\(f(x)=\frac { { x }^{ 3 }+64 }{ x+4 } \)
x = -4-ல் சார்பு அமையாது.
\(\therefore\) f(x) ஆனது x = -4-ல் நீக்கக் கூடிய தொடர்ச்சியற்ற தன்மை பெற்றுள்ளது.
\(\lim _{ x\rightarrow -4 }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow -4 }{ \frac { { x }^{ 3 }+64 }{ x+4 } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow -4 }{ { x }^{ 2 }-4x+16 } \)
=(-4)² - (-4) + 16
= 16 + 16 + 16 =48
\(\therefore\) தொடர்ச்சியான சார்பு g(x) ஆனது.
\(g(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 3 }+64 }{ x+4 } ,\quad x\neq -4 \\ 48,\quad x=-4 \end{cases}\)என எழுதலாம்.

x²+y²=25
\(y=\pm \sqrt { 25-{ x }^{ 2 } } \)
\(x=0\Rightarrow y=\pm 5\)
\(y=0\Rightarrow x=\pm 5\)
(0,5),(0,-5)∈R
x=3 ⇒y=土4
x=-3⇒y=土4
R-சார்பகம் ={0,3,-3,-4,4,-5,5}
R^-1-சார்பகம் ={0,3,-3,-4,4,-5,5}

A₁ - X நிறுவனம் தயாரிக்கும் PVC பைப்
A₂ - Y நிறுவனம் தயாரிக்கும் PVC பைப் 
A₃ - Z நிறுவனம் தயாரிக்கும் PVC பைப் என்க
B - குறைபாடுடைய பைப் தேர்தெடுக்கப்படும் நிகழ்வு என்க.
P(A₁) = \(\frac { 2000 }{ 2000+3000+5000 } =\frac { 2000 }{ 10000 } =\frac { 2 }{ 10 } \)
P(A₂) = \(\frac { 3000 }{ 10000 } =\frac { 3 }{ 10 } \)
P(A₃) = \(\frac { 5000 }{ 10000 } =\frac { 5 }{ 10 } \)
P(B/A₁) = \(\frac { 3 }{ 100 } \)
P(B/A₂) = \(\frac { 4 }{ 100 } \)
P(B/A₃) = \(\frac { 2 }{ 100 } \)
(i) ∴ P(B) = P(A₁).P(B/A₁) + P(A₂).P(B/A₂) + P(A₃).P(B/A₃)
= \(\frac { 2 }{ 10 } \times \frac { 3 }{ 100 } +\frac { 3 }{ 10 } \times \frac { 4 }{ 100 } +\frac { 5 }{ 10 } \times \frac { 2 }{ 100 } \)
= \(\frac { 6 }{ 1000 } +\frac { 12 }{ 1000 } +\frac { 10 }{ 1000 } =\frac { 28 }{ 1000 } =\frac { 7 }{ 250 } \)
(ii) போயஸ்-ன் விதிப்படி குறைபாடுடைய பைப் Y -யிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்ச்சிக்கான நிகழ்தகவு. 
P(A₂/B) = \(\frac { P\left( { A }_{ 2 } \right) .P\left( B/{ A }_{ 2 } \right) }{ P\left( { A }_{ 1 } \right) .P\left( B/{ A }_{ 1 } \right) +P\left( { A }_{ 2 } \right) .P\left( B/{ A }_{ 2 } \right) +P\left( { A }_{ 3 } \right) P\left( B/{ A }_{ 3 } \right) } \)

∴ P(A₂/B) = \(\frac { 3 }{ 7 } \).

மோட்டார் சைக்கிளின் திசைவேகம் v எனவும் மற்றும் முடுக்கம் a எனவும் எடுத்து கொள்வோம், s என்பது  தூரத்தைக் குறிக்கிறது.நுண்கணிதத்தில் v-ஐ \(v=\frac{ds}{dt}\)எனவும் a-ஐ \(a=\frac{d}{d}\) எனவும் குறிப்போம்.மோட்டார் சைக்கிளின் வேகத்தைக் குறைக்கும் போது அதன் முடுக்கம் மோட்டார் சைக்கிளின் இயக்கத்தின் எதிர் திசையில் செயல்படுகிறது.ஆகையால் முடுக்கத்தைக் குறைக் குறியீடுடன் எழுதுவோம்.
மோட்டார் சைக்கிளின் எதிர்முடுக்கம் 8 மீ/வினாடி² எனத் தரப்பட்டுள்ளது.
எனவே, \(a=\frac{dv}{dt}=\) -8 மீ/வினாடி²
\(v=\int{a \ dt}=\int{-8dt}=-8t+c_{1}\)
பிரேக்கைப் பயன்படுத்தும்போது 
t=0, மற்றும் v=24 மீ/வி.
24=-8(0)+c₁⇒ c₁=24    
எனவே, v=-8t+24.
அதாவது,  \(\frac{ds}{dt}= -8t+24\).
தூரம் கேட்கப்பட்டுள்ளதால் அதனைக் காண்பதற்காக மேலும் ஒருமுறை தொகையீடு காண வேண்டியது அவசியமாகிறது.
\(s=\int{v\ dt}=\int{(-8t+24)}dt\)
\(s=-4t^{2}+24t+c_{2}\)
c₂-ஐ தீர்மானிக்க, பிரேக்கை எங்கே உபயோக்கின்றோமோ,அங்கிருந்து நிறுத்தும் தூரம் s அளவிடப்படுகிறது.அதாவது t=0,s=0 எனில் 
\(s=-4t^{2}+24t+c_{2} \Rightarrow 0=-4(0)^{2}+24(0)+c_{2} \Rightarrow c_{2}=0\)
\(s=-4t^{2}+24t\)
பிரேக்கைப் பயன்படுத்திய பின்பு மோட்டார் சைக்கிள் நிற்பதற்கான நேரம் அறிந்திருந்தால்,நிறுத்துதல் தூரத்தை மதிப்பிடலாம்.திசைவேகச் சமன்பாட்டிலிருந்து நேரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
வாகனம் நிறுத்தப்படும்போது,v=0 ஆகும்.
\(\Rightarrow v=-8t+24 \Rightarrow 0=-8t+24 \Rightarrow t=3\).
t=3, எனில்,
\(s=-4t^{2}+24t \Rightarrow s=-4(3)^{2}+24(3)\)
s=36மீட்டர் <40மீட்டர் 
எனவே வாகனம் தடுப்பிற்கு 4 மீட்டர் முன்பே நிற்கும்.                

