x² + px + 8 = 0 -ன் மூலங்கள் \(\alpha\), \(\beta\)  என்க.
எனவே, \(\alpha\) + \(\beta\) = -p, \(\alpha\)\(\beta\) = 8 மற்றும் |\(\alpha\) - \(\beta\)| = 2
இப்போது, (\(\alpha\)+ \(\beta\))²-4\(\alpha\)\(\beta\)  = (\(\alpha\)-\(\beta\))² \(\Rightarrow\) p² - 32 = 4
ஆகவே, p = \(\pm \) 6.

cos (– 45°) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

இரண்டு வெவ்வேறான விகிதமுறா எண்கள் \(\left( 2+\sqrt { 3 } \right) ,\left( 4+\sqrt { 3 } \right) \)என்க.
அவற்றின் வித்தியாசம் \(\left( 2+\sqrt { 3 } \right) -\left( 4+\sqrt { 3 } \right) =2+\sqrt { 3 } -4-\sqrt { 3 } \)
= 2 - 4 = 2 இது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகும்.

\(\sqrt { 7 } \) விகிதமுறா எண், \(\in R-Q\)
\(\frac { -1 }{ 4 } \) குறை விகிதமுறு எண் \(\frac { -1 }{ 4 } \epsilon Q\) 
0 ஒரு முழு, 0\(\epsilon Z,Q\)
3.14 = \(\pi \) முடிவுறா  சுழல் தன்மையற்ற தசம பின்னம் 
\(\Rightarrow 3.14\in Q\)
4 ஒரு மிகை முழு \(\Rightarrow 4\in N,Z,Q.\)
\(\frac { 22 }{ 7 } \) ஒரு விகிதமுறா எண்  \(\Rightarrow \frac { 22 }{ 7 } \in Q\)

f(x)=\(1\over1-2 \sin x\)
பகுதி =0 எனில் 1-2sin x=0
\(\Rightarrow 1=2\sin x\)
\(\Rightarrow \therefore \sin x={1\over2}\)
\(\Rightarrow \sin x=\sin{\pi\over 6}\)
\(\Rightarrow x=n\pi+(-1)^{n}{\pi\over6},n\in z\)
\((\because \sin x=\sin \alpha \Rightarrow x=n\pi+(-1)^n\alpha,n\in z)\)
f-ன் சார்பகம் = \(R-[n\pi+(-1)^n{\pi\over6}],n\in Z\)

W(x) = 0.35x,W(0) = 0,W(1) = 0.35,W(2) =.7,W = (\(\infty\)) = \(\infty\)
சார்பு (0,\(\infty\)) வீச்சம் (0,\(\infty\))

கொடுக்கப்பட்டது:log₈x + log₄x + log₂x = 11
\(\Rightarrow { \log }_{ { 2 }^{ 3 } }^{ x }+{ \log }_{ { 2 }^{ 2 } }^{ x }+{ \log }_{ { 2 } }^{ x }=11\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { \log }_{ { 2 } }^{ x }+\frac { 1 }{ 2 } { \log }_{ { 2 } }^{ x }+\log x=11\)
\(\Rightarrow (\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } +1){ \log }_{ 2 }^{ x }=11\)
\(\Rightarrow (\frac { 2+3+6 }{ 6 } ){ \log }_{ 2 }^{ x }=11\)
\(\Rightarrow \frac { 11 }{ 6 } { \log }_{ 2 }^{ x }=11\)
\(\Rightarrow { \log }_{ 2 }^{ x }=6\Rightarrow x={ 2 }^{ 6 }\)
\(\Rightarrow x=64\)

log₃x = y என்க.
x = 3^y மற்றும் \({ 3 }^{ { y }^{ 2 } }=9\)
எனவே, y² = 2, y = \(\sqrt { 2 } \), -\(\sqrt { 2 } \)
\(x={ 3 }^{ \sqrt { 2 } },{ 3 }^{ -\sqrt { 2 } }\)

\(({ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } })^{ 2 }=\frac { 9 }{ 2 } \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\Rightarrow ({ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } })^{ 2 }+({ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } })^{ 2 }+({ x }^{ \\ \frac { 1 }{ 2 } })({ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } })=\frac { 9 }{ 2 } [\because (a+b)^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2ab]\)
\(\Rightarrow x+x^{ -1 }\)\(+2.x^{ (\frac { 1 }{ 2 } )+ { (\frac { -1 }{ 2 } ) }}\)\(=\frac { 9 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x+\frac { 1 }{ x } +2=\frac { 9 }{ 2 } \Rightarrow x+\frac { 1 }{ x } =\frac { 9 }{ 2 } -2=\frac { 9 }{ 2 } -\frac { 4 }{ 2 } =\frac { 5 }{ 2 } ....(1)\)
\(({ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } })^{ 2 }=x+\frac { 1 }{ x } -2.x^{ \frac { 1 }{ 2 } }.\frac { 1 }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } =x+\frac { 1 }{ x } -2=\frac { 5 }{ 2 } -2=\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \because x>1\Rightarrow { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

