ஒட்டுறவுக் கெழு r =\(\frac { N\Sigma XY-(\Sigma X)(\Sigma Y) }{ \sqrt { N\Sigma { X }^{ 2 }-(\Sigma X)^{ 2 } } \sqrt { N\Sigma { Y }^{ 2 }-(\Sigma Y)^{ 2 } } } \)
=\(\frac { 9(597)-(45\times 108) }{ \sqrt { 9(285)-(45)^{ 2 }\times \sqrt { 9(1356)-(108^{ 2 }) } } } \)
r =+0.95

ரூ 12500

(101)⁴ = (100 + 1)⁴
= 4C₀ (100)⁴ + 4C₁ (100)³ (1)¹ + 4C₂ (100)² (1)² + 4 C₃ (100)¹ (1)³ + 4 C₄(1)⁴
= 100,000,000 + 4 (1,000,000) + 6 (10000) + 4 (100) + 1
= 10,40,60,401

(x₁,y₁) என்ற புள்ளியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
xx₁+yy₁+3 \(\times \frac { 1 }{ 2 } \) (x+x₁)-8\(\times \frac { 1 }{ 2 } \) (y+y₁)+17 =0
இங்கு (x₁,y₁)  = (-2,5)
-2x + 5y+\(\frac { 3 }{ 2 } \)(x-2)-4(y+5)+17 =0
-2x + 5y+\(\frac { 3 }{ 2 } \)x-3-4y-20+17 =0
-4x+10y+3x-6-8y-40+34 =0
தேவையான தொடுகோட்டின் சமன்பாடு x-2y+12 = 0 ஆகும்.

\(\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \)

இங்கு r² =25 ⇒ r =5
வட்டத்தின் துணையலகு சமன்பாடுகள் x=r cos θ , y=r sin θ
⇒  x = 5 cos  θ , y =5 sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π

\(\sec { { 1485 }^{ o } } =\sec { \left( 4\times { 360 }^{ o }+{ 45 }^{ \\ o } \right) } =\sec { { 45 }^{ o } } =\sqrt { 2 } \)

X-ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு
3X+2Y = 26
2Y = –3X+26
Y=\(\frac{1}{2}\)(-3X+26)
Y = –1.5X+13
r\(\frac { { \sigma }_{ y } }{ { \sigma }_{ x } } \)=-1.5
b_yx=r\(\frac { { \sigma }_{ y } }{ { \sigma }_{ x } } \)=-1.5
Y-ன் மீது X-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு
6X+3Y = 31
X=\(\frac{1}{6}\)(–3Y+31)=–0.5Y+5.17
r\(\frac { { \sigma }_{ x } }{ { \sigma }_{ y } } \)=-0.5
b_xy=r\(\frac { { \sigma }_{ x } }{ { \sigma }_{ y } } \)=-0.5
r=\(\pm \sqrt { { b }_{ xy }.{ b }_{ yx } } \)
=-\(\sqrt { (-1.5).(-0.5) } \) (அதாவது இரண்டு தொடர்பு போக்குக் கெழுக்களும் r-ம் குறை குறியீடு பெற்றதாக இருக்கும்.)
∴ r=-0.866

(i) மாறிகள்
x₁, x₂, x₃ என்பவை முறையே உற்பத்தி செய்யப்பட வேண்டிய பொருள்கள் P₁, P₂ and P₃ ஆகியவற்றின் எண்ணிக்கை என்க.
(ii) குறிக்கோள் சார்பு
x₁ அலகுகள் கொண்ட உற்பத்தி பொருள் P₁ -ன் இலாபம் =20 x₁
x₂  அலகுகள் கொண்ட உற்பத்தி பொருள் P₂-ன்  இலாபம் = 25 x₂
x₃ அலகுகள் கொண்ட உற்பத்தி பொருள் P₃-ன் இலாபம் = 15x₃
மொத்த இலாபம் = 20 x₁ + 25 x₂ + 15 x₃
மொத்த இலாபம் மீப்பெரிதாக்கப்பட, Z=20x₁ + 25x₂ + 15 x₃-ஐ  மீப்பெரிதாக்க வேண்டும்.
(iii) கட்டுப்பாடுகள் : 6x₁ + 3x₂ + 12x₃ \(\le \) 200
                                     2x₁ + 5x₂ + 4x₃ \(\le \) 350
                                      x₁ + 2x₂ + x₃ \(\le \) 100
(iv) குறை குறியற்ற நிபந்தனைகள்:
A, B மற்றும் C ஆகிய உற்பத்தி பொருள்களின் எண்ணிக்கை குறை வடிவில் அமைப்போம்.
6x₁ + 3x₂ + 12x₃ \(\le \) 200
2x₁ = 5x₂ + 4x₃ \(\le \) 350
x₁ + x₂,x₃ \(\ge \)0
என்ற கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க, Z=20 x₁ + 15 x₃ -ன் மீப்பெருமதிப்பைக் காண்க.

