கொடுக்கப்பட்டது: x = \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
\({ x }^{ 2 }=(\sqrt { 2 } +\sqrt { 3 } )^{ 2 }=\sqrt { 2 } ^{ 2 }+\sqrt { 3 } ^{ 2 }+2\sqrt { 2 } \sqrt { 3 } \)
\(2+3+2\sqrt { 6 } =5+2\sqrt { 6 } \)
\(\therefore \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ { x }^{ 2 }-2 } =\frac { 5+2\sqrt { 6 } +1 }{ 5+2\sqrt { 6 } -2 } =\frac { 6+2\sqrt { 6 } }{ 3+2\sqrt { 6 } } \)
\(\frac { 6+2\sqrt { 6 } }{ 3+2\sqrt { 6 } } \times \frac { 3-2\sqrt { 6 } }{ 3-2\sqrt { 6 } } =\frac { (6+2\sqrt { 6 } )(3-2\sqrt { 6 } ) }{ { 3 }^{ 2 }-(2\sqrt { 6 } )^{ 2 } } \)
\(\frac { 18+6\sqrt { 6 } -12\sqrt { 6 } -24 }{ 9-24 } =\frac { -6-6\sqrt { 6 } }{ -15 } \)
\(\frac { -6-6\sqrt { 6 } }{ 15 } =\frac { 3(2+2\sqrt { 6 } ) }{ 3\times 5 } =\frac { 2+2\sqrt { 6 } }{ 5 } \)

\(\sqrt{7-4\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}\) என்க.
இங்கு a,b ஆகியவை விகிதமுறு எண்கள்
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
7-4√3=a² + 3b² + 2ab√3 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே, a²+3b²=7 மற்றும் 2ab=-4
எனவே, a=\(\frac{-2}{b}\)
a²+3b²=7-லிருந்து \((\frac{-2}{b})^2+3b^2=7\) எனக் கிடைக்கிறது.
⇒ \(\frac{4}{b^2}+3b^2\) = 7 அல்லது 3b⁴-7b²+4=0
b²-க்கு தீர்வு காண b²=\(\frac{(7\pm\sqrt{49-48})}{6}\) எனக் கிடைக்கிறது
⇒ b²=1 அல்லது b²=\(\frac{4}{3}\)
ஆகையால், b=土1 அல்லது b=\(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\)
b ஒரு விகிதமுறு எண் என்பதால் b=士1.
எனவே, b-ஐக் கொண்டு கிடைக்கும் a-ன் மதிப்புகள் ∓2
\(\sqrt{7-4\sqrt{3}}>0\) என்பதால், \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) எனக் கிடைக்கிறது

இங்கு தொகுதியின் படி பகுதியின் படியை விட அதிகமாக இருப்பதால் தொகுதியை பகுதிகளால் வகுப்போம்.
  
\(\therefore \frac { { x }^{ 3 }+2x+1 }{ { x }^{ 2 }-5x+6x } =x-5+\frac { 21x+31 }{ { x }^{ 2 }-5x+6x } ...(1)\)
\(\frac { 21x+31 }{ { x }^{ 2 }-5x+6x } =\quad \frac { 21x+31 }{ (x+3)(x+2) } =\frac { A }{ x-3 } +\frac { B }{ x-2 } \)
\(\Rightarrow 21x+31=A(x+2)B(x+3)......(2)\)
x =-2 (2)-ல் பிரதியிட 
-11 = B (1) \(\Rightarrow \) B =-11
x =-3 (2)-ல் பிரதியிட
-32 = A (-1) \(\Rightarrow \) A =32
\(\therefore \frac { 21x+31 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =\quad \frac { 32 }{ x+3 } +\frac { -11 }{ x+2 } +\frac { B }{ x-2 } \)  
இதை (1) ல் பிரதியிட நமக்கு கிடைப்பது.
\(\frac { { x }^{ 3 }+2x+1 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =(x-5)+\frac { 32 }{ x+3 } +\frac { -11 }{ x+2 } \)

ax² + bx + c = 0 ' இரண்டு மூலங்கள் \(\alpha ,-\alpha \) என்க.
\(\therefore \alpha +(-\alpha )=\frac { -b }{ a } \)
\(0=\frac { -b }{ a } \therefore b=0\)
\(\alpha (-\alpha )=\frac { c }{ a } ;{ \alpha }^{ 2 }=\frac { c }{ a } \)
தேவையான கட்டுப்பாடுகள் b = 0

k(x - 1)² = 5x - 7 
\(\Rightarrow k({ x }^{ 2 }-2x+1)=5x-7\)
\(\Rightarrow { kx }^{ 2 }-2kx+k=5x-7\)
\(\Rightarrow { kx }^{ 2 }-2kx-5x+k+7=0\)
\({ kx }^{ 2 }+x(-2k-5)+(k+7)=0\)
\(\alpha ,2\alpha \) என்பன இரு மூலங்கள் எனில் 
\(\alpha +2\alpha =\frac { 2k+5 }{ k } \)
\(3\alpha =\frac { 2k+5 }{ k } \)
\(\alpha =\frac { 2k+5 }{ 3k } \) .....(1)
\(\alpha (2\alpha )=\frac { k+7 }{ k } \)
\(2{ \alpha }^{ 2 }=\frac { k+7 }{ k } \)
\({ \alpha }^{ 2 }=\frac { k+7 }{ 2k } ....(2)\)
(1) ஐ (2)-ல் பிரதியிட 
\(\left( \frac { 2k+5 }{ 3k } \right) ^{ 2 }=\frac { k+7 }{ 2k } \)
\(\frac { { 4k }^{ 2 }+20k+25 }{ { 9k }^{ 2 } } =\frac { k+7 }{ 2k } \)
\(\frac { { 4k }^{ 2 }+20k+25 }{ { 9k } } =\frac { k+7 }{ 2 } \)
\({ 8k }^{ 2 }+45k+50={ 9k }^{ 2 }+63k\)
\(\Rightarrow { k }^{ 2 }+23k-50=0\)
\(\Rightarrow \) (k -2) (k +25) =0
\(\Rightarrow \) k = 2 அல்லது -25 என நிரூபிக்கப்பட்டது.