எண் மதிப்பினால் மட்டுமே குறிப்பிடக்கூடிய அளவுகள் ஸ்கேலர் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டுகள்: தொலைவு, நிறை, வெப்பநிலை, வேகம் மற்றும் ஆற்றல்

கார்டீசியன் அச்சுகளின் தொகுப்பு மிக எளிமையான குறிப்பாயமாகும். இதில் x, y மற்றும் z என்ற ஆயத் தொலைவுகள் துகளின் நிலையைக் குறிப்பிடுகின்றன. நடைமுறையில், கடிகாரமுள் சுழலும் திசைக்கு எதிர்த்திசையில் உள்ளவாறு வரையப்பட்ட x, y மற்றும் z அச்சுகள் கெஈண்ட முப்பரிமாண கார்டீசியன் அச்சுத் தொகுப்பு முறை இயற்பியலில் பின்பற்றப்படுகிறது.

\(\vec{A} =5 \hat{i}-3 \hat{j} \)
\(\vec{B} =4 \hat{i}-6 \hat{j} \)
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}|\)
\(\vec{A} \times \vec{B} =(5 \hat{i}-3 \hat{j}) \times(4 \hat{i}+6 \hat{j}) \)
\(=[30-(-12)] \hat{k}=42 \hat{k} \)
\(|\vec{A} \times \vec{B}| =42 \)
\(\therefore \frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}| =21 \)
பரப்பு = 21 அலகுகள் 

காற்றின் தடையின் காரணத்தினால் பாராசூட் மெதுவாகக் கீழிறங்குகிறது. கீழே விழும் பாராசூட்டின் மீது செயல்படும் விசைகள்
1. கீழ்நோக்கிய காற்றின் தடை
2. மேல்நோக்கிய ஈர்ப்பு விசை
ஈர்ப்புவிசை காற்றின் தடை விசையை விட அதிகம்.
பாராசூட் திறக்கப்பட்டவுடன் காற்றின் தடை அதிகரிக்கும். எனவே பராசூட் மெதுவாகக் கீழிறங்குகின்றது

R₁ = (100 ± 3) Ω; R₂ = (150 ± 2) Ω
தொகுபயன் மின்தடை R = ?
R = R₁ + R₂
= (100 ± 3) + (150 ± 2)
= (100 + 150) ± (3 + 2)
R = (250 ± 5) Ω

அலைவு நேரம் \(\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\sqrt{G M_c}}\left(R_E+h\right)^{3 / 2}\)
இது நிறையைச் சார்ந்ததல்ல.

நிறை, நீளம் ஆகியவை ஸ்கேலார்கள். முடுக்கம் என்பது வெக்டா். ஆனால் முடுக்கத்தின் எண்மதிப்பு என்பது ஸ்கேலார்.

ஆரத்தின் பிழை = 2 %
\(\Delta r=\frac{2}{100}=0.02\)
கோளத்தின் பருமன்
\(\mathrm{V} =\frac{4}{3} \pi r^3  \)
\(\frac{d V}{V} =\frac{4}{3} \pi \times 3 r^2 d r  \)
\(=3 d r=3 \times(2 \%)  \)
\(\frac{d V}{V} =6 \%\)

\(K \cdot E =\frac{1}{2} I \omega^2 \quad L=I \omega  \)
\(\therefore K \cdot E =\frac{L^2}{2 I}  \)
\(\therefore K \cdot E \quad(E) \propto L^2  \)
\(E_1 \propto L_1^2 ; \quad E_2 \propto L_2^2  \)
\(\therefore \frac{E_1}{E_2} =\left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2 \)
\(E_1=E \quad E_2 =E / 2=L_1=L \quad L_2=?  \)
\(\frac{E}{E / 2} =\left(\frac{L}{L_2}\right)^2  \)
\(\frac{2 E}{E} =\left(\frac{L}{L_2}\right)^2 \therefore\left(\frac{L}{L_2}\right)^2=2  \)
\(\therefore \frac{L}{L_2} =\sqrt{2}  \)
\(\therefore L_2 =\frac{L}{\sqrt{2}}\)

ஆற்றலானது நிறை மற்றும் ஒளியின் திசைவேகத்தைப் பொறுத்தது எனில்
E \(\alpha \) m^a c^b
E = km^a c^b இங்கு k என்பது மாறிலி
ஆற்றலின் பரிமாண வாய்ப்பாடு E = [ML² T²]
நிறையின் பரிமாண வாய்ப்படு = [M]
திசைவேகத்தின் பரிமாண வாய்ப்பாடு
c = [LT^-1]
பரிமாண மதிப்புகளை சமன்பாட்டில் பிரதியிட
[ML²T²] = K [M]^a [LT ¹]^b
அடுக்குகளை இருபுறமும் சமன்செய்ய,
a = 1
b = 2
E = k.mc²
இங்குமாறிலி k = 1
E = mc²
இதுவே நிறை ஆற்றல் சமன்பாடாகும்.