(g o f)(x) = g f((x)) =g(3x-4)=(3x-4)² + 3 =9x²-24x+19
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x²+3)=3(x²+3)=3x²+5

சேர்ப்பு, முறையாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதா எனச் சோதிக்க இச்சார்புகளின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் கண்டறிவோம். f -ன் சார்பகம் = {1,2,3}, f- வீச்சகம் ={2,4}, g-ன் சார்பகம் = {2, 3, 4}, g -ன் வீச்சகம் = {1, 2} . இங்கு g -ன் சார்பகத்தினுள் f -ன் வீச்சகம் இருப்பதால் g ० f -ஐ வரையறுக்க இயலும். எனவே g ० f -ன் கீழ் 1 -ன் பிம்பத்தைக் காண முதலில் f -ன் கீழ் 1 -ன் பிம்பத்தையும் பிறகு கிடைக்கப்பெற்ற பிம்பத்தை g -ன் கீழும் காண வேண்டும். f -ன் கீழ் 1 -ன் பிம்பம் 2 மற்றும் g -ன் கீழ் 2 -ன் பிம்பம் 1 . எனவே g ० f  =g(f(1)) = g(2)=1.
இதே போன்று ( g ० f)(2) = 1 மற்றும் (g ० f)(3) = 2. எனவே, g०f = {(1,1), (2,1), (3,2)} . இதே போன்று f ० g = {(2,2),(3,2)(4,2)} எனக் காணலாம்.

படி  1
y = x²யின் வரைபடம் வரைக.

படி  2: y =(x-1)² ஓரலகு வலது புறத்தில் நகர்த்தப்பட்டு வரையப்படுகிறது.
படி  3:y = 3(x-1)²-ன் வரைபடம் y-அச்சை நோக்கி அழுத்தப்பட்டு அதாவது x அச்சிலிருந்து விலகுவதால் வரையப்படுகிறது. ஏனென்றால் (x-1)²ஆனது 3ஆல் பெருக்கப்பட்டு பெறப்படுகிறது.3>1
படி  4:y = 3(x-1)²+5-ன் வரைபடம் 5அலகுகள் மேல்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.

sin x மற்றும் sin2x  ஆகியவற்றின் மீச்சிறு மற்றும் பெரும மதிப்புகளில் மாறுபாடு இல்லை. ஆனால் x வெட்டுத்துண்டுகள் வெவ்வேறாக அமையும் y = sin x என்ற சார்பின் x வெட்டுத்துண்டுகள் \(\pm n \pi\) ஆகும். ஆனால், y= sin 2x –ன் வெட்டுத்துண்டுகள்  \(\pm { 1 \over 2}n \pi\) ஆகும். இங்கு \(n \in Z.\)
இப்பகுதியின் தொடக்கத்தில் y = 2sin( x - 1) + 3 என்ற சார்பின் வரைபடத்தை வரைவது பற்றி கூறினோம். இப்போது அதை வரைவதற்கு தேவையானவற்றைத் தெரிந்து கொண்டுள்ளோம். மேலும் இதனை விடக் கடினமான வளைவரை வரைவதற்குக் கூட ஆயத்தமாக இருக்கின்றோம். இனி y = 2sinx ( x - 1) + 3 என்ற சார்பின் வளைவரையை வரைவோம்.

y = log, x-ன் நேர்மாறு y = e^x என நாம் அறிவோம்.  ஆதலால் y = x என்ற கோட்டினைப்  பொறுத்து y = log,x -ன் பிரதிபலிப்பு y = e^x ஆகும்.

f(x) = x² என்ற சார்புக்கு\(-f(x)=-x^2\) ஆகும். ஆகையால் x -அச்சினைப் பொறுத்து y = x² –ன் பிரதிபலிப்பு y = -x² ஆகும்.

x + 20 \(\ge \) 0 என்றிருக்கும் போது மட்டுமே \(\sqrt { x+20 } \) ஐ வரையறுக்க இயலும். வரையறையின்படி,\(\sqrt { x+20 } \ge 0.\)எனவே, x ஒரு மிகை எண்.
வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,  x² = x + 20
x² - x - 20 = 0
(x - 5) (x + 4) = 0
x = 5, -4
x மிகை எண் என்பதால் x = 5

