தானாக கீழே விழும் பொருள், தரையை அடையும் போது பெற்றிருக்கும் திசை வேகம்
\(v=\sqrt{2 g h}\)
அதாவது \( v_1=\sqrt{2 g h_1}\) மற்றும்
\(v_2=\sqrt{2 g h_2}\)
எனவே, \(\frac{m_1 v_1}{m_2 v_2}=\frac{m_1 \sqrt{h_1}}{m_2 \sqrt{h_2}}=\frac{m_1}{m_2} \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}\)

விசை \(\mathrm{F} =v \frac{d x}{d t} \)
\(=v \frac{d}{d t}\) (கனஅளவு x அடர்த்தி)
\(=v \frac{d}{d t}(A x \rho)  \)
\(=v A \rho \frac{d x}{d t}  \)
\(=v A \rho \times v  \)
\(=A \rho v^2\)
திறன் = விசை x திசைவேகம் 
\(=A \rho v^2 \times v=A \rho v^3\)
∴ திறன் \(\propto v^3\)

திருப்புவிசை = விசை x செங்குத்து தொ்லைவு
\(\tau\) = F x r
திருப்பு விசையின் பரிமாணம்
\(=\left[M L T^{-2}\right][\mathrm{L}]=M L^2 T^{-2}\)
ஆற்றல்
= விசை x இடப்பெயர்ச்சி ஆற்றலின் பரிமாணம் 
\(=\left[M L T^{-2}\right][L]=M L^2 T^{-2}\)

கோளின் மீதான ஈர்ப்பு விசை =மைய விலக்கு விசை
\({ Kr }^{ -\frac { 3 }{ 2 } }\)=mrw²=mr\({ \left( \frac { 2\pi }{ T } \right) }^{ 2 }\)
T²=\(\frac { 4\pi mr }{ k{ r }^{ \frac { -3 }{ 2 } } } =\frac { 4{ \pi }^{ 2 }m }{ k } .{ r }^{ \frac { 5 }{ 2 } }\)
\(\therefore \)T² \(\alpha { r }^{ \frac { 5 }{ 2 } }\)

i) தற்காலத்தில் நாம் வெப்பம் என்பது ஓர் அளவு அல்ல அது பரிமாற்றிக் கொள்ளப்படும். ஓர் பரிமாற்ற ஆற்றல் என்று புரிந்து கொண்டிருக்கிறோம். எனவே "வெப்ப இயந்திரவியல் சமானம்" என்பது ஓர் தவறான பிரயோகமாகும் ஏனெனில் இயந்திர ஆற்றல் என்பது ஓர் அளவாகும்.
ii) எந்த ஒரு பொருளும் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இயந்திர ஆற்றலைப் பெற்றிருக்கலாம். ஆனால் வெப்பத்திற்கு இது பொருந்தாது. ஏனெனில் வெப்பம் என்பது ஓர் அளவு அல்ல.
iii) இருந்தபோதிலும் இந்தப் பிரயோகம் தொன்று தொட்டே நடைமுறையில் இருந்துவருவதாக அது தற்போது பின்பற்றப்படுகிறது.
iv) இதன் சரியானப் பிரயோகம் "ஜூலின் அக ஆற்றல் -இயந்திரவியல் ஆற்றல் சமானம்" என்பதேயாகும். அடிப்படையில் ஜூல் இயந்திர ஆற்றலையே அக ஆற்றலாக மாற்றியுள்ளார். ஜூலின் துடுப்பு சக்கர ஆய்வில் நிலைகளின் ஈரப்புநிலை ஆற்றல், துடுப்பு சக்கரத்தின் சூழல் இயக்க ஆற்றலாக மாற்றமடைந்து. பின்னர் நீரின் அக ஆற்றலாக மாற்றமடைகிறது.

(i) பாய்மம் என்பது அதன் மீது புறவிசை செலுத்தப்பட்டால்  பாயத் தொடங்கும் பொருளாகும்.அது செலுத்தப்பட்ட  விசைக்கு மிகக் குறைந்த  எதிர்ப்பை அளிக்கிறது.குறைவான பரப்பில் விசை செயல்பட்டால் அதன் தாக்கம் அதிகமாகவும் , அதிகமான பரப்பில் குறைவாகவும்  இருக்கும். இந்த கருத்தானது அழுத்தம் எனப்படும் ஒரு அளவை உறுதிப்படுத்துகிறது.
(ii) ஓரலகு பரப்பில் செயல்படும் விசையே அழுத்தம் என வரையறுக்கப்படுகிறது.

\(P=\frac { F }{ A } \)
(iii) அழுத்தம் ஒரு ஸ்கேலர் அளவாகும் , அதன் SI  அலகு மற்றும் [பரிணாமங்கள் முறையே Nm^-2 அல்லது பாஸ்கல் (Pa) மற்றும்  [ML ^-1T ^-2]  ஆகும்                   

\(\overrightarrow { v } =\frac { d\overrightarrow { r } }{ dt } =6t\widehat { i } +5\widehat { j } \)
எந்த ஒரு நேரத்திலும் துகளின் திசைவேகம் 
\(\overrightarrow { v } =6t\hat { i } +5\hat { j } \)
திசைவேகத்தின் எண்மதிப்பே வேகமாகும். எந்த ஒரு நேரத்திலும் துகளின் வேகம் பின்வருமாறு
வேகம் \(v(t)=\sqrt { { (6t) }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } =\sqrt { 36{ t }^{ 2 }+25 } \)
t = 3 வினாடியில் துகளின் திசைவேகம்
\(\overrightarrow { v } =6(3)\widehat { i } +5\widehat { j } =18\widehat { i } +5\widehat { j } \) மற்றும்
துகளின் வேகம் = \(\sqrt { 349 } \) ms^-1 

(i) இயற்பியல் அளவுகள் இரு வகைப்படும். ஒன்று அடிப்படை அளவுகள், மற்றொன்று வழி அளவுகள்.
(ii) வேறு எந்த இயற்பியல் அளவுகளாலும் குறிப்பிடப்பட இயலாத அளவுகள் அடிப்படை அளவுகள் எனப்படும்.
(iii) அவை நீளம், நிறை, காலம், மின்னோட்டம், வெப்பநிலை, ஒளிச்செறிவு மற்றும் பொருளின் அளவு (amount of a substance) ஆகும்.
(iv) அடிப்படை அளவுகளால் குறிப்பிடக்கூடிய அளவுகள் வழி அளவுகள் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு: பரப்பு, கனஅளவு, திசை வேகம், முடுக்கம், விசை மற்றும் பல.