எந்தவொரு கணத்திலும், பொருள் ஒன்றின் முடுக்கம் என்பது அதன் திசைவேக மாறும் வீதத்திற்கு சமமாகும்.
முடுக்கம் \(\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t} \) இது ஒரு வெக்டா் அளவு.

1 kg நிறையுடைய பொருளின் மீது ஒரு விசை செயல்பட்டு அந்த விசையின் திசையிலேயே 1 ms^-2 முடுக்கத்கை ஏற்படுத்தினால், அவ்விசையின் அளவே ஒரு நியூட்டன் எனப்படும்.

ஒரு பொருளின் நிலை ஆற்றல் என்பது சுற்றுப்புறத்கைப் பொறுத்து அதன் நிலை மற்றும் அமைப்பைச் சார்ந்தது. ஏனென்றால் பொருளின் மீது செயல்படும் பல்வேறு விசைகளும் அதன் நிலை மற்றும் அமைப்பைச் சார்ந்ததே.
(P என்ற புள்ளியில் உள்ள ஒரு பொருளின் நிலை ஆற்றல் என்பது அப்பொருளை ஒரு தொடக்கநிலைப் புள்ளி O (தொடக்க நிலை) முதல் புள்ளி P (இறுதி நிலை) வரை மாறா திசைவேகத்தில் நகா்த்த புறவிசையால் செய்யப்பட்ட வேலையின் அளவு என வரையறுக்கப்படுகிறது.) O என்ற தொடக்கப் புள்ளியில் நிலை ஆற்றல் சுழி என எடுத்துக்கொள்ளலாம்.
கணிதவியலின்படி, நிலை ஆற்றல்
\(\mathrm{U}=\int \vec{F}_a \cdot d \vec{r}\)
இங்கு தொகையீீட்டின் எல்லை தொடக்கநிலைப்புள்ளி O முதல் இறுதி நிலைப்புள்ளி P வரை அமையும்.
நிலை ஆற்றல் பல வகைப்படும். ஒவ்வொரு வகையும் ஒரு குறிப்பிட்ட விசையுடன் தொடா்புடையது. உதாரணமாக
(i) புவிஈா்ப்பு விசையினால் பொருள் பெற்றுள்ள ஆற்றலானது ஈர்ப்பு அழுத்த ஆற்றல் ஆகும்.
(ii) சுருள்வில் விசை மற்றும் இதுபோன்ற இணையான விசைகளினால் பெறப்படும் ஆற்றலானது மீட்சியழுத்த ஆற்றல் ஆகும்.
(iii) நிலை மின்னியல் விசையால் பெறப்படும் ஆற்றல் மின்னழுத்த ஆற்றல் ஆகும். ஈர்ப்பியல் நிலை ஆற்றல் U = mgh
மீட்சி நிலை ஆற்றல்:
\(\mathrm{U}=\frac{1}{2} k x^2\)
தொடக்க நிலை சுழியில்லை எனில், நிறையானது தொடக்கநிலை x_i முதல் x_f வரை நகர்த்தப்பட்டால் மீட்சி நிலை ஆற்றல்.
\(\mathrm{U}=\frac{1}{2} k\left(x_f^2-x_i^2\right)\)
நிலை மின்னியல் நிலை ஆற்றல்:
\(\mathrm{E} =\mathrm{F} \times \mathrm{r}  \)
\(=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_o} \frac{q_1 q_2}{r^2}\)

ஒரு புள்ளி அல்லது அச்சைப் பொருத்து பொருளின் மீது செய்படுத்தப்படும் புறவிசையின் திருப்புத்திறன் திருப்பு விசை என வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}.\)  இதன் அலகு Nm.