0.94

0.575

மதிப்பு	இடைநிலை m	f	\(\left( \frac { f }{ m } \right) \)
0-10	5	8	1.60
10-20	15	12	0.80
20-30	25	20	0.80
30-40	35	6	0.17
40-50	45	4	0.09
		N=50	\(\Sigma \left( \frac { f }{ m } \right) \)=3.46

HM=\(\frac { N }{ \Sigma \left( \frac { f }{ m } \right) } =\frac { 50 }{ 3.46 } \)
=14.45

GM= 26.2%

பெருக்கு சாரசரியின் கணக்கீடு

மதிப்பெண்கள்	m	f	log m	f log m
0.10	5	8	0.6990	5.5920
10-20	15	12	1.1761	14.1132
20-30	25	18	1.3979	25.1622
30-40	35	8	1.5441	12.3528
40-50	45	6	1.6532	9.9192
		N=52		Σf log m=67.1394

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 67.1394 }{ 52 } \right) \)
GM=Antilog 19.55

\(-\frac { 44 }{ 125 } ,-\frac { 117 }{ 44 } \)

\({ e }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ x } +x+logx \right) \)

f(x) = x³ என்க.
f(x+h)=(x+h)³
\(\frac { d }{ dx } \left( f\left( x \right) \right) =\underset { h\rightarrow { 0 } }{ lim } \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow { 0 } }{ lim } \frac { \left( x+3 \right) ^{ 3 }-{ x }^{ 3 } }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow { 0 } }{ lim } \frac { 3{ x }^{ 2 }h+3xh^{ 2 }+{ h }^{ 3 } }{ h } \)
\(=\underset { h\rightarrow { 0 } }{ lim } \left( 3{ x }^{ 2 }+3xh+{ h }^{ 2 } \right) \)
=3x²+3x(0)+(0)²
=3x²
\(\frac { d }{ dx } \left( { x }^{ 3 } \right) =3{ x }^{ 2 }\)

\(=\left|\begin{array}{lll} 10041 & 10042 & 10043 \\ 10045 & 10046 & 10047 \\ 10049 & 10050 & 10051 \end{array}\right|\)
R₂ \(\rightarrow\) R₂\(\rightarrow\)R₁, R₃ \(\rightarrow\) R₃\(\rightarrow\)R₂t
\(\left|\begin{array}{ccc} 10041 & 10042 & 10043 \\ 4 & 4 & 4 \\ 8 & 8 & 8 \end{array}\right|=0 \)
\(R_2 \sim R_3\)

\(\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { sin3x }{ sin5x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \left\{ \frac { 3x\times \frac { sin3x }{ 3x } }{ 5x\times \frac { sin5x }{ 5x } } \right\} \)
\(=\frac { 3 }{ 5 } \frac { \underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { sin3x }{ 3x } }{ \underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { sin5x }{ 5x } } \)
\(=\frac { 3 }{ 5 } \left( \frac { 1 }{ 1 } \right) =\frac { 3 }{ 5 } \)

B = \(\begin{bmatrix} 0.6 & 0.9 \\ 0.20 & 0.80 \end{bmatrix}\) 
I - B = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0.6 & 0.9 \\ 0.20 & 0.80 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.4 & -0.9 \\ -0.20 & 0.20 \end{bmatrix}\)
|I - B| =\(\begin{bmatrix} 0.4 & -0.9 \\ -0.20 & 0.20 \end{bmatrix}\)
= 0.08 - 0.18 = - 0.1 < 0
ஹாக்கின்ஸ் – சைமன் நிபந்தனைகளின்படி சாத்தியமானதல்ல.

\(L\left[ f\left( x \right) \right] _{ x=3 }=\underset { x\rightarrow 3^{ - } }{ lim } f\left( x \right) \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } f\left( 3-h \right) ,x=3-h\)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| \left( 3-h \right) -3 \right| }{ \left( 3-h \right) -3 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| -h \right| }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h }{ -h } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } -1\quad =-1\)
\(R\left[ f\left( x \right) \right] _{ x=3 }=\underset { x\rightarrow 3^{ + } }{ lim } f\left( x \right) \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } f\left( 3+h \right) \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| \left( 3+h \right) -3 \right| }{ \left( 3+h \right) -3 } \)
\(=\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \left| h \right| }{ h } \)
\(\quad =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 1\quad =1\)

RANK’ என்ற ஆங்கில வார்த்தையைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும், வரிசை மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை 4!
இந்த வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களை அகர வரிசையில் A, K, N, R என வரிசைப்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும்.
A-ஐக் கொண்டு தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை=3!=6
K-ஐக் கொண்டு தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை =3!=6
N-ஐக் கொண்டு தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை =3!=6
RAKஎனத் தொடங்கும் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை =1! = 1
RANK என்ற வார்த்தை =0! = 1
கூட்டலின் அடிப்படைக் கொள்கைப்படி RANK என்ற வார்த்தையின் தரம்
6 + 6 + 6 + 1+1 = 20