இம்முரண் கூற்றுக்குக் காரணம் நியூட்டனின் இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் விதிகளை தவறாக பயன்படுத்துவதுதான். நியூட்டனின் விதிகளை பயன்படுத்துவதற்கு முன் அமைப்பினை (system) தீர்மானிக்க வேண்டும்.
இவ்வாறு அமைப்பினைக் கண்டறிந்த பின்னர் அவ்வமைப்பின் மீது செயல்படும் அனைத்து விசைகளையும் எளிதாகக் கண்டறியலாம். இங்கு அமைப்பு ஏற்படுத்தும் விசைகளைக் கருதக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அமைப்பின் மீது ஏதேனும் சமன் செய்யப்படாத விசைகள் செயல்பட்டால், அமைப்பு தொகுபயன் விசையின் திசையில் முடுக்கமடையும். பின்வரும் கருத்துக்களை வரிசைப்படி பின்பற்றி குதிரை மற்றும் வண்டியின் இயக்கத்தைப் பகுப்பாய்வு செய்யலாம். குதிரை மற்றும் வண்டி இவை இரண்டையும் ஒன்றாக ஒரு அமைப்பு (system) என்று கருதினால் குதிரை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசையையும், வண்டி குதிரையின் மீது செலுத்தும் எதிர்விசையையும் கருதக் கூடாது. மாறாக இந்த இரு விசைகளையும் அகவிசைகளாகக் கருத வேண்டும். மேலும் நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி அகவிசைகளின் தொகுப்பயன் சுழி. அவை அமைப்பினை முடுக்கமடையச் செய்யாது. மீது ஏற்படும் முடுக்கம் புறவிசையால் மட்டுமே ஏற்படும். நாம் கருதும் இந்நிகழ்வில், சாலையானது அமைப்பின் மீது செலுத்தும் விசை புறவிசையாகும். அமைப்பின் மீது செயல்படும் அனைத்து விசைகளையும் கருதாமல் குதிரை மற்றும் வண்டியின் தொகுபயன் விசை சுழி என்று கருதுவது தவறாகும். சாலையானது, வண்டி - குதிரை அமைப்பை முன்னோக்கித் தள்ளுகிறது. வெளிப்புற விசை ஒன்று அமைப்பின் மீது செயல்படும்போது நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியைப் பயன்படுத்தாமல் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பின்வரும் படம் இதனை விளக்குகிறது.
குதிரையை அமைப்பு என்று கருதினால், அதன்மீது பின்வரும் மூன்று விசைகள் செயல்படுகின்றன .
(i) கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (m_ng)
(ii) சாலை, குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசை (F_r)
(iii) வண்டி, குதிரையின் மீது செலுத்தும் பின்னோக்கிய விசை (F_c)
இவை பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
குதிரையின் மீது செயல்படும் விசைகள்


F_r - சாலை குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசை
F_c - வண்டி குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசை
\(F\frac { 1 }{ r } \) - விசை F_r இன் செங்குத்துக் கூறு = N
\({ F }_{ r }^{ || }\) - விசை F_r இன் கிடைத்தளக் கூறு.
(இதுவே முன்னோக்கிய இயக்கத்திற்குக் காரணம்)
சாலை, குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசையை, கிடைத்தளக்கூறு மற்றும் செங்குத்துக் கூறு என இரண்டாகப் பிரிக்கலாம். செங்குத்துக்கூறு கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசையை சமன் செய்கிறது. முன்னோக்கிய திசையில் செயல்படும் கிடைத்தளக் கூறு பின்னோக்கிய விசை (F_c) ஐ விட அதிகம். எனவே முன்னோக்கியத் திசையில் ஒரு தொகுபயன் விசை செயல்பட்டு குதிரையை முன்னோக்கி இயக்குகிறது.
வண்டியை அமைப்பாகக் கருதினால், அதன்மீது பின்வரும் மூன்று விசைகள் செயல்படுகின்றன .
(i) கீழ் நோக்கிச் செயல்ப டும் புவியீர்ப்பு விசை (m_cg)
(ii) சாலை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசை (F_r)
(iii) குதிரை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசை (F_h)
இது பின்வரும் படத்தில் குறிப்பிட்டு காட்டப்பட்டுள்ளது.
சாலை வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசையை (\(\overrightarrow { { F }_{ r } } \)) இரண்டு கூறுகளாகப் பிரிக்கலாம். செங்குத்துக் கூறு, கீழ் நோக்கியீர்ப்பு விசையை (m_cg) சமன் செய்யும். கிடைத்தளக்கூறு பின்னோக்கிச் செயல்படும். மேலும் குதிரை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசை (\(\overrightarrow { { F }_{ h } } \)) முன்னோக்கிச் செயல்படும்.

இது பின்னோக்கிச் செயல்படும் கிடைத்தளக் கூறைவிட அதிகம். எனவே, முன்நோக்கியத் திசையில் ஒரு தொகுபயன் விசை கிடைக்கும். இதன் காரணமாக வண்டி முன்னோக்கி முடுக்கமடையும்.
குதிரை மற்றும் வண்டி இரண்டையும் ஒரு அமைப்பாகக் கருதினால், இவ்வமைப்பின் மீது இரண்டு விசைகள் செயல்படும். அவை பின்வருமாறு
(i) கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (m_h + m_c)g
(ii) சாலை, அமை ப்பின் மீது செலுத்தும் விசை (F_r)
இவை, பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

(iii) இந்நிகழ்வில், சாலை, அமைப்பின் மீது ஏற்படுத்தும் விசையை ( F_r ) இரு கூறுகளாகப் பிரிக்கலாம்.
(iv) சாலை, அமைப்பின் மீது செலுத்தும் விசையின் சமன் செய்யப்படாத கிடைத்தளக்கூறு, குதிரை மற்றும் வண்டி அமைப்பு முன்னோக்கிச் செல்வதற்கு காரணமாக அமைகிறது.
செங்குத்துக்கூறு புவியீர்ப்பு விசை (m_h + m_c)g யை சமன் செய்யும்.

தூய உருளுதலுக்கான நிபந்தனைகள்:
(i) நோ்க்கோட்டு இயக்க ஆற்றல் + சுழற்சி இயக்க ஆற்றல் = மொத்த இயக்க ஆற்றல்
(ii) தொடுபுள்ளியில், புள்ளியின் சார்பு இயக்கம் (உருளுதல்) இருக்காது
(iii) பொருளின் உருளுதலில், முடுக்கம் அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம். திடீரென இந்த நிலை ஏற்பட்டால் பொருளானது நழுவலாம் அல்லது சறுக்கலாம்.

(a) பொருளின்  இயக்க ஆற்றல்
\(KE=\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m } \)
2 kg நிறையுள்ள பொருளின்  இயக்க ஆற்றல்
\({ KE }_{ 1 }=\frac { \left( 20 \right) ^{ 2 } }{ 2\times 2 } =\frac { 400 }{ 4 } =100J\)
4 kg நிறையுள்ள பொருளின் இயக்க ஆற்றல்
\({ KE }_{ 2 }=\frac { \left( 20 \right) ^{ 2 } }{ 2\times 4 } =\frac { 400 }{ 8 } =50J\)
KE₁ ≠ KE₂  என அறியவும். அதாவது இருபொருட்களும் சம உந்தத்தைப் பெற்றிருந்தாலும் அவற்றின் இயக்க ஆற்றல் சமமல்ல. கனமான பொருள் இலேசான பொருளை விட குறைவான இயக்க ஆற்றலைப் பெற்றுள்ளது. ஏனென்றால் கொடுக்கப்பட்ட  உந்தத்திற்கு இயக்க ஆற்றலானது நிறைக்கு எதிர் விகிதத்தில் உள்ளது \((KE\infty \frac { 1 }{ m } )\)
b) உந்தம் p = mv என்பதால் இரு பொருட்களும் சம வேகத்தைப் பெற்றிருக்காது.