P(A தீர்வு காண்பது) = P(A) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)
P(A தீர்வு காணாதது) = P(\(\overline { A } \)) = 1 - \(\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 2 }{ 3 } \)
P(B தீர்வு காண்பது) = P(B) = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
P(B தீர்வு காணாதது) = P(\(\overline { B } \)) = 1 - \(\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 3 }{ 4 } \)
P(C தீர்வு காண்பது) = P(C) = \(\frac { 1 }{ 5 } \)
P(Cதீர்வு காணாதது) = P(\(\overline { C } \)) = 1 - \(\frac { 1 }{ 5 } =\frac { 4 }{ 5 } \)
P(எவரும் தீர்வு காணாதது) = P(\(\overline { A } \cap \overline { B } \cap \overline { C } \))
= P(\(\overline { A } \)). P(\(\overline { B } \)). P(\(\overline { C } \))
∴ P(தீர்வு காண்பது) = 1 - \(\frac { 2 }{ 5 } =\frac { 3 }{ 5 } \)
(ii) P(ஒருவர் மட்டும் தீர்ப்பது)
= P(A ∩ \(\overline { B } \) ∩ \(\overline { C } \)) + P(\(\overline { A } \) ∩ B ∩ \(\overline { C } \)) + P(\(\overline { A } \) ∩ \(\overline { B } \) ∩ C)
= P(A). P(\(\overline { B } \)). P(\(\overline { C } \)) + P(\(\overline { A } \)).P(B).P(\(\overline { C } \)) + P(\(\overline { A } \)). P(\(\overline { B } \)).P(C)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 3 }{ 4 } \times \frac { 4 }{ 5 } +\frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 4 } \times \frac { 4 }{ 5 } +\frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 3 }{ 4 } \times \frac { 1 }{ 5 } \)
= \(\frac { 12 }{ 60 } +\frac { 8 }{ 60 } +\frac { 6 }{ 60 } =\frac { 12+8+6 }{ 60 } =\frac { 26 }{ 60 } =\frac { 13 }{ 30 } \). 

\(\cos { (xy)=x } \)
'x'ஐப் பொறுத்து உட்படு வகையிடல் காண 
\(-sin(xy).\frac { dy }{ dx } (xy)=x\)
\(\Rightarrow -sin(xy).\left[ x.\frac { dy }{ dx } +y \right] =1\)
\(\Rightarrow -xsin(xy)\frac { dy }{ dx } -ysin(xy)=1\)
\(\Rightarrow -xsin(xy)\frac { dy }{ dx } =1+ysin(xy)\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -(1+ysin(xy)) }{ xsin(xy) } \)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

\(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
\(\vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { a } ,\vec { b } \) வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ வைக் காண
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)
=\(\hat { i } (1+2)-\hat { j } (2+1)+\hat { k } (4-1)\)
=\(3\hat { i } -3\hat { j } +3\hat { k } =3(\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } )\)
\(|\vec { a } \times \vec { b } |=3\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+(-1)^{ 2 } } =3\sqrt { 3 } \)
\(|\vec { a } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+{ (-1) }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 4+1+1 } =\sqrt { 6 } \)
\(|\vec { b } |=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 1+4+1 } =\sqrt { 6 } \)
sinθ=\(\frac { |\vec { a } \times \vec { b } | }{ |\vec { a } ||\vec { b } | } =\frac { 3\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 6 } \times \sqrt { 6 } } \)

∴ θ=\(\frac { \pi }{ 3 } \).

A, B, C என்பன Δ-ABC-யின் மூன்று முனைப்புள்ளிகள் D,E,F என்பன மூன்று பக்கங்கள் BC, CA, AC-யின் நடுப்புள்ளிகள்.