(i) \(\frac{3(x-2)}{5}\le\frac{5(2-x)}{3}\)
\(\Rightarrow \frac { 3x-6 }{ 5 } \le \frac { 10-5x }{ 3 } \)
\(\Rightarrow 3(3x-6)\le 5(10-5x)\)
\(\Rightarrow 9x-18\le 50-25x\)
\(\Rightarrow 9x+25x\le 50+18\)
\(\Rightarrow 34x\le 68\)
\(\Rightarrow x\le 2.\)
\(\therefore \)தீர்வு கணம் \(\left( -\infty ,2 \right) \)
(ii) \(\frac{5-x}{3}<\frac{x}{2}-4\)
முழுவதையும் 3 ஆல் பெருக்க,
 \(5-x<\frac { 3x }{ 2 } -12\)
2 ஆல் பெருக்க 
\(\Rightarrow 10-2x<3x-24\)
\(\Rightarrow 10+24<3x+2x\)
\(\Rightarrow 34<5x\)
\(\Rightarrow \frac { 34 }{ 5 }\)
\(\Rightarrow x\ge \frac { 34 }{ 5 } \)
\(\therefore \) தீர்வுகணம்\( \left( \frac { 34 }{ 5 } ,\infty \right) \)

(A∩B)' ∩ A = (A'UB')∩A = (A'∩A) U (B'∩A) = ΦU(B'∩A)
=(B'∩A)=A-B
எனவே n((A∩B)' ∩A) = n(A-B)=n(A) - (A∩B)=7

n(p(A)) - ஐக் காண n(A) தேவைப்படும்.
n(A∩B) = k என்க.
எனவே, n(A-B) = 2k மற்றும் n(B-A) = 4k ஆகும்
இந்நிலையில், n(AUB) = n(A-B) + n(B-A) + n(A∩B) = 7k
மேலும் n (AUB) = 14 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
இதனால் 7k = 14, k = 2 ஆகும்
ஆகையால், n (A-B) = 4 மற்றும் n(B - A) = 8
n(A) = n(A - B) + n(A∩B) என்பதால் n(A) = 6
எனவே n(P(A)) = 2⁶ = 64

\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 4 } \le 3-\frac { 3 }{ 4 } x\le \frac { 1 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \frac { -1 }{ 4 } -3\le -\frac { 3 }{ 4 } x\le \frac { 1 }{ 4 } -3\)
\(\Rightarrow \frac { -13 }{ 4 } \le \frac { -3 }{ 4 } x\le \frac { -11 }{ 4 } \)
4 ஆல் பெருக்க 
\(\Rightarrow -13\ge -3x\ge -11\)
\(\Rightarrow \frac { 11 }{ 3 } \le x\le \frac { 13 }{ 3 } \)

அனைத்து \(a \in S\) க்கும், \((a, a)\in R\) என்பதால் R ஆனது தற்சுட்டாகும்.
\((b,a)\notin R\) என்பதுபோல் அமையுமாறு \((a,b)\in R\)  என எந்த உறுப்பும் இல்லை. வேறு விதமாகக் கூறினால் ஒவ்வொரு உறுப்பு \((a,b)\in R\) க்கும் \((b,a)\in R\) எனக் கூற முடியும். இதனால் R ஆனது சமச்சீராகும்.
\((a,c)\notin R\) எனுமாறு (a, b) மற்றும் (b, c)ஆகிய இரு உறுப்புகளை R-ல் காண இயலாது. இதனால் R ஆனது ”கடப்பு அல்ல” என்பது உண்மையன்று. எனவே “R ஆனது கடப்பு ஆகும்” என்ற கூற்று உண்மையாகும். எனவே R ஆனது கடப்பு ஆகும்.
இதனால் R ஆனது தற்சுட்டு, சமச்சீர், கடப்புத் தொடர்பு  ஆகும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொடர்பு சமானத் தொடர்பாகும்.

\(\frac { 1 }{ { 2 }^{ 1000 } } \) கொடுக்கப்பட்ட எண்.
1000 < 1001
\(\Rightarrow { 2 }^{ 1000 }<{ 2 }^{ 1001 }\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { 2 }^{ 1000 } } <\frac { 1 }{ { 2 }^{ 1001 } } \)
\(\therefore \frac { 1 }{ { 2 }^{ 1000 } } \) ஐ விட சிறிய மிகை எண் \(\frac { 1 }{ { 2 }^{ 1001 } } \)

x⁴ + 1 = (x²)² + 1²
(x²+1²)² -2 (x²) (1²)
\(=\left( { x }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( \sqrt { 2 } x \right) ^{ 2 }[\because { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }=(a-b)(a+b)]\)
\(=\left( { x }^{ 2 }+1-\sqrt { 2 } x \right) \left( { x }^{ 2 }+1+\sqrt { 2 } x \right) \)
\(\left( { x }^{ 2 }+\sqrt { 2 } x+1 \right) \left( { x }^{ 2 }-\sqrt { 2 } x+1 \right) \)= 0.

a+b\(\le\) 6,a,b ∈ N ; a R b 
\(a+b\le6\Rightarrow a\le6-b\)

வரிசை ஜோடிகள் (5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)
சமச்சீர் தொடர்பு:
\((5,1)\in R\)
\((1,5)\in R\)
\((2,4)\in R\)
\((4,2)\in R\)
\(\therefore R\) ஒரு சமச்சீர்.