(i) அடர்த்தி பரப்பு இழுவிசை போன்ற இயற பண்புகள் காரணமாக வெவ்வேறு திரவங்கள் ஒன்றாகப் கலப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக நீரும், மண்ணெண்ணெயும் ஒன்றாக கலப்பதில்லை. பாதரசம் கண்ணாடியில் ஒட்டுவதில்லை. ஆனால் நீரானது கண்ணாடியில் ஓட்டும். நீரானது தண்டுகள் வழியாக இலைகள் வரை மேலேறும். அவை பெரும்பாலும் திரவங்களின் மேற்பரப்புகளுடன் தொடர்பு கொண்டவையாக இருக்கின்றன.
(ii) திரவங்களுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவமில்லை ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட பருமன் உண்டு. எனவே அவற்றை கொள்கலனில் ஊற்றும் போது அவை தகவையற்ற மேற்பரப்பைப் பெறுகின்றன. எனவே மேற்பரப்பானது கூடுதலாக ஆற்றலைப் பெறுகிறது. அது மேற்பரப்பு ஆற்றல் எனப்படுகிறது.
(iii) மேற்கண்ட நிகழ்வுக்கு காரணம் பரப்பு இழுவிசை என்ற பண்பாகும். லாப்லஸ் மற்றும் காஸ் என்ற அறிஞர்கள் பரப்பு இழுவிசை மற்றும் வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளில் திரவத்தின் இயக்கம் பற்றிய கோட்ப்பாடுகளை உருவாக்கினார். நீர்ம மூலக்கூறுகள் திடப் பொருளில் உள்ளது. போல் இறுகப் பிணைக்கப்படுவதில்லை. எனவே அவை எளிதாக நகருகின்றன.

(iv) ஒரு திரவத்தில் உள்ள ஒரே வகையான நீர்ம மூலக் கூறுகளுக்கிடேயே ஏற்படும் விசையானது ஓரினக்கவர்ச்சி விசை எனப்படுகிறது.ஒரு நீர்மமானது திடப்பொருளைத் தொடும்போது திரவ மற்றும் திடப்பொருள் மூலக் கூறுகள் வேறினக் கவர்ச்சி விசை (adhesive force) என்ற கவர்ச்சி விசயைப் பெறுகின்றன. இவ்வகையான மூலக்கூறுகளுக்கு இடைப்பட்ட விசையானது. 10-9 (அதாவது 10) என்ற குறுந்தொலைவுக்கு மட்டுமே செயல்படும்.
அனைத்து திசைகளிலும் இவ்வகையான மூலக் கூறிடை விசைகள் செயல்படும் தொலைவனது கவர்ச்சிப்புலம் (sphere ஒப்பி influence) எனப்படுகிறது.இப்புலத்திற்கு அப்பாலுள்ள விசைகள் புறக்கணிக்கப்படுகின்றன.
(vi) ஒரு திரவத்தில் A,B மற்றும் C என்ற மூன்று வேறுபட்ட மூலக்கூறுகளைக் கருதுக. எ எனும் மூலக்கூறானது அனைத்து திசைகளிலும் உள்ள எல்லா மூலக்கூறுகளுடன் இடைவினை புரிவதால் A உணரும் தொகுபயன் விசை சுழியாகும். B என்ற மூலக்கூறானது, நான்கில் மூன்று பாகம் காற்றிலும் உள்ளன. பி க்கு கீழ்ப்பகுதியில் அதிக மூலக்கூறுகள் இருப்பதால் அது கீழ் நோக்கிய தொகுப்பயன் விசையைப் பெறுகிறது.
(vii) இதேபோல் C என்ற மூலக்கூறு திரவத்தின் மேற்பரப்பில் உள்ளதால் (அதாவது மேற்பாதி காற்றிலும், கீழ்பாதி திரவத்திலும்) அதிகபட்ச கீழ் நோக்கு விசையைப் பெறுகிறது. ஏனெனில் அதிகமான திரவ மூலக்கூறுகள் கீழ் பகுதியில் உள்ளன. எனவே மூலக்கூறு எல்லைக்குள் உள்ள திரவ மூலக்கூறுகள் அனைத்தும் C மூலக்கூறுடன் இடைவினை புரிந்து கீழ் நோக்கிய விசையை உணர்கிறது என்பது தெளிவாகிறது.உட்பகுதியினுள் இருக்கும் எந்த மூலக்கூறையும் திரவத்தின் மேற்பரப்புக்குக் கொண்டுவர ஓரினக்கவர்ச்சி விசைக்கு எதிராக வேலை செய்ய வேண்டியுள்ளது. இவ்வேலைநிலையானது மூலக்கூறுகளில் நிலையற்றலாக சேமிக்கப்படுகிறது. எனவே, திரவ மேற்பரப்பில் உலா மூலக்கூறுகள் உட்பகுதியினுள் உள்ள மூலக்கூறுகளை விட அதிக நிலையாற்றலைப் பெற்றுள்ளன.
(viii) ஆனால் ஒரு அமைப்பு சமநிலையில் இருக்க வேண்டுமாயின் அதன் நிலையாற்றல் (பரப்பு ஆற்றல்) சிறுமமாக இருக்க வேண்டும். எனவே உறுதிச்சமநிலையில் இருக்க திரவமானது சிறும எண்ணிக்கையிலான மூலக்கூறுகளைப் பெற முயலும். வேறு வகையில் கூறவேண்டுமாயின் திரவமானது சிறும மேற்பரப்பினைப் பெற முயலும். திரவத்தின் இந்த விசையை உண்டாக்குகின்றது.       

துகள் 1 க்கான சமன்பாடு
x₁=6.0t² +4.0t +2.0
துகள் 2க்கான சமன்பாடு
a₂=-6.0t
t =0ல் v₂=30 ms^-1
திசைவேகம் v(t) =\(\frac {dx}{dt }\)
v(t)=\(\frac{d}{dt }(6.0 t ^ 2+4.0t +2.0)\)
t ஐப் பொருத்து வகைக்கெழுக்கான 
v(t)=12t +4+0
=12t +4
இரண்டாம் துகளில்
\(\int { a\left( t \right) } dt=v\left( t \right) \)
t ஐப் பொருத்து தொகைக் கெழு காண 
\(v\left( t \right) =\int { -6tdt } =-6\int { tdt } =\frac { 6{ t }^{ 2 } }{ 2 } +c\)\(\left[ \because f\left( { x }^{ n } \right) =\frac { { x }^{ n+1 } }{ n+1 } \right] \)
v(t)=-3t²+c
v(t)=30 m/s மற்றும் t =0 செகண்டு
எனில் 30 m/s =-3(0)²+c
30=c
எனவே v₂(t)=-3t²+30  (\(\therefore \)c மாறிலி)
துகள்களின் திசைவேகங்கள் பொருத்தமாக இருக்க இரு சமன்பாடுகளையும் சமன் செய்ய
v₁(t) = v₂(t)
12t +4=-3t²+30
3t²+12t-26=0
y=3t²+12t-26=0
இரு படி சமன்பாட்டினைப் பயன்படுத்தி
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
a=2, b=12, c=-26
\(t=-12\pm \frac { \sqrt { { (12) }^{ 2 }-4\times 3\times -26 } }{ 2\times 3 } \)
\(t=-12\pm \frac { \sqrt { { 144-(12) }\times (-26) } }{ 6 } \)
\(t=-12\pm \frac { \sqrt { 144+312 } }{ 6 } \)
\(t=-12\pm \frac { \sqrt { 426 } }{ 6 } =-12\pm \frac { 11.3 }{ 6 } \)
\(t=\frac { -12+21.3 }{ 6 } or\frac { +12-21.3 }{ 6 } \)
\(=\frac { 9.3 }{ 6 } \)(அ)\(\frac { -33.3 }{ 6 } \)
நேரம் எதிர்க்குறிலில் வர சாத்தியமில்லை எனவே t=1.55 என்பதே ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட கால அளவு. இரு வேறு துகள்களின் திசைவேகங்கள் 
v(t₁)=12(1.55)+4=18.6+4
v(t₂)=-3(1.55)+30=4.65+30
v(t₁)=122.6m/s
v(t₂)=34.65m/s

(i) அடிப்பக்க புள்ளி 1 மற்றும் மேற்பக்கபுள்ளி 2 ஆகிய இரு நிலைகளைமட்டும் கருத்தில் கொண்டு மேலும் பகுப்பாய்வு செய்வோம். பொருளின் திசைவேகமானது அடிப்பக்கப்புள்ளி 1 இல் \(\overrightarrow { { v }_{ 1 } } \) எனவும், மேற்பக்க புள்ளி 2 இல் \(\overrightarrow { { v }_{ 2 } } \) எனவும் வேறு எந்த புள்ளியிலும் v எனவும் கொள்க. திசைவேகத்தின் திசை அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் வட்டப்பாதையின் தொடுகோட்டுத் திசையில் உள்ளது.
(ii) அடிப்பக்கப் புள்ளியிலிருந்து நூலின் இழுவிசையானது \(\overrightarrow { { T }_{ 1 } } \) எனவும், மேற்பக்க புள்ளியிலிருந்து இழுவிசை  \(\overrightarrow { { T }_{ 2 } } \) எனவும் வேறு எந்த புள்ளியிலும் இழுவிசை \(\overrightarrow { T } \) எனவும் கொள்க, ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இழுவிசை மையப்புள்ளியை நோக்கி செயல்படுகிறது. ஆற்றல் மாறா விதியைப் பயன்படுத்தி இந்த இரு புள்ளிகளிலும் இழுவிசைகள் மற்றும் திசைவேகங்களை கணக்கிடலாம்.

அடிப்பக்க மற்றும் மேற்பக்க புள்ளிகளுக்கான செங்குத்து புள்ளிகளுக்கான செங்குத்து வட்ட இயக்கம்
அடிப்பக்க புள்ளி(1): பொருளானது அடிப்பக்க புள்ளி 1 இல் உள்ளபோது புவியீர்ப்பு விசை  m\(\overset { \rightarrow }{ g } \) பொருளின் மீது செங்குத்தாக கீழநோக்கி செய்ல்படுகிறது மற்றும் இழுவிசை \(\overrightarrow { { T }_{ 1 } } \) செங்குத்தாக மேல்நோக்கி அதாவது மையப்புள்ளியை நோக்கி செயல்படுகிறது. சமன்பாடு இல் இருந்து நாம் பெறுவது.
\({ T }_{ 1 }-mg=\frac { { mv }_{ 1 }^{ 2 } }{ r } \)  ....(1)
\({ T }_{ 1 }=\frac { { mv }_{ 1 }^{ 2 } }{ r } +mg\)  .....(2)
அடிப்பக்க புள்ளி (2): மேற்பக்க புள்ளி 2 இல் பொருளின் மீதான புவியீர்ப்பு விசை m \(\overset { \rightarrow }{ g } \) மற்றும் இழுவிசை \(\overrightarrow { { T }_{ 2 } } \) ஆகிய இரண்டும் கீழ்நோக்கி அதாவது மையப்புள்ளியை நோக்கி செயல்படுகிறது.
\(T_{ 2 }+mg=\frac { { mv }_{ 2 }^{ 2 } }{ r } \) .....(3)
\({ T }_{ 2 }=\frac { { mv }_{ 2 }^{ 2 } }{ r } -mg\) .....(4)
சமன்பாடு (2) மற்றும் (3) இல் இருந்து T₁ > T₂ என அறியலாம். இழுவிசையின் வேறுபாடு T₁ - T₂ ஆனது சமன்பாடு (3)ஐ சமன்பாடு (2) இல் இருந்து கழிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.
\({ T }_{ 1 }-{ T }_{ 2 }=\frac { { mv }_{ 1 }^{ 2 } }{ r } +mg-\left( \frac { { mv }_{ 2 }^{ 2 } }{ r } -mg \right) \)
\(=\frac { { mv }_{ 1 }^{ 2 } }{ r } +mg-\frac { { mv }_{ 2 }^{ 2 } }{ r } +mg\)
\({ T }_{ 1 }-{ T }_{ 2 }=\frac { m }{ r } [{ v }_{ 1 }^{ 2 }-{ v }_{ 2 }^{ 2 }]^{ 2 }+mg\)
புள்ளி 1 மற்றும் 2 இல் ஆற்றல் மாறா விதியைப் பயன்படுத்தி \(\left[ { v }_{ 1 }^{ 2 }-{ v }_{ 2 }^{ 2 } \right] \) ளமதிப்பை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.
புள்ளி 1 இல் உள்ள மொத்த ஆற்றல் (E₁) புள்ளி 2 இல் உள்ள மொத்த ஆற்றல் (E₂) க்கு சமமாகும்
E₁ = E₂  .....(5)
புள்ளி 1 இல் நிலை ஆற்றல் U₁ = 0 (புள்ளி 1 ஐ குறிப்புப் புள்ளியாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம்)
புள்ளி 1 இல் இயக்க ஆற்றல் \({ KE }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ 1 }^{ 2 }\)
புள்ளி 1 இல் மொத்த ஆற்றல்
\({ E }_{ 1 }={ U }_{ 1 }+{ KE }_{ 1 }=0+\frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ 2 }^{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ 1 }^{ 2 }\)
இதுபோன்றே புள்ளி 2 இல் நிலை ஆற்றல் U₂ =mg (2r)
(புள்ளி 1இல் இருந்து h மதிப்பு 2r ஆகும்)
புள்ளி 2 இல் இயக்க ஆற்றல் \({ KE }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ 2 }^{ 2 }\)
புள்ளி 2 இல் மொத்த ஆற்றல்
\({ E }_{ 2 }={ U }_{ 2 }+{ KE }_{ 2 }=2mgr+\frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ 2 }^{ 2 }\)
சமன்பாடு (5) இல் உள்ளவாறு ஆற்றல் மாறா விதிப்படி
\(\frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ 1 }^{ 2 }=2mgr+\frac { 1 }{ 2 } { mv }_{ 2 }^{ 2 }\)
மாற்றியமைக்க
\(\frac { 1 }{ 2 } m({ v }_{ 1 }^{ 2 }-{ v }_{ 2 }^{ 2 })=2mgr\)
\({ v }_{ 1 }^{ 2 }-{ v }_{ 2 }^{ 2 }=4gr\) .....(6)
சமன்பாடு (4) இல் சமன்பாடு (6) ஐ பிரதியிட
\({ T }_{ 1 }-{ T }_{ 2 }=\frac { m }{ r } [4gr]+2mg\)
எனவே இழுவிசையில் மாறுபாடானது
T₁ - T₂ = 6 mg  .....(7)
மேற்பக்க புள்ளி (2) இல் சிறும வேகம்
பொருளானது புள்ளி 2 இல் ஒரு சிறும வேகத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இல்லையெனில் புள்ளி 2 ஐ அடையும் முன்பாக நூலானது தளர்வுற்று அதனால் பொருள் வட்டப்பாதை நிறைவு செய்யாது. இந்த சிறும வேகத்தைக் கணக்கிட சமன்பாடு (3) இல் இழுவிசை T₂ = 0 எனக் கொள்வோம்.
\(0=\frac { { mv }_{ 2 }^{ 2 } }{ r } -mg\)
\(\frac { { mv }_{ 2 }^{ 2 } }{ r } =mg\quad { v }_{ 2 }^{ 2 }=rg\)
\({ v }_{ 2 }=\sqrt { gr } \) ....(8)
பொருளானது வட்டப்பாதையில் தொடர்ந்து இயங்க புள்ளி 2 இல் \({ v }_{ 2 }\ge \sqrt { gr } \) என்ற வேகத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.
அடிப்புள்ளி (1) இல் சிறும வேகம்:
புள்ளி 2 இல் இந்த சிறும வேகத்தைப் \(\left( { v }_{ 2 }=\sqrt { gr } \right) \) பெற பொருளானது புள்ளி 1லும் ஒரு சிறும வேகத்தை நாம் காணலாம்.
\({ v }_{ 1 }^{ 2 }-{ v }_{ 2 }^{ 2 }=4gr\)
சமன்பாடு  (8) ஐ (6) இல் பிரதியிட
\({ v }_{ 1 }^{ 2 }-gr=4gr\)
\({ v }_{ 1 }^{ 2 }=5gr\)
\({ v }_{ 1 }=\sqrt { 5gr } \) ....(9)
பொருளானது வட்டப்பாதையில் தொடர்ந்து இயங்க புள்ளி 12 இல் \(\left( { v }_{ 1 }\ge \sqrt { 5gr } \right) \) என்ற வேகத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். சமன்பாடுகள் (9) மற்றும் (8) இல் இருந்து அறிவது என்னவெனில் பொருள் வட்டப்பாதையை விட்டு விலகாமல் நிறைவு செய்ய அடிப்புள்ளி 1 இல் சிறும வேகமானது மேற்பக்க புள்ளி 2 இல் உள்ள சிறும வேகத்தை விட \(\sqrt { 5 } \) மடங்கு இருக்க வேண்டும். 

