\(\cos { \theta } +\cos { 3\theta } =2\cos { 2\theta } \)
\(\Rightarrow 2cos\left( \cfrac { \theta +3\theta }{ 2 } \right) .cos\left( \cfrac { 3\theta -\theta }{ 2 } \right) -2cos\theta \)\(\left( \because \quad cos\quad C+cos\quad D\left( \cfrac { C+D }{ 2 } \right) .\left( \cfrac { C-D }{ 2 } \right) \right) \)
\(\Rightarrow 2cos2\theta .cos\theta -2cos\theta =0\)
\(\Rightarrow \left( cos2\theta \right) \left( cos\theta -1 \right) =0\)
\(\Rightarrow cos2\theta =0\) அல்லது \(cos\theta \)=1
வகை (i)\(cos2\theta =0\)
\(2\theta =\left( 2n+1 \right) \cfrac { \pi }{ 2 } ,n\varepsilon Z\)
\(\left( \because \quad cos\theta =0\Rightarrow \theta =\left( 2n+1 \right) \cfrac { \pi }{ 2 } ,n\varepsilon Z \right) \)
வகை (ii) \(cos\theta =1\)
\(\Rightarrow cos\theta ={ { cos0 }^{ 0 } }\)
\(\Rightarrow \theta =2n\pi \pm 0,n\varepsilon Z\)
\(\Rightarrow \theta =2n\pi ,n\varepsilon \varepsilon Z\)
\(\theta \) -ன் தீர்வுகள் \(\theta =\left( 2n+1 \right) \cfrac { \pi }{ 4 } ,2n\pi ,n\varepsilon Z\)

\(\frac { a }{ \sin { A } } =\frac { b }{ \sin { B } } =\frac { c }{ \sin { C } } =2R\) என்பது சைன் சூத்திரம்.
\(\frac { b-c }{ 2 } \cos { \frac { A }{ 2 } } =\frac { 2R\sin { B } -2R\sin { C } }{ 2R\sin { A } } \cos { \frac { A }{ 2 } } \)
= \(\frac { 2\sin { \left( \frac { B-C }{ 2 } \right) \cos { \left( \frac { B+C }{ 2 } \right) } } }{ 2\sin { \frac { A }{ 2 } } \cos { \frac { A }{ 2 } } } \cos { \frac { A }{ 2 } } \)
= \(\frac { \sin { \left( \frac { B-C }{ 2 } \right) \cos { \left( { 90 }^{ o }-\frac { A }{ 2 } \right) } } }{ \sin { \frac { A }{ 2 } } } \)
= \(\frac { \sin { \left( \frac { B-C }{ 2 } \right) \sin { \left( \frac { A }{ 2 } \right) } } }{ \sin { \frac { A }{ 2 } } } =\sin { \left( \frac { B-C }{ 2 } \right) } \)

\(\sin { 9\theta } =\sin { \theta } \quad \Rightarrow \sin { 9\theta } -\sin { \theta } =0\)
\(2\cos { 5\theta } \sin { 4\theta } =0\quad \Rightarrow \cos { 5\theta } =0\) அல்லது \(\sin { 4\theta } =0\)
\(\cos { 5\theta } =0\) எனும்போது \(5\theta =\left( 2n+1 \right) \frac { \pi }{ 2 } \)
\(\theta =\left( 2n+1 \right) \frac { \pi }{ 10 } n\in Z\)
\(\sin { 4\theta } =0\)  எனும்போது
\(\sin { 4\theta } =0\Rightarrow 4\theta =n\pi \)
\(\Rightarrow \theta =\frac { n\pi }{ 4 } ,n\in Z\)
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் பொது தீர்வு \(\theta =\left( 2n+1 \right) \frac { \pi }{ 10 } ,\theta =\frac { n\pi }{ 4 } , n\in Z\) ஆகும்.

LHS=cot (A + 15⁰) - tan (A - 15⁰) 
= \(\cfrac { cos\left( A+15 \right) }{ sin\left( A+15 \right) } -\cfrac { sin\left( A-15^{ 0 } \right) }{ cos\left( A-{ 15 }^{ 0 } \right) } \)
= \(\cfrac { cos\left( A+15 \right) .cos\left( A-15 \right) -sin\left( A-15 \right) .sin\left( A+15 \right) }{ sin\left( A+15 \right) .cos\left( A-15 \right) } \)
= \(\cfrac { { cos }^{ 2 }A-sin^{ 2 }15-\left[ { sin }^{ 2 }A-sin^{ 2 }15 \right] }{ sin\left( A+B \right) .cos\left( A-B \right) } \)

= \(\cfrac { 2\left( { cos }^{ 2 }A-sin^{ 2 }A \right) }{ sin2A+\cfrac { 1 }{ 2 } } =\cfrac { 2cos2A\times 2 }{ 2sin2A+1 } \)
=\(\cfrac { 4cos2A }{ 1+2sin2A } =RHS=\left( \because cos2A=cos^{ 2 }A-{ sin }^{ 2 }B \right) \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது. 