∴ D=\(\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } ,\frac { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } }{ 2 } \right) \)
=\(\left( \frac { 0+0 }{ 2 } ,\frac { 1+0 }{ 2 } ,\frac { 0+1 }{ 2 } \right) =\left( 0,\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } \right) \)
E=\(\left( \frac { 0+1 }{ 2 } ,\frac { 0+0 }{ 2 } ,\frac { 1+0 }{ 2 } \right) =\left( \frac { 1 }{ 2 } ,0,\frac { 1 }{ 2 } \right) \)
F=\(\left( \frac { 1+0 }{ 2 } ,\frac { 0+1 }{ 2 } ,\frac { 0+0 }{ 2 } \right) =\left( \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } ,0 \right) \)
நடுக்கோடு \(\vec { AD } =\vec { OD } -\vec { OA } \)
=\(\left( 0\hat { i } +\frac { 1 }{ 2 } \hat { j } +\frac { 1 }{ 2 } \hat { k } \right) -\left( \hat { i } +0\hat { j } -0\hat { k } \right) =\hat { i } +\frac { 1 }{ 2 } \hat { j } +\frac { 1 }{ 2 } \hat { k } \)
நடுக்கோடு \(\vec { BE } =\vec { OD } -\vec { OA } \)
=\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \hat { i } -0\hat { j } +\frac { 1 }{ 2 } \hat { k } \right) -\left( 0\hat { i } +\hat { j } -0\hat { k } \right) =\frac { 1 }{ 2 } \hat { i } -\hat { j } +\frac { 1 }{ 2 } \hat { k } \)
நடுக்கோடு \(\vec { CF } =\vec { OF } -\vec { OC } \)
=\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \hat { i } +\frac { 1 }{ 2 } \hat { j } +0\hat { k } \right) -\left( 0\hat { i } +0\hat { j } +\hat { k } \right) \)
=\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \hat { i } +\frac { 1 }{ 2 } \hat { j } -\hat { k } \right) \)
நடுக்கோடு AD-யின் திசைக்கொசைன்கள்
\(\frac { x }{ r } ,\frac { y }{ r } ,\frac { z }{ r } \)
r =\(\sqrt { (-1)^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 1+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } } =\sqrt { \frac { 4+1+1 }{ 4 } } =\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } \)
∴ AD-யின் திசைக்கொசைன்கள்
=\(\frac { -1 }{ \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } } ,\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } } ,\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } } 6\Rightarrow \frac { -2 }{ \sqrt { 6 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } } \)
நடுக்கோடு BE-யின் திசைக்கொசைன்கள்
r =\(\sqrt { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+(-1)^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { \frac { 1 }{ 4 } +1+\frac { 1 }{ 4 } } =\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } \)
திசைக்கொசைன்கள் \(\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } } ,\frac { -1 }{ \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } } ,\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } } \)
=\(\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } } ,\frac { -2 }{ \sqrt { 6 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } } \) நடுக்கோடு CF
r =\(\sqrt { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+(-1)^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } +1 } =\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } \)
திசைக்கொசைன்கள் \(\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } } ,\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } } ,\frac { -1 }{ \frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } } \)
=\(\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } } ,\frac { -2 }{ \sqrt { 6 } } \).

A  = \(\left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & cos\theta & sin\theta \\ cos\theta & sin\theta & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta \end{matrix} \right| \) என்க.  
cos 2\(\theta\) = 2cos² \(\theta\) - 1 = 0
2cos² \(\theta\) = 1
cos² \(\theta\) = 1/2
cos \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), sin \(\theta\) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
 = \(\left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \times \left| \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \end{matrix} \right| \)
\(\therefore \)  \(\triangle \) = \(\left| \begin{matrix} 0+\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) +\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) & \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \\ \left( 0+\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } +0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) \\ \left( 0+0+\frac { 1 }{ 2 } \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+0 \right) & \left( \frac { 1 }{ 2 } +0+\frac { 1 }{ 2 } \right) \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & 1 & \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 1 }{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(1\left( 1-\frac { 1 }{ 4 } \right) -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) \)
= \(\frac { 3 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 8 } -\frac { 1 }{ 8 } =\frac { 6-2 }{ 8 } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
 தீர்வு = \(\frac { 1 }{ 2 } \)

\(\triangle \) =  \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
x  = y  என \(\triangle \) ல் பிரதியிட 
=  \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 0
\(\therefore \)  (x  - y ) ஒரு காரணியாகும் , இதைப் போலவே  (y -z ) (z  -x ) ம் காரணிகளாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட அணிக்கோவையின் படி 3 ஆகும் 
\(\therefore \) மற்றொரு காரணி  k எனக்  கொள்வோம்.
     \(\therefore \) \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = k (x - y ) (y  -z ) (z  - k ) இதில் 
x  = 1, y  = 2, z  = 3 எனப்  பிரதியிட
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{matrix} \right| \) =  k (1 -2) (2 - 3) (3 - 1)
1 (18 -12) -1 (9- 4)  + 1 (3 - 2) = 2k
6 - 5 + 1 = 2k
2 = 2k
\(\Rightarrow \)  k = 1
\(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 1 (x - y) (y - z) (z -x)
\(\Rightarrow \)  \(\triangle\) =   \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ { x }^{ 2 } & { y }^{ 2 } & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
(x -y) (y - z) (z -x) நிருபிக்கப்பட்டுள்ளது 

(i) எந்த கட்டுப்பாப்பாடும் இல்லாமல் : பகுதி அ மற்றும் பகுதி ஆ -வில் உள்ள மொத்த 8 வினாக்களில் 5 வினாக்களை ⁸C₅ =⁸C₃=56 வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்
(ii) குறைந்தபட்சம் இரண்டு வினாக்களுக்கு பகுதி அ–வில் விடையளித்தல்: இக்கட்டுப்பாட்டிற்கு சாதகமாக உள்ள வாய்ப்புகள் பின்வருமாறு அட்டவணை படுத்தப்பட்டுள்ளது.

பகுதி அ	பகுதி ஆ	சேர்வுகளின் எண்ணிக்கை
2	3	\(^{ 4 }{ C }_{ 2 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 3 }\)
3	2	\(^{ 4 }{ C }_{ 3 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 2 }\)
4	1	\(^{ 4 }{ C }_{ 4 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 1 }\)

எனவே, விடையளிக்கும் விதங்களின் எண்ணிக்கை
\(^{ 4 }{ C }_{ 2 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 3 }+^{ 4 }{ C }_{ 3 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 2 }+^{ 4 }{ C }_{ 4 }\times ^{ 4 }{ C }_{ 1 }=24+24+4=52\)

கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையின் எழுத்துகள் ஆங்கில அகராதியில் A, B, E, L, T என்ற வரிசையில் அமையும். அகராதியில் A யில் துவங்கும் வார்த்தைகள் தான் முதலில் வரும். முதல் இடத்தில் A ஐ அமைத்து மீதம் உள்ள 4 எழுத்துகளை (B,E,L,T) 4! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். இதேபோல் தொடர நமக்கு கிடைப்பது.
(i) TABLE என்ற வார்த்தையின் தரம்
A _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
B _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
E _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
L _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
T A B E L = 1 வழி
T A B L E = 1 வழி
TABLE என்ற வார்த்தையின் தரம் 4 x 4!+1+1=98
(ii) BLEAT என்ற வார்த்தையின் தரம்
A _ _ _ _ = 4! = 24 வழிகள்
B A _ _ _ = 3! = 6 வழிகள்
B E _ _ _ = 3! = 6 வழிகள்
B L A _ _ = 2! = 2 வழிகள்
BLEAT = 1 வழி
BLEAT என்ற வார்த்தையின் தரம் 24 + 6 + 6 + 2 + 1 = 39.

\(\frac{1}{x^2-a^2}\) = \(=\frac { 1 }{ (x-a)(x+a) } =\frac { A }{ x+a } =\frac { B }{ x-a } \)
\(\frac{1}{x^2-a^2}\) = \(=\frac { A(x-a)+B(x+a) }{ (x-a)(x+a) } \)
\(\Rightarrow \) 1 =  A (x -a) +(x +a) .......(1)
x = a என 1-ல் பிரதியிட
1 = B (2a)  \(\Rightarrow \)B  =1/2a
x =- a  என 1 ல் பிரதியிட 
1 = A (-2a)  \(\Rightarrow A=-\frac { 1 }{ 2a } \)
\(\therefore \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } =\frac { -\frac { 1 }{ 2 } a }{ x+a } +\frac { \frac { 1 }{ 2a } }{ x-a } =\frac { -1 }{ 2a(x+a) } +\frac { 1 }{ 2a(x-a) } \)  

3⁶⁰⁰=(3²)³⁰⁰=9³⁰⁰ என்க.
⇒ 3⁶⁰⁰ =(10-1)³⁰⁰
ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி
3⁶⁰⁰=³⁰⁰C₀(10)³⁰⁰-³⁰⁰C₁(10)²⁹⁹+³⁰⁰C₂10²⁹⁸+......+1)
=(10)³⁰⁰-300(10)²⁹⁹+......-300(10)+1
∴ கடைசி இரு உறுப்புகள் 0,1.

a₁x+b₁y+c₁ =0 மற்றும் இவ்விரு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்
 \(D=\frac { \left| { c }_{ 1 }-{ c }_{ 2 } \right| }{ \sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+b_{ 1 }^{ 2 } } } \)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை  3x+4y-12=0 மற்றும் 3x+4y+\(\frac { 1 }{ 2 } \) =0 என எழுதலாம்.
இங்கு a₁ = 3,b₁= 4,c₁=-12 ,c₂ = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
 D =\(\frac { |c_{ 1 }-c_{ 2 }| }{ \sqrt { { a }_{ 1 }^{ 2 }+b_{ 1 }^{ 2 } } } =\left| \frac { -12-\frac { 1 }{ 2 } }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+4^{ 2 } } } \right| =\frac { 25 }{ 2\times 5 } \)=2.5 அலகுகள்.

θ + Φ = α
tan θ = k tan Φ
⇒ \(\frac { \tan { \theta } }{ \tan { \phi } } =k=\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } .\frac { \cos { \phi } }{ \sin { \phi } } =\frac { k }{ 1 } \)
⇒ \(\frac { \sin { \theta } \cos { \phi } -\cos { \theta \sin { \phi } } }{ \sin { \theta } \cos { \phi } +\cos { \theta } \sin { \phi } } =\frac { k-1 }{ k+1 } \) [∵ by components and dividends]
⇒ \(\frac { \sin { \left( \theta -\phi \right) } }{ \sin { \left( \theta +\phi \right) } } =\frac { k-1 }{ k+1 } \)
⇒ \(\frac { \sin { \left( \theta -\phi \right) } }{ \sin { \alpha } } =\frac { k-1 }{ k+1 } \)
⇒ \(\sin { \left( \theta -\phi \right) } =\frac { k-1 }{ k+1 } \sin { \alpha } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

h(t) = -5t² + 100t, \(0\le t\le 20\)
ஏவுகணை 495 அடி உயரத்தை அடையும்பொழுது t வினாடி என்க.
\(\Rightarrow 0<{ -5t }^{ 2 }+100t-495<0\)
\(\Rightarrow { t }^{ 2 }-20t+99<0\)
\(\Rightarrow (t-11)(t-9)=0\)
\(\Rightarrow t=11,9\)
\(\therefore \) 11 அல்லது 9 வினாடி நேரத்தில் 495 ft உயரத்தை ஏவுகணை அடையும்.

செவ்வெண்மை மற்றும் வென்படம் என இரு வழிகளில் தீர்வு காணலாம்.
(i) செவ்வெண்மை மூலம் தீர்வு காணல்
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி விவரங்களிலிருந்து n(A) = 5000 -ல் 45% = 2250
இதே போன்று 
n(B)=1250, n(C)=500, n(A∩B)=250, n(B∩C)=200, n(C∩A)=200 மற்றும் n(A∩B∩C)=150
மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள்
n (A∩B'∩C') = n{ ( A ∩ (B U C)' } = - n (A ) - n(A ∩ (B ∪ C))}
= n(A) - n (A∩B)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)
= 2250 - 250 - 200 + 150 = 1950
A மொழி மட்டும் தெரிந்தவர்களின் எண்ணிக்கை 1950
(ii) வென்படம் மூலம் தீர்வு காணல்:

படத்திலிருந்து, மொழி A மட்டுமே தெரிந்தவர்கள் 39 சதவீதம் ஆகும்.

(A +B )^T = \(\left[ \left( \begin{matrix} 4 & -1 & 2 \\ 5 & 0 & 3 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\ 7 & 5 & -2 \end{matrix} \right) \right] ^{ T }\)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( 4-2 \right) & \left( -1-\left( -1 \right) \right) & \left( 2-1 \right) \\ \left( 5-7 \right) & \left( 0-5 \right) & \left( 3-(-2 \right) \end{matrix} \right] \)^T 
= \(\left( \begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & -5 & 5 \end{matrix} \right) ^{ T }=\left( \begin{matrix} 2 & -2 \\ 0 & -5 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right) \) ...... (1)
A^T-B^T = \(\left[ \begin{matrix} 4 & 5 \\ -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 2 & 7 \\ -1 & 5 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 0 & -5 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right] \) ........(2)
(1) = (2)
\(\therefore \) (A - B )^T =  A^T- B^T என நிருபிக்கப்பட்டது

மாறுநிலை புள்ளிகள் -3,-1,1,3
இடைவெளிகள் (-\(\infty\),-3),(-3,-1),[1,1],(1,2),(3,\(\infty\))
தீர்வுக்கணம் (-\(\infty\),-3),[-1,1],(3,\(\infty\))

கூறுவெளி S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A என்பது ஒற்றைப்படை எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
B என்பது 5 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
A= { 1, 3, 5} , B = { 5} , மற்றும் A⋂B = { 5}
எனவே P(A)=\(\frac{3}{6}\) மற்றும்  A⋂B=\(\frac{1}{6}\)
P(5 கிடைக்க /ஒற்றைப்படை எண் கிடைக்க)=P(B/A)
=\(\frac { P(A\cap B) }{ P(A) } =\frac { \frac { 1 }{ 6 } }{ \frac { 3 }{ 6 } } \)
P(B/A)=\(\frac{1}{3}\)

S = {கிரிக்கெட் சங்க உறுப்பினர்கள்}
∴ n(S) = ¹⁶C₁₁ [∵ 11 உறுப்பினர்கள் ஒரு குழு]
A (குறைந்த 3 பந்து வீச்சாளர்கள்)

	பந்து வீசாத  11 பேர்கள்	பந்து வீசும்  5 பேர்
(i)	8	3	⇾11C8 x 5C3	=	11C3 x 5C2	=	1650
(ii)	7	4	⇾ 11C7 x5C4	=	11C4 x 5C1	=	1650
(iii)	6	5	⇾11C6 x 5C5	=	11C5 x 1	=	462
							3762

∴ தேவையான நிகழ்வுகள் = 3762
∴ n(A) = 3762
n(S) = ¹⁶C₁₁ = ¹⁶C₅
= \(\frac { 16\times 15\times 14\times 13\times 12 }{ 5\times 4\times 3\times 2 } \) = 4368
∴ P(A) = \(\frac { n\left( A \right) }{ n\left( S \right) } =\frac { 3762 }{ 4368 } =\frac { 627 }{ 728 } \)

\(\int { (\sqrt { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { x } } )^{ 2 } } dx=\int { (x+\frac { 1 }{ x } +2.\sqrt { x } . } \frac { 1 }{ \sqrt { x } } )dx\)
\(=\int { (x+\frac { 1 }{ x } +2)dx=\int { xdx+\int { \frac { 1 }{ x } dx+2\int { dx } } } } \)
\(=\frac{x^{2}}{2}+\log|x|+2x+c\)

\(\int { cosec(5x+3)cot(5x+3)dx } \)
\(= -\frac { 1 }{ 5 } cosec(5x+3)+c\)

\(y=\frac { \sin ^{ 2 }{ x } }{ \cos { x } } \)
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { cosx.\frac { d }{ dx } ({ sin }^{ 2 }x)-{ sin }^{ 2 }x.\frac { d }{ dx } (cosx) }{ cos^{ 2 }x } \)
[வகுத்தல் விதியின்படி]
\(=\frac { cosx.2.{ sin }xcosx-{ sin }^{ 2 }x(-sinx) }{ cos^{ 2 }x } \)
\(=\frac { 2{ sin }xcos^{ 2 }x+{ sin }^{ 3 }x }{ cos^{ 2 }x } \)
\(=sinx\left( \frac { 2cos^{ 2 }x+{ sin }^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \right) \)
\(=sinx\left( \frac { cos^{ 2 }x+cos^{ 2 }x+{ sin }^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \right) \)
\(=sinx\left( \frac { 1+cos^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \right) \)
\(=sinx\left( \frac { 1 }{ cos^{ 2 }x } +\frac { cos^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \right) =sinx(sec^{ 2 }x+1)\)

\(f(x)=\frac { 1 }{ { (x-2) }^{ 3 } } \) -ன் வரைபடத்திலிருந்து  \(x\rightarrow { 2 }^{ - }\) எனில் \(\frac { 1 }{ { (x-2) }^{ 3 } } \rightarrow -\infty \)  மற்றும்  \(x\rightarrow { 2 }^{ + }\) எனில் \(\frac { 1 }{ { (x-2) }^{ 3 } } \rightarrow \infty \)    ஆகும்.
எனவே எல்லை மதிப்பு இல்லை.

2x + y = 7   ....(1)
 7y - 13 = 4x   
\(\Rightarrow\) 4x - 7y = -13  ....(2)

y = \(\frac { 27 }{ 9 } =3\)
y = 3 என (1)- ல் பரிதியிட 
2x + 3 = 7 \(\Rightarrow\) 2x = 7 - 3 = 4
\(\Rightarrow\)  x = 2
\(\therefore\)  x + y = 2 + 3 = 5

Q(h, k) ஆனது P(-2,3) என்ற புள்ளியின் x+2y -9=0 என்ற நேர்க்கோட்டை நோக்கிய பிம்பப்புள்ளி என்க.
\(\therefore\) (1) ஆனது PQ-ன் மையக்குத்துப்புள்ளி

\(\Rightarrow \frac { 3-k }{ -2-h } =\frac { -1 }{ \frac { -1 }{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \frac { 3-k }{ -2-h } =2\)
\(\Rightarrow\) 3-k = -4 - 2h
\(\Rightarrow\) 2h - k = -7 .....(2)
PQ-ன் மையப்புள்ளி (1)-ஐ நிறைவு செய்யும்
\(\therefore \left( \frac { h-2 }{ 2 } ,\frac { k+3 }{ 2 } \right) \) ஆனது x + 2y - 9 = 0 ஐ நிறைவு செய்யும்
\(\Rightarrow \frac { h-2 }{ 2 } +k+3-9=0\)
\(\Rightarrow\) h - 2 + 2k - 12 = 0
\(\Rightarrow\) h+2k = 14   ......(3)
(2) மற்றும் (3) ஐத் தீர்க்க.
(2)\(\times\)(2)\(\Rightarrow\) 4h-2k =-14
(3)       \(\Rightarrow\) h + 2k=14
           ________________
              5h =0 \(\Rightarrow\) h =0
h =0 என (3) ல் பிரதியிட k = 7
\(\therefore\) (0,7) ஆனது (-2, 3)-ன் பிம்பப்புள்ளி ஆகும்.

sin34⁰ + cos64⁰ + cos4⁰ = sin34⁰  - 2sin \(\left( \frac { 64^{ 0 }+4^{ 0 } }{ 2 } \right) \sin\left( \frac { 64^{ 0 }-4^{ 0 } }{ 2 } \right) \)
= sin34^{0 -} 2sin34⁰sin34⁰sin30⁰ = 0

cos2x = sin x என நமக்குத் தெரியும்
எனில் 2sin²x + sin x -1  = 0 எனக் கிடைக்கிறது
மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் மூலங்கள்  sinx = \(\frac { -1\pm 3 }{ 4 } =-1\) அல்லது \(\frac { 1 }{ 2 } \)ஆகும்.
இங்கு,  sinx = \(\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { \pi }{ 6 } ,\frac { 5\pi }{ 6 } \)
மேலும், sinx =  \(-1\Rightarrow x=-\frac { \pi }{ 2 } \)
எனவே  x = \(x=-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 6 } ,\frac { 5\pi }{ 6 } \)

|5x - 12| < - 2 இதற்குத் தீர்வு காண இயலாது. 

\(l=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,m=\frac { 1 }{ 2 } ,n=\frac { 1 }{ 2 } \) என்க.
l²+m²+n²=\(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)
=\(\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } \)=1
∴ கொடுக்கப்பட்ட விகிதங்களை திசைக் கொசைன்களாகக் கொண்டு ஒரு வெக்டர் அமையும்.

\(P(\bar { A } \cup \bar { B } )\) =\(P(\overline { A\cap B) } \)  (டி மார்கன் விதிப்படி)
1−P(A\(\cap \)B)=1−0.24
= 0.76.

(7, -3) என்ற புள்ளியிலிருந்து 4x+3y+4=0 என்ற கோட்டிற்கு உள்ள தொலைவு
\(\pm =\left| \frac { 4(7)+3(-3)+4 }{ \sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } } \right| =\pm \left| \frac { 28-9+4 }{ \sqrt { 25 } } \right| =\pm \left( \frac { 23 }{ 5 } \right) \)=\(\frac {23}{5}\)அலகுகள்

LHS=log₄²-log₈²+log₁₆²-log₃₂²+....
\(=\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }^{ 4 } } -\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }^{ 8 } } +\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }^{ 16 } } -\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }^{ 32 } } +...\)
\(=\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }({ 2 }^{ 2 }) } -\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }({ 2 }^{ 3 }) } +\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }({ 2 }^{ 4 }) } -\frac { 1 }{ { log }_{ 2 }({ 2 }^{ 5 }) } +...\)
\(=\frac { 1 }{ 2{ log }_{ 2 }2 } -\frac { 1 }{ 3{ log }_{ 2 }2 } +\frac { 1 }{ 4{ log }_{ 2 }2 } -\frac { 1 }{ 5{ log }_{ 2 }2 } +...\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 } +...=1-1+\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 } +...\)
\(=1\left( 1-\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 1 } +... \right) \)
=1-log_e2=RHS

இந்த சமன்பாட்டின் மூலங்கள் ∝மற்றும் β என்க.
x²-px+q=0
∝+β=-p, ∝β=8 மற்றும் 
|∝-β|=2
இங்கு (∝+β)²-4∝β=(∝-β)² கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
(-p)²-4(8)=p²-32=4 
p²=36
ஆகையால், p=土6

A={x:x=4n+1, n=2,3,4,5}
n=3⇒4(2)+1=8+1=9
n=3⇒4(3)+1=12+1=13
n=4⇒4(4)+1=16+1=17
n=5⇒4(5)+1=20+1=21
A={x:x=9,13,17,21}
ஆகையால் n(A)=4. இது அறிவுறுத்துவது 
n(P))=2⁴=16

n(A∆B)=n(A∪B)-n(A⋂B)
n(A∆B)=10-3=7
n(P(A∆B))=2⁷=128

\(\int { \frac { 1 }{ { e }^{ -x } } dx } =\int { { e }^{ x }dx } ={ e }^{ x }+c\)

\(y={ 2 }^{ x }={ e }^{ x\ \log { 2 } }\) என்க 
\(u=x(\log { 2 } )\) என எடுத்துக்கொண்டால்
\(y={ e }^{ u }\) ஆகும். 
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ du } \times \frac { du }{ dx } ={ e }^{ u }\times \log { 2 } =\log { 2 } { e }^{ x \log { 2 } }\)
\( =(\log { 2 } ){ 2 }^{ x }\)

\(g(t)=4\sec { t } +\tan { t } \)
\(g'(t)=4.\frac { d }{ dt } (sect)+\frac { d }{ dt } (tant)\)
\(=4\sec t \tan t+{ sec }^{ 2 }t\)

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \tan2x }{ \sin5x } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin 2x }{ \cos 2x\times \sin 5x } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin 2x }{ 2x } } \times \frac { 2x }{ \frac { 5x\times \sin 5x }{ 5x } } \times \frac { 1 }{ cos\quad 2x } \)

\(=1\times \frac { 2 }{ 5 } \times \frac { 1 }{ 1 } \times \frac { 1 }{ 1 } =\frac { 2 }{ 5 } \left[ \because \lim _{ \theta \rightarrow 0 }{ \frac { sin\ \theta }{ \theta } =1 } \right] \)

\(f(x)=\frac { \sqrt { 1-x } -2 }{ x+3 } \) என்க

x	-3.1	-3.01	-3.00	-2.999	-2.99	-2.9
f(x)	\(\frac { \sqrt { 1+3.1 } -2 }{ -3.1+3 } \) \(=\frac { \sqrt { 4.1 } -2 }{ -0.1 } \) \(=\frac { 0.0248 }{ -0.1 } \) =-0.248	\(\frac { \sqrt { 1+3.01 } -2 }{ -3.01+3 } \) \(=\frac { \sqrt { 4.01 } -2 }{ -0.01 } \) \(=\frac { 0.00250 }{ -0.01 } \) =-0.249	\(\frac { \sqrt { 1+3 } -2 }{ -3+3 } \) \(=\frac { \sqrt { 4. } -2 }{ 0 } \) \(=\frac { 2-2 }{ 0 } =\frac { 0 }{ 0 } \)	\(\frac { \sqrt { 1+2.999 } -2 }{ -2.999+3 } \) \(=\frac { \sqrt { 3.999 } -2 }{ 0.001 } \) \(=\frac { -0.000250 }{ 0.001 } \) =-0.25	\(\frac { \sqrt { 1+2.99 } -2 }{ -2.99+3 } \) \(=\frac { \sqrt { 3.99 } -2 }{ 0.01 } \) \(=\frac { -0.00250 }{ 0.01 } \) =-0.25	\(\frac { \sqrt { 1+2.9 } -2 }{ -2.9+3 } \) \(=\frac { \sqrt { 3.9 } -2 }{ 0.1 } \) \(=\frac { -0.02515 }{ 0.1 } \) =-0.2515

\(\lim _{ x\rightarrow -3 }{ \frac { \sqrt { 1-x } -2 }{ x+3 } =-0.25 } \)

\(\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| \sin { \theta } \) மற்றும் \(\vec { a } .\vec { b } =\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| \cos { \theta } \) என நாம் அறிவோம்.
\(\left| \vec { a } \times \vec { b } \right| ^{ 2 }+{ (\vec { a } .\vec { b } ) }^{ 2 }=\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ \theta } +\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }\cos ^{ 2 }{ \theta }\)
\(=\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }(\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } )=\left| \vec { a } \right| ^{ 2 }\left| \vec { b } \right| ^{ 2 }\)

கைகுலுக்கின்  மொத்த எண்ணிக்கை  = 15  பேர்களில்  இருவரை  தேர்வு  செய்தல்  தேவையான  குலுக்கல்  = ¹⁵C₂   =  \(\frac { 15! }{ 2!3! } =\frac { 15\times 14\times 13 }{ 2!3! } =\frac { 15\times 4 }{ 2 } \) = 15 x  7 = 105

4! + 5!
= 4 x 3 x 2 x 1 + 5  x 4 x 3 x 2 x 1
= 24 + 120
= 144

n(A)=120, n(B)=4

P,Q,R,S என்பன 4 வகுப்புகள் என்க.
xRy என்பது x என்பவர் y வகுப்பைச் சார்ந்தவர் என்ற தொடர்பைக் குறிக்கிறது. 
A உள்ள ஒவ்வொருவரும் B-ல் உள்ள ஏதேனும் ஒரு வகுப்புடன் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றனர் 
\(\therefore \) இது ஒரு சார்பு ஆகும்.
\(\Rightarrow A\rightarrow B\) ஒரு சார்பு ஆகும் 
அனால் \(f^{-1}:B\rightarrow A\)ஒரு சார்பு ஆகாது.
ஏனென்றால் ஒவ்வொரு வகுப்பிலும் 1க்கு மேற்பட்ட மாணவர்களைக் கொண்டிருப்பதால் \(B \rightarrow A\) ஒரு சார்ப்பாகாது 

6,10,4,12,2,14,0,16,-2,...
ஒற்றை உறுப்புகள் = 6,4,2,0,-2
t_n=6+(n-1)(-2)=6-21+2
=8-2n
இரட்டை உறுப்புகள் = 10,12,14,16,...
∴ t_n=10+(n-1)²=10+2n-2
= 8 + 2n

\(\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { -1 }{ \sqrt { 3 } } \right) } \) = y என்க. இங்கு \(-\frac { \pi }{ 2 } \le y\le \frac { \pi }{ 2 } \)
\(\tan { y } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \Rightarrow \tan { y } =\tan { \left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) } \Rightarrow y=-\frac { \pi }{ 2 } \)
எனவே, \(\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { -1 }{ \sqrt { 3 } } \right) } \) இன் முதன்மை மதிப்பு \(-\frac{\pi}{6}\) ஆகும்.

\({ (125) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ (5^{ 2 })^{ \frac { 2 }{ 3 } } }={ 5 }^{ 3\times \frac { 2 }{ 3 } }={ 5 }^{ 2 }=25\)

2sin Acos B = sin ( A+B )  + sin  (A - B) என நமக்குத் தெரியும்
\(A=\frac { x }{ 2 } \) மற்றும் \(B = \frac { 3x }{ 2 } \)
\(2\sin\frac { x }{ 2 } \cos\frac { 3x }{ 2 } =\sin\left( \frac { x }{ 2 } +\frac { 3x }{ 2 } \right) +\sin\left( \frac { x }{ 2 } -\frac { 3x }{ 2 } \right) \) எனக் கிடைக்கிறது 
எனவே, \(\sin\frac { x }{ 2 } \cos\frac { 3x }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } [\sin2x-\sin x]\)

\({ a }_{ n }=4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ n }\)
\({ a }_{ 1 }=4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 1 }=2\)
\({ a }_{ 2 }=4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)
\(a_{ 3 }=4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 3 }=\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\({ a }_{ 4 }=4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 4 }=\frac { 4 }{ 16 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
\({ a }_{ 5 }=4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 5 }=\frac { 1 }{ 8 } \)
\({ a }_{ 6 }=4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 6 }=\frac { 1 }{ 16 } \)
∴ தொடர்: 2,1,\(\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 8 } ,\frac { 1 }{ 16 } \)
a =1 மற்றும்  r =\(\frac { { a }_{ 2 } }{ { a }_{ 1 } } ,\frac { { a }_{ 3 } }{ { a }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \)
எனவே இது ஒரு பெருக்குத்தொடர்முறை

y வெட்டுத்துண்டு (-4)
y வெட்டுத்துண்டும் ஒரு புள்ளியும் கொடுக்கப்பட்டால் கோட்டின் சமன்பாடு y = mx + c
ஒரு புள்ளி (1, 1), y வெட்டுத்துண்டு (-4) அதாவது (0, -4)
\(\therefore\) சாய்வு =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { -4-1 }{ 0-1 } =\frac { -5 }{ -1 } =5\)
\(\therefore\) தேவையான சமன்பாடு y = 5x - 4 (m=5, c =-4)
(ii) சாய்வு 3
ஒரு புள்ளியும் சாய்வும் கொடுக்கப்பட்டால் சமன்பாடு
y-y₁ = m(x-x₁)
\(\therefore\) m = 3, (x₁.y₁) = (1, 1)
\(\Rightarrow\) சமன்பாடு y - 1 = 3 (x -1)
y - 1 = 3x - 3
3x - y -2 = 0
(iii) (- 2, 3) என்ற புள்ளி
புள்ளி (-2, 3) வழியாகவும் (1,1) வழியாகவும் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு இரு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால் கோட்டின் சமன்பாடு
\(\Rightarrow \frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { { x }-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { y-1 }{ 3-1 } =\frac { x-1 }{ -2-1 } \Rightarrow \frac { y-1 }{ 2 } =\frac { x-1 }{ -3 } \)
\(\Rightarrow \) -3y + 3 = 2x -2
\(\Rightarrow \) 2x + 3y = 3 + 2 \(\Rightarrow \) 2x+3y =5
(iv) ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து ஒரு புள்ளி P(1, 1) \(\alpha =60°\)கொடுக்கப்பட்டுள்ளது செங்குத்துத்தூரம் = OP

\(=\sqrt { { (1-0) }^{ 2 }+{ (1-0) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 2 } \)
\(\therefore\) தேவையான சமன்பாடு
\(=(x\ cos\alpha +ysin\alpha )=p\)
\(\Rightarrow xcos60°+ysin60°=p\)
\(\Rightarrow x\times \frac { 1 }{ 2 } +y.\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =p\)
\(\Rightarrow\) (1, 1) புள்ளி வழியே செல்லும்
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =P\Rightarrow P=\left( \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2 } \right) \)
\(\\ \\ \Rightarrow \frac { x }{ 2 } +\frac { y\sqrt { 3 } }{ 2 } =\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x+y\sqrt { 3 } =1+\sqrt { 3 } \)

(B-A)∩C=(B∩C)-A=B∩(C-A)
B-A={4,5,6,7}
(B-A)∩C={4,5,6,7}∩{3,4,5,9}={4,5}........(1)
(B∩C)-A={4,5,6,7}∩{3,4,5,9}-{1,2,3}
={4,5}-{1,2,3}={4,5}........(2)
B∩(C-A)={4,5,6,7}∩[{3,4,5,9}-{1,2,3}]
={4,5,6,7}∩{4,5,9}
={4,5}........(3)
(1)=(2)=(3) என நிரூபிக்கப்பட்டது.

n = 7 என்பது ஒற்றைப்படை எண். எனவே , இரண்டு மைய உறுப்புகள், அதாவது x⁴y³ மற்றும் x³y⁴ -ஐ கொண்டவையாக இருக்கும். அவை ,⁷C₃x⁴y³  மற்றும் ⁷C₄x³y⁴ ஆகும். எனவே மைய உறுப்புகள் 35x⁴y³ மற்றும் 35x³y⁴ ஆகும்.