1.இராபர்ட் பிரெளன் என்ற தாவரவியல் அறிஞர் திரவப்பரப்பிலுள்ள மகரந்தத்துகள்கள் ஓரிடத்திலிருந்து மற்றொரு இடத்திற்கு ஒழுங்கற்று இயங்குகின்றன எனக் கண்டறிந்தார் 
2.திரவப்பரப்பிலுள்ள இந்த மகரந்தத் துகள்களின் ஒழுங்கற்ற (குறுக்கு-நெடுக்கான)இயக்கம் பிரெளனியன் இயக்கம் எனப்படும். நிர்ப்பரப்பிலுள்ள தூசுத்துகள்களின் ஒழுங்கற்ற இயக்கத்தை நாம் சாதாரணமாகக் காணலாம்.
3.இக்கண்டுபிடிப்பு நெடுங்காலமாக ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு ஒரு புரியாத புதிராகவே இருந்து வந்தது. முறையான ஆய்வுகளுக்குப் பின்பு, வீனர் மற்றும் ஃகோய் (Wiener and Gouy) என்ற இரு அறிஞர்கள் பிரெளனியன் இயக்கத்திற்கான உரிய விளக்கத்தினை கொடுத்தனர்.
4.இவ்விளக்கத்தின்படி திரவப்பரப்பிலுள்ள துகள்களின்மீது, அதனைச் சூழ்ந்துள்ள திரவ மூலக்கூறுகள் தொடர்ந்து மோதுவதால் அத்துகள்கள் ஒழுங்கற்ற இயக்கத்தை மேற்கொள்கின்றன.
5.1905 ஆம் ஆண்டு ஐன்ஸ்டீன் வாயுக்களின் இயக்கவியற் கொள்கையின் அடிப்படையில் பிரெளனியன் இயக்கத்திற்கான முறையான கொள்கை விளக்கத்தைக் கொடுத்தார். இக்கொள்கையிலிருந்து மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி அளவினைக் கணக்கிட்டார்.
6.இயக்கவியல் கொள்கையின்படி, திரவம் அல்லது வாயுவில் மிதந்து கொள்கையின்படி, திரவம் அல்லது வாயுவில் மிதந்து கொண்டிருக்கும் எந்த ஒரு துகளும் அனைத்து திசைகளிலிருந்தும் தொடர்ந்து தாக்கப்படும். எனவே சராசரி மோதலிடைத்தூரம் கிட்டத்தட்ட புறக்கணிக்கப்படும்.இதன் விளைவாக படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு துகள்கள் ஒழுங்கற்ற மற்றும் குறுக்கு நெடுக்கான இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும்.

பிரெளனியன் இயக்கத்தைப் பாதிக்கும் காரணிகள்:
வெப்பநிலை உயரும்போது பிரெளனியன் இயக்கமும் அதிகரிக்கும். திரவம் அல்லது வாயுத் துகள்களின் பருமன் அதிகரிக்கும்போதும், உயர் பாகியல் தன்மை மற்றும் அடர்த்தி காரணமாகவும் பிரெளனியன் இயக்கம் குறையும்.   

(i) சற்றேக்குறைய சம அதிர்வெண்கள் உடைய இரு ஒலி அலைகள் குறுக்கிடுவதால் ஏற்படும் ஒலி வளர்ச்சி மற்றும் ஒலித் தேய்வு நிகழ்வு விம்மல்கள் எனப்படும்.

(ii) பகுப்பாய்வு முறை: சம வீச்சும் சற்றே மாறுபட்ட அதிர்வெண்கள் n₁ மற்றும் n₂ வும் (n₁ - n₂ < 10) உடைய இரு சிறு அலைகள் ஊடகம் ஒன்றில் ஒரே திசையில் செல்வதாகக் கருதுவோம். t=0 அலைகளின் சமன்பாடுகள்
y₁ = a sin ω₁t = a sin (2πn₁)t
y₂ = a sin ω₂t = a sin (2πn₂)t
இரு அலைகளும் மேற்பொருந்தும் போது தொகுபயன் இடப்பெயர்ச்சி
y =y₁ +y₂ = a sin (2πn₁)t +  a sin (2πn₂)t
∴ y = 2a sin 2π \(\left( \frac { { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } }{ 2 } \right) t \ cos2 \ \pi \left( \frac { { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } }{ 2 } \right) t\)
A = 2a cos 2ㅠ\(\left( \frac { { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)t மற்றும்
n = \(\frac { { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } }{ 2 } \) எனில் ∴ y = A sin 2ㅠ nt
இச்சமன்பாடானது அதிர்வெண் n = \(\frac { { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } }{ 2 } \) மற்றும் காலத்தைச் சார்ந்து மாறுபடும் வீச்சு உடைய தனிச் சீரிசை அலையைக் குறிக்கிறது
(a) தொகுப்பயன் வீச்சுப்பெருமமாக இருக்க (土2a)
cos 2π\(\left( \frac { { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)t = 土1
∴  2π\(\left( \frac { { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)t = mㅠ
இங்கு m = 0,1,2 .....
(n₁-n₂) t = m
t₁ = 0 முதல் பெருமம் ஏற்படும்
\({ t }_{ 2 }=\frac { 1 }{ { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } } \) ல் இரண்டாவது பெருமம் ஏற்படும்
\({ t }_{ 3 }=\frac { 1 }{ { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } } \)ல் மூன்றாவது பெருமம் ஏற்படும்
அடுத்தடுத்த இரு மூன்றாவது பெருமங்களுக்கான கால இடைவெளி
\({ t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 }={ t }_{ 3 }-{ t }_{ 2 }=\frac { 1 }{ { n }_{ 1 }-{ n }_{ 2 } } \)
ஒரு நொடியில் உருவாகும் விம்மல்களின் எண்ணிக்கையானது அடுத்தடுத்த பெருமங்களுக்கான கால இடைவெளியின் தலைகீழாகும்
(b) தொகுபயன் வீச்சு சிறுமமாக இருக்க (=0)
\(cos2\pi \left( \frac { { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } }{ 2 } \right) \) t =0
2ㅠ \(\left( \frac { { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)t = \(\frac { \pi }{ 2 } \) + mㅠ = (2m + 1) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
அல்லது \(({ n }_{ 1 }-{ n }_{ 2 })t=\left( \frac { 2m+1 }{ 2 } \right) \) இங்கு (m=0,1,2...)
\({ { t }_{ 1 } }^{ ' }=\frac { 1 }{ 2({ n }_{ 1 }-{ n }_{ 2 }) } \) ல் முதல் சிறுமம் ஏற்படும்
\({ { t }_{ 2 } }^{ ' }=\frac { 3 }{ 2({ n }_{ 1 }-{ n }_{ 2 }) }\) ல் இரண்டாவது சிறுமம் ஏற்படும்
\({ { t }_{ 3 } }^{ ' }=\frac { 5 }{ 2({ n }_{ 1 }-{ n }_{ 2 }) } \) ல் மூன்றாவது சிறுமம் ஏற்படும். அடுத்தடுத்த இரு சிறுமங்களுக்கான கால இடைவெளி
\({ { t }_{ 2 } }^{ ' }-{ { t }_{ 1 } }^{ ' }={ { t }_{ 3 } }^{ ' }-{ { t }_{ 2 } }^{ ' }=\frac { 1 }{ { n }_{ 1 }-{ n }_{ 2 } } \)
ஒரு நொடியில் உருவாகும் விம்மல்களின் எண்ணிக்கையானது அடுத்தடுத்த இரு சிறுமங்களுக்கான கால இடைவெளியின் தலைகீழாகும்.

ஸ்கேலார் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் எண் மதிப்புகள் மற்றும் அவைகளுக்கு இடையேயான கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத்தொகை ஸ்கேலார் பெருக்கல் எனப்படும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகிய இரு வெக்டர்களுக்கு இடையேயான கோணம் θ எஎில் \( \vec{A} \cdot \vec{B}=\mathrm{AB} \cos \theta.\) A மற்றும் B என்பவை வெக்டர் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியவற்றின் எண் மதிப்புகள்.
(எ.கா) வேலை, ஆற்றல் மற்றும் மின்புலப்பாயம்
பண்புகள்:
(i)  \(\vec { A } \).\(\vec { B } \)  எப்போதும் ஒரு ஸ்கேலார். θ < 90^o எனில் அது நேர்க்குறி. \(90^{\circ}<\theta<180^{\circ}\) எனில் அது எதிர்க்குறி.
(ii) வெக்டர்கள் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=0^{\circ}, \cos \theta=1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\)_{பெரும்} = AB.
(iii) வெக்டர்கள் எதிரெதிர் திசையில் இணையாக உள்ளபோது \(\theta=180^{\circ}, \cos \theta=-1, \therefore(\vec{A} \cdot \vec{B})\) = AB.
(iv) வெக்டர்கள் ஒன்றுக்கொ்ன்று செங்குத்தாக இருந்தால் \(\theta=90^{\circ}, \cos 90^{\circ}=0, \therefore \vec{A} \cdot \vec{B}=0\)
(v) இது பரிமாற்று வி|திக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}\)
(vi) இது பங்கீட்டு விதிக்கு உட்படும். அதாவது, \(\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{C})=\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot \vec{C}\)
(vii) சுய புள்ளி பெருக்கல்,\(\vec{A} \cdot \vec{A}=A A \cos \theta=A^2\left(\theta=0^{\circ}\right)\) எனில் வெக்டர் \(\vec { A } \)யின் எண்மதிப்பு \(|\vec{A}|\) ஆகும். \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}}\)
(viii) \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) என்பன அலகு வெக்டரின் செங்குத்துக் கூறுகள் எனில்
\(\hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1\) மற்றும் \(\hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{k}=\hat{k} \cdot \hat{i}=0\)
(ix) வெக்டா்களுக்கு இடையேயான் கோணம் \(\theta=\cos ^{-1}\left[\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{A B}\right]\)
(x) கூறுகளின் அடிப்படையில்,
\(\vec{A} \cdot \vec{B} =\left(A_x \hat{i}+\mathrm{A}_y \hat{j}+\mathrm{A}_z \hat{k}\right) \cdot\left(\mathrm{B}_x \hat{i}+B_y \hat{j}+B_z \hat{k}\right) \)
\(=A_x B_x \hat{i}+A_y B_y \hat{j}+A_z B_z \hat{k}\), மற்றவை சுழியாகும். 
\(\vec { A } \) யின் எண் மதிப்பு \(|\vec{A}|=\mathrm{A}=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}\) மற்றும்
\(|\vec{B}|=\mathrm{B}=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}\)
வெக்டர் பெருக்கல்:
இரு வெக்டர்களின் வெக்டர் பெருக்கல் மற்றொரு வெக்டர் ஆகும். இதன் எண்மதிப்பு அவ்விரு வெக்டர்களின் எண்மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றிற்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் மதிப்பு ஆகியவற்றின் பெருக்குத் தொகைக்குச் சமம் ஆகும்.
\(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன இரு வெக்டர்கள் எனில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\vec{G}=(A B \sin \theta) \check{n}\)
\(\hat{n}\) ன் திசை \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) வெக்டர்களின் தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் இருக்கும். வலது கை திருகு ஒன்றை \(\vec { A } \) வெக்டரிலிருந்து (முதல் வெக்டர்) \(\vec { B } \) வெக்டரை நோக்கி அவற்றின் சிறிய கோணத்தின் வழியே சுழற்றும்போது திருகு முன்னேறும் திசையில் \(\vec{C}\) வெக்டரின் திசை இருக்கும்.
(எ.கா) திருப்புவிசை \(\vec{C}=\vec{r} \times \vec{F}\) மற்றும் \(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\)
பண்புகள்:
(i) வெக்டா் பெருக்கலின் தொகுபயன் எப்போதும் ஒரு வெக்டராக இருக்கும். இவ்விரு வெக்டர்கள் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான வெக்டர்களாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும் தொகுபயனின் திசை அவ்விரு வெக்டர்கள் அமைந்த தளங்களுக்கு செங்குத்தான திசையில் அமையும்.
(ii) பரிமாற்று விதிக்கு உட்படாது. \(\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A} \cdot\) ஆனால் \(\vec{A} \times \vec{B}=-[\vec{B} \times \vec{A}]\)
(iii) \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையுமானால் \(\theta=90^{\circ}, \sin \theta=1, (\vec{A} \times \vec{B})\)_{பெருமம்} = \(A B \hat{n}\)
(iv) θ = 0^o அல்லது 180^o எனில் sin θ = 0, சுழியற்ற வெக்டா்களாக இருந்தாலும் வெக்டர் பெருக்கல் \((\vec{A} \times \vec{B})\)_{சிறுமம்} = 0
இதன் பொருள் என்னவெனில், வெக்டர்கள் இணையாக இருந்தாலோ எதிர் திசையில் இணையாக அமைந்தாலும் வெக்டா் பெருக்கல் அழிந்துவிடும்.
(v) சுய வெக்டர் பெருக்கல் சுழி வெக்டா் ஆகும்.
\(\vec{A} \times \vec{A}=A A \sin 0^{\circ} \hat{A}=\overrightarrow{0}\)
(vi) அலகு வெக்டர் கூறுகளின் சுய வெக்டா் பெருக்கல் சுழியாகும்.
\(\hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0\)
(vii) அலகு வெக்டர்களின் செங்குத்துக் கூறுகள் \(\hat{i}, \hat{j}\) மற்றும் \(\hat{k}\) ஆகியவற்றின் வெக்டர் பெருக்கல்கள்
\(\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}\)  மற்றும்
\(\hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k} \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i}\) மற்றும் \(\hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j}\)
(viii) கூறுகளின் அடிப்படையில்
\(\vec{A} \times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{array}\right|=\begin{array}{} \hat{i} \left(A_y B_z-A_z B_y\right) \\ + \hat{j} \left(A_z B_x-A_x B_z\right) \\ +  \hat{k} \left(A_x B_y-A_z B x\right) \end{array}\)
(ix) வெக்டா் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரு இணைகரத்தின் இரு பக்கங்களைக் குறித்தால் \(|\vec{A} \times \vec{B}|\) அவ்விணைகரத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.
(x) வெக்டர் \(\vec { A } \) ம்ற்றும் \(\vec { B } \) என்பன ஒரே வரிசையில் எடுக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களாக குறுக்கப்பட்டன. \(\frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}|\) என்பது அம்முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கு சமம் ஆகும்.