வாயு ஒன்றினால் ஏற்படும் அழுத்தத்திற்கான கோவை 
l பக்க அளவு கொண்ட கனசதுரக் கொள்கலன் ஒன்றினுள் N எண்ணிக்கையுடைய ஓரணுவாயு மூலக்கூறுகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு மூலக்கூறின் நிறையும் m என்க.
1. வாயு மூலக்கூறுகள் ஒழுங்கற்ற இயக்கத்தில் உள்ளதால், அவை ஒன்றுடன் ஒன்று மோதுவது மட்டுமின்றி, அடைத்துவைக்கப்பட்டுள்ள கொள்கலனின் சுவருடன் மோதுகின்றன. இம்மோதல்கள் அனைத்தும் முழுமீட்சியுறும் மோதல்கள்.

2.இவ்வாறு வாயு மூலக்கூறு சுவரின்மீது மோதும்போது, ஒரு உந்தத்தை சுவரின் மீது செலுத்துகிறது. இந்த உந்த மாற்றத்தினால் கொள்கலனின் சுவர் ஓரலகு பரப்பில் உணரும் விசை,சுவரின் மீது வாயுவால் ஏற்படும் அழுத்தத்தை நிர்ணயிக்கிறது. ஒரு சிறிய நேர இடைவெளியில் வாயு மூலக்கூறுகளால் சுவரின் மீது மாற்றம் செய்யப்பட்ட மொத்த உந்தத்தை பின்வருமாறு கணக்கிடலாம் 
3.m நிறையும், \(\overline v \) திசைவேகமும் கொண்ட வாயுமூலக்கூறு ஒன்று வலதுபக்கச் சுவரின் மீது மோதுகிறது, அதன் திசைவேகக்கூறுகள் (\({ v }_{ x },{ v }_{ y },{ v }_{ z }\))ஆகும். முழு மீட்ச்சியுறும் மோதல் என நாம் கருதுவதால், வாயு மூலக்கூறுகள் அதே வேகத்துடன் பின்னோக்கி வரும். அதன் x கூறு மட்டும் எதிர்குறி மதிப்பினைப்பெறும் மோதலுக்குப் பின்பு வாயு மூலக்கூறின் திசைவேகக்கூறுகள் (\(-{ v }_{ x },{ v }_{ y },{ v }_{ z }\))ஆகும். 
4. மோதலுக்கு முன்பு வாயு மூலக்கூறின் உந்தத்தின் x கூறு =mv_x
 மோதலுக்கு பின்பு வாயு மூலக்கூறின் உந்தத்தின் x கூறு =-mv_x
x திசையில் வாயுமூலக்கூறின் உந்த மாறுபாடு=இறுதி உந்தம் -ஆரம்ப உந்தம் =-mv_x -mv_x=2-mv_x
உந்தமாறா விதியின்படி, சுவரின் உந்தமாறுபாடு =+2mv_x  
5. \(\triangle t \) என்ற சிறிய நேர இடைவெளியில் வலதுபக்கச் சுவரின்மீது மோதும் வாயு மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது.
6.வலது பக்கச் சுவரிலிருந்து v_x\(\triangle t \) தொலைவிலுள்ள வாயு மூலக்கூறுகள், வலது பக்கமாகச் சென்று \(\triangle t \) என்ற நேர இடைவெளியில் சுவரின் மீது மோதும். \(\triangle t \) என்ற நேர இடைவெளியில் வலதுபக்கச் சுவரின் மீது மோதும் வாயு மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையானது, பருமன் (AVx \(\triangle t \))மற்றும்  மூலக்கூறுகளின் எண்ணடர்த்தி (n) ஆகியவற்றின் பெருக்கல்பலனுக்குச் சமமாகும்.
7.இங்கு A என்பது சுவரின் பரப்பாகும் மற்றும் n என்பது ஓரலகு பருமனிலுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையாகும் \(\left( \frac { N }{ V } \right) \)கனசதுரக் கொள்கலன் முழுமைக்கும் வாயு மூலக்கூறுகளின் எண்ணடர்த்தி மாறிலியாக உள்ளது எனக் கருதுவோம்.

8.எனவே \(\triangle t \) நேர இடைவெளியில் வலதுபக்கச் சுவரின் மீது மோதும் மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை
\(\frac { n }{ 2 } \) AVx \(\triangle t \)....(1)
9.இதே \(\triangle t \) நேர இடைவெளியில் மூலக்கூறுகளால் சுவருக்கு மாற்றம்  செய்யப்பட்ட மொத்த உந்தம் 
\(\triangle p =({n\over2}AV_x\triangle t )\times 2mv_x=AV_x^2mv\triangle t\)....(2)
நியூட்டனின் இரண்டாம் இயக்க விதியின்படி, ஒரு சிறு நேர இடைவெளியில் உந்தத்தில் ஏற்பட்ட மாற்றம் விசையைக் கொடுக்கும். எனவே மூலக்கூறுகளால், சுவரின்மீது செலுத்தப்பட்ட விசையின் என்மதிப்பு 
\(F=\left( \frac { \triangle p }{ \triangle t } \right) =nmA{ v }_{ x }^{ 2 }\)...(3)
இவ்வாறே அழுத்தம் 
\(P=\left( \frac { F }{ A } \right) =nm{ v }_{ x }^{ 2 }\)....(4)
10. இங்கு மூலக்கூறுகள் அனைத்தும் ஒழுங்கற்ற இயக்கத்தில் உள்ளதால், அவை அனைத்தும் ஒரே வேகத்தில் இயங்க இயலாது. எனவே சமன்பாடு (4) இல் உள்ள \({ v }_{ x }^{ 2 }\) என்ற பதத்தை சராசரி \(\bar { { v }_{ x }^{ 2 } } \) என மாற்றியமைக்க வேண்டும்.
\(P=nm\bar { { v }_{ x }^{ 2 } } \)...(5)
11.இங்கு வாயு ஒழுங்கற்ற இயக்கத்தில் உள்ளது எனக் கருதுவதால் அதன் இயக்கத்திசையையும் வரையறுக்க இயலாது. மூன்று திசைகளிலும் வாயு மூலக்கூறுகளின் சராசரி வேகம் சமமாகும். எனவே \(\bar { { v }_{ x }^{ 2 } } =\bar { { v }_{ y }^{ 2 } } =\bar { { v }_{ z }^{ 2 } } \) இதுபோன்றே  \(\overline {v ^ 2}=\bar { { v }_{ x }^{ 2 } } +\bar { { v }_{ y }^{ 2 } } +\bar { { v }_{ z }^{ 2 } } =3\bar { { v }_{ x }^{ 2 } } \)ஆகும். எனவே வாயு மூலக்கூறுகளின் சராசரி இருமுடி வேகத்தை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.
\(\bar { { v }_{ x }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3 } \bar { { v }_{ 6 }^{ 2 } } \)
சமன்பாடு (5) ஐப் பயன்படுத்தி பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறலாம்.
\(P=\frac { 1 }{ 3 } nm\bar { { v }^{ 2 } } \)அல்லது \(P=\frac { 1 }{ 3 } \frac { N }{ V } nm\bar { { v }^{ 2 } } \)
ஏனெனில் \(\left[ n=\frac { N }{ V } \right] \)
வாயு மூலக்கூறுகளால் ஏற்படும் அழுத்தம் சார்ந்திருக்கும் காரணிகளை இவற்றிலிருந்து அறிந்து கொள்ளலாம். 

a. தனிச்சீரிசை இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் துகளின் இடப்பெயர்ச்சி
y = A sinωt
துகளின் திசைவேகம்
\(v=Aω cosωt=Aωsin\left(ωt+{\pi\over2}\right)\)
இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் திசைவேகத்திற்கிடையேயான கட்ட வேறுபாடு \(\pi \over 2\).
b. துகளின் திசைவேகம்
v=Aω cosωt
துகளின் முடுக்கம்
\(a=Aω^2 sin ωt=Aω^2cos\left(ωt+{\pi\over2}\right)\)
திசைவேகம் மற்றும் முடுக்கத்திற்கான கட்ட வேறுபாடு \(\pi \over 2\).
c. துகளின் இடப்பெயர்ச்சி
y = A sinωt
துகளின் முடுக்கம்
\(a=-Aω^2 sin ωt=Aω^2sin \left(ωt+{\pi}\right)\)
இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் முடுக்கத்திற்கான கட்ட வேறுபாடு π ரேடியன்.

(i) நியூட்டனின் குளிர்வு விதியின்படி பொருளொன்றின் வெப்ப இழப்பு வீதம், அப்பொருளுக்கும் சூழலுக்கும் உள்ள வெப்பநிலை வேறுபாட்டிற்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும்.
\(\frac { dQ }{ dt } \propto -(T-T)\)   ...(1)
நேரத்தை பொருத்து வெப்பம் தொடந்து குறைந்து கொண்டே செல்வதை எதிர்குறி காட்டுகிறது
இங்கு T = பொருளின் வெப்பநிலை
T_s = சூழலின் வெப்பநிலை
(ii) m நிறையும் s தன்வெப்ப ஏற்புத்திறனும் உள்ள பொருளொன்றைக் கருது. அதன் வெப்பநிலை T என்க. சூழலின் வெப்பநிலையை T_s என்க. dt என்ற சிறிய நேர இடைவெளியில் ஏற்பட்ட வெப்பநிலைகுறைவு dt எனில் வெப்ப இழப்பின் அளவு
dQ = msdT  ...(2)
சமன்பாடு (2) இந்த இருபுறமும் dt ஆல் வகுக்க
\(\frac { dQ }{ dt } =\frac { msdT }{ dt } \)  .....(3)
(iii) நியூட்டனின் குளிர்வு விதியிலிருந்து
\(\frac { dQ }{ dt } \propto -(T-{ T }_{ s })\)
\(\frac { dQ }{ dt } =-a(T-{ T }_{ s })\)  ....(4)
இங்கு a என்பது நேர்க்குறி மாறிலி
சமன்பாடு (3) மற்றும் (4) இல் இருந்து
\(-a(T-{ T }_{ s })=md\frac { dT }{ dt } \)
\(\frac { dT }{ T-{ T }_{ s } } =-\frac { a }{ ms } dt\)
சமன்பாடு (5) இந்த இருபுறமும் தொகைப்படுத்துக
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { dT }{ T-{ T }_{ s } } } =-\int _{ 0 }^{ t }{ \frac { a }{ ms } } dt\)
In \((T-{ T }_{ s })=-\frac { a }{ ms } t+{ b }_{ 1 }\)
இங்கு b1 ஒரு மாறிலியாகும், இரண்டு பக்கமும் அடுக்குக் குறியீடு எடுத்தால் நமக்கு கிடைப்பது
\(T={ T }_{ s }+{ b }_{ 2 }{ e }^{ \frac { a }{ ms } t }\)
இங்கு \({ b }_{ 2 }={ e }^{ b1 }\) = மாறிலி 

சுரமானி என்பது ஒலி தொடர்பானவற்றை அளக்கப்பயன்படும் கருவி. கம்பிகளில் ஏற்படும் நிலையான குறுக்கலைகளின் அதிர்வெண், கம்பியின் இழுவிசை, அதிர்வு நீளம், ஓரலகு கம்பியின் நிலை ஆகியவற்றை காட்சி விளக்கம் செய்து அளக்க பயன்படுத்தும் கருவியாகும்.

அமைப்பு:
சுரமானி என்பது ஒரு மீட்டர் நீளமுள்ள ஒரு மரப்பெட்டி அதன் மீது சீரான உலோகக்கம்மி பொருத்தப்பட்டிருக்கும். கம்பியின் ஒரு முனை ஒருகொக்கியுடனும், மறுமுனை ஒரு உருளை காப்பி வழியே ஓர் நிலைதாங்கியுடனும் படத்தில் காட்டியவாறு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. கம்பியின் இழுவிசையை அதிகரிக்க மறுமுனையில் நிறைகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு நகர்த்தக் கூடிய கூர் முனைகள் கம்பியை கீழே தொட்டவாறு சுரமானியின் பலகை மீது வைக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றிக்கிடையேயானத் தொலைவை மாற்றி அதிர்வுறும் கம்பியின் நீளத்தை மாற்றலாம்.
செயல்பாடு:
நிலையான குறுக்கலைகள் கம்பியில் ஏற்படுத்தப்படுகிறது. எனவே கூர்முனை P, Q, வில் கணுக்களும், அவற்றிக்கிடையில் எதிர் கணுக்களும் உருவாகின்றன. அதிர்வுறும் கம்பியின் நீளம் l என்க.
\(l=\frac { \lambda }{ 2 } \Rightarrow \lambda =2l\)
அதிர்வுறும் கம்பியின் அதிர்வெண் f என்க. T கம்பியின் இழுவிசை, μ என்பது ஓரலகு கம்பியின் நிறை எனில், சமன்பாடு \(v=\sqrt { \frac { T }{ \mu } } { ms }^{ -1 }\) லிருந்து நாம் பெறுவது
\(f=\frac { v }{ \lambda } =\frac { 1 }{ 2l } \sqrt { \frac { T }{ \mu } } \) ஹெர்ட்ஸ் ..........(1)
ρ என்பது கம்பிப் பொருளின் அடர்த்தி, d கம்பியின் விட்டம் எனில்
μ = பரப்பு x அடர்த்தி = \(\pi { r }^{ 2 }\rho =\frac { \pi \rho { d }^{ 2 } }{ 4 } \)
அதிர்வெண் \(f=\frac { v }{ \lambda } =\frac { 1 }{ 2l } \sqrt { \frac { T }{ \frac { \pi \rho { d }^{ 2 } }{ 4 } } } \)
∴ \(f=\frac { 1 }{ ld } \sqrt { \frac { T }{ \pi \rho } } \)