A(x)=30000+0.04x
S(x)=25000+0.05x தரப்பட்டுள்ளது. 
(A+S)x=30000+0.04x+25000+0.05x
=55000+0.09x
x=Rs. 15000000
(A+S)(x)=55000+0.09(15000000)
=55000+1350000
=1405000
குடும்ப மொத்த வருமானம் = Rs. 14, 05,000.

log₂x-3log_1/2x = 6
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ 1 }-{ \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ 0-{ \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -\frac { 3 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } =6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } -(4)=6\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { \log }_{ x }^{ 2 } } =\frac { 6 }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { \log }_{ x }^{ 2 }=\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }=x\)
\(\Rightarrow (2^{ 3 })1/2=x\Rightarrow (8)^{ 1/2 }=x\)
\(\Rightarrow x=\sqrt { 8 } =\sqrt { 4\times 2 } \)
\(\Rightarrow x=2\sqrt { 2 } .\)

கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு பகுதி தொகுதியையும் பகுதியின் துணை எண்ணால் பெருக்க பகுதி விகிதமுறு எண்ணாக மாறும்.
\(\frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-{2}}\)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 8 } -\sqrt { 7 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 8 } -\sqrt { 7 } } \times \frac { \sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } }{ \sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } } =\frac { \sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } }{ \sqrt { 8 } ^{ 2 }-\sqrt { 7 } ^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } }{ 8-7 } =\sqrt { 8 } +\sqrt { 7 } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 6 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 6 } } \times \frac { \sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } }{ \sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } } =\frac { \sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } }{ \sqrt { 7 } ^{ 2 }-\sqrt { 6 } ^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } }{ 7-6 } =\sqrt { 7 } +\sqrt { 6 } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } -\sqrt { 5 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } -\sqrt { 5 } } \times \frac { \sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } } =\frac { \sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 6 } ^{ 2 }-\sqrt { 5 } ^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } }{ 6-5 } =\sqrt { 6 } +\sqrt { 5 } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } -2 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } -2 } \times \frac { \sqrt { 5 } +2 }{ \sqrt { 5 } +2 } =\frac { \sqrt { 5 } +2 }{ \sqrt { 5 } ^{ 2 }-2^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 5 } +2 }{ 5-4 } =\sqrt { 5 } +2\)
இவை அனைத்தையும் 1-ல் பிரதியிட 
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3-\sqrt { 5 } } -\frac { 1 }{ \sqrt { 8 } -\sqrt { 7 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 6 } } -\frac { 1 }{ \sqrt { 6 } -\sqrt { 5 } } +\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } -2 } \)

=3+2=5

\(|x|=\begin{cases}-x ; x\le 0 \\ x;\ x>0 \end{cases}\)என நாம் அறிவோம்.
எனவே \(f(x)=\begin{cases}2x-(-x) ; x\le 0 \\ 2x-x;\ x>0 \end{cases}\)
இதனால் \(f(x)=\begin{cases}3x ; x\le 0 \\x;\ x>0 \end{cases}\)
மேலும் \(g(x)=\begin{cases}2x+(-x) ; x\le 0 \\2x+x;\ x>0 \end{cases}\)
அதாவது \(g(x)=\begin{cases}x ; x\le 0 \\3x;\ x>0 \end{cases}\)
x≤0 எனில் (f o g)(x)=f(g(x))=f(x)=3x
x>0 எனில்  (f o g)(x)=f(g(x))=f(3x)=3x
எனவே எல்லா x -க்கும் (f o g)(x)=3x

2x +3y =6  x +4y =4
\(\Rightarrow 3y=6-2x\quad \Rightarrow 4y=4-x\)
\(\Rightarrow y=\frac { 6-2x }{ 3 } \quad \Rightarrow y=\frac { 4-x }{ 4 } \)

\(x\ge 0,y\ge 0\)  முதல் கால் பகுதியைக் குறிக்கும்.

OABC -ன் நிழலிட்ட பகுதி தேவையான தீர்வாகும்.

\(=\frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ (x+1)^{ 2 } } +\frac { C }{ x-2 } \)
\(\Rightarrow x+12=A(x+1)(x-2)+B(x-2)+C(x+1)^{ 2 }...(1)\)
x =-1 என (1) -ல் பிரதியிட 
11 = B (-3) \(\Rightarrow \boxed { B=\frac { -11 }{ 3 } } \)
14 = C (9) \(\Rightarrow \boxed { C=\frac { 14 }{ 9 } } \)
x² - ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 
0 = A + C \(\Rightarrow \boxed { A=\frac { -14 }{ 9 } } \)
\(\therefore \frac { x+12 }{ \left( { x+1 } \right) ^{ 2 }(x-2) } =\frac { -14 }{ 9(x+1)^{ 2 } } -\frac { 11 }{ 3(x+1)^{ 2 } } +\frac { 14 }{ 9(x-2) } \)

\(=\frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } \)
தொகுதி,பகுதிகளின் படி சமம் என்பதால் தொகுதியை பகுதியில் வகுப்போம்.

\(\frac { 6x-5 }{ \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } =\frac { A }{