\(l=\frac { 4 }{ 3 } ,m=0,n=\frac { 3 }{ 4 } \)
l²+m²+n²=\(\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) ^{ 2 }+{ 0 }^{ 2 }+\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }\)
=\(\frac { 16 }{ 9 } +0+\frac { 9 }{ 16 } \)
=\(\frac { 256+81 }{ 144 } =\frac { 337 }{ 144 } \)≠0
∴ கொடுக்கப்பட்ட விகிதங்களை திசைக்கொசைன்களாகக் கொண்டு ஒரு வெக்டர் அமையாது.

LHS=log₄²-log₈²+log₁₆²-log₃₂²+....
\(=\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }^{ 4 } } -\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }^{ 8 } } +\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }^{ 16 } } -\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }^{ 32 } } +...\)
\(=\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }({ 2 }^{ 2 }) } -\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }({ 2 }^{ 3 }) } +\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }({ 2 }^{ 4 }) } -\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }({ 2 }^{ 5 }) } +...\)
\(=\frac { 1 }{ 2{ log }_{ 2 }2 } -\frac { 1 }{ 3{ log }_{ 2 }2 } +\frac { 1 }{ 4{ log }_{ 2 }2 } -\frac { 1 }{ 5{ log }_{ 2 }2 } +...\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 } +...=1-1+\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 } +...\)
\(=1\left( 1-\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 1 } +... \right) \)
=1-log_e2=RHS

சார்பகம் =R-{5}
வீச்சகம்={-1}

n(AxA)=9⇒n(A)=3;
S={(a,b)∈AxA:a>b}
A={-1,1,2}
AxA={(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2)}
∴ S={1,-1),(2,-1),(2,1)

gof={(1,1),(2,2),(3,2)}
ஆனால் fog வரையறுக்கப்படவில்லை. ஏனெனில் 
g-ன் வீச்சகம் ={1,2,4} ஆனது.
f-ன் சார்பகம் ={1,2,3}-ல் இல்லை 

7 கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி நடக்கவியலா நிகழ்ச்சி ஆகும்.எனவே P(7கிடைக்கப்பெற)=0

\(\int { \sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 4 } } dx } =\int { \left( { x }^{ 4 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } } } dx=\int { { x }^{ \frac { 4 }{ 3 } }dx } \)
\(=\frac { { x }^{ \frac { 4 }{ 3 } +1 } }{ \frac { 4 }{ 3 } +1 } +c=\frac { { x }^{ \frac { 7 }{ 3 } } }{ \frac { 7 }{ 3 } } +C=\frac { 3 }{ 7 } { x }^{ \frac { 7 }{ 3 } }+C\)

\(\int { \frac { 1 }{ \left( 2-3x \right) ^{ 4 } } } dx=\int { \left( 2-3x \right) ^{ -4 }dx } \)
\(=\frac { \left( 2-3x \right) ^{ -4+1 } }{ (-4+1)(-3) } =\frac { { (2-3x) }^{ -3 } }{ 9 } =\frac { 1 }{ 9(2-3x)^{ 3 } } +c\)

 

A, B சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் 
⇒ P(A ⋂ B) = P(A). P(B)    ........(1)
மேலும் P(A U B) = 0.6, P(A) = 0.2
இங்கு P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
⇒ 0.6 = 0.2 + P(B) - P(A) P(B)
⇒ 0.6 - 0.2 = P(B) - 0.2 P(B)
⇒ 0.4 = P(B) [1 - 0.2]
⇒ 0.4 = P(B) [0.8]
⇒ P(B) = \(\frac { 0.4 }{ 0.8 } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \) = 0.5
ஆகையால் P(B) = 0.5

\(g(t)={ t }^{ 3 }\cos { t } \)
\(g'(t)={ t }^{ 3 }\frac { d }{ dt } (cost)+cost\frac { d }{ dt } ({ t }^{ 3 })\)
(பெருக்கல் விதிப்படி)
\({ t }^{ 3 }-(-\sin t)+\cos t(3{ t }^{ 3 })\)
\(=3{ t }^{ 3 }\cos t-{ t }^{ 3 }\sin t\)

இடையீட்டுத் தேற்றப்படி \(\lim _{ x\rightarrow { 0 } }{ { x }^{ 2 }\sin { \frac { 1 }{ x } =0\quad } } \) மற்றும் f(x)-ன் வரையறைப்படி f(0)=0, எனவே, x=0-இல் f தொடர்ச்சியானது. மேலும் மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் தொடர்ச்சியானது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது.எனவே f என்ற சார்பு R-இல் தொடர்ச்சியானது.      