(i) கோள்களின் மேல்நோக்கு இயக்கத்தை விளக்க புவிமையக் கோட்பாட்டில் பெருவட்டத்தின் மேல் அமையும் சிறு வாட்டசுழற்சி என்ற கருத்தை தாலமி முன்மொழிந்தார். ஆனால் இந்த விளக்கம் மிகவும் கடினமாக இருந்தது.
(ii) இந்த சிக்கலை தீர்க்க சூரிய மையக்கொள்கை  கோப்பர்னிக்கஸ் என்பவர் வெளியிட்டார். இக்கொள்கையின் படி, சூரிய குடும்பத்தின் மையமான சூரியனை அனைத்து கோள்களும் வட்டப்பாதையில் சுற்றி வருகின்றன.
(iii) புவியினை சார்ந்த கோள்களின் சார்பு இயக்கத்தின் காரணமாக கோள்கள் பின்னோக்கி செல்வது போல் இயக்கத்தை பெறுகின்றன.
(iv) எடுத்துக்காட்டாக, செவ்வாய் கோள்களின் இடையேயான இந்த சார்பு இயக்கத்தின் விளைவாக, பிப்ரவரி முதல் கிழக்கிலிருந்து மேற்கு நோக்கி முன்னோக்கி செல்லும் செவ்வாய் கொள்ளாது, ஜூலை முதல் அக்டோபர் வரை பின்னோக்கி செல்வது போல் தோன்றுகிறது.
(vi) இதுபோல் மற்ற கோள்களின் பின்னோக்கி இயக்கத்தை கோப்பர்க்னிகஸின் சூரிய மையக்கொள்கை எளிமையாக விளக்கியது.

திண்மப் பொருளின் நோ்க்கோட்டு, உந்தம் மற்றும் கோண உந்தம் மாறிலியாக இருந்தால் அப்பொருளானது எந்திரவியல் சமநிலையில் உள்ளது எனலாம். 
ஒரு பொருளின் நேர்க்கோட்டு உந்தம் மாறிலி எனில், அப்பொருளின் மீது செயல்படும் நிகரவிசை சுழியாகும்.
\(\vec{F}_{\text {net }}=0\)     ...(1)
இந்நிபந்தனையின் படி பொருளானாது இடப்பெயர்வில் சமநிலையில் உள்ளது. இதன்படி, பொருளின் மீது வெவ்வெறான திசைகளில் செயல்படும் \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1, \overrightarrow{\mathrm{F}}_2, \overrightarrow{\mathrm{F}}_3\) என்ற விசைகளின் வெக்டர் கூடுதல் சுழியாகிறது.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3+\cdots+\overrightarrow{\bar{F}}_{\mathrm{n}}=0\)    ....(2)
பொருளின் மீது \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1, \overrightarrow{\mathrm{F}}_2, \overrightarrow{\mathrm{F}}_3 \ldots\)என்ற விசைகள் வெவ்வேறான திசைகளில் செயல்படுகின்றன எனில் அவற்றின் விளைவை முறையே கிடைத்தள மற்றும் செங்குத்து கூறுகளின் மூலம் தீர்வு காணலாம். இந்நிகழ்வில் கிடைத்தளச் சமநிலைக்கோ செங்குத்து சமநிலைக்கோ சாத்தியம் உள்ளது.
இதேபோல் கோண உந்தம் மாறிலியாக உள்ள போது பொருளின் மீதான நிகர திருப்பு விசை சுழியாகும்.
\(\vec{\tau}_{\text {net }}=0\)  ....(3)
இந்நிபந்தனையின்படி. பொருளானாது சுழற்சி சமநிலையில் உள்ளது, சுழற்சிச் சமநிலையில் வெவ்வேறான சுழற்சியை உருவாக்கும் திருப்பு விசைகள்  \(\vec{\tau}_1, \vec{\tau}_2, \vec{\tau}_3 \ldots\) ஆகியவற்றின் வெக்டா் கூடுதல் சுழியாகிறது.
\(\vec{\tau}_1+\vec{\tau}_2+\vec{\tau}_3+\cdots+\vec{\tau}_{\mathrm{n}}=0\)
மேலும் ஒரு திண்மப்பொருளின் மீது நிகர விசையும், நிகர திருப்பு விசையுமம் சுழியாக இருந்தால் அத்திண்மப் பொருள் எந்திரவியல் சமநிலையில் உள்ளது என கூறலாம்.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {net }}=0\) மற்றும் \(\vec{\tau}_{\text {net }}=0\)
விசைகளும், திருப்பு விசைகளும் வெக்டா் அளவு என்பதால் இதன் திசைகளை தக்க குறியீடுகளுடன் பயன்படுத்த வேண்டும்.

பரிமாணங்களில் ஒருப்படித்தான நெறிமுறைப்படி ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பின் பரிமாணங்களும் சமமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, v² = v² + 2as என்ற சமன்பாட்டில் v², u²மற்றும் 2as ஆகியவற்றின் பரிமாணங்கள் ஒத்ததாகவும்[L²T^-2] க்கு சமமாகவும் இருக்கும்.
பயன்கள்:
இம்முறையானது,
(i) இயற்பியல் அளவு ஒன்றை ஒரு அலகிடும் முறையிலிருந்து மற்றொரு அலகிடும் முறைக்கு மாற்றப் பயன்படுகிறது.
(ii) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரியானதா என சோதிக்கப் பயன்படுகிறது.
(iii) வெவ்வேறு இயற்பியல் அளவுகளுக்கிடையே உள்ள தொடா்பினைப் பெற பயன்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு-1
பரிமாணங்கள் முறையில் 76 cm பாதரச அழுத்தத்தை Nm^-2 என மாற்றுதல்.
தீர்வு
CGS முறையில் 76 cm பாதாச அழுத்தம் (P₁) = 76 x 13.6 x 980 dyne cm^-2
SI முறையில் P - ன் மதிப்பு (P₂) = ?
அழுத்தத்தின் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(\left[M L^{-1} T^{-2}\right]\)
\(\mathrm{P}_1\left[M_1^a L_1^b T_1^c\right] =\mathrm{P}_2\left[M_2^a L_2^b T_2^c\right]  \)
\(\therefore P_2 =P_1\left[\frac{M_1}{M_2}\right]^a\left[\frac{L_1}{L_2}\right]^b\left[\frac{T_1}{T_2}\right]^c  \)
\(\mathrm{M}_1 =1 \mathrm{~g} ; \quad \mathrm{M}_2=1 \mathrm{~kg}  \)
\(\mathrm{~L}_1 =1 \mathrm{~cm} ; \quad \mathrm{L}_2=1 \mathrm{~m}  \)
\(\mathrm{~T}_1 =1 \mathrm{~s} ; \quad \mathrm{T}_2=1 \mathrm{~s} \)
எனவே \(\mathrm{a} =1 \mathrm{~b}=-1 \mathrm{c}=-2\)
\(\therefore P_2 =76 \times 13.6 \times 980\left[\frac{1 \mathrm{~g}}{1 \mathrm{~kg}}\right]^{\mathrm{l}}\left[\frac{1 \mathrm{~cm}}{1 \mathrm{~m}}\right]^{-1}\left[\frac{1 \mathrm{~s}}{1 \mathrm{~s}}\right]^{-2} \)
\(=76 \times 13.6 \times 980\left[\frac{10^{-3} \mathrm{~kg}}{1 \mathrm{~kg}}\right]^1\left[\frac{10^{-2} \mathrm{~m}}{1 \mathrm{~m}}\right]^{-1}\left[\frac{1 \mathrm{~s}}{1 \mathrm{~s}}\right]^{-2} \)
\(=76 \times 13.6 \times 980 \times\left[10^{-3}\right] \times 10^2 \)
\(=1.01 \times 10^5 \mathrm{Nm}^{-2}\)
\(\frac{1}{2} m v^2=m g h\) என்ற சமன்பாட்டை பரிமாணப்பகுப்பாய்வு முறைப்படி. சரியானதா என கண்டறிதல்.
\(\frac{1}{2} m v^2\) இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(=\lceil\mathrm{M}\rceil\left\lceil\mathrm{LT}^{-1}\right\rceil^2=\left\lceil\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right\rceil \)
mgh  இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு \(=[\mathrm{M}]\left[\mathrm{LT}^{-2}\right][\mathrm{L}]=\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right\rceil \)
\(\therefore\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right] =\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right]\)
இருபுறங்களிலும் பரிமாணங்கள் சமம். எனவே \(\frac{1}{2} m v^2=m g h\) என்ற சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரி.
தனி ஊசலின் அலைவு நேரத்திற்கான கோவையை பரிமாண முறையில் பெறுதல். அலைவு நேரமானது. (i) ஊசல் குண்டின் நிறை 'm' (ii) ஊசலின் நீளம் 'l' (iii) அவ்விடத்தில் புவியீ்ர்ப்பு முடுக்கம் g ஆகியவற்றைச் சார்ந்தது.' (மாறிலி k = 2π)
\(T \propto m^a l^b \dot{g}^c \)
\(T=k \cdot m^{\mathrm{a}} l^{\mathrm{b}} g^c\)
k என்பது பரிமாணமற்ற மாறிலி. மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் பரிமாணங்களை பிரதியிட
\({\left[\mathrm{T}^{\mathrm{l}}\right] } =\left[\mathrm{M}^{\mathrm{a}}\right]\left[\mathrm{L}^{\mathrm{b}}\right]\left[\mathrm{LT}^{-2}\right] \)
\({\left[\mathrm{M}^0 \mathrm{~L}^0 \mathrm{~T}^1\right] } =\left[\mathrm{M}^{\mathrm{a}} \mathrm{L}^{\mathrm{b}+\mathrm{c}^2} \mathrm{~T}^{-2 \mathrm{c}}\right]\)
சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள M, L, T ன் படிகளை சமன் செய்ய
\(\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}+\mathrm{c}=0 .-2 \mathrm{c}=1\)
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க
\(\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=1 / 2 \)  மற்றும் c = -1 / 2
a,b மற்றும் c மதிப்புகளை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{T}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{m}^0 l^{1 / 2} g^{-1 / 2}  \)
\(\mathrm{~T}=\mathrm{k}\left(\frac{l}{g}\right)^{1 / 2}=k \sqrt{\frac{l}{g}}\)
சோதனை மூலம் பெறப்பட்ட k யின் மதிப்பு k = 2 π, எனவே
\(\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

g =\(\frac { 4{ \pi }^{ 2 } }{ { T }_{ p }^{ 2 } } l=\frac { 4{ \pi }^{ 2 } }{ (2.00)^{ 2 } } \)
=\(\frac { 4\times (3.14)^{ 2 } }{ 4.00s^{ 2 } } \times 1m=\frac { 39.4m }{ 4s^{ 2 } } \)
=9.85 m/s².

(i) பொருளின் அமைப்பிற்குள் உள்ள துகள்களுக்கிடையே செயல்படும்  விசை அகவிசை.
(ii) வெளிப்புறத்தில் இருந்து துகள்கள் அடங்கிய அமைப்பின் மீது செயல்படும் விசை புறவிசை.

வானவியல் தொலைவிற்கான மிகப்பெரிய அலகு வில்லின் நீளம் ஒரு வானியல் அலகும் 1 AU, மையக் கோணம் ஒரு நொடி வில்லும் கொண்ட வட்டவில்லின் ஆரமே 1 பர்செக் ஆகும்.
1 பர்செக் =3.08 x 10¹⁶ m =3.26 ஒளி ஆண்டு(ly)

துவக்க அழுத்தம் \({ P }_{ 1 }=500 KPa\)
துவக்க வெப்பநிலை \(T_1=25^oC\)
=25^oC+273=298K
அழுத்தம் அதிகரிப்பு \({ P }_{ 2 }=520 KPa\)
வெப்பநிலை உயர்வு \(T_2=?\)
பருமன் புறக்கணிக்கத்தக்கது 
\(\frac { { P }_{ 1 }{ V }_{ 1 } }{ T_{ 1 } } =\frac { { P }_{ 2 }{ V }_{ 2 } }{ T_{ 2 } } \)
\({ P }_{ 1 }T_{ 2 }={ P }_{ 2 }T_{ 1 }\)
\(\therefore T_{ 2 }=\frac { { P }_{ 2 }T_{ 1 } }{ T_{ 1 } } =\frac { 520\times 298 }{ 500 } \)
\(={154960\over500}=309.92k\)
=309.92-273
T₂ = 36.9°C

இதிலிருந்து நாம் அறிவது, a மதிப்பை அதிகரிக்கும்போது, கோடானது வலப்பக்கம் நகர்கிறது. a = vt, y = x − vt வகைக்கெழு சமன்பாடடிற்கு பொருந்துகிறது. இந்த சாரபு, வகைக்கெழு சமன்பாட்டிற்கு பொருந்தினாலும், இது x மற்றும் t க்கான அனைத்து  மதிப்புகளுக்கும் நிலையாக இல்லை. எனவே, இந்தச் சார்பு ஒரு அலையைக் குறிக்கவில்லை.

சூரியனிலிருந்து இரு கோள்கள் உள்ள தொலைவுகளின் தகவு \(\frac { { d }_{ 1 } }{ { d }_{ 2 } } =2\)
இரு கோள்கள் உணரும் ஈர்ப்பு புல வலிமைகளின் தகவு \(\frac { { E }_{ 1 } }{ { E }_{ 2 } } =?\)
\(E=\frac { Gm }{ { r }^{ 2 } } \)
\(\therefore { E }_{ 1 }=\frac { Gm }{ { d }_{ 1 }^{ 2 } } ;{ E }_{ 2 }=\frac { Gm }{ { d }_{ 2 }^{ 2 } } \)
\(\therefore \frac { { E }_{ 1 } }{ { E }_{ 2 } } =\frac { Gm }{ { d }_{ 1 }^{ 2 } } \times \frac { { A }_{ 2 }^{ 2 } }{ Gm } \)
\(\frac { { E }_{ 1 } }{ { E }_{ 2 } } =\frac { { d }_{ 2 }^{ 2 } }{ { d }_{ 1 }^{ 2 } } \)
\(\frac { { E }_{ 2 } }{ { E }_{ 1 } } ={ \left( \frac { { d }_{ 1 } }{ { d }_{ 2 } } \right) }^{ 2 }={ 2 }^{ 2 }\) \(\left[ \because \frac { { d }_{ 1 } }{ { d }_{ 2 } } =2 \right] \)
\(\therefore\) E₂ = 4E₁

ஒரு பொருள் தனது இயக்கத்தினால் கொண்டுள்ள ஆற்றல் எனப்படும்.

\(l=1 m,  \theta =30^{\circ}  \)
\(l_x =l \cos \theta  \)
\(=1 \times \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{~m}  \)
\(l_y =l \sin \theta  \)
\(=1 \times \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}=0.5 \mathrm{~m}\)

i) பனிக்கட்டி மீது நடக்கும்போது சறுக்கலை தடுப்பதற்காக நாம் நெருக்கமாக அடி எடுத்து வைக்க வேண்டும்.
ii) இதனால் உறைவு விசை அதிகரித்து சறுக்காமல் நடக்க இயலும்.