }+{ 2gh } } \)

சராசரி வேகம்
\(\bar { v } =\frac { 2+3+4+5+5+5+6+6+7+9 }{ 10 } =5.2{ ms }^{ -1 }\)
 சராசரி இருமுடி மூல வேகத்தைக் கணக்கிட முதலில் வேகங்களின் இருமுடியின் சராசரியைக் \(\bar { { v }^{ 2 } } \)கணக்கிட வேண்டும்.
\(\bar { { v }^{ 2 } } =\frac { 2^{ 2 }+3^{ 2 }+4^{ 2 }+5^{ 2 }+5^{ 2 }+5^{ 2 }+6^{ 2 }+6^{ 2 }+7^{ 2 }+9^{ 2 } }{ 10 } =30.6{ { m }^{ 2 }s }^{ -2 }\)
 சராசரி இருமுடி மூல வேகம்
\({ v }_{ rms }=\sqrt { \bar { { v }^{ 2 } } } =\sqrt { 30.6 } =5.53{ { m }s }^{ -1 }\)
மிகவும் சாத்தியமான வேகம் v_mp என்பது 5ms^-1 ஏனெனில் கொடுக்கப்பட்டவற்றுள் மூன்று மூலக்கூறுகள் இவ்வேகத்தைப் பெற்றுள்ளன.

மேயர் தொடர்பு (Meyer's  Relation):
1.\(\mu \) மோல் அளவுடைய நல்லியல்பு வாயு கொள்கலன் ஒன்றில் அடைத்து வைக்கப்பட்டுள்ளது. அவ்வாயுவின் பருமன் V, அழுத்தம் P மற்றும் வெப்பநிலை T என்க. மாறாப்பருமனில் வாயுவின் வெப்பநிலை dT அளவு உயர்த்தப்படுகிறது.
2. இங்கு வாயுவால் எவ்வித வேலையும் செய்யப்படவில்லை. எனவே அமைப்பிற்குக் கொடுக்கப்பட்ட வெப்பம் அக ஆற்றலை மட்டுமே அதிகரிக்கும். அக ஆற்றலை மட்டுமே அதிகரிக்கும். அக ஆற்றலில் ஏற்பட்ட மாற்றத்தை dU என்க. Cv என்பது  பருமன் மாறா மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன் எனில்.
dU=\(\mu C_vdT\).......(1)
3. மாறா அழுத்தத்தில் வாயுவை வெப்பப்படுத்தும்போது, அவ்வாயுவின் வெப்பநிலை உயர்வு dT எனவும், அமைப்பிற்குக் கொடுக்கப்பட்ட வெப்பத்தின் அளவு 'Q' எனவும், இந்நிகழ்வினால் பருமனில் ஏற்பட்ட மாற்றம் 'dV' எனவும் கொண்டால் 
Q =\(\mu C_p dT\).......(2)
4. இந்நிகழ்வினால் செய்யப்பட்ட வேலை 
W=PdV .........(3)
ஆனால், வெப்ப இயக்கவியலின் முதல் விதிப்படி 
Q=dU + W .......(4)
சமன்பாடுகள் (1),(2)மற்றும் (3) இம்மூன்றையும் (4) இல் பிரதியிடும்போது 
\(\mu C_p dT\)=\(\mu C_vdT\)+PdV.....(5)
எனக் கிடைக்கும்.
\(\mu \) மோல் அளவுடைய நல்லியல்பு வாயுவிற்கு நிலைச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
PV=\(\mu \)RT \(\Rightarrow PdV+VdP=\mu RdT\)....(6)
இங்கு அழுத்தம் மாறாது, எனவே dP=0
PdV = \(\mu \)RT
\(\therefore C_pdT=C_vdT+RdT\)
\(\therefore C_p=C_v+R\) (or) \(C_p-C_v=R\)......(7)
இத்தொடர்பிற்கு மேயர் தொடர்வு என்று பெயர்.
5. மாறா அழுத்தத்தில் நல்லியல்பு வாயுவின் மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன், பருமன் மாறா மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன் மற்றும் R ஆகியவற்றின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும் என்பதை இத்தொடர்பு நமக்குக் காட்டுகிறது.

வெப்பம் பரவும் வெவ்வேறு வழிமுறைகள்:
வெப்பமானது ஓரிடத்திலிருந்து மற்றோர் இடத்திற்கு மூன்று வகைகளின் பரவுகிறது. அவை வெப்பக்கடத்தல், வெப்பச்சலனம், வெப்பக்கதிர்வீசல்.
வெப்பக் கடத்தல்:
திடப்பொருள்களில் வெப்பக்கடத்தல் முறையில் மட்டுமே வெப்பம் பரவுகிறது. திடப்பொருளின் ஒரு முனை வெப்பப்படுத்தப்படும்போது, அம்முனையிலுள்ள அணுக்களும், மூலக்கூறுகளும் அதிக கிளர்ச்க்கு உட்பட்டு அதிகமான வீச்சுடன் அதிர்உரத் துவங்கும். இந்த மாறுபாடு அருகிலுள்ள மூலக்கூறுகளுக் கடத்தப்படும்.
வெப்பச்சலனம் (CONVECTION):
(i) திரவங்கள் மற்றும் வாயுக்கள் போன்ற பாய்மங்களில் உள்ள மொளகூறுகள் உண்மையான நகர்வினால் வெப்ப ஆற்றல் மாற்றம் நிகழ்வு வெப்பச்சலனம் என அழைக்கப்படுகிறது.
(இ) இந்த வெப்பச்சலனத்தில் மூலக்கூறுகள் எவ்வித கட்டுப்பாடின்றி ஒரு இடத்திலிருந்து மற்றொரு இடத்திற்கு நகர்கின்றன. இந்நிகழ்வு இயற்கையாகவோ அல்லது புறவிசை காரணமாகவோ ஏற்படலாம்
(iii) சமையல் பாத்திரத்தில் கொதிக்கும் தண்ணீர் வெப்பசலனத்திற்கு ஒரு சிறந்த உதாரணமாகும்.
வெப்பக்கதிர்வீச்சு : வெப்பக்கதிர்வீச்சு என்பது ஒரு பொருளிருந்து மற்றொரு பொருளுக்கு மின்காந்த அலைகளினால் வெப்பம் பரவும் நிகழ்வு ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு:
1. சூரியனிலிருந்து வரும் சூரியக் கதிர்வீச்சு ஆற்றல்
2. அறை சூடேற்றியிலிருந்து வரும் கதிர்வீச்சு

பாயில் விதி, சார்லஸ் விதி மற்றும் நல்லியல்பு வாயு விதி:
பருமன் V கொண்ட கொள்கலனில் குறைந்த அழுத்தத்தில் (அடர்த்தி) உள்ள வாயு ஒன்றினைக் கொண்டு நிகழ்த்தப்பட்ட சோதனையிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகள் கிடைக்கின்றன.
(i) மாறா வெப்பநிலையிலுள்ள வாயு ஒன்றின் அழுத்தம் \(\left( P\propto \frac { 1 }{ V } \right) \). இதனை இராபர்ட் பயில் (Robert Boyle) என்பவர் (1627 - 1691) கண்டறிந்தார். எனவே இவ்விதி பாயில் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.
(ii) மாறா அழுத்தத்திலிருந்து வாயு ஒன்றின் பருமன், அதன் வெப்பநிலைக்கு (கெல்வின்) நேர்தக்கவிலிருக்கும் V ∝ T. இதனை ஜாக்ஸ் சார்லஸ் (Jacques Charles) (1743-1823) என்பவர் கண்டறிந்தார். எனவே இவ்விதி சார்லஸ்விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.
(iii) இவ்விரண்டு விதிகளையும் ஒன்றிணைக்கும் போது பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கும்.
PV = CT இங்கு C என்பது நேர்குறி கொண்ட மாறிலியாகும்
(iv) இந்த நேர்குறி மாறிலி C கொள்கலனிலுள்ள துகள்களின் எண்ணிக்கைக்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும். ஒத்த பருமன் V, அழுத்தம் P மற்றும் வெப்பநிலை T, கொண்ட ஒரே வகையான வாயுவால் இவ்விரண்டு கொள்கலனிலும் நிரப்பப்பட்டுள்ளன என்க. இரண்டு கொள்கலனிலும் உள்ள வாயு மேலே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள PV = CT என்ற சமன்பாட்டின்படி செயல்படும். இவ்விரண்டு தனித்தனியான கொள்கலனையும் ஒரே அமைப்பாகக் கருதினால் அவ்வாயுவின் அழுத்தம் மற்றும் வெப்பநிலை ஒரே மதிப்பினைப் பெறும், ஆனால் பருமனும் மற்றும் வெப்பநிலை துகள்களின் எண்ணிக்கையும் இரண்டு மடங்காகும்.

(v) ஆகவே வாயுவின் பருமன் 2V மற்றும் துகளின் எண்ணிக்கை 2C. எனவே நல்லியல்பு வாயுச் சமன்பாடு \(\frac {P(2V)}{T}\) = 2C இச்சமன்பாடு நமக்கு உணர்த்துவது என்னவென்றால் நேர்க்குறி மாறிலி C கண்டிப்பான வாயுவிலுள்ள துகள்களின் எண்ணிக்கை சார்ந்திருக்கும் என்பதாகும்.
(vi) மேலும் இதன் பரிமாணம் \(\left[ \frac { PV }{ T } \right] =JK-1\) இந்த நேர்க்குறி மாறிலி C துகளின் எண்ணிக்கை (N) யின் k மடக்கு என எழுதலாம். இங்கு k என்பது பொது மாறிலியான போல்டஸ்மென் மாறிலியாகும். (1.381 x 10²³ JK^-1) பொதுவாக ஒரு நல்லியல்பு வாயுச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
PV=NkT ...(1)
சமன்பாடு (1) ஐ மோல்களின் அடிப்படையிலும் எழுதலாம். வாயு ஒன்று μ மோல்கள் கொண்ட துகள்களைப் பெற்றிருந்தால் , அவ்வாயுவிலுள்ள மொத்தத்துகள்களின் எண்ணிக்கையை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.
N = μN_A 
(vii) இங்கு NA என்பது அவகோட்ரோ எண் (6.023 x 10²³ mol^-1) ஆகும். சமன்பாடு (2) இல் உள்ள N இந்த மதிப்பை (1) இல் பிரதியிடும்போது PV = μNAkT எனக்கிடைக்கும். இங்கு NAk=R என்பது பொது வாயுமாறிலி என அழைக்கப்படும். இதன் மதிப்பு 8.314 J / mol. K. எனவே μ மோல் கொண்ட நல்லியல்பு வாயு ஒன்றின் வாயுச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
PV = μRT ...(3)
இச்சமன்பாட்டிற்கு நல்லியல்பு வாயுவின் நிலைசமன்பாடு (equation of state) என்று பெயர்.

(i) நிறையற்ற விசை மாறிலி அல்லது சுருள்வில் மாறிலி k (spring constant) கொண்ட சுருள்வில்லானது கூரையின் மேற்பகுதியில் இணைக்கப்பட்டுள்ளதாக கருதுவோம். நிறை l இணைக்கப்படுவதற்கு முன்பு சுருள்வில்லின் நீளம் என்க. சுருள்வில்லின் மற்றொரு முனையில் நிறை m இணைக்கப்படும்போது சுருள்வில்லானது l நீளத்திற்கு விரிவடைகிறது. சுருள்வில்லானது l நீளத்திற்கு விரிவடைகிறது. சுருள்வில்லின் நீட்சி காரணமாக ஏற்படும் மீள்விசை F₁ என்க. நிறை m-ல் செயல்படும் ஈர்ப்பு விசையானது செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி செயல்படும். இந்த அமைப்பிற்கு தனித்த பொருளின் விசைப்படம் வரைய முடியும்.

(ii) அமைப்பானது சமநிலையில் உள்ளபோது
F₁+mg=0
ஆனால் சுருள்வில் I இடப்பெயர்ச்சிக்கு நீட்சியடைந்துள்ளது. எனவே
F₁ ∝ I ⇒ F₁=-k₁
-kl+mg=0
mg=kl அல்லது \(\frac { m }{ k } =\frac { l }{ g } \)   .....(1)
(iii) மிகச் சிறிய அளவிலான புற விசையை நிறை மீது செலுத்தினால், அந்த நிறை மேலும், கீழ்நோக்கிய திசையில் இடப்பெயர்ச்சி y க்கு நீள்கிறது. பிறகு அது மேலும் (y + l) சுருள்வில்லின் மொத்த நீட்சி காரணமாக ஏற்படும் மீள்விசை.
F₂ ∝(y+l)
F₂=-k(y+1)=-y-kl   ....(2)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } } \) என்ற முடுக்கத்துடன் இயங்கும் நிறைக்கு தனித்த விசைப்படம் வரைந்தால், நாம் பெறுவது
-ky-kl+mg=m\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } } \)
நீட்சி காரணமாக நிறை மீது செயல்படும் மொத்த விசை
F=F₂+mg
F=-ky-kl+mg  .....(3)
ஈர்ப்பு விசையானது மீள்விசைக்கு எதிராக அமையும். சமன்பாடு (1)ஐ சமன்பாடு (3)ல் பிரதியிட
F=-ky-kl+kl=-ky
நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த
m\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } } \)=-ky
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } } \)=-\(\frac { k }{ m } \)y
(iv)இச்சமன்பாடு தனிச்சீரிசை இயக்கத்தின் வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் வடிவமாகும். எனவே
அலைவுநேரம் T=\(2\pi \sqrt { \frac { m }{ k } } \)s
சமன்பாடு (1)ஐ பயன்படுத்தி, அலைவுநேரத்தை வேறு வடிவில் எழுதினால்
அலைவுநேரம் T=\(2\pi \sqrt { \frac { m }{ k } } =2\pi \sqrt { \frac { l }{ g } } \)
இச்சமன்பாட்டிலிருந்து புவிஈர்ப்பு முடுக்கம் மதிப்பை பெறலாம்.
g=\(4{ \pi }^{ 2 }\left( \frac { l }{ { T }^{ 2 } } \right) \)ms^-2.

m நிறை கொண்ட துகள் ஒன்று v என்ற சீரான திசைவேகத்தில் r ஆரம் கொண்ட வட்டத்தின் பிரிதி வழியே இடஞ்சுழித்திசையில் இயங்குவதாகக் கருதுவோம்.
அச்சு அமைப்பின் ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து வட்டத்தின் மையம் O வுடன் பொருந்துவதாகக் கொள்க. துகளின் கோணத்திசைவேகம் ω எனவும் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரம் tஇல் அத்துகளின் கோண இடப்பெயர்ச்சி எனவும் கொண்டால்
θ = ωt
சீரான வட்ட இயக்கத்தில் இருக்கும் ஒரு துகளின் நிலையை (position), அந்த வட்டத்தினுடைய விட்டத்தில் விழச்செய்தால் அந்த வீழல் (projection) ஒரு தனிச் சீரிஸை இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும். இதன் மூலம் சீரான வட்ட இயக்கம் மற்றும் அதிர்வுறும் இயக்கம் ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பினை நாம் இணைக்க முடியும்.

இதேபோன்று எந்த ஒரு அதிர்வுறு இயக்கம் அல்லது சுழல் இயக்கத்தினை, சீரான வட்ட இயக்கத்துடன் இணைக்க முடியும். வேறுவிதமாக கூறினால் இவ்விரு இயக்கங்களும் ஒரே இயல்பாய் பெற்றுள்ளது. வட்டப்பாதையில் இயங்கும் துகளின் நிலையை (position) அவ்வட்டப் பாதையின் செங்குத்து விட்டத்தின் மீது அல்லது செங்குத்து விட்டத்திற்கு இணையாக கோட்டின் மீது வீழல் (projection) செய்வோம். இதேபோல், மேற்குறிய நிகழ்வை கிடைத்தள அச்சு அல்லது கிளைத்தள அச்சுக்கு இணையான கோட்டில் நாம் வீழ்ச்சியடையச் செய்ய முடியும்.
எனவே சீரான வட்ட இயக்கத்தில் துகளின் நிலையை அந்த வட்டத்தினுடைய விட்டத்தின் மீது (அல்லது விட்டத்திற்கு இணையான கோட்டின் மீது) விழச் செய்தால் (projection) அவ்வியக்கம் நேர்கோட்டு இயக்கமாக அமையும். இதனையே தனிச்சீரிசை இயக்கம் எனக் கருதுகிறோம். இவ்வட்டம் தனிச்சீரிசை இயக்கத்தின் மேற்கோள் வட்டம் (circle of reference)எனப்படும். தனிச்சீரிசை இயக்கமானது ஒரு குறிப்பிட்ட வட்டத்தின் எந்த ஒரு விட்டத்தின் மீதும் இயங்கும் துகள் நிலையின் வீழ்வு (projection of position) எனவும் வரையறுக்கப்பபடுகிறது.

நீரின் மேற்பரப்பில் தோன்றும் சிற்றிலைகள் (Ripples) மற்றும் அலைகள்

நீரின் மேற்பரப்பில் தோன்றும் சிற்றலைகள் 
(i) நிலையாக உள்ள ஒரு நீர்ப்பரப்பில் நாம் ஒரு கல்லை எரிந்தால், படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு நீரின் மேற்பரப்பில் கல் மோதிய இடத்தில் ஒரு மாறுபாடு உருவாவதைக் காணலாம்.
(ii) இந்த இடர்பாடானது தொடர்ந்து அதிகரிக்கும் ஆரங்கள் கொண்டுள்ள விரிவடைந்து மேற்பரப்பின் எல்லையில் மோதுவதைக் காணலாம்.
(iii) ஏனென்றால் கல்லின் இயக்க ஆற்றலின் ஒரு பகுதி மேற்பரப்பில் உள்ள நீர் மூலக்கூறுகளுக்கு மாற்றப்படுகிறது.
(iv) உண்மையில் நீரானது (ஊடகம்) இடர்பாட்டுடன் வெளியே நகராது. இதனை நீரின் மேற்பரப்பில் ஒரு காகிதத் துண்டினை வைப்பதன் மூலம் காண இயலும்.
(v) இடர்பாடானது (அலை) நீரின் மேற்பரப்பில் செல்லும்போது அந்த துண்டு மேலும் கீழுமாக நகரும். நீரின் மூலக்கூறுகள் அவற்றின் சமநிலையை பொறுத்து அதிரவியக்கத்தை மேற்கொள்வதை இது காட்டுகிறது.

தொடர்மாறிலிச் சமன்பாடு: ஒரு குழாயின் வழியே செல்லும் நீர்ம நிறையின் வீதத்தை அறிய நீர்மம் பாய்வது சீராக இருப்பதாகக் கருதவேண்டும். நீர்மம் பாய்வது சீராக இருப்பதாகக் கருதவேண்டும். நீர்மம் பாய்வது சீராக இருக்க வேண்டுமெனில் பாயும் நீர்மத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் திசைவேகமானது நேரத்தைப் பொறுத்து மாறிலியாக அமைய வேண்டும். இந்த நிபந்தனையில் நீர்மத்தின் ஓட்டமானது வரிச்சீர் ஓட்டமாக அமையும்.
(i) சீரற்ற குறுக்கு வெட்டுப்பரப்பு a₁  மற்றும் a₂ அதாவது a₁> a₂ கொண்ட AB என்ற குழாய்க் கருதுக.பாகுநிலையற்ற அமுக்க இயலாத நீர்மம் சீராக v₁ மற்றும் v₂ என்ற திசைவேகத்தில் பாய்ந்து செல்கிறது.

(ii). \(\Delta t\) என்ற கால அளவில் A என்ற பகுதியின் வழியே செல்லும் நீர்மத்தின் நிறை m₁ எனில் \({ m }_{ 1 }=\left( { a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\Delta t \right) \rho \)
\(\Delta t\)  என்ற கால அளவில் A என்ற பகுதியின் வழியே செல்லும் நீர்மத்தின் நிறை m₁ எனில்\({ m }_{ 1 }=\left( { a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Delta t \right) \rho \)
அமுக்க இயலாத நீர்மத்தில் நிறை மாறாது m₁=m₂
m₁=m₂
\(\left( { a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }\Delta t \right) \rho =\left( { a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Delta t \right) \rho \)
\({ a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }={ a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Rightarrow av=\)மாறிலி 
(iii). இது தொடர் மாறிலிச் சமன்பாடு எனப்படும். இது பாயும் பாய்மங்களின் நிறையானது மாறாமல் இருப்பதைக் காட்டுகிறது. பொதுவாக av = மாறிலி. இதன் பொருள் பருமப்பாயம் அல்லது பாயும் வீதம் குழாய் முழுவதும் மாறிலி என்பதாகும். மாறாக குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பு குறைவாக இருப்பின் பாய்மத்தின் திசைவேகம் அதிகமாக இருக்கும்.

பாஸ்கல் விதியின் கூற்றானது ஒரு திரவத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் அழுத்தம் மாறினால் அந்த மாறுபாடு மதிப்பு குறையாம திரவம் முழுவதற்கும் பரப்பப்படுகிறது.
நிரூபணம்:
(i) பாஸ்கல் விதியின் ஒரு செயல்முறை பயன்பாடு, குறைவான விசையைக் கொண்டு அதிக பளுவைத் தூக்க பயன்படும் நீரியல் தூக்கி (Hydraulic lift) ஆகும். இது ஒரு விசைப் பெருக்கி. இது A மற்றும் B என்ற ஒன்றுடன் ஒன்று கிடைமட்டக் குழாயால் இணைக்கப்பட்டு திரவத்தால் நிரப்பப்பட்ட இரு உருளைகளைக் கொண்டுள்ளது.
(ii) அவற்றினுள் A₁ மற்றும் A₂ (A₂ > A₁) குறுக்குவெட்டுப்பரப்புக்கள் கொண்ட உராய்வற்ற பிஸ்டன்கள் பொருத்தப்பட்டுள்ளன. சிறிய பிஸ்டனின் மீது நோக்கிய விசை F செலுத்தப்படுவதாக் கொண்டால் இந்த பிஸ்டனுக்கு கீழ் உள்ள திரவத்தின் அழுத்தம் P(இங்கு \(p=\frac { { F }_{ 1 } }{ { A }_{ 1 } } \)) என்ற மதிப்பிற்கு அதிகரிக்கிறது.
(iii) ஆனால் பாஸ்கல் விதிப்படி, இந்த அதிகரிக்கப்பட்ட அழுத்தம் P அனைத்து திசைகளிலும் மதிப்பு குறையாமல் பரப்பப்படுகிறது. எனவே பிஸ்டன் B - இந்த மீது ஒரு அழுத்தம் செலுத்தப்படுகிறது. பிஸ்டன் B - இந்த மீது மேல்நோக்கிய விசை
\({ F }_{ 2 }=P\times { A }_{ 2 }=\frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } } \times { A }_{ 2 }\Rightarrow { F }_{ 2 }\frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } } \times { F }_{ 1 }\)
(iv) எனவே சிறிய பிஸ்டன் A இந்த மீது உள்ள விசையை மாற்றுவதன் மூலம் பிஸ்டன் B -இந்த மீதுள்ள விசையானது \(\frac { { A }_{ 2 } }{ { A }_{ 1 } } \) என்ற காரணியின் அளவுக்கு உயர்த்தப்பட்டுள்ளது. இந்த காரணி நீரியல் தூக்கியின் இயந்திர இலாபம் எனப்படும்.