திண்மப் பொருளின் நோ்க்கோட்டு, உந்தம் மற்றும் கோண உந்தம் மாறிலியாக இருந்தால் அப்பொருளானது எந்திரவியல் சமநிலையில் உள்ளது எனலாம். 
ஒரு பொருளின் நேர்க்கோட்டு உந்தம் மாறிலி எனில், அப்பொருளின் மீது செயல்படும் நிகரவிசை சுழியாகும்.
\(\vec{F}_{\text {net }}=0\)     ...(1)
இந்நிபந்தனையின் படி பொருளானாது இடப்பெயர்வில் சமநிலையில் உள்ளது. இதன்படி, பொருளின் மீது வெவ்வெறான திசைகளில் செயல்படும் \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1, \overrightarrow{\mathrm{F}}_2, \overrightarrow{\mathrm{F}}_3\) என்ற விசைகளின் வெக்டர் கூடுதல் சுழியாகிறது.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3+\cdots+\overrightarrow{\bar{F}}_{\mathrm{n}}=0\)    ....(2)
பொருளின் மீது \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1, \overrightarrow{\mathrm{F}}_2, \overrightarrow{\mathrm{F}}_3 \ldots\)என்ற விசைகள் வெவ்வேறான திசைகளில் செயல்படுகின்றன எனில் அவற்றின் விளைவை முறையே கிடைத்தள மற்றும் செங்குத்து கூறுகளின் மூலம் தீர்வு காணலாம். இந்நிகழ்வில் கிடைத்தளச் சமநிலைக்கோ செங்குத்து சமநிலைக்கோ சாத்தியம் உள்ளது.
இதேபோல் கோண உந்தம் மாறிலியாக உள்ள போது பொருளின் மீதான நிகர திருப்பு விசை சுழியாகும்.
\(\vec{\tau}_{\text {net }}=0\)  ....(3)
இந்நிபந்தனையின்படி. பொருளானாது சுழற்சி சமநிலையில் உள்ளது, சுழற்சிச் சமநிலையில் வெவ்வேறான சுழற்சியை உருவாக்கும் திருப்பு விசைகள்  \(\vec{\tau}_1, \vec{\tau}_2, \vec{\tau}_3 \ldots\) ஆகியவற்றின் வெக்டா் கூடுதல் சுழியாகிறது.
\(\vec{\tau}_1+\vec{\tau}_2+\vec{\tau}_3+\cdots+\vec{\tau}_{\mathrm{n}}=0\)
மேலும் ஒரு திண்மப்பொருளின் மீது நிகர விசையும், நிகர திருப்பு விசையுமம் சுழியாக இருந்தால் அத்திண்மப் பொருள் எந்திரவியல் சமநிலையில் உள்ளது என கூறலாம்.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {net }}=0\) மற்றும் \(\vec{\tau}_{\text {net }}=0\)
விசைகளும், திருப்பு விசைகளும் வெக்டா் அளவு என்பதால் இதன் திசைகளை தக்க குறியீடுகளுடன் பயன்படுத்த வேண்டும்.

சமநிலையின் வகைகள்	நிபந்தனைகள்
இடப்பெயர்வு சமநிலை	1. நேர்கோட்டு உந்தம் மாறிலியாகும். 2. நிகர விசைசுழி
சுழற்சி சமநிலை	1. கோண உந்தம் மாறிலி 2. நிகர திருப்பு விசை சுழி
ஓய்வுச் சமநிலை	1. நேர்க்கோட்டு மற்றும் கோண உந்தங்களின் மதிப்பு சுழி 2. நிகரவிசை மற்றும் நிகரத் திருப்புவிசை சுழி
இயக்க சமநிலை	1. நேர்க்கோட்டு மற்றும் கோண உந்தங்கள் மாறிலி  2. நிகரவிசை மற்றும் நிகரத் திருப்புவிசைகள் சுழி
உறுதிச் சமநிலை	1. நேர்க்கோட்டு மற்றும் கோண உந்தங்களின் மதிப்பு சுழி 2. பொருளானது அதன் நிலையில் சிறிய மாற்றம் செய்யும் போது மீண்டும் சமநிலைக்கு வர முயற்சிக்கும். 3. சமநிலையில் ஏற்படும் மாற்றத்தினால் பொருளின் நிறைமையத்தின் நிலையானது சற்றே உயரும். 4. பொருள் சமநிலையில் இருக்கும்போது அதன் நிலை ஆற்றல் சிறுமமாக இருக்கும்.சமநிலையில் இருந்து மாறும்போது அதன் நிலை ஆற்றல் சற்றே உயரும்.
உறுதியற்ற சமநிலை	1. நேர்க்கோட்டு மற்றும் கோண உந்தங்கள் சுழி. 2. பொருளானது சமநிலையிலிருந்து சற்றே மாற்றம் செய்து விடப்படும் போது மீண்டும் சமநிலைக்கு திரும்பவராது. 3. பொருளின் நிறைமையமானது சமநிலையிலிருந்து சற்று கீழ்புறமாக நகர்ந்து அமையும். 4. நிலை ஆற்றலானது சிறுமமாக இருக்காது.மேலும் சமநிலையில் மாற்றம் அடையும்போது நிலை ஆற்றல் குறைகிறது.
நடுநிலை சமநிலை	1. நேர்கோட்டு உந்தமும் மற்றும் கோண உந்தமும் சுழி. 2. பொருளின் நிலையில் மாற்றம் செய்து விடப்படும் போதும் சமநிலையிலேயே இருக்கும். 3. பொருளின் நிலையில் சிறிய மாற்றம் செய்யும்போது நிறை மையத்தின் நிலை உயரவோ தாழவோ செய்யாது. 4. பொருளின் நிலையில் சிறிய மாறுபாடு ஏற்படும் போதும் நிலை ஆற்றல் மாற்றம் அடையாது.

நியூட்டன் விதிகள்:
(1) ஒரு பொருளின் மீது வெளிப்புற விசை ஒன்று செயல்படாதவரை, அது தனது ஓய்வு நிலையிலோ அல்லது மாறாத் திசைவேகத்திலுள்ள சீரான இயக்க நிலையிலோ தொடா்ந்து இருக்கும்.
(2) ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும் விசையானது அந்தப் பொருளின் உந்த மாறுபாட்டு வீதத்திற்கு சமமாகும்.
(3) எந்தவொரு செயல் விசைக்கும் சமமான எதிர் செயல்விசை உண்டு.
விளக்கம்:
(1) நியூட்டன் விதிகள் வெக்டா் விதிகளாகும். \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{ma}\) என்ற சமன்பாட்டை, கார்டீசியன் ஆயக்கூறுகளின் அடிப்படையில் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.
\(F_x \hat{i}+F_y \hat{j}+F_z \hat{k}=m a_x \hat{i}+m a_y \hat{j}+m a_z \hat{k}\)
இருபுறமும் ஒப்பிட,
\(F_x=m a_x \)
\(F_y=m a_y  \)
\(F_z=m a_z\)
இதிலிருந்து நாம் அறிய வேண்டியது என்னவெனில், y திசையில் செயல்படும் வினை, x திசையில் ஏற்படும் முடுக்கத்தை எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது. அதே போன்று F_z ஆனது a_y மற்றும் a_x ஐ எவ்விதத்திலும் பாதிக்காது.
(2) ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் (t), பொருள் அடையும் முடுக்கம், அதே நேரத்தில் அப்பொருளின் மீது செயல்படுமு வினையினை மட்டுமே சார்ந்தது. இதனை இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}(\mathrm{t})=\mathrm{ma}(\mathrm{t})\)
பொருளின் முடுக்கம். கடந்தகால விசையைச் சார்ந்ததல்ல. எடுக்துக்காட்டாக. பந்து வீச்சாளரால் வீசப்பட்ட பந்து, அவரின் கரத்தை விட்டு விடுபட்ட பின்பு பந்து, புவியீர்ப்பு விசை மற்றும் காற்றின் உராய்வுவிசை இவைகளை மட்டுமே உணரும். பந்தின் முடுக்கம் அது எவ்வளவு வேகத்தில் வீசப்பட்டது என்பகை பொருத்து அமையாது.
(3) பொதுவாக பொருளின் இயக்கம் விசையின் திசையிலிருந்து மாறுபட்டு அமையலாம்.
(a) விசையும் இயக்கமும் ஒரே திசையில் அமைதல்.
(எ.கா.) மரத்திலிருந்து கீழே விழும் பழத்தின் இயக்கம்.
(b) விசையும் இயக்கமும் வெவ்வேறு (செங்குத்து) திசைகளில் அமைதல்.
(எ.கா.) நிலா புவியினை நோக்கி ஒரு விசையை உணா்கிறது. ஆனால் நிலா புவியை ஒரு நீள் வட்டப்பாதையில் சுற்றி வருகிறது.
(c) விசையும் இயக்கமும் எதிரெதிர் திசையில் அமைதல்
(எ.கா.) பொருளை. புவியீர்ப்பு விசைக்கு எதிராக மேல்நோக்கி எறிதல்.
(d) சுழிநிகர விசையுடன் பொருளின் இயக்கம் அமைதல்.
(எ.கா.) மழைத்துளி மாறாத்திசைவேகத்துடன் தரையில் விழுதல்.
(4) ஒரு பொருளின் மீது பல்வேறு விசைகள், \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 \ldots \ldots . \vec{F}_n\) செயல்படும் போது, நிகரவிசை \(\left(\vec{F}_{n e t}\right)\), தனித்தனி வெக்டா் கூடுதலுக்குச் சமம்.
\(\vec{F}_{\text {net }}=\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_{3 \ldots} \vec{F}_n\)
(5) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பொருளின் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம்படி வகைக்கெழு வடிவத்திலும் எழுதலாம்.
\(\vec{F}=m \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2}\)
இதிலிருந்து நாம் அறிந்துகொள்வது என்னவெனில், எப்பொழுதெல்லாம் இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரின் இரண்டாம் வகைக்கெழு சுழியல்லாத மதிப்பினை பெறுகிறதோ அப்பொழுதெல்லாம் பொருளின் மீது விசை செயல்படுகிறது.
(6) பொருளின் மீது எவ்விதமான விசையும் செயல்படாத நிலையில் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி \(m=\frac{d \vec{v}}{d t}=0\).. அதாவது பொருள் மாறாத் தினைவேகத்துடன் இயங்குகிறது என்று நமக்கு உணர்த்துகிறது. நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி, முதல் விதியோடு இயல்பாக பொருந்துவதை நாம் உணரலாம். இருப்பினம் அவை இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராத தனித்தனி விதிகளாகும். ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றை தருவிக்க இயலாது.
(7) நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி காரணம் மற்றும் விளைவு வகையைச் சார்ந்தது. விசை ஒரு காரணம் எனில் முடுக்கம் அதற்கான விளைவு ஆகும். எனவே விதியின் சரியான வடிவம் \(m \vec{a}=\vec{F}.\)

\(\vec F\)என்ற விசையினால் \(\vec {dr}\) என்ற இடப்பெயர்ச்சிக்கு செய்யப்பட்ட வேலை 
\(W=\int\vec F.\vec {dr}\)   ....(1)
சமன்பாட்டு (1) இன் இடது பக்கத்தில் உள்ளதை இவ்வாறு எழுதலாம்
\(W=\int dW=\int \frac{dw}{dt}dt\)   ...(2) 
(dt ஆல் பெருக்கவும் வகுக்கவும் செய்ய)
திசைவேகம் \(\vec v=\frac{\vec {dr}}{dt}\) என்பதால் \(\vec {dr}=\vec v\ dt\)
சமன்பாடு (1) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ளதை இவ்வாறு எழுதலாம்
\(\int\vec F.\vec {dr}=\int (\vec F.\frac{\vec {dr}}{dt})dt=\int (\vec F.\vec v)\ [\therefore\vec v=\frac{\vec {dr}}{dt}]\)   ...(3) 
சமன்பாடு (2) மற்றும் (3) ஐ சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட 
\(\int\frac{dw}{dt}dt=\int(\vec F.\vec v)dt\)
\(\int(\frac{dw}{dt}-\vec F.\vec v)dt=0\)
இந்த தொடர்பானது dt  இன் எந்த ஒரு தன்னிச்சையான மதிப்பிற்கும் சரியாக உள்ளது. அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மதிப்பு சுழியாக இருக்க வேண்டும் என்பதை குறிக்கிறது.
அதாவது
\(\frac{dw}{dt}-\vec F.\vec v=0\)  அல்லது
\(\frac{dw}{dt}=\vec F.\vec v\)   ...(4) 
எடுத்துக்காட்டுகள்:
1250 kg நிறையுள்ள ஒரு வாகனம் ஒரு சமமான நோ் சாலையில் 0-.2 ms^-2 முடுக்கத்துடன் 500 N என்ற எதிர்க்கும் புறவிசைக்கெதிராக இயக்கப்படுகிறது. வாகனத்தின் திசைவேகம் 30 ms^-1 எனில் வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறனைக் கணக்கிடுதல்.
தீர்வு:
வாகனத்தின் இயந்திரம், எதிர்க்கும் விசைக்கெதிராக வேலை செய்து வாகனத்தை ஒரு முடுக்கத்துடன் இயக்க வேண்டும். எனவே வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறன்
P = (எதிர்க்கும் விசை + (நிறை x முடுக்கம்)) (திசைவேகம்)
\(\mathrm{P} =\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{F}\right) \mathrm{v}  \)
\(\mathrm{P} =\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{ma}\right) \mathrm{v}  \)
\(=(500+(1250 \times 0.2))(30)=22.5 \mathrm{~kW}\)
⇒ மோட்டார்கள், இயந்திரங்கள், சில தானியங்கி வாகனங்கள்

x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 3 என்ற இரண்டு புள்ளிகளைக் கருதினால் y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 9 என்ற இரண்டு புள்ளிகள் கிடைக்கும்.
இங்கு \(\triangle x=1\) மற்றும் \(\triangle y = 5\)
எனவே, \({\triangle y \over \triangle x}={9-4\over 3-2}=5\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.5   எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = (2.5)² = 6.25 எனக் கிடைக்கும்.
இங்கு \(\triangle x=0.5={1\over 2}\) மற்றும் \(\triangle y = 2.25\)
எனவே, \({\triangle y \over \triangle x}={6.25-4\over 0.5}=4.5\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.25 எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 5.0625 எனக் கிடைக்கும்
இங்கு \(\triangle x=0.25={1\over 4}\) மற்றும்  \(\triangle y=1.0625\)
எனவே, \({\triangle y\over \triangle y}={5.0625-4\over 0.25}={(5.0625-4)\over{{1\over4}}}=4(5.0625-4)=4.25\)
x₁ = 2 மற்றும் x₂ = 2.1 எனில்
y₁ = 4 மற்றும் y₂ = 4.41 எனக் கிடைக்கும்
இங்கு \(\triangle x=0.1={1\over 10}\) மற்றும்  \(\triangle y=0.41\)
\({\triangle y\over \triangle y}={(4.41-4)\over{{1\over10}}}=10(4.41-4)=4.1\)