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \frac { \tan { 2x } }{ { x } } } } \)\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\ 2x }{ xcos\ 2x } } \)

\(=2\lim _{ 2x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\ 2x }{ 2x } \times \frac { 1 }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \ cos\ 2x } \right] } } \)
\(=2\times 1\times \frac { 1 }{ 1 } =2\) \(\therefore \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { tan\ 2x }{ x } } =2\)

\(\left| \begin{matrix} 2014 & 2017 & 0 \\ 2020 & 2023 & 1 \\ 2023 & 2026 & 0 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2014 & 2017-2014 & 0 \\ 2020 & 2023-2020 & 1 \\ 2023 & 2026-2023 & 0 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2014 & 3 & 0 \\ 2020 & 3 & 1 \\ 2023 & 3 & 0 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 2014 & 1 & 0 \\ 2020 & 1 & 1 \\ 2023 & 1 & 0 \end{matrix} \right|\)
= -3(2014-2023) = -3(-9) = 27.

பத்துகள்	ஒன்றுகள்
4	5

ஒன்றாவது இடத்தை 1,2,3,4,5 என்ற எண்களைப் பயன்படுத்தி 5 வழிகளில் நிரப்பலாம்.
பத்தாவது இடத்தை 4 வழிகளில் நிரப்பாலம்.
\(\therefore \)  இரண்டு இலக்க எண்களை (எந்த எண்ணும் திரும்ப வராத முறையில்  4 x  5  = 20 வழிகளில் நிரப்பலாம்.)     

\(sin^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)=y என்க, \(-\frac { \pi }{ 2 } \le y\le \frac { \pi }{ 2 } \Rightarrow siny=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
siny=\(sin\frac { \pi }{ 4 } \Rightarrow y=\frac { \pi }{ 4 } \)
முதன்மை மதிப்பு=\(sin^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \).

2,2,4,4,6,6,....
∴ ஒற்றைபடை உறுப்புகள்  2,4,6.....
இரட்டைப்படை உறுப்புகள் 2,4,6,...
∴

an =2018 என்க.முதல் 6 உறுப்புகள் =2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018
இங்கு பொது வித்தியாசம், பொது விகிதம் சமமாக உள்ளதால் இது A.P, G..P, AGPஆகும்.

L.H.S =\(\sin ^{ 2 }{ B } +\sin ^{ 2 }{ C }\)
= \({ sin }^{ 2 }B+\left[ sin\left( \cfrac { \pi }{ 2 } -B \right) \right] ^{ 2 }{ sin }^{ 2 }B+{ cos }^{ 2 }B=1=RHS\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

(A x B)∩(B x A) = {A ∩ B} x (B ∩ A)
A x B = {(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7)}
A x B = {(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(7,1),(7,2),(7,3)}
L.H.S=(A x B)∩(B x A)={}......(1)
A∩B={},B∩A={}
\(\therefore\) RHS={A∩B} x (B∩A)={}......(2)
(1)=(2)
∴L.H.S=R.H.S.நிரூபிக்கப்பட்டது.

B = { x ∈ N : x என்பது ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண்}என்க,
\(\Rightarrow\) B = {3,5,7,11...............} ஒரு முடிவில்லாக் கணம்.

தேவையான நியமப்பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி P(h,k) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களிலிருந்து, h = ct மற்றும் \(k=\frac { c }{ t } \)  ஆகும்.
இவ்விரு சமன்பாடுகளைப் பெருக்கி t-ஐ நீக்கலாம்.
(h)(k) = ct\(\left( \frac { c }{ t } \right) \)  ⇒ hk = c², h = x மற்றும் k = y எனப் பிரதியிட
∴ தேவையான நியமப்பாதையின் சமன்பாடு xy=c²

⁴P₄ = 4×3×2×1 = 4! = 24.

-2x > 0 அல்லது 3x - 4 < 11
\(\Rightarrow -x>0\) அல்லது 3x < 11 + 4
\(\Rightarrow x>0\)அல்லது 3x < 15
\(\Rightarrow x>0\)அல்லது \(x< \frac { 15 }{ 3 } \)
\(\Rightarrow x\epsilon \left( -\infty ,5 \right) \Rightarrow x<0\) அல்லது x < 5 

 \(\hat { j } \) = \(0\vec { i } +\vec { j } +0\vec { k } \)
திசைவிகிதங்கள் =0, 1, 0.
r =\(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } \)=\(\sqrt { 0+{ 1 }^{ 2 }+0 } \)
=\(\sqrt { 1 } \)=1
திசைக்கொசைன்கள் =\(\frac { 0 }{ 1 } ,\frac { 1 }{ 1 } ,\frac { 0 }{ 1 } \)=0, 1, 0.