மூவகை மீட்சிக் குணகங்கள் உள்ளன.
(i) யங்குணகம் (young's modulus) :
(ii)பருமக் குணகம் (bulk modulus ) :
(iii) விறைப்புக் குணகம் அல்லது சறுக்குப் பெயர்ச்சிக் குணகம் (the  rigidity modulus or modulus ).       
யங் குணகம் (Young’s modulus)
ஒரு கம்பியா னது நீட்டிக்கப்பட்டால் அல்லது அமுக்கப்பட்டால் இழுவிசைத் தகைவு (அல்லது அமுக்கத்தகைவு) மற்றும் இழுவிசைத்திரிபு (அல்லது அமுக்கத்திரிபு) ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள விகிதம் யங் குணகம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
பருமக் குணகம் (Bulk modulus)
பருமத்தகைவுக்கும் பருமத்திரிபுக்கும் இடையே உள்ள விகிதமே பருமக் குணகம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.
விறைப்புக் குணகம் அல்லது சறுக்குப் பெயர்ச்சிக் குணகம்: (Rigidity modulus or Shear modulus):
சறுக்குப் பெயர்ச்சித் தகைவிற்கும் சறுக்குப் பெயர்ச்சித் திரிபுக்கும் உள்ள விகிதம் விறைப்புக்குணகம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.

குறுக்குக்கோட்டைப் (latitude) பொறுத்து g மாறுதல்:
சுழலும் குறிப்பாயத்தில் இயங்கும் பொருள்களின் இயக்கத்தை நாம் பகுத்தாயும் போது (மையவிலக்கு விசையையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். பொதுவாக பூமியினை நிலைமக் குறிப்பாயமாக கருதுவோம். ஆனால் உண்மையிலேயே பூமி ஒரு சுழலும் குறிப்பாயம். ஏனெனில் பூமியானது தனது அச்சைப் பற்றி சுழல்கிறது. எனவே புவிப்பரப்பில் ஒரு பொருள் உள்ளபோது, அது மைய விலக்கு விசையினை உணருகிறது. அவ்விசையானது புவியின் குறுக்குக்கோட்டு மதிப்பை சார்ந்துள்ளது. புவி சுழலவில்லை எனில் பொருளின் மீதான விசை mg ஆகும். ஆனால் புவி சுழற்ச்சியின் காரணமாக பொருள் கூடுதலாக மைய விலக்கு விசையனை உணர்கிறது.

மைய விளக்கு விசை = \(m{ \omega }^{ 2 }R'\)
R' = R cos \(\lambda \)
இங்கு \(\lambda \)  என்பது குறுக்குகோட்டின் மதிப்பு
பொருளின் மீது g க்கு எதிர்திசையில் செயல்படும் மையவிளக்குமுடுக்கத்தின் கூறு
\({ a }_{ pa }={ \omega }^{ 2 }Rcos\lambda ={ \omega }^{ 2 }R{ \ cos }^{ 2 }\ \lambda \)
ஏனெனில் R' = R cos  \(\lambda \)
எனவே g' = g - \({ \omega }^{ 2 }\) R cos² \(\lambda \)    .....(1)
புவிமைக்கோட்டில் \(\lambda \) = 0; எனவே சமன்பாடு 1 ஆனது பின்வருமாறு மாறுகிறது.
g' = g - \({ \omega }^{ 2 }\)R. புவிமைக்கோட்டில் ஈர்ப்பின் முடுக்கம் g ஆனது சிறுமம் ஆகும்.
துருவப் பகுதியில்  \(\lambda \) = 90° எனவே ; g' = g
ஆகவே துருவப் பகுதியில் ஈர்ப்பின் முடுக்கம் பெருமம் ஆகும்.

ஈர்ப்பியல் விசை ஒரு ஆற்றல் மாற்றா விசையாகும். எனவே இந்த ஆற்றல் மாற்றா விசையின் புலத்துடன் தொடர்புடைய ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலை நாம் பின் வருமாறு வரையறை செய்யாலாம்.
m₁ மற்றும் m₂ என்ற இரு நிறைகள் ஆரம்பத்தில் r' தொலைவில் உள்ளன. m நிறையானது நிலையாக உள்ளது என்க. நிறை m நிறையானது நிலையாக உள்ளது என்க. நிறை m₂ ஐ  r' நிலையில் இருந்து r நிலைக்கு நகர்த்த வேலை செய்ய வேண்டும்.
நிறை m₂ ஐ மிகச் சிறிய தொலைவு \(\vec {dr}\) அதாவது \(\vec {r}\) லிருந்து \(\vec {r }+\vec {dr}\) க்கு நகர்த்த வெளியிலிருந்து வேலை செய்யப்பட்ட வேண்டும்.
இந்த மிகச்சிறிய வேலை பின் வருமாறு எழுதப்படுகிறது.
dW =\({ \vec { F } }_{ ext }={ \vec { F } }_{ ext }.d\vec { r } \) -----(1)

இந்த வேலையானது ஈர்ப்பியல் விசைக்கு எதிராக செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே ஈர்ப்பியல் விசைக்கு எதிராக செய்யப்பட்டுள்ளது. எனவே ஈர்ப்பியல் விசை
\(\left| { \vec { F } }_{ ext } \right| =\left| { \vec { F } }_{ G } \right| =\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \) -----(2) 
சமன்பாடு 2 ஐ 1 ல் பிரதியிட
dW =\(\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } d\vec { r } \)
d\(\hat {r}\)=d\(\hat { rr } \)
என்பதை நாம் அறிவோம்.
\(\Rightarrow dW=\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } d\hat { rr } \)
(இங்கு \(\hat { r } .\hat { r } \)=1. ஏனெனில் ஒரு அலகு வெக்டர்)
\(\therefore dW=\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } dr\)
r' ல் இருந்து துகளை r க்கு இடம் பெயரச் செய்த மொத்த வேலை.
\(W=\int _{ r' }^{ r }{ dW } =\int _{ r' }^{ r }{ \frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } } \)  ------(3)
 W =-\({ \left( \frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \right) }_{ r' }^{ r }\)
\(W=\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r } +\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r' } \) -----(4)
W =U(r)-U(r')
இங்கு U(r)=\(\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r } \)
இந்த வேலை (W) யானது m₁ மற்றும் m₂ நிறைகள் முறையே r மற்றும் r₂ தொலைவில் உள்ள போது அவ்வமைப்பின் ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல்களின் வேறுபாட்டை தருகிறது.
நிகழ்வு 1:r>r' எனில்
ஈர்ப்பியல் விசை ஒரு கவர்ச்சி விசை என்பதால் நிறை m நிறை m ஆள் கவரப்படுகிறது. எனவே நிறை m ஐ, r லிருந்து r' க்கு நகர்த்த வெளிப்புறத்திலிருந்து வேலை செய்ய வேண்டிய தேவை இல்லை. இங்கு அமைப்பானது தனது ஆற்றலை செலவழித்து வேலை செய்கிறது. எனவே செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்க்குறி பெறும்.
நிகழ்வு 2: r < r' எனில்
r லிருந்து r' க்கு m₂ நிறையை நகர்த்த ஈர்ப்பு விசைக்கு எதிராக வேலை செய்ய வேண்டும். எனவே வெளிப்பிரத்திலிருந்து வேலையானது செய்யப்பட்ட வேண்டும் . ஆகவே செய்யப்பட்ட வேலை நேரக்குறி மதிப்பைப் பெறுகிறது.
"நிலை ஆற்றல் மாறுபாடு" என்பதி இயற்பியலில் முக்கியத்துவம் உடையது. தற்போது ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலை நன்கு வரையறுக்க ஒரு ஆதரப்புள்ளியை தேர்ந்தெடுப்போம்.
அந்த ஆதாரப் புள்ளி r'=\(\infty \)  முடிவிலி என்க.
இதன்படி சமன்பாடு 4 உள்ள இரண்டாம் பகுதி சுகி ஆகும்.
எனவே W= \(-\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r' } \)+0
r  தொலைவில் அமைந்த நிறைகள் m₁ மற்றும் m₂ வுடைய அமைப்பின் ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலானது, நிறை m1 நிலையாக உள்ளபோது, நிறை m₂ வை முடிவில்லாத தொலைவிலிருந்து r தொலைவு கொண்டு வர செய்த வேலைக்கு சமம் என நாம் வரையறுக்கலாம்.
ஆகவே ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல் U(r)= \(-\frac { G{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ r' } \)என குறிக்கப்படுகிறது.
r தொலைவில் அமைந்த நிறைகள் m₁ மற்றும் m₂ உடைய அமைப்பின் ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலானது, முடிவிலாத் தொலைவு மற்றும் r தொலைவில் இந்த நிறைகளின் அமைப்பு உள்ளபோது  பெற்றுள்ள ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல்களின் வேறுபாட்டிற்கு சமம் என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.
அதாவது U(r) =U(r)-U(\(\infty \))
ஆனால் இங்கு U(\(\infty \))=0 என ஆதாரப்புள்ளியை நாம் தேர்ந்தெடுத்து உள்ளோம்.
ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலானது எப்பொழுதும் எதிர்குறி மதிப்பு பெறும். ஏனெனில் முடிவிலாத் தொலைவிலிருந்து நிறைகள் (அமைப்பு) ஒன்றையொன்று மெதுவாக நெருங்கி வரும்போது அமைப்பால் வேலை செய்யப்படுகிறது.
ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல் U(r) ன் அலகு ஜூல் (Joule). மேலும் இது ஸ்கேலார் அளவு ஆகும். ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றலானது நிறைகளையும் அவற்றுக்கு இடையேயான தொலைவினையும் சார்ந்தது.

ஈர்ப்பியல் விதியின் முக்கிய பண்புகள்:
(i) ஈர்ப்பியல் விசையானது r² க்கு எதிர்த் தகவில் உள்ளதால் இரு நிறைகளுக்கு இடையேயான தொலைவு அதிகரிக்கும் போது, ஈர்ப்ப்பியல் விசையின் வலிமை குறைகிறது. ஆகவேதான் சூரியனிடமிருந்து புவியை விட அதிக தொலைவில் உள்ள யுரேனஸ் புவியினை வீட்டா குறைந்த அளவு ஈர்ப்பியல் விசையினை உணர்கிறது.

(ii) இரு துகள்களுக்கு இடையே செயல்படும் ஈர்ப்பியல் விசை எப்பொழுதும் செயல் -எதிர்ச்செயல்(action-reaction) இணையாகவே அமையும். புவி மீது சூரியன்  ஏற்படுத்தும் ஈர்ப்பியல் விசை சூரியனை நோக்கி செயல்படும். இது எதிர்செயல் விசை(reaction force) ஆகும். இரு விசைகளும் வெவ்வேறு பொருள்களின் மீது செயல்படுகின்றன.
(iii) சூரியனின் ஈர்ப்பு விசையினால் பூமியின் மீது ஏற்படும் திருப்பு விசையானது கீழே தரப்பட்டுள்ளது.
\(\vec { r } =\vec { r } \times \vec { F } =\vec { r } \times \left( -\frac { G{ M }_{ s }{ M }_{ E } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } \right) \)
ஏனென்றால் \(\vec { r } =r\hat { r } ,(\hat { r } \times \hat { r } )\) =0.
எனவே \(\vec { \tau } =\frac { \vec { dL } }{ dt } \)=0. இதிலிருந்து அறிவது என்னவென்றால் பூமியின் கோண உந்தம் \(\vec {L}\)சூரியனைப் பொறுத்து ஒரு மாறா வெக்டராகும். இது அனைத்துக் கோள்களுக்கும் பொருந்தும். இன்னும் செல்வதென்றால் இந்த கோண உந்த மாறாத் தன்மைதான் கெப்ளரின் இரண்டாம் விதியை ஏற்படுத்துகிறது.
(iv) m₁ மற்றும் m₂ நிறைகள் புள்ளி நிறைகள் என்ற அனுமானத்தின் அடிப்படையிலேயே  \(\vec { F } =-\frac { G{ M }_{ 1 }{ M }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } \)சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. சூரியனைச் சுற்றி வருகிறது எனும் போது நாம் சூரியனையும் புவியையும் புள்ளி நிறைகளாக கருதுகிறோம். சூரியனுக்கும் புவிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவினை அவற்றின் விட்டத்துடன் ஒப்பிடும் போது அவற்றை புள்ளி திட்டத்துடன் ஒப்பிடும் போது அவற்றை புள்ளி நிறைகளாக கருதுவதில் தவறில்லை.
(v) ஒரே ஒரு சிறப்பு நேர்வில் மட்டும் இரு பொருள்கள் மிக அருகில் இருந்தாலும், புள்ளிநிறை என்ற அனுமானத்தை பயன்படுத்தலாம்.
(vi) சீரான அடர்த்தியும் நிறை M மம் வுடைய உள்ளீடற்ற கோளத்திற்கும், அக்கோளத்திற்கு வெளியே உள்ள புள்ளிநிறை m க்கும் இடையே உள்ள ஈர்ப்பியல் விசையை கணக்கிடும் போது, இவை இரண்டும் குறைந்த தொலைவில் உள்ள போதும் கோளத்தை புள்ளி நிறை என கருதி ஈர்ப்பியல் விசை சமன்பாட்டை பயன்படுத்தலாம். உள்ளீடற்ற கோலத்திற்கு பதிலாக நிறை M வுடைய புள்ளி நிறையானது அக்கோளத்தின் மையப்புள்ளியில் உள்ளதாககே கருதுவோம். பின்பு இவ்விரு புள்ளி நிறைகளுக்கும் இடையே உள்ள ஈர்ப்பியல் விசையை கணக்கிடலாம். இந்த மதிப்பு உள்ளீடற்ற கோளத்திற்கும் புள்ளி நிறைக்கும் இடையேயான ஈர்ப்பியல் விசைக்கு சமம் ஆகும். உள்ளீடற்ற கோளத்தின் மொத்த நிறையும் அதன் மையப்புள்ளியில் இருப்பது போல தோன்றும்.
(vii) நிறை M வுடைய உள்ளீடற்ற கோளம் ஒன்றை கருதுவோம். உள்ளீடற்ற கோளத்தின் உட்புறம் நிறை m  ஐ வைப்போம். நிறை m உணரும் ஈர்ப்பியல் விசை சுழி ஆகும்.
(viii) நன்கு பழுத்த மாங்கனி , மரத்திலிருந்து கீழே விழுவதற்கு, நிலா புவியை சுற்றுவதற்கும் காரணம் ஒரே ஈர்ப்பியல் விசைதான் என்று விளக்கியதே ஈர்ப்பியல் விதியின் வெற்றியாகும். 

(1) f(x) என்ற சார்பாகக் கருதப்படும் ஒழுங்கற்ற வளைகோட்டிற்கு கீழே உள்ள பரப்பினை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
(2) செவ்வகப் பட்டைகளாகக் பிரித்து, அவற்றின் கூடுதலை ஒழுங்கற்ற வளைகோட்டிற்குக் கீழே உள்ளபரப்பின் தோராயமாகக் கொள்ளலாம்.
A≈ f(a)Δx+f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+f(x₃)Δx
(3) இங்கு f(a) என்பது x =a என்ற நிலையில் f(x) இன் மதிப்பாகும், மேலும் f(x) என்பது x=x₁ என்றநிலையில் f(x0 இன் மதிப்பாகும்.
(4) இவ்வாறே மற்ற மதிப்புகளையும் காண வேண்டும்.
(5) செவ்வகப்பட்டைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, பரப்பை அளவிடுதலின் துல்லியத்தன்மை மென்மேலும் அதிகரிக்கும்.
(6) வளைகோட்டிற்குக் கீழே உள்ள பரப்பினை N பட்டைகளாகப் பகுக்கும்போது, வளை கோட்டிற்குக் கீழே உள்ள பரப்பை
(7) \(A\approx \overset { N }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } f(x_{ n })\triangle x_{ n }\) எனக் குறிப்பிடலாம்.
(8) செவ்வகப் பட்டைகளின் எண்ணிக்கை ஈரிலா மதிப்பினை நெருங்கும் போது N⟶∞ அவற்றின்  கூடுதல், தொகையிடலாக மாறுகிறது.
(9) A =\(\int _{ a }^{ h }{ f(x)dx } \) குறிப்பு: N⟶∞, எனில் Δx⟶0
(10) இந்த தொகையிடல், வளைகோடு f(x) க்கு கீழே உள்ள மொத்த பரப்பினைக் கொடுக்கிறது.

1.செங்குத்து ஏத்தி விசை மற்றும் பெரும உராய்வு விசை (f_s ^max)ஆகிய இரண்டின் தொகுபயனுக்கும் (R) செங்குத்து எதிர்விசை (N) க்கும் இடையேயான கோணம் உராய்வுக் கோணம் எனப்படுகிறது.
2.\(R=\sqrt { ({ f }_{ s }^{ max })^{ 2 } } +N^{ 2 }\)
3.\(tan\theta=\frac{f_s^{max}}{N}\)
4.உராய்வுத் தொடர்புகளிலிருந்து f_s^max=\(\mu_k N\) ஆக இருக்கும்போது பொருள் சறுக்கத் துவங்கும் அதனை கீழ்காணுமாறும் எழுதலாம்.
5.\(\frac{f_s^{max}}{N}=\mu_s\)
6.ஆகியவற்றிலிருந்து ஓய்வுநிலை உராய்விற்கான குணகம்.
7.\(\mu_s=tan\theta\)
8.ஓய்வுநிலை உராய்விற்கான குணகம் உராய்வுக் கோணத்தின் டான்ஜென்ட் (tan θ) சமமாக இருக்கும்.

1.அனைத்து விதமான அடிப்படை மற்றும் வழி அளவுகளை அளக்கப் பயன்படும் அலகுகளின் ஒரு முழுமையான தொகுப்பே அலகிடும் முறையாகும்.
2.எந்திரவியலில் பயன்படும் பொதுவான அலகு முறைகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளது.
f.p.s அலகு முறை 
f.p.s அலகு முறை ஓர் பிரிட்டிஷ் அலகு முறையாகும்.இம்முறையில் நீளம்,நிறை மற்றும் காலத்தை அளக்க முறையே அடி (foot),பவுண்ட் (pound),வினாடி (second),ஆகிய மூன்று அடிப்படை அலகுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
c.g.s அலகு முறை
இது ஓர் கஸ்ஸியன் (Gaussian)முறையாகும்.இம்முறையில் நீளம்,நிறை, மற்றும் காலத்தை அளக்க முறையே சென்டிமீட்டர்,கிராம் மற்றும் வினாடி ஆகிய மூன்று அடிப்படை அலகுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன 
m.k.s முறை
இம்முறையில் நீளம்,நிறை மற்றும் காலத்தை அளக்க முறையே மீட்டர், கிலோகிராம் மற்றும் வினாடி ஆகியமூன்று அடிப்படை அலகுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

1.ஒரு பொருளை நாம் மேல்நோக்கி எறிந்தாள் அதன் இயக்க ஆற்றல் கொண்டே செல்கிறது மற்றும் அதன் நிலை ஆற்றல் அதிகரித்துக் கொண்டே செல்கிறது (காற்றுத்தடையை புறக்கணிக்கும் போது)
2.பொருளானது பெரும உயரத்தை அடையும்போது ஆற்றல் முழுவதும் நிலை ஆற்றலாகும்.
3.அதுபோன்று பொருளானது பெரும உயரத்தில் இருந்து விழுந்தால் அதன் இயக்க ஆற்றல் அதிகரிக்கும் மற்றும் நிலை ஆற்றல் குறையும்.
4.தரையைத் தொடும்போது அதன் ஆற்றல் முழுவதும் இயக்க ஆற்றலாகும்.இடைப்பட்ட புள்ளிகளில் ஆற்றலானது இயக்க ஆற்றலாகவும் நிலை ஆற்றலாகவும் இருக்கும்.
5.பொருளானது தரையை அடையும் போது இயக்க ஆற்றல் முழுவதுமாக ஒலி,வெப்பம்,ஒளி மற்றும் பொருளின் உருக்குலைவு போன்ற வேறு வகை ஆற்றலாக வெளிப்படும்.
6.இந்த உதாரணத்தில் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் நிலையாற்றல் மற்றும் இயக்க ஆற்றல் மாறும்.
7.எனினும்,இயக்க ஆற்றல் மற்றும் நிலை ஆற்றலின் கூடுதல் அதாவது மொத்த இயந்திர ஆற்றல் எப்போதும் மாறாது.
8.இது மொத்த ஆற்றல் மாறாது என்பதைக் குறிக்கிறது. இதுவே ஆற்றல் மாறா விதியாகும்.

9.ஆற்றல் மாறா விதியின்படி ஆற்றலை ஆக்கவோ அழிக்கவோ இயலாது.ஆற்றலானது ஒரு வகையிலிருந்து மற்றொரு வகையாக மாறக்கூடியது.ஆனால் ஒரு தனித்த அமைப்பின் மொத்த ஆற்றல் மாறிலியாக இருக்கும்.

r ஆரமுடைய வட்டப்பாதையில் சீரான இயக்கம் பெற்றுள்ள புள்ளிப் பொருள் ஒன்றைக் கருதுக. சீரான வட்டப்பாதை இயக்கத்தில் பொருளின் திசைவேகத்தின் எண் மதிப்பில் (வேகம்) எவ்வித மாற்றமும் அடையாமல் திசைவேக வெக்டரின் திசை மட்டும் தொடர்ந்து மாறிக் கொண்டேயிருக்கும். v என்பது ஆதன் திசைவேகம் என்க. வட்டப்பாதையின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இத்திசைவேகம் தொடுகோட்டின் திசையில் செயல்படும். ஆனால் முடுக்கம் 'a' ஆரத்தின் வழியே மையத்தை நோக்கி செயல்படும். இது மைய நோக்கு முடுக்கம் எனப்படும். இது எப்போதும் வட்டத்தின் மையம் நோக்கியே செயல்படும்.

படத்தில் காட்டியவாறு Δt இடைவெளியில் பொருளின் நிலைவெக்டர் மற்றும் திசைவேக வெக்டர் ஆகியவை θ கோண இடப்பெயர்ச்சியை உருவாக்குகிற்து.
சீரான வட்ட இயக்கத்தில்,
\(\mathrm{r} =\left|\vec{r}_1\right|=\left|\vec{r}_2\right| \) மற்றும்
\(\mathrm{v}=\left|\vec{v}_1\right| =\left|\overrightarrow{v_2}\right|\)
துகளின் நிலை வெக்டர் \(\overrightarrow{r_1}\) லிருந்து \(\vec{r}_2\)-க்கு மாறும்போது இடப்பெயர்ச்சி
\(\Delta \vec{r}=\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\) மற்றும் 
திசைவேகம் \(\overrightarrow{v_1}\) விலிருந்து \(\overrightarrow v_2\) மாறுகிறது.
\(\Delta \vec{v}=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}\)
இடப்பெயர்ச்சியின் எண்மதிப்பு Δt மற்றும் Δv ஆகியவற்றின் தொடர்பு
\(\frac{\Delta r}{r}=-\frac{\Delta v}{v}=\theta\)
எதிர்க்குறி Δv ஆரத்தின் வழியே வட்டத்தின் மையத்தை நோக்கி செயல்படுவதைக் குறிக்கிறது.
எனவே \(\mathrm{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\frac{v}{r}\left(\frac{\Delta r}{\Delta t}\right)=-\frac{v^2}{r}\)
சீரான வட்டப்பாதை இயக்கத்திற்கு v = ωr இதில் ω என்பது வட்டத்தின் மையம் பற்றிய கோணத் திசைவேகம் ஆகும். எனவே மையநோக்கு முகுக்கம் a = -ω²r என எழுதலாம்.

ஸ்கேலார் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் எண் மதிப்புகள் மற்றும் அவைகளுக்கு இடையேயான கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத்தொகை ஸ்கேலார் பெருக்கல் எனப்படும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகிய இரு வெக்டர்களுக்கு இடையேயான கோணம் θ எஎில் \( \vec{A} \cdot \vec{B}=\mathrm{AB} \cos \theta.\) A மற்றும் B என்பவை வெக்டர் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியவற்றின் எண் மதிப்புகள்.
(எ.கா) வேலை, ஆற்றல் மற்றும் மின்புலப்பாயம்
பண்புகள்:
(i)  \(\vec { A } \).\(\vec { B } \)  எப்போதும் ஒரு ஸ்கேலார். θ < 90^o எனில் அது நேர்க்குறி. \(90^{\circ}<\theta<180^{\circ}\) எனில் அது எதிர்க்குறி.
(ii) வெக்டர்கள் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=0^{\circ}, \cos \theta=1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\)_{பெரும்} = AB.
(iii) வெக்டர்கள் எதிரெதிர் திசையில் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=180^{\circ}, \cos \theta=-1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\) = AB.
(iv) வெக்டர்கள் ஒன்றுக்கொ்ன்று செங்குத்தாக இருந்தால் \(\theta=90^{\circ}, \cos 90^{\circ}=0, \therefore \vec{A} \cdot \vec{B}=0\)
(v) இது பரிமாற்று வி|திக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}\)
(vi) இது பங்கீட்டு விதிக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{C})=\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot \vec{C}\)
(vii) சுய புள்ளி பெருக்கல்,\(\vec{A} \cdot \vec{A}=A A \cos \theta=A^2\left(\theta=0^{\circ}\right)\) எனில் வெக்டர் \(\vec { A } \)யின் எண்மதிப்பு \(|\vec{A}|\) ஆகும். \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}}\)
(viii) \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) என்பன அலகு வெக்டரின் செங்குத்துக் கூறுகள் எனில்
\(\hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1\) மற்றும் \(\hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{k}=\hat{k} \cdot \hat{i}=0\)
(ix) வெக்டா்களுக்கு இடையேயான் கோணம் \(\theta=\cos ^{-1}\left[\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{A B}\right]\)
(x) கூறுகளின் அடிப்படையில்,
\(\vec{A} \cdot \vec{B} =\left(A_x \hat{i}+\mathrm{A}_y \hat{j}+\mathrm{A}_z \hat{k}\right) \cdot\left(\mathrm{B}_x \hat{i}+B_y \hat{j}+B_z \hat{k}\right) \)
\(=A_x B_x \hat{i}+A_y B_y \hat{j}+A_z B_z \hat{k}\), மற்றவை சுழியாகும். 
\(\vec { A } \) யின் எண் மதிப்பு \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}\) மற்றும்
\(|\vec{B}|=\mathrm{B}=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}\)
வெக்டர் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் வெக்டர் பெருக்கல் மற்றொரு வெக்டர் ஆகும். இதன் எண்மதிப்பு அவ்விரு வெக்டர்களின் எண்மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றிற்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத் தொகைக்குச் சமம் ஆகும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன இரு வெக்டர்கள் எனில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\vec{G}=(A B \sin \theta) \check{n}\)
\(\hat{n}\) ன் திசை \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) வெக்டர்களின் தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் இருக்கும். வலது கை திருகு ஒன்றை \(\vec { A } \) வெக்டரிலிருந்து (முதல் வெக்டர்) \(\vec { B } \) வெக்டரை நோக்கி அவற்றின் சிறிய கோணத்தின் வழியே சுழற்றும்போது திருகு முன்னேறும் திசையில் \(\vec{C}\) வெக்டரின் திசை இருக்கும்.
(எ.கா) திருப்புவிசை \(\vec{C}=\vec{r} \times \vec{F}\) மற்றும் \(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\)
பண்புகள்:
(i) வெக்டா் பெருக்கலின் தொகுபயன் எப்போதும் ஒரு வெக்டராக இருக்கும். இவ்விரு வெக்டர்கள் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான வெக்டர்களாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும் தொகுபயனின் திசை அவ்விரு வெக்டர்கள் அமைந்த தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் அமையும்.
(ii) பரிமாற்று விதிக்கு உட்படாது. \(\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A} \cdot\) ஆனால் \(\vec{A} \times \vec{B}=-[\vec{B} \times \vec{A}]\)
(iii) \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையுமானால் \(\theta=90^{\circ}, \sin \theta=1, (\vec{A} \times \vec{B})\)_{பெருமம்} = \(A B \hat{n}\)
(iv) θ = 0^o அல்லது 180^o எனில் sin θ = 0, சுழியற்ற வெக்டா்களாக இருந்தாலும் வெக்டர் பெருக்கல் \((\vec{A} \times \vec{B})\)_{சிறுமம்} = 0
இதன் பொருள் என்னவெனில், வெக்டர்கள் இணையாக இருந்தாலோ எதிர் திசையில் இணையாக அமைந்தாலும் வெக்டா் பெருக்கல் அழிந்துவிடும்.
(v) சுய வெக்டர் பெருக்கல் சுழி வெக்டா் ஆகும்.
\(\vec{A} \times \vec{A}=A A \sin 0^{\circ} \hat{A}=\overrightarrow{0}\)
(vi) அலகு வெக்டர் கூறுகளின் சுய வெக்டா் பெருக்கல் சுழியாகும்.
\(\hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0\)
(vii) அலகு வெக்டர்களின் செங்குத்துக் கூறுகள் \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) ஆகியவற்றின் வெக்டர் பெருக்கல்கள்
\(\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}\)  மற்றும்
\(\hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k} \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}\)
(viii) கூறுகளின் அடிப்படையில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{array}\right|=\begin{array}{} \hat{i} \left(A_y B_z-A_z B_y\right) \\ + \hat{j} \left(A_z B_x-A_x B_z\right) \\ +  \hat{k} \left(A_x B_y-A_z B x\right) \end{array}\)
(ix) வெக்டா் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரு இணைகரத்தின் இரு பக்கங்களைக் குறித்தால் \(|\vec{A} \times \vec{B}|\) அவ்விணைகரத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.
(x) வெக்டர் \(\vec { A } \) ம்ற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரே வரிசையில் எடுக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களாக குறுக்கப்பட்டன. \(\frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}|\) என்பது அம்முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.

ஒரு புள்ளி நிறை என்பது எவ்வித வடிவமும் அளவும் இல்லாமல் சுழியற்ற நிறையைக் கொண்டதாக அனுமானிக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியாகும். \(\mathrm{m}_1, \mathrm{~m}_2, \mathrm{~m}_3, \ldots \mathrm{m}_{\mathrm{n}}\) என்ற n புள்ளி நிறைகளைக் கொண்ட தொகுப்பின் நிறை மையத்தைக் கண்டறிய, முதலில் நாம் ஆதிப்புள்ளியையும் தகுந்த ஆய அச்சு அமைப்பையும் தெரிவு செய்ய வேண்டும். படத்தில் காட்டியுள்ள படி \(x_1, x_2, x_3, \ldots x_n\) ஆகியவை x அச்சில் புள்ளி நிறைகளின் ஆய அச்சு நிலைகளாகக் கருதுலோம்.
x_cm என்பது எல்லா புள்ளி நிறைகளின் நிறை மைய நிலையின் x ஆயத் தொலைவு எனில், அதன் சமன்பாடு
\(\mathrm{X}_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum \mathrm{m}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\sum \mathrm{m}_{\mathrm{i}}}\)
   
இங்கு, \(\sum \mathrm{m}_{\mathrm{i}}\) என்பது எல்லாத் துகள்களின் மொத்த நிறை. அதாவது M என்பது \(\left(\sum \mathrm{m}_{\mathrm{i}}=\mathrm{M}\right)\) ஆகும்.
\(\mathrm{X}_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum \mathrm{m}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{M}\)  ....(1)
இதைப்போன்றே (படத்தில் காட்டியுள்ளபடி) பரவலாய் அமைந்துள்ள புள்ளி நிறைகளின் நிறை மையத்திற்கான y, z ஆயத்தொலைவுகளையும் நாம் கண்டறியலாம்.
\(\mathrm{y}_{\mathrm{CM}} =\frac{\sum \mathrm{m}_{\mathrm{i}} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{M}}  \)    ....(2)
\(\mathrm{z}_{\mathrm{CM}} =\frac{\sum \mathrm{m}_{\mathrm{i}} \mathrm{z}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{M}}\)    ....(3)
ஆகவே, கார்ட்டீசியன் ஆய அச்சு அமைப்பில் இப்புள்ளி நிறைகளின் நிணை மையத்தின் நிலை \(\left(\mathrm{x}_{\mathrm{CM}}, \mathrm{y}_{\mathrm{CM}}, \mathrm{z}_{\mathrm{CM}}\right)\) ஆகும். பொதுவாக, நிமைமையத்தின் நிலையை வெக்டர் வடிவிலேயே எழுதுகிறோம்.
\(\vec{r}_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum \mathrm{m}_{\mathrm{i}} \overrightarrow{\mathrm{r}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{M}}\)   ....(4)
இங்கு, \(\vec{r}_{C M}=x_{C M} \hat{i}+y_{C M} \hat{j}+z_{C M} \hat{k}\) என்பது நிறை மையத்தின் நிலை வெக்டர் ஆகும். மேலும், \(\vec{r}_{\mathrm{i}}=\mathrm{x}_{\mathrm{i}} \hat{i}+\mathrm{y}_{\mathrm{i}} \hat{j}+z_{\mathrm{i}} \hat{k}\) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி நிறையின் நிலை வெக்டா் ஆகும். இங்கு \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) என்பவை முறையை X, Y மற்றும் Z அச்சுகளின் திசையில் அமைந்த ஓரலகு வெக்டர்கள் ஆகும்.

நிலவின் முடிடுக்கம்
புவியின் மையத்திலிருந்து நிலவின் ஆரம்
\(r =384,000 \times \frac{1000}{1 \mathrm{~km}} \)
= 384 x 10⁶  மீ 

= 2,332,800 வினாடி 

\(=\frac{2 \pi r}{T} \)

மையநோக்கு முடுக்கம் \(\left(a_{\perp}\right)=\frac{v^2}{r}\)
\(=\frac{(329 \pi)^2}{384 \times 10^6}=2.78 \times 10^{-3}\) மீ/வி²
புவிஈர்ப்பு விசையால், நிலவின்
முடுக்கம் = 2.78 x 10^-3 மீ/வி²

நியூட்டன் விதிகள்:
(1) ஒரு பொருளின் மீது வெளிப்புற விசை ஒன்று செயல்படாதவரை, அது தனது ஓய்வு நிலையிலோ அல்லது மாறாத் திசைவேகத்திலுள்ள சீரான இயக்க நிலையிலோ தொடா்ந்து இருக்கும்.
(2) ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும் விசையானது அந்தப் பொருளின் உந்த மாறுபாட்டு வீதத்திற்கு சமமாகும்.
(3) எந்தவொரு செயல் விசைக்கும் சமமான எதிர் செயல்விசை உண்டு.
விளக்கம்:
(1) நியூட்டன் விதிகள் வெக்டா் விதிகளாகும். \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{ma}\) என்ற சமன்பாட்டை, கார்டீசியன் ஆயக்கூறுகளின் அடிப்படையில் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(F_x \hat{i}+F_y \hat{j}+F_z \hat{k}=m a_x \hat{i}+m a_y \hat{j}+m a_z \hat{k}\)
இருபுறமும் ஒப்பிட,
\(F_x=m a_x \)
\(F_y=m a_y  \)
\(F_z=m a_z\)
இதிலிருந்து நாம் அறிய வேண்டியது என்னவெனில், y திசையில் செயல்படும் வினை, x திசையில் ஏற்படும் முடுக்கத்தை எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது. அதே போன்று F_z ஆனது a_y மற்றும் a_x ஐ எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது.
(2) ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் (t), பொருள் அடையும் முடுக்கம், அதே நேரத்தில் அப்பொருளின் மீது செயல்படுமு வினையினை மட்டுமே சார்ந்தது. இதனை இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}(\mathrm{t})=\mathrm{ma}(\mathrm{t})\)
பொருளின் முடுக்கம். கடந்தகால விசையைச் சார்ந்ததல்ல. எடுக்துக்காட்டாக. பந்து வீச்சாளரால் வீசப்பட்ட பந்து, அவரின் கரத்தை விட்டு விடுபட்ட பின்பு பந்து, புவியீர்ப்பு விசை மற்றும் காற்றின் உராய்வுவிசை இவைகளை மட்டுமே உணரும். பந்தின் முடுக்கம் அது எவ்வளவு வேகத்தில் வீசப்பட்டது என்பகை பொருத்து அமையாது.
(3) பொதுவாக பொருளின் இயக்கம் விசையின் திசையிலிருந்து மாறுபட்டு அமையலாம்.
(a) விசையும் இயக்கமும் ஒரே திசையில் அமைதல்.
(எ.கா.) மரத்திலிருந்து கீழே விழும் பழத்தின் இயக்கம்.
(b) விசையும் இயக்கமும் வெவ்வேறு (செங்குத்து) திசைகளில் அமைதல்.
(எ.கா.) நிலா புவியினை நோக்கி ஒரு விசையை உணா்கிறது. ஆனால் நிலா புவியை ஒரு நீள் வட்டப்பாதையில் சுற்றி வருகிறது.
(c) விசையும் இயக்கமும் எதிரெதிர் திசையில் அமைதல்
(எ.கா.) பொருளை. புவியீர்ப்பு விசைக்கு எதிராக மேல்நோக்கி எறிதல்.
(d) சுழிநிகர விசையுடன் பொருளின் இயக்கம் அமைதல்.
(எ.கா.) மழைத்துளி மாறாத்திசைவேகத்துடன் தரையில் விழுதல்.
(4) ஒரு பொருளின் மீது பல்வேறு விசைகள், \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 \ldots \ldots . \vec{F}_n\) செயல்படும் போது, நிகரவிசை \(\left(\vec{F}_{n e t}\right)\), தனித்தனி வெக்டா் கூடுதலுக்குச் சமம்.
\(\vec{F}_{\text {net }}=\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_{3 \ldots} \vec{F}_n\)
(5) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பொருளின் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம்படி வகைக்கெழு வடிவத்திலும் எழுதலாம்.
\(\vec{F}=m \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2}\)
இதிலிருந்து நாம் அறிந்துகொள்வது என்னவெனில், எப்பொழுதெல்லாம் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம் வகைக்கெழு சுழியல்லாத மதிப்பினை பெறுகிறதோ அப்பொழுதெல்லாம் பொருளின் மீது விசை செயல்படுகிறது.
(6) பொருளின் மீது எவ்விதமான விசையும் செயல்படாத நிலையில் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி \(m=\frac{d \vec{v}}{d t}=0\).. அதாவது பொருள் மாறாத் தினைவேகத்துடன் இயங்குகிறது என்று நமக்கு உணர்த்துகிறது. நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி, முதல் விதியோடு இயல்பாக பொருந்துவதை நாம் உணரலாம். இருப்பினம் அவை இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராத தனித்தனி விதிகளாகும். ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றை தருவிக்க இயலாது.
(7) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி காரணம் மற்றும் விளைவு வகையைச் சார்ந்தது. விசை ஒரு காரணம் எனில் முடுக்கம் அதற்கான விளைவு ஆகும். எனவே விதியின் சரியான வடிவம் \(m \vec{a}=\vec{F}.\)

பல்வேறு விசைகள் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்குமானால் அவ்விசைகளை ஒருமைய விசைகள் என்று அழைக்கலாம். படம் ஒருமைய விசைகளைக் காட்டுகிறது. ஒருமைய விசைகள், ஒரே தளத்தில் அமைய வேண்டிய அவசியமில்லை. மாறாக அவை ஒரேதளத்தில் அமைந்தால் அவ்விசைகளை ஒருமைய மற்றும் ஒருதள விசைகள் என்று அழைக்கலாம்.
லாடியின் தேற்றம்
லாமி தேற்றத்தின்படி, சமநிலையில் இருக்கும் மூன்று ஒருதள மற்றும் ஒருமைய விசைகள் கொண்ட அமைப்பில், ஒவ்வொரு விசையின் எண் மதிப்பும், மற்ற இரண்டு விசைகளுக்கிடைப்பட்ட கோணத்தின் சைன் மதிப்பிற்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும். இம்மூன்று விசைகளுக்கான தகவுமாறிலி சமமாகும்.
படத்தில் காட்டியுள்ளபடி \(\vec { F1 } ,\vec { F2 } \) மற்றும் \(\vec { F3 } \)  என்ற மூன்று ஒரு தள மற்றும் ஒரு மைய விசைகள்ளி என்ற புள்ளியில்செயல்பட்டு அப்புள்ளியை சமநிலையில் வைக்கின்றன என்க. லாமியின் தேற்றப்படி

\(\left|\vec{F}_3\right| \propto \sin \alpha  \)
\(\left|\vec{F}_2\right| \propto \sin \beta   \)
\(\left|\vec{F}_3\right| \propto \sin \gamma\)
எனவே, \(\frac{\left|\vec{F}_1\right|}{\sin \alpha}=\frac{\left|\vec{F}_2\right|}{\sin \beta}=\frac{\left|\vec{F}_3\right|}{\sin \gamma}\)   ....(1)
விசைகள் செயல்பட்டு, ஓய்வுச் சமநிலையில் உள்ள பொருள்களை பகுப்பாய்வு செய்வதில், லாமியின் தேற்றம் மிக முக்கியமாகப் பயன்படுகிறது.

M₁ மற்றும் M₂ நிறையுள்ள இரு மீட்சிப் பொருள்கள் ஒரு உராய்வற்ற கிடைத்தளப்பரப்பில் நேர்க்கோட்டில் (நேர் x  அச்சின் திசையில்) இயங்குவதாகக் கருதுக.

நிறை	தொடக்க திசைவேகம்	இறுதி திசைவேகம்
நிறை m1	u1	v1
நிறை m2	u2	v2

மோதல் நிகழ m₁ நிறை m₂ ஐ விட வேகமாக இயங்குவதாகக் கருதுக.அதாவது u₁>u₂ மீட்சி மோதலுக்கு இரு பொருட்களின் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் மற்றும் இயக்க ஆற்றல்கள் மோதலுக்கு முன்பும் மோதலுக்குப் பின்பும் மாறாமல் ஒரே அளவாக இருக்க வேண்டும்.

	நிறை m1இன் உந்தம்	நிறை m2 இன் உந்தம்	மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம்
மோதலுக்கு முன்	Pi1 = m1u1	Pi2 = m2u2	Pi = Pi1 + Pi2 Pi = m1u1 + m2u2
மோதலுக்குப் பின்	Pf1 = m1v1	Pf2 = m2v2	Pf = Pf1 + Pf2 Pf = m1v1 + m2v2

நேர்க்கோட்டு உந்தமாறா விதியில் இருந்து மோதலுக்கு முன்மொத்த உந்தம் (P_i) =மோதலுக்குப் பின் மொத்த உந்தம் (P_f)
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂   ......(1)
அல்லது
m₁(u₁ - v₁) = m₂(u₂ - v₂)   ......(2)

	நிறை m1இன் உந்தம்	நிறை m2 இன் உந்தம்	மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம்
மோதலுக்கு முன்	\(K E_{i 1}=\frac{1}{2} m_1 u_1^2 \)	\( K E_{i 2}=\frac{1}{2} m_2 u_2^2 \)	\(K E_i=K E_{i 1}+K E_{i 2} \) \(K E_i=\frac{1}{2} m_1 u_1^2+\frac{1}{2} m_2 u_2^2 \)
மோதலுக்குப் பின்	\(K E_{f 1}=\frac{1}{2} m_1 v_1^2\)	\(K E_{f 2}=\frac{1}{2} m_2 v_2^2\)	\(K E_f=K E_{f 1}+K E_{f 2} \) \(K E_f=\frac{1}{2} m_1 v_1^2+\frac{1}{2} m_2 v_2^2\)

மீட்சி மோதலுக்கு முன் மொத்த இயக்க ஆற்றல் KE_i= மோதலுக்குப் பின் மொத்த இயக்க ஆற்றல் KE_f
\(\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\)   .....(3)
சுருக்கிய பிறகு மாற்றியமைக்க \(m_1\left(u_1^2-v_1^2\right)=m_2\left(v_2^2-u_2^2\right)\) மேற்கண்ட சமன்பாட்டை \(a^2-b^2=(a+b)(a-b) \) என்ற வாய்ப்பாட்டை பயன்படுத்தி மீண்டும் எழுத
\(\mathrm{m}_1\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1\right)\left(\mathrm{u}_1-\mathrm{v}_1\right)=\mathrm{m}_2\left(\mathrm{v}_2+\mathrm{u}_2\right)\left(\mathrm{v}_2-\mathrm{u}_2\right)\) .....(4)
சமன்பாடு (4) ஐ (2) ஆல் வகுக்க கிடைப்பது.
\(\frac{m_1\left(u_1+v_1\right)\left(u_1-v_1\right)}{m_1\left(u_1-v_1\right)} =\frac{m_2\left(v_2+u_2\right)\left(v_2-u_2\right)}{m_2\left(v_2-u_2\right)}  \)
\(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1 =\mathrm{v}_2+\mathrm{u}_2\) மாற்றியமைக்க 
\(\mathrm{u}_1-\mathrm{u}_2 =\mathrm{v}_2-\mathrm{v}_1\)   .....(5)
சமன்பாடு (5) ஐ இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\mathrm{u}_1-\mathrm{u}_2=-\left(\mathrm{v}_1-\mathrm{v}_2\right)\)
இதன் பொருளானது எந்த ஒரு நேரடி மீட்சி மோதலிலும், மோதலுக்குப்பின் இரு மீட்சிப் பொருள்களின் ஒப்புமை வேகம் மோதலுக்கு முன் இருந்த அதே எண்மதிப்பைக் கொண்டும் ஆனால் எதிர்த்திசையிலும் இருக்கும் என்பதாகும்.மேலும் இந்த முடிவு நிறையைச் சார்ந்ததல்ல என்பதை அறியவும்.
மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து v₁ மற்றும் v₂ மதிப்புகளைக் காண
\(\mathrm{v}_1= \mathrm{v}_2+\mathrm{u}_2-\mathrm{u}_1 \)    .....(6)
அல்லது 
\(\mathrm{v}_2= \mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1-\mathrm{u}_2\)     .....(7)
இறுதி திசைவேகங்கள் v₁ மற்றும் v₂ கண்டறிதல்:
சமன்பாடு (7) ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிடுவதன் மூலம் m₁ இன் திசைவேகமானது
\(\mathrm{m}_1\left(\mathrm{u}_1-\mathrm{v}_1\right) =\mathrm{m}_2\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1-\mathrm{u}_2-\mathrm{u}_2\right)  \)
\(\mathrm{m}_1\left(\mathrm{u}_1-\mathrm{v}_1\right) =\mathrm{m}_2\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{v}_1-2 \mathrm{u}_2\right)  \)
\(\mathrm{m}_1 \mathrm{u}_1-\mathrm{m}_1 \mathrm{v}_1 =\mathrm{m}_2 \mathrm{u}_1+\mathrm{m}_2 \mathrm{v}_1-2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2  \)
\(\mathrm{~m}_1 \mathrm{u}_1-\mathrm{m}_2 \mathrm{u}_1+2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2 =\mathrm{m}_1 \mathrm{v}_1+\mathrm{m}_2 \mathrm{v}_1  \)
\(\left(\mathrm{~m}_1-\mathrm{m}_2\right) \mathrm{u}_1+2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2 =\left(\mathrm{m}_1+\mathrm{m}_2\right) \mathrm{v}_1\)
அல்லது \(\mathrm{v}_1=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) u_1+\left(\frac{2 m_2}{m_1+m_2}\right) u_2\)   ....(8)
இது போன்றே சமன்பாடு (6) ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட அல்லது சமன்பாடு (8) ஐ சமன்பாடு (7) இல் பிரதியிட m₂ இன் இறுதி திசைவேகமானது
\(\mathrm{v}_2=\left(\frac{2 m_1}{m_1+m_2}\right) u_1+\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right) u_2\)    ....(9)
நேர்வு 1 : பொருள்கள் ஒரே நிறையைக் கொண்டிருந்தால் அதாவது m₁ = m₂
சமன்பாடு (8)  \(\Rightarrow v_1 =(0) u_1+\left(\frac{2 m_2}{2 m_2}\right) u_2\) 
\(v_1 =\mathrm{u}_2\)    ....(10)
சமன்பாடு (9) \(\Rightarrow v_2 =\left(\frac{2 m_1}{2 m_1}\right) u_1+(0) u_2\) 
v₂ = u₁  ....(11)
சமன்பாடுகள் (10) மற்றும் (11) தெரிவிப்பது என்னவெனில் ஒரு பரிமாண மீட்சி மோதலில் சம நிறையுள்ள இரு பொருள்கள் மோதிக்கொண்டால் மோதலுக்குப் பின் அவற்றின் திசைவேகங்கள் பரிமாறிக் கொள்ளப்படுகின்றனன.
நோ்வு 2 : பொருள்கள் ஒரே நிறையைக் கொண்டிருந்தால் அதாவது m₁ = m₂ மற்றும் இரண்டாவது பொருள் (வழக்கமாக இலக்கு என அழைக்கப்படுவது) ஓய்வு நிலையில் உள்ளபோது (u₂ = 0).
m₁ = m₂ மற்றும் (u₂ = 0) என்ற மதிப்புகளை சமன்பாடுகள் (8) மற்றும் (9) இல் பிரதியிட
சமன்பாடு (8) \(\Rightarrow \mathrm{v}_1=0 \quad(12)\)
சமன்பாடு (9) \(\Rightarrow v_2=u_2 \quad (13)\)
சமன்பாடு (12) மற்றும் (13) தெரிவிப்பது என்னவெனில் முதல் பொருள் மோதலுக்குப் பின் ஓய்வு நிலைக்கு வரும்போது இரண்டாவது பொருள் முதல் பொருளின் தொடக்க திசைவேகத்தில் இயங்குகிறது.
நோ்வு 3: முதல் பொருளானது இரண்டாவது பொருளின் நிறையைவிட குறைவாக இருந்தால், \(\left(m_1< பிறகு விகிதம் \(\frac{m_1}{m_2} \approx 0\) மற்றும் இலக்கு ஓய்வு நிலையில் உள்ளபோது \(\left(u_2=0\right)\) சமன்பாடு (8) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₂-ஆல் வகுக்க.
\(\mathrm{v}_1 =\left(\frac{\frac{m_1}{m_2}-1}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right) u_1+\left(\frac{2}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_1 =\left(\frac{0-1}{0+1}\right) u_1  \)
\(\mathrm{v}_1 =-\mathrm{u}_1\)   ....(14)
இது போன்றே சமன்பாடு (9) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₂ ஆல் வகுக்க.
\(\mathrm{v}_2=\left(\frac{2 \frac{m_1}{m_2}}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right) u_1+\left(\frac{1-\frac{m_1}{m_2}}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_2=(0) u_1+\left(\frac{1-\frac{m_1}{m_2}}{\frac{m_1}{m_2}+1}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_2=0\)   ....(15)
நிறை குறைவாக உள்ள முதல் பொருளானது அதே தொடக்க திசைவேகத்துடன் எதிர்த்திசையில் திரும்புகிறது. (மீண்டெழுகிறது) என்பதைச் சமன்பாடு (14) இல் உள்ள எதிர்க்குறி குறிக்கிறது. அதிக நிறையுள்ள இரண்டாவது பொருளானது மோதலுக்குப் பிறகும் ஓய்வு நிலையிலேலே தொடர்ந்து இருக்கிறது. என்பதைச் சமன்பாடு (15) குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, பந்து ஒன்று நிலையான சுவரின் மீது எறியப்பட்டால் பந்தானது எறியப்பட்ட அதே திசைவேகத்திலேயே எதிர்த்திசையில் சுவரில் இருந்து திரும்பி வரும்.
நோ்வு 4: இரண்டாவது பொருளானது முதல் பொருளைவிட நிறை குறைவாக உள்ளபோது, \(\left(m_2 \ll m_1, \frac{m_2}{m_1}<1\right)\) பிறகு விகிதம் \(\frac{m_2}{m_1} \approx 0\) மற்றும் இலக்கு ஓய்வு நிலையில் உள்ள போது \(\left(u_2=0\right)\) சமன்பாடு (8) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₁ ஆல் வகுக்க
\(\mathrm{v}_1=\left(\frac{1-\frac{m_2}{m_1}}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right) u_1+\left(\frac{2 \frac{m_2}{m_1}}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right)(0)=\left(\frac{1-0}{1+0}\right) u_1+\left(\frac{0}{1+0}\right)(0)  \)
\(\mathrm{v}_1=\mathrm{u}_1\)   ....(16)
இது போன்றே சமன்பாடு (13) இன் தொகுதி மற்றும் பகுதியை m₁ ஆல் வகுக்க
\(v_2=\left(\frac{2}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right) u_1+\left(\frac{\frac{m_2}{m_1}-1}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right)(0)  \)
\(v_2=\left(\frac{2}{1+0}\right) u_1  \)
\(v_2=2 u_1\)    ...(17)
கனமாக உள்ள முதல் பொருளானது மோதலுக்குப் பிறகு அதே திசைவேகத்துடன் தொடர்ந்து இயங்குகிறது என்பதைச் சமன்பாடு (16) குறிக்கிறது. நிறை குறைவாக உள்ள இரண்டாவது பொருள் முதல் பொருளின் தொடக்க திசைவேகத்தைப் போல இரு மடங்கு திசைவேகத்துடன் இயங்குகிறது என்பதை சமன்பாடு (17) குறிக்கிறது. நிறை குறைவாக உள்ள பொருள் மோதலுறும் புள்ளியிலிருந்து வேகமாக் செல்கிறது.

மாறா விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை:
ஒரு பொருளின் மீது F என்ற மாறா விசை செயல்படும்போது விசையினால் dr என்ற சிறு இடப்பெயர்ச்சியை ஏற்படுத்தச் செய்யப்பட்ட சிறு வேலை dw க்கான தொடர்பு
\(\mathrm{dW}=(F \cos \theta) d r\)    .....(1)
தொடக்க நிலை r_i முதல் இறுதி நிலை r_f வரை இடப்பெயர்ச்சி ஏற்படுத்த செய்யப்படும் மொத்த வேலை
\(\mathrm{W} =\int_{r_i}^{r_f} d W  \)    ...(2)
\(\mathrm{~W} =\int_{r_i}^{r_f}(F \cos \theta) d r=(F \cos \theta) \int_{r_i}^{r_f} d r  \)
\(\mathrm{~W} =(F \cos \theta)\left(r_f-r_i\right)\)    ...(3)
மாறாத விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பரப்பு மாறாத விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலையைக் குறிக்கிறது.

மாறுபடும் விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை
மாறுபடும் விசை (F) ஒன்றின் கூறு ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும்போது dr என்ற சிறு இடப்பெயர்ச்சியை ஏற்படுத்த விசையினால் செய்யப்பட்ட சிறு வேலை (dW) க்கான தொடர்பு
\(\mathrm{dW}=(F \cos \theta) d r\)
[F cos θ என்பது F என்ற மாறும் விசையின் கூறு ஆகும்.]
இங்கு F மற்றும் θ ஆகியவை மாறிகள் ஆகும். தொடக்க நிலை r_i முதல் இறுதிநிலை r_f வரை இடப்பெயர்ச்சி ஏற்படுத்த செய்யப்பட்ட மொத்த வேலை.
\(\mathrm{W}=\int_{r_i}^{r_f} d W=\int_{r_i}^{r_f} F \cos \theta d r\)      (4)
மாறுபடும் விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை படத்தில் , வரைபடம் மூலம் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது. வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பரப்பு மாறும் விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலையைக் குறிக்கிறது.

பரிமாணங்களில் ஒருப்படித்தான நெறிமுறைப்படி ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பின் பரிமாணங்களும் சமமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, v² = v² + 2as என்ற சமன்பாட்டில் v², u²மற்றும் 2as ஆகியவற்றின் பரிமாணங்கள் ஒத்ததாகவும்[L²T^-2] க்கு சமமாகவும் இருக்கும்.
பயன்கள்:
இம்முறையானது,
(i) இயற்பியல் அளவு ஒன்றை ஒரு அலகிடும் முறையிலிருந்து மற்றொரு அலகிடும் முறைக்கு மாற்றப் பயன்படுகிறது.
(ii) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரியானதா என சோதிக்கப் பயன்படுகிறது.
(iii) வெவ்வேறு இயற்பியல் அளவுகளுக்கிடையே உள்ள தொடா்பினைப் பெற பயன்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு-1
பரிமாணங்கள் முறையில் 76 cm பாதரச அழுத்தத்தை Nm^-2 என மாற்றுதல்.
தீர்வு
CGS முறையில் 76 cm பாதாச அழுத்தம் (P₁) = 76 x 13.6 x 980 dyne cm^-2
SI முறையில் P - ன் மதிப்பு (P₂) = ?
அழுத்தத்தின் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(\left[M L^{-1} T^{-2}\right]\)
\(\mathrm{P}_1\left[M_1^a L_1^b T_1^c\right] =\mathrm{P}_2\left[M_2^a L_2^b T_2^c\right]  \)
\(\therefore P_2 =P_1\left[\frac{M_1}{M_2}\right]^a\left[\frac{L_1}{L_2}\right]^b\left[\frac{T_1}{T_2}\right]^c  \)
\(\mathrm{M}_1 =1 \mathrm{~g} ; \quad \mathrm{M}_2=1 \mathrm{~kg}  \)
\(\mathrm{~L}_1 =1 \mathrm{~cm} ; \quad \mathrm{L}_2=1 \mathrm{~m}  \)
\(\mathrm{~T}_1 =1 \mathrm{~s} ; \quad \mathrm{T}_2=1 \mathrm{~s} \)
எனவே \(\mathrm{a} =1 \mathrm{~b}=-1 \mathrm{c}=-2\)
\(\therefore P_2 =76 \times 13.6 \times 980\left[\frac{1 \mathrm{~g}}{1 \mathrm{~kg}}\right]^{\mathrm{l}}\left[\frac{1 \mathrm{~cm}}{1 \mathrm{~m}}\right]^{-1}\left[\frac{1 \mathrm{~s}}{1 \mathrm{~s}}\right]^{-2} \)
\(=76 \times 13.6 \times 980\left[\frac{10^{-3} \mathrm{~kg}}{1 \mathrm{~kg}}\right]^1\left[\frac{10^{-2} \mathrm{~m}}{1 \mathrm{~m}}\right]^{-1}\left[\frac{1 \mathrm{~s}}{1 \mathrm{~s}}\right]^{-2} \)
\(=76 \times 13.6 \times 980 \times\left[10^{-3}\right] \times 10^2 \)
\(=1.01 \times 10^5 \mathrm{Nm}^{-2}\)
\(\frac{1}{2} m v^2=m g h\) என்ற சமன்பாட்டை பரிமாணப்பகுப்பாய்வு முறைப்படி. சரியானதா என கண்டறிதல்.
\(\frac{1}{2} m v^2\) இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(=\lceil\mathrm{M}\rceil\left\lceil\mathrm{LT}^{-1}\right\rceil^2=\left\lceil\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right\rceil \)
mgh  இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(=[\mathrm{M}]\left[\mathrm{LT}^{-2}\right][\mathrm{L}]=\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right\rceil \)
\(\therefore\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right] =\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right]\)
இருபுறங்களிலும் பரிமாணங்கள் சமம். எனவே \(\frac{1}{2} m v^2=m g h\) என்ற சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரி.
தனி ஊசலின் அலைவு நேரத்திற்கான கோவையை பரிமாண முறையில் பெறுதல். அலைவு நேரமானது. (i) ஊசல் குண்டின் நிறை 'm' (ii) ஊசலின் நீளம் 'l' (iii) அவ்விடத்தில் புவியீ்ர்ப்பு முடுக்கம் g ஆகியவற்றைச் சார்ந்தது.' (மாறிலி k = 2π)
\(T \propto m^a l^b \dot{g}^c \)
\(T=k \cdot m^{\mathrm{a}} l^{\mathrm{b}} g^c\)
k என்பது பரிமாணமற்ற மாறிலி. மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் பரிமாணங்களை பிரதியிட
\({\left[\mathrm{T}^{\mathrm{l}}\right] } =\left[\mathrm{M}^{\mathrm{a}}\right]\left[\mathrm{L}^{\mathrm{b}}\right]\left[\mathrm{LT}^{-2}\right] \)
\({\left[\mathrm{M}^0 \mathrm{~L}^0 \mathrm{~T}^1\right] } =\left[\mathrm{M}^{\mathrm{a}} \mathrm{L}^{\mathrm{b}+\mathrm{c}^2} \mathrm{~T}^{-2 \mathrm{c}}\right]\)
சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள M, L, T ன் படிகளை சமன் செய்ய
\(\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}+\mathrm{c}=0 .-2 \mathrm{c}=1\)
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க
\(\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=1 / 2 \)  மற்றும் c = -1 / 2
a,b மற்றும் c மதிப்புகளை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{T}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{m}^0 l^{1 / 2} g^{-1 / 2}  \)
\(\mathrm{~T}=\mathrm{k}\left(\frac{l}{g}\right)^{1 / 2}=k \sqrt{\frac{l}{g}}\)
சோதனை மூலம் பெறப்பட்ட k யின் மதிப்பு k = 2 π, எனவே
\(\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

அளவிடும்போது முழையான பிழைகள், ஓழுங்கற்ற பிழைகள் மற்றும் மொத்தப்பிழைகள் ஆகிய மூன்று வகையான பிழைகள் ஏற்படலாம்.
(i) முறையான பிழைகள் (Systematic errors)
முறையான பிழைகள் என்பது தொடர்ச்சியாக மீண்டும் மீண்டும் ஒரே மாதிரி உருவாகும் பிழைகள் ஆகும். இப்பிழைகள் ஆய்வின் ஆரம்பம் முதல் முடிவு வரை தொடர்ந்து நிகழும் பிரச்சனையால் ஏற்படுகின்றன. முறையான பிழைகள் கீழ்கண்டவாறு வகைப்படுத்தப்படுகின்றன 
1. கருவிப் பிழைகள் (Instrumental errors)
ஒரு கருவியானது தயாரிக்கப்படும்போது முறையாக அளவீடு (Calibration) செய்யப்படவில்லை எனில் கருவிப் பிழைகள் தோன்றலாம். முனை தேய்ந்த மீட்டர் அளவுகோலைக் கொண்டு ஒரு அளவை அளவீடு செய்யும்பொழுது பெறப்பட்ட முடிவுகள் பிழையாக இருக்கும். இந்த வகையான பிழைகளை கருவிகளை கவனமாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் சரிசெய்ய முடியும்.
2. பரிசோதனையின் குறைபாடுகள் அல்லது செய்முறையில் குறைபாடுகள் (Imperfection in instrumental techniques)
சோதனை செய்யும் கருவிகளை அமைக்கும் போது, ஆய்வகச் சூழலில் ஏற்படும் சில தவறுகளால் இப்பிழைகள் தோன்றுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக,கலோரிமானி கொண்டு சோதனை நிகழ்த்தும் போது வெப்பக் காப்பீடு சரியாக செய்யப்படவில்லை எனில் கதிர்வீச்சு முறையில் வெப்ப இழப்பு ஏற்படும் இதனால் பெறப்படும் முடிவுகள் பிழையாக அமையும்.அதனைத் தவிர்க்கத் தேவையான திருத்தங்களை மேற்கொள்ள வேண்டும்.
3. தனிப்பட்டபிழைகள் (Personal errors)
இப்பிழைகள் சோதனையின் போது அளவிடுபவரின் செயல்பாட்டால் உருவாகிறது. கருவியின் தவறான ஆரம்பச் சீரமைவுகள் அல்லது முறையற்ற முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கையால் அல்லது கவனக்குறைவாக உற்று நோக்கினால்,அளவிடுபவரால் ஏற்படுகிறது.
4. புறக்காரணிகளால் ஏற்படும் பிழைகள் (Errors due to external causes)
சோதனையின் போது புறச்சூழலில் ஏற்படும் மாறுபட்டால் அளவிடுதலில் பிழைகள் ஏற்படும் .எடுத்துக்காட்டாக,வெப்பநிலை மாறுபாடு, ஈரப்பதம் அல்லது அழுத்தத்தால் ஏற்படும் மாற்றம் போன்றவை அளவீட்டின் முடிவுகளைப் பாதிக்கும்.
5. மீச்சிற்றளவு பிழைகள் (Least count Errors)
ஓர் அளவுகோலால் அளக்கக்கூடிய மிகச்சிறிய அளவு மீச்சிற்றளவு எனப்படும். மேலும் அதனால் ஏற்படும் பிழைகள் மீச்சிற்றளவு பிழைகள் எனப்படும். அளவிடும் கருவியின் பகுதிறன் மதிப்பைச் சார்ந்து இப்பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. இவ்வகைப் பிழைகளை உயர் நுட்பம் கொண்ட கருவிகளைப் பயன்படுத்துவதால் குறைக்க முடியும்.
(ii) ஒழுங்கற்ற பிழைகள் (Random Errors)
அழுத்தம், வெப்பநிலை, அளிக்கப்படும் மின்னழுத்தம் போன்றவற்றால் சோதனையில் ஏற்படும் தொடர்பற்ற மாறுபாடுகளால்,சமவாய்ப்பு பிழைகள் ஏற்படும் தொடர்பற்ற மாறுபாடுகளால்,சமவாய்ப்பு பிழைகள் ஏற்படுகின்றன சோதனையை உற்று நோக்குபவரின் கவனக்குறைவால் ஏற்படும் பிழையாலும்,அளவிடுபவர் செய்யும் பிழையினாலும் இவ்வகை பிழைகள் ஏற்படலாம். ஒழுங்கற்ற பிழைகள்,வாய்ப்பு பிழைகள் (Chance Errors) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டாக, திருகு அளவியைக் கொண்டு ஒரு கம்பியின் தடிமனை அளக்கும் சோதனையைக் கருதுவோம். ஒவ்வொரு முறையும் வேறுபட்டஅளவீடுகள் கூட்டுச் சராசரி எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.
ஒரு சோதனையில் n எண்ணிக்கையில் எடுக்கப்பட்ட அளவீடுகள் a₁,a₂,a₃............a_n
எனில், கூட்டுச் சராசரி \(a_m={a_1+a_2+a_3+.......+a_n\over n}\)  ....(1) 
அல்லது \(a_m=1/n\sum a_i\)   ....(2)
அளவீடுகளின் கூட்டுச் சராசரி மதிப்பு என்பது சிறந்த சாத்தியமான நிகழக்கூடிய உண்மை மதிப்பு ஆகும்.
(iii) மொத்தப் பிழைகள் (Gross Errors)
உற்று நோக்குபவரின் கவனக் குறைவின் காரணமாக ஏற்படும் பிழைகள் மொத்தபிழைகள் எனப்படும்.
கருவியை முறையாகப் பொருந்தாமல் அளவீடு எடுத்தல். பிழையின் மூலத்தினையும், முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளையும் கவனத்தில் கொள்ளாமல் தவறாக அளவீடு எடுத்தல். தவறாக உற்று நோக்கியதைப் பதிவிடுதல். கணக்கீட்ழன் போது தவறான மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்துதல். சோதனை செய்பவர் கவனமாகவும்,விழிப்புடனும் செயல்பட்டால் இப்பிழைகளைக் குறைக்கலாம்.

\({1\over2}mv^2\) இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு
= [M][LT^-1]² = [ML²T^-2]
mgh இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு
=[M][LT^-2][L]=[ML²T^-2]
∴ [ML²T⁻²] = [ML²T^-2]
இருபுறங்களிலும் பரிமாணங்கள் சமம். எனவே \({1\over 2}mv^2=mgh\)  என்ற சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரி.

SI முறையில் ஈர்ப்பு மாறிலி G_SI எனவும் cgs முறையில் G_cgs எனவும் கொள்க.
G_SI = 6.6 × 10^-11 Nm² kg⁻²
G_cgs = ?
ஈர்பியல் மாறிலியின் பரிமாண வாய்ப்பாடு = [M^-1L³T^-2]
\(n_2=n_1\left[ M_1\over M_2\right]^a\left[L_1\over L_2\right]^b\left[T_1\over T_2\right]^c\)
\(\mathrm{G}_{\mathrm{cgs}}=\mathrm{G}_{\mathrm{sl}}\left[\frac{M_1}{M_2}\right]^a\left[\frac{L_1}{L_2}\right]^b\left[\frac{T_1}{T_2}\right]^c\)
M₁ = 1 kg L₁ = 1 m T₁ = 1 s
M₂ = 1 g L₂ = 1 cm T₂ = 1 s
எனவே a = -1, b = 3 மற்றும் c = -2
\(G_{cgs}=6.6\times10^{-11}\left[1kg\over 1g\right]^{-1}\left[1m\over 1cm\right]^3\left[1s\over 1s\right]^{2}\)
\(=6.6\times10^{-11}\left[1kg\over 10^{-3}kg\right]^{-1}\left[1m\over 10^{-2}m\right]^3\left[1s\over 1s\right]^{-2}\)
= 6.6 × 10⁻¹¹ × 10⁻³ × 10⁶ × 1
G_cgs = 6.6 × 10⁻⁸ dyne cm² g⁻²

வெக்டர்களின் முக்கோணவிதிப்படி
தொகுபயன் வெக்டர் \(\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}\) என எழுதலாம்.
கீழ்கண்ட படம் வெக்டர்களின் கூடுதலை எவ்வாறு முக்கோணவிதியின் அடிப்படையில் காணலாம் என்பதை விளக்குகிறது.

தொகுபயன் வெக்டரின் \((\overrightarrow{R})\) எண்மதிப்பு
\(R=|\overrightarrow{R}|=\sqrt{5^2+7^2+2\times5\times7\ \cos\ 60°}\)
\(R=\sqrt{25+49+{70\times1\over 2}}=\sqrt{109}\) அலகுகள்
\(\overrightarrow{R}\) மற்றும் \(\overrightarrow{A}\) க்கு இடையே உள்ள கோணம் \(\alpha\) (தொகுபயன் வெக்டரின் திசை) கீழ்கண்டவாறு கணக்கிடப்படுகிறது.
\(\tan \alpha ={B \sin \theta \over A +B \ \cos \theta }\)     (2.2)
எனவே,
\(\tan\alpha =\frac { 7\times sin60^{ 0 } }{ 5+7cos60^{ 0 } } =\frac { 7\sqrt { 3 } }{ 10+7 } =\frac { 7\sqrt { 3 } }{ 17 } \cong 0.713\)
\(\therefore \alpha \cong 35^{ 0 }\)