X	f	Xf	logX	f logX	f/X
7	10	70	0.8451	8.4510	1.4286
10	22	220	1	22.0000	2.2000
13	24	312	1.1139	26.7346	1.8462
16	28	448	1.2041	33.7154	1.7500
19	19	361	1.2788	24.2963	1.0000
22	9	198	13.424	12.0818	.04091
25	12	300	1.3979	16.7753	0.4800
28	16	448	1.4472	23.1545	0.5714
	Σf=N=140	ΣfX=2357		Σflogx 167.209	Σ\(\frac{f}{x}\)=9.6852

AM=\(\frac { \Sigma fNX }{ N } =\frac { 2357 }{ 140 } \)=16.84
GM=Anti log\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)=Anti log\(\left( \frac { 167.209 }{ 140 } \right) \)=Anti log(1.1944)=16.65
HM=\(\frac { N }{ \Sigma \left( \frac { f }{ X } \right) } =\frac { 14 }{ 9.6852 } \)=14.46
i.e., 16.84 > 15.65 > 14.46
∴ AM > GM > HM

20%

அச்சு : y = 2, முனை : (1, 2), குவியம் : (2, 2),
இயக்குவரையின் சமன்பாடு : x = 0 மற்றும் செவ்வகலத்தின் நீளம் : 4 அலகுகள்

P(n) என்பது குறிக்கும் கூற்று :  2n > n.
படி 1: n =1 என பிரதியிடவும்
2¹ > 1 \(\Rightarrow\) 2 > 1.
∴ P(1) என்பது உண்மையாகும்.
படி 2: n = k என்பதற்கு மேற்கண்டகூற்று உண்மை என்க.
i.e., P(k) என்பது உண்மையாகும்
 2^k > k
படி 3: P(k + 1) என்பது உண்மையென நிரூபிக்க
\(2^k>K\)
\(2.2^k>2^k \quad k \geq 1\)
\(2^{k+1}>2^k \quad k+k \geq k+1\)
\(2^{k+1}>2^k \geq k+1 \quad 2^k \geq k+1\)
\(2^{k+1}>k+1\)
∴ P(k +1) என்பது உண்மையாகும்
இவ்வாறாக P(k) என்பது உண்மையெனில் P(k +1) என்பது உண்மையாகும்.
∴ P(n) என்பது அனைத்து n∈N க்கும் உண்மையாகும்.

AB = \(\begin{bmatrix} 2&2&1\\1&3&1\\1&2&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {{4}\over{5}} &{{-2}\over{5}}&-{{1}\over{5}}\\-{{1}\over{5}}&{{3}\over{5}} &-{{1}\over{5}} \\ -{{1}\over{5}}&-{{2}\over{5}} &{{4}\over{5}}\end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{lll} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 4 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -2 & 4 \end{array}\right)\)
\(=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{lll} 8-2-1 & -4+6-2 & -2-2+4 \\ 4-3-1 & -2+9-2 & -1-3+4 \\ 4-2-2 & -2+6-4 & -1-2+8 \end{array}\right)\)
\(=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{lll} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=I\)
\(\mathrm{BA}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc} 4 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -2 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right)\)
\(=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc} 8-2-1 & 8-6-2 & 4-2-2 \\ -2+3-1 & -2+9-2 & -1+3-2 \\ -2-2+4 & -2-6+8 & -1-2+8 \end{array}\right)\)
\(=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{lll} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=I\)
\(\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I}\)
\(\therefore\) A மற்றும் B ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறு ஆகும்

9x + 10y + 2z = 800
15x + 5y + 4z = 900
6x + 10y + 3z = 850
 \(\begin{bmatrix}9&10&2\\15&5&4\\6&10&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 800\\900\\850 \end{bmatrix}\)
AX = B
\(X=A^{-1} B\)
 A \(=\begin{bmatrix} 9&10&2\\15&5&4\\6&10&3 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}\) and B = \(\begin{bmatrix} 800\\900\\850 \end{bmatrix}\)
= 9 (15 - 40) - 10 (45 - 24) + 2 (150 - 30)
= 9 (- 25) - 10 (21) + 2 (120)
= - 225 - 210 + 240 = - 195 \(\neq0\):
\(\therefore\) A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\begin{bmatrix} -25&-21&120\\-10& 15&-30\\30&-6&-105 \end{bmatrix}\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -25&-10 &30\\-21&15&-6\\120&-30&-105 \end{bmatrix}\)
X = A^-1 B
= \({{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -25&-10&30\\-21&15&-6\\120&-30&-105 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}800\\900\\850 \end{bmatrix}={{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -20,000&-9,000&+25,5000\\ -16,8000&+13,500&-5,1000\\96,000&-27,000&-89,250 \end{bmatrix}\)
\(={{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -3500\\-8400\\-20,250 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {{3500}\over{195}} \\{{8400}\over{195}}\\{{20,250}\over{195}} \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17.95\\43.05\\103.85 \end{bmatrix}\)
\(x=17.95, y=43.08, z=103.85\)

210 = 1024 (2.x 2... 10 terms)

5x - 16 = 0
5x = 16
\(x=\frac{16}{5}\)

\(n P_r =720(\mathrm{nCr}) \)
\(\frac{n !}{(n-r) !} =720\left(\frac{n !}{r !(n-r) !}\right) \)
\(r ! =720 \)
\(r ! =6 ! \)
r = 6