\(\frac { dy }{ dx } =-4cosec\ x.\cot { x } -\frac { 1 }{ x } -2{ e }^{ x }\)

மாறுநிலை புள்ளிகள் -3,-1,1,3
இடைவெளிகள் (-\(\infty\),-3),(-3,-1),[1,1],(1,2),(3,\(\infty\))
தீர்வுக்கணம் (-\(\infty\),-3),[-1,1],(3,\(\infty\))

x-ஐப் பொறுத்து உட்படு வகைக்கெழுவின்படி
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\frac { a\quad \cos { t } }{ -a\sin { t } } =-\frac { \cos { t } }{ \sin { t } } \),
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } =\frac { d }{ dx } \left( \frac { dy }{ dx } \right) \)
\(=\frac { d }{ dx } \left( \frac { -\cos { t } }{ \sin { t } } \right) \)
\(=\frac { d }{ dt } \left( \frac { -\cos { t } }{ \sin { t } } \right) \frac { dt }{ dx } =-\left[ -{ cosec }^{ 2 }t \right] \times \frac { 1 }{ { x }^{ ' }(t) } \)
\(={ cosec }^{ 2 }t\times \frac { 1 }{ -a\sin { t } } \)
\(=-\frac { { cosec }^{ 3 }t }{ a } \)

(i) வரைபடத்திலிருந்து x = -1-ல் வரைபடத்திற்கு கூர்முனை உள்ளது.
x = -1-ல் வகைமை இல்லை 
(ii) x = 4-ல் தொடர்ச்சியற்றது.
f க்கு x = 4-ல் வகைமை இல்லை.
(iii) x = 8-ல் தொடர்ச்சியற்றது.
f க்கு x = 8-ல் வகைமை இல்லை.
(iv) x = 11-ல் செங்குத்து தொடுகோடு அமைகிறது.
f க்கு x = 11-ல் வகைமை இல்லை.

மூன்று நாணயங்களை ஒரு முறைச் சுண்டுவதும் ஒரே நாணயத்தை மூன்று முறைச் சுண்டுவதும் ஒன்றே எனபதைக் கவனிக்கவும். கூறுவெளி S={H, T} x {H, T} x {H, T}
S={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}, n(S)=8
A என்பது ஒரு தலை விழும் நிகழ்ச்சி, B என்பது குறைந்தது ஒரு தலை விழும் நிகழ்ச்சி மற்றும் C என்பது அதிகபட்சமாக ஒரு தலை விழும் நிகழ்ச்சி என்க.
A={HTT, THT, TTH}, n(A)=3
B={HTT, THT, TTH, }, n(S)=8
C= {TTT,HTT,THT,TTH}; n(C) = 4 .
எனவே தேவைப்படும் நிகழ்தகவுகள்
(i) P(A)=\(\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 8 } \)
(ii) P(B) =\(\frac { n(B ) }{ n(S) } =\frac { 7 }{ 8 } \)
(iii) P(C) =P(A)=\(\frac { n(C ) }{ n(S) } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)

\({ A }^{ 2 }=AA=\left[ \begin{matrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} { c }_{ 11 } & { c }_{ 12 } & { c }_{ 13 } \\ { c }_{ 21 } & { c }_{ 22 } & { c }_{ 23 } \\ { c }_{ 31 } & { c }_{ 32 } & { c }_{ 33 } \end{matrix} \right] \)
இங்கு \({ c }_{ 11 }=\left[ \begin{matrix} 0 & c & b \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ c \\ b \end{matrix} \right] =0.0+c.c+b.b={ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }.\)  இதேபோல் மற்ற உறுப்புகளின் c_ij -க்கைளை கணக்கிடலாம் . 
\({ A }^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0+{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } & 0+0+ab & 0+ac+0 \\ 0+0+ab & a^{ 2 }+0+b^{ 2 } & bc+0+0 \\ 0+ac+0 & bc+0+0 & b^{ 2 }+a^{ 2 }+0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } & ab & ac \\ ab & { c }^{ 2 }+a^{ 2 } & bc \\ ac & bc & a^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \end{matrix} \right] \) 

i) 3x + 4y -12 = 0 கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோட்டின் சமன்பாடு
செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 4x - 3y + k = 0
நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு = 4x - 3y + k = 0, K\(\in \)R  
ii) 3x + 4y - 12 = 0ற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 4y +k₁ = 0 ஆகும். இது நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாட்டினைக் குறிப்பதால் நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு.
=3x + 4y + k₁ = 0, k₁ \(\in \) R 

2x+3y =10 ற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 2x+3y+k=0 ஆகும்.
\(\Rightarrow \)2x+3y=-k
-k ஆல் வகுக்க
\(\frac { 2x }{ -k } +\frac { 3y }{ -k } \)=1
\(\Rightarrow \frac { x }{ \left( \frac { -k }{ 2 } \right) } +\frac { y }{ \left( \frac { -k }{ 3 } \right) } =\pm \left( \frac { 5+k }{ 5 } \right) \)
வெட்டுத்துண்டுகள் \(\frac { -k }{ 2 } ,\frac { -k }{ 3 } \)
மேலும் வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 15 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்
\(\left( \frac { -k }{ 2 } \right) +\left( \frac { -k }{ 3 } \right) \)=15
\(\Rightarrow\)\(\frac { -3k-2k }{ 6 } \)=15
\(\Rightarrow\)-\(\frac {5k}{6}\)=15
\(\Rightarrow\)5k=15x6 \(\Rightarrow\)k=\(\frac {-15\times 6}{5}\)=-18
\(\Rightarrow\)k=-18
\(\therefore \)தேவையான கோடுகளின் சமன்பாடுகள் 2x+3y-18=0

log₉27 - log₂₇9
\(\Rightarrow { \log }_{ { 3 }^{ 2 } }^{ { 3 }^{ 3 } }-{ \log }_{ { 3 }^{ 3 } }^{ { 3 }^{ 3 } }\)
\(\Rightarrow \frac { 3 }{ 2 } { \log }_{ 3 }^{ 3 }-\frac { 2 }{ 3 } { \log }_{ 3 }^{ 3 }\)
\(\Rightarrow \frac { 3 }{ 2 } -\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 9-4 }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \frac { 5 }{ 6 } \)

4 மாணவர்களை ஒரு வரிசையில் நிற்க வைக்கும் வழிகள் ⁴P₄ = 4! மாணவனவனை முதலாவதாகக் கொண்டு, இந்த ஒவ்வொரு வரிசையும் 4 இடைவெளிகளை உருவாக்கும். இந்த 4 இடங்களில் 4 மாணவிகளை ⁴P₄ = 4! வழிகளில் அமர வைக்கலாம்.
B₁_B₂_B₃_B₄_ or G₁_G₂_G₃_G₄_
எனவே, மாணவனை முதலாவதாக கொண்ட வரிசைகளின் எண்ணிக்கை \(4!\times 4!\) இதுபோலவே, மேற்கூறிய வழிமுறையின்படி மாணவியை முதலாவதாகக் கொண்ட வரிசைகளின் எண்ணிக்கை \(4!\times 4!\) எனவே கூட்டல் விதிப்படி, மாணவனையோ அல்லது மாணவியையோ முதலாவதாகக் கொண்ட வரிசை மாற்றங்களின்,மொத்த எண்ணிக்கை. \(\left( 4!\times 4! \right) +\left( 4!\times 4! \right) =2{ \left( 4! \right) }^{ 2 }=1152. \)

\(\sqrt{x^2-10x+25}=\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|\)

∵  (a-b)ⁿ=ⁿC₀aⁿ+ⁿC₁a^n-1b+ⁿC₂a^n-2b²+..........ⁿC_na⁰bⁿ
⇒ 9⁷=(10-1)⁷
=10⁷-⁷C₁10⁶+⁷C₂10⁵-⁷C₃10⁴+⁷C₄10³-⁷C₅10²+⁷C₆10-1
=10000000-7(1000000)+\(\frac { 7\times 6 }{ 2\times 1 } \)(100000)-\(\frac { 7\times 6\times 5 }{ 3\times 2\times 1 } \)(1000)-\(\frac { 7\times 6 }{ 2\times 1 } \)(100)+7(10)-1
=10000000-7000000+2100000-350000+35000-2100+70-1
=4782969

y = log, x-ன் நேர்மாறு y = e^x என நாம் அறிவோம்.  ஆதலால் y = x என்ற கோட்டினைப்  பொறுத்து y = log,x -ன் பிரதிபலிப்பு y = e^x ஆகும்.

cos2x = sin x என நமக்குத் தெரியும்
எனில் 2sin²x + sin x -1  = 0 எனக் கிடைக்கிறது
மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் மூலங்கள்  sinx = \(\frac { -1\pm 3 }{ 4 } =-1\) அல்லது \(\frac { 1 }{ 2 } \)ஆகும்.
இங்கு,  sinx = \(\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { \pi }{ 6 } ,\frac { 5\pi }{ 6 } \)
மேலும், sinx =  \(-1\Rightarrow x=-\frac { \pi }{ 2 } \)
எனவே  x = \(x=-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 6 } ,\frac { 5\pi }{ 6 } \)

மூலங்களின் கூடுதல் = sin 15⁰ + cos 15⁰
= sin (45⁰ - 30⁰) + cos (45⁰ - 30⁰)
= sin 45⁰ cos 30⁰ - cos 45⁰ sin 30⁰ + cos 45⁰ cos 30⁰ + sin45⁰ . sin 30⁰
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } .\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } .\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } .\frac { 1 }{ 2 } \)
= \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } -\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \)
= \(\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ 2\sqrt { 2 } } +\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } \)
= \(\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2\sqrt { 2 } } \times \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2 } } \)

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = sin 15⁰ . cos15⁰
= \(\frac { 2\sin { { 15 }^{ 0 } } +\cos { { 15 }^{ 0 } } }{ 2 } \)
= \(\frac { \sin { { 30 }^{ 0 } } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 4 } \) 
(∵ sin 2A = 2 sin A cos A)
∴ தேவையான சமன்பாடு 
⇒ x² - (மூலங்களின் கூடுதல்) x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0
⇒ x² - \(\left( \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } \right) x+\frac { 1 }{ 4 } \) = 0
⇒ x² - \(\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } x+\frac { 1 }{ 4 } \) = 0
⇒ 4x² - \(2\sqrt { 6 } \) x + 1 = 0

\(h(x)\) என்ற சார்பு, \(R= (-\infty ,\infty )\) -ல் \(x\neq 0\) என உள்ள எல்லா புள்ளிகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
 \(\lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ h(x) } =\left( \lim _{ x\rightarrow { x }_{ 0 } }{ x\sin { \frac { 1 }{ x } } } \right) ={ x }_{ 0 }\sin { \frac { 1 }{ { x }_{ 0 } } } =h({ x }_{ 0 })\)
\(For\ { x }_{ 0 }=0\)
\(h(x)=x.\sin { \frac { 1 }{ x } } \)
\(-x\le x\sin { \frac { 1 }{ x } } \le x\)
\(g(x)=-x.f(x)=x\sin { \frac { 1 }{ x } } ,h(x)=x\)
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ g(x)=0,\ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ h(x)=0, } }\)
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ x\sin { \frac { 1 }{ x } } =0. } \)
நெருக்குத் தேற்றத்தின்படி 
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \left( x\sin { \frac { 1 }{ x } } \right) } =0=h(0).\) 
எனவே மெய்யெண் கோட்டில் உள்ள எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் \(h(x)\) தொடர்ச்சியானது. 

f(4)=3(4)-2=10
f(-4)=2(-4)+1=-7
f(0)=0²-2=-2
f(-7)=2(-7)+1=-13

\(I=\int { \frac { (3x-9)dx }{ (x-1)(x+2)({ x }^{ 2 }+1) } } \)
\(\therefore \frac { (3x-9)dx }{ (x-1)(x+2)({ x }^{ 2 }+1) } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x+2 } +\frac { Cx+D }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
(பகுதி பின்னமாக்கியதால்)
\(\Rightarrow \) 3x - 9 = A (x² +1) + B (x-1) (x² +1) (Cx+D) (x-1) (x+2) ...(1)
x = 1 என (1)-ல் பிரதியிட 
-6 = A (3)(2) \(\Rightarrow \) -6 = A (6) \(\Rightarrow \)A=-1
x = 1 என (1)-ல் பிரதியிட 
-15 = B(-3)(5)
\(\Rightarrow -15=-15\Rightarrow B=\frac { 15 }{ 15 } =1\)
x =0 என (1) -ல் பிரதியிட 
-9 = 2A -B -2D
\(\Rightarrow -9=-2-1-2D\Rightarrow -9=-3-2D\)
\(\Rightarrow -9+3=-2D\Rightarrow -6=-2D\Rightarrow D=3\)
x =-1 என (1) -ல் பிரதியிட 
-12 = A(1)(2) + B(-2)(2) + (-C+D)(-2)(1)
\(\Rightarrow \) -12 = 2A -4B + 2C -2D
\(\Rightarrow \)-12 =-2 -4 +2C -6
\(\Rightarrow \)-12 =-12 + 2C
\(\Rightarrow \)C =0
\(\therefore \frac { 3x-9 }{ (x-1)(x+2)({ x }^{ 2 }+1) } =\frac { -1 }{ x-1 } +\frac { 1 }{ x+2 } +\frac { 3 }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\therefore I=\int { \frac { (3x-9)dx }{ (x-1)(x+2)({ x }^{ 2 }+1) } } \)
\(=-1\int { \frac { dx }{ x-1 } + } \int { \frac { dx }{ x+2 } +3 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } \)
\(=-\log|x-1|+log|x+2|+3\tan^{ -1 }x+c\) 
=\(\log|\frac{x+2}{x-1}|+3\tan^{-1}x+c\)

A₁ - I -ம் ஜட்டியிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்வு என்க.
A₂ - II -ம் ஜட்டியிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்வு என்க.
B - கருப்பு நிறப்பந்து தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்வு என்க.
∴ P(A₁) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)  P(B/A₁) = \(\frac { 6 }{ 10 } \)
P(A₂) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)  P(B/A₂) = \(\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
(i) P(B) = P(A₁). P(B/A₁) + P(A₂). P(B/A₂)

= \(\frac { 3 }{ 10 } +\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 12+10 }{ 40 } =\frac { 22 }{ 40 } \)
(ii) பேயீஸ் -ன் விதிப்படி I ஜட்டியிலிருந்து கருப்பு நிறப்பந்து எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(A₁/B) =  \(\frac { P\left( { A }_{ 1 } \right) .P\left( B/{ A }_{ 1 } \right) }{ P\left( { A }_{ 1 } \right) .P\left( B/{ A }_{ 1 } \right) +P\left( { A }_{ 2 } \right) .P\left( B/{ A }_{ 2 } \right) } \)
= \(\frac { \frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 6 }{ 10 } }{ P\left( B \right) } =\frac { \frac { 3 }{ 10 } }{ \frac { 11 }{ 20 } } =\frac { 3 }{ 10 } \times \frac { 20 }{ 11 } =\frac { 6 }{ 11 } \)
∴ P(A₁/B) = \(\frac { 6 }{ 11 } \).

\(\int \)\(\frac { 1 }{ 3 } cos\left( \frac { x }{ 3 } -4 \right) +\frac { 7 }{ 7x+9 } +{ e }^{ \frac { x }{ 5 } +3 }\) dx
\(=\frac { 1 }{ 3 } \int { cos(\frac { x }{ 3 } -4)dx+7\int { \frac { 1 }{ 7x+9 } dx+\int { e^{ \frac { x }{ 5 } +3 } } } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \frac { \sin(\frac { x }{ 3 } -4) }{ \frac { 1 }{ 3 } } +7.\frac { \log|7x+9| }{ 7 } +\frac { { e }^{ \frac { x }{ 5 } +3 } }{ \frac { 1 }{ 5 } } +c\) 
\(=\sin\left( \frac { x }{ 3 } -4 \right) +\log|7x+9|+{ 5 }^{ \frac { x }{ 5 } +3 }+c\)

P(A) = \(\frac { 3 }{ 8 } \) , P(B) = \(\frac { 1 }{ 8 } \).
(i) P(\(\bar { A } \)) = 1 - P(A) = \(1-\frac { 3 }{ 8 } =\frac { 8-3 }{ 8 } =\frac { 5 }{ 8 } \)
(ii) P(A U B) = P(A) + P(B)
[∵ A, B ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள்  P(A ⋂ B)]
= \(\frac { 3 }{ 8 } +\frac { 1 }{ 8 } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
(iii) P(\(\bar { A } \cap B\)) = P(B) - P(A ∩ B) 
= P(B) - 0 = \(\frac { 1 }{ 8 } \) 
[∵ A, B ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் P(A ⋂ B)] 
(iv) P(\(\bar { A } \cup \bar { B } \)) = P(\(\overline { A\cap B } \)) [டீமார்கனின் விதியின்படி]
= 1 - P(A ∩ B) = 1 - 0 = 1

A₁ என்பது இயந்திரம்-I ன் உற்பத்தி பொருள்களின் நிகழ்ச்சி என்க. A₂ என்பது இயந்திரம்-IIன் உற்பத்தி பொருள்களின் நிகழ்ச்சி என்க. B என்பது குறைபாடுள்ள பொருள்களைத் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் நிகழ்ச்சி என்க.
நிகழ்ச்சி B-ன் கூட்டு நிகழ்தகவினை நாம் காணவேண்டும். அதாவது P(B)
A₁ மற்றும் A₂ என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கிய மற்றும் யாவுமளாவிய நிகழ்ச்சிகளாகும். ஆதலால்
P(B)=P(A₁).P(B/A₁)+P(A₂).P(B/A₂)
P(A₁)=0.40, P(B/A₁)=0.04
P(A₂)=0.60, P(B/A₃)=0.06
P(B)=P(A₁).P(B/A₁).P(B/A₂)
=(0.40)(0.04)+(0.60)(0.05)
=0.046

\(\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( \frac { { 2x }^{ 2 }+3 }{ { 2x }^{ 2 }+5 } \right) }^{ { 8x }^{ 2 }+3 } } \)\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1-\frac { 8 }{ { 8x }^{ 2 }+20 } \right) }^{ { 8x }^{ 2 }+3 } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1-\frac { 8 }{ { 8x }^{ 2 }+20 } \right) }^{ { 8x }^{ 2 }+3 } } \)
\({ \lim _{ x\rightarrow \infty }{ \left( 1-\frac { 8 }{ { 8x }^{ 2 }+20 } \right) } }^{ { 8x }^{ 2 }+20\times \frac { { 8x }^{ 2 }+3 }{ { 8x }^{ 2 }+20 } }\) 
\(={ \left[ \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left[ 1-\frac { 8 }{ { 8x }^{ 2 }+20 } \right] }^{ { 8x }^{ 2 }+20 } } \right] }^{ \frac { { 8x }^{ 2 }+3 }{ { 8x }^{ 2 }+20 } }\)

\(={ e }^{ -8 }\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { 8x }^{ 2 }+3 }{ { 8x }^{ 2 }+20 } } \)  \(\left[ \because \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1-\frac { k }{ x } \right) }^{ x }={ e }^{ -k } } \right] \)

\(={ e }^{ -8 }\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \left( \frac { 8+\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } }{ 8+\frac { 20 }{ { x }^{ 2 } } } \right) } \)[\(\because x\rightarrow \infty \) எனில் \(\frac { 1 }{ x } \rightarrow 0\)]
\(={ e }^{ -8 }\left( \frac { 8 }{ 8 } \right) ={ e }^{ -8 }=\frac { 1 }{ { e }^{ 8 } } \)

\(\vec { a } =-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } \)
\(|\vec { a } |=\sqrt { (-1)^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+(-6)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 1+4+36 } =\sqrt { 41 } \)
\(\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \)
\(|\vec { b } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-1)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 4+1+1 } \)
=\(\sqrt { 6 } \)
\(\vec { c } =-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \)
\(|\vec { c } |=\sqrt { (-1)^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+5^{ 2 } } =\sqrt { 1+9+25 } \)
=\(\sqrt { 35 } \)
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி
\(|\vec { a } |^{ 2 }=|\vec { b } |^{ 2 }+|\vec { c } |^{ 2 }\)
\(\sqrt { 41 } ^{ 2 }=\sqrt { 6 } ^{ 2 }+\sqrt { 35 } ^{ 2 }\)
41=35+6=41
∴ கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

\(\vec { OA } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { OB } =3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } \)
\(\vec { OC } =-2\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \)
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } \)
=\((3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } )-(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )\)
=\(2\hat { i } -6\hat { j } +2\hat { k } \)
\(|\vec { AB } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-6)^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 4+36+4 } =\sqrt { 44 } \)
\(\vec { BC } =\vec { OC } -\vec { OB } \)
=\((-2\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } )-(3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } )\)
=\(-5\hat { i } +7\hat { j } -12\hat { k } \)
\(|\vec { BC } |=\sqrt { { (-5) }^{ 2 }+7^{ 2 }+(-1{ 2) }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 25+49+144 } =\sqrt { 218 } \)
\(\vec { CA } =\vec { OA } -\vec { OC } \)
=\(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } -(-2\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } )\)
=\(3\hat { i } -\hat { j } +10\hat { k } \)
\(|\vec { CA } |=\sqrt { { 3 }^{ 2 }+(-1)^{ 2 }+{ 10 }^{ 2 } } =\sqrt { 9+1+100 } \)
=\(\sqrt { 110 } \)
ΔABC-யின் சுற்றளவு =|AB|+|BC|+|CA|
=\((\sqrt { 44 } +\sqrt { 218 } +\sqrt { 110 } )\) அலகுகள்.

\(AB=\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ -2 & 4 & 0 \\ 9 & 7 & 5 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( 4-6-18 \right) & \left( 12+12-14 \right) & \left( 12+0-10 \right) \\ \left( 1+0+63 \right) & \left( 3+0+49 \right) & \left( 3+0+35 \right) \\ \left( 2-6-45 \right) & \left( 6+12-35 \right) & \left( 6+0-25 \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\left| \begin{matrix} -20 & 10 & 2 \\ 64 & 52 & 38 \\ -49 & -17 & -19 \end{matrix} \right| \)
|AB| = \(-20\begin{vmatrix} 52 & 38 \\ -17 & -19 \end{vmatrix}-10\begin{vmatrix} 64 & 38 \\ -49 & -19 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 64 & 52 \\ -49 & -17 \end{vmatrix}\)
= -20 (-988 + 646) - 10 (-1216 + 1862) + 2 (-1088 + 2548)
= -20 (-342) - 10 (616) + 2 (1460)
= 6840 - 6460 - 2920 = 3300
(det A) = \(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right] \) 
= 4 (0 - 21) - 3 (-5 -14) - 2(3 + 0)
= - 84 - 3 x 19 - 6
= -84 + 57 - 6
= -90 + 57 = -33
(det B) = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 \\ -2 & 4 & 0 \\ 9 & 7 & 5 \end{matrix} \right] \) 
= 1 (20 + 0)-3 (-10+ 0) + 3(-14-36)
= 20 + 30 + 3 x -50
= 50 - 150= -100
(det A)  (Det B) = -33 (-100) = -3300 ..... (2)
(1)  = (2)
det (AB) = (det A) (det B)

\(\left| A \right| =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & \alpha \\ 0 & \frac { 1 }{ 2 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } -0=\frac { 1 }{ 4 } \)
det A¹ = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
det A²  = \(\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }\)
det A³ = \(\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 3 }\)
\(\frac { 1 }{ 4 } +\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 3 }\) ......
r = \(\frac { 1 }{ 4 } \) < 1
S_n = \(\frac { a\left( 1-{ r }^{ n } \right) }{ 1-r } \)

= \(\frac { 1 }{ 3 } \left( 1-\frac { 1 }{ { 4 }^{ n } } \right) \) எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

\(2\cos ^{ 2 }{ \theta } +3\sin { \theta } -3=0\)
\(2\left( 1-{ sin }^{ 2 }\theta \right) +3sin\theta -3=0\)
\(\Rightarrow 2-2{ sin }^{ 2 }\theta +3sin\theta -3=0\)
\(\Rightarrow -2{ sin }^{ 2 }\theta +3sin\theta -1=0\)
\(\Rightarrow -2{ sin }^{ 2 }\theta -3sin\theta +1=0\)
\(\Rightarrow \left( sin\theta -1 \right) \left( \sin { \theta -1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow sin\theta =1\quad \)அல்லது  \(sin\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
வகை (i) \(\theta =1=sin\cfrac { \pi }{ 2 } \) \(\left( \therefore sin\theta =sin\alpha \Rightarrow \theta =n\pi +\left( -1 \right) ^{ 2 }\alpha ,n\varepsilon Z \right) \)
\(\Rightarrow \theta =n\pi +\left( -1 \right) ^{ n }\cfrac { \pi }{ 6 } ,n\varepsilon Z\)
வகை (ii) \(sin\theta =\cfrac { 1 }{ 2 } =sin\cfrac { \pi }{ 2 } ,n\varepsilon Z\)
\(\theta =n\pi +\left( -1 \right) ^{ n }\cfrac { \pi }{ 6 } ,n\varepsilon Z\)
\(\theta \)-ன் தீர்வு\(\Rightarrow \) \(\theta =n\pi +\left( -1 \right) ^{ n }\left( \cfrac { \pi }{ 2 } \right) ,n\varepsilon Z\)

உள்ளீடற்ற உருளையை வெட்டிச் செவ்வக வடிவில் தட்டையாக்கப்பட்டு மேலும் ஒரு பிரதிபலிப்பு செய்யும்போது எறும்பு செல்லும் பாதையை எளிதாக காண முடியும். படத்தில் கண்டவாறு, உருளையின் அடிப்பக்கத்தை x -அச்சாகவும், எறும்பு உள்ள தொடக்கப்புள்ளி A வழியே செல்லும் குத்துக்கோட்டை y -அச்சாகவும் கொள்க. இங்கு H என்பது தேன்துளி இருக்கும் இடம் ஆகும். E என்பது எறும்பு உருளையின் உள்ளே நுழையும் தொடக்க இடம். கொடுக்கப்பட்ட கணக்கின்படி,
A(x₁,y₁) மற்றும் H(x₂,y₁) முறையே (0, 4) மற்றும் (12, 13) என்க.
(i) A -க்கும், H -க்கும் இடைப்பட்ட மீச்சிறு தொலைவு
AH =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }+({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 12^{ 2 }+{ 9 }^{ 2 } } \)=15

எறும்பானது தேன் துளியைச் சென்றடைய எடுத்துக் கொள்ளும் மீச்சிறு தூரம் 15 செமீ ஆகும்.
(ii) AH பாதையின் சமன்பாடு
\(\frac { y-4 }{ 13-4 } =\frac { x-0 }{ 12-0 } \)
⇒ y= 0.75x+4   (6.19)
(iii) நுழைவுப் புள்ளி E -ல் y = 10 ⇒ x = 8
⇒ E=(8,10) ஆகும்.

THING -ல் உள்ள எழுத்துகள்  = 5
அவற்றை ஆங்கில அகராதியில்  உள்ளது  போல் எழுத G,H,I, N, T என பெறலாம்
\(\therefore \) G  வை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை  = 4! = 24
H  வை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை  = 4! = 24
I வை முதல் எழுத்தாக வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை  = 4! = 24
NG  யை முதலில்  வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 3! = 6
NGH யை முதலில்  வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 2! = 2
NGHI யை முதலில்  வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 1! = 1
NGHIT யை முதலில்  வைத்து எழுதப்படும் சொற்களின் எண்ணிக்கை = 1! = 1
= 24 + 24 +24 + 6 + 2 +1 + 1 = 85
\(\therefore \) 85 வது எழுத்துச்சரம்  = NIGHT          

2x +3y =6  x +4y =4
\(\Rightarrow 3y=6-2x\quad \Rightarrow 4y=4-x\)
\(\Rightarrow y=\frac { 6-2x }{ 3 } \quad \Rightarrow y=\frac { 4-x }{ 4 } \)

x	0	3	-3
y	2	0	4

x	0	4	-4
y	1	0	2

\(x\ge 0,y\ge 0\)  முதல் கால் பகுதியைக் குறிக்கும்.

OABC -ன் நிழலிட்ட பகுதி தேவையான தீர்வாகும்.

\(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } ={ ({ x }^{ 3 }+7) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=\left[ { x }^{ 3 }\left( 1+\frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } \right) \right] ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)  (x பெரிய எண் என்பதால் \(\left| {7\over x^3} \right|<1\))
\(=x\left( 1+\frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ \)
\(=x\left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \left( \frac { 7 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ 2 }+.... \right) \)
\(=x\left( 1+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } -\frac { 49 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +.... \right) \)
\(=x+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } -\frac { 49 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +......\)
\(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+4 } ={ ({ x }^{ 3 }+4) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(=\left[ { x }^{ 3 }\left( 1+\frac { 4 }{ { x }^{ 3 } } \right) \right] ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)  (x பெரிய எண் என்பதால் \(\left| {{4}\over{x^ 2}} \right|<1\))
\(=x\left( 1+\frac { 4}{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ \)
\(=x\left( 1+\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 4 }{ { x }^{ 3 } } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \left( \frac { 4 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ 2 }+.... \right) \)
\(=x\left( 1+\frac { 4}{ 3 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } -\frac { 16 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +.... \right) \)
\(=x+\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } -\frac { 16 }{ 9 } \times \frac { 1 }{ { x }^{ 6 } } +......\)
x ஒரு பெரிய எண் என்பதால் \(\frac {1}{x}\) மிகச் சிறிய எண்ணாக இருக்கும். எனவே\(\frac {1}{x}\) -ன் உயர் அடுக்குகள் நீக்கப்படலாம்.
எனவே \(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } =x+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } }\) மற்றும் \( \sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+4 } =x+\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } .\)
அதனால்\(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+7 } -\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 3 }+4 } =\left( x+\frac { 7 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } \right) -\left( x+\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ x^{ 2 } } \right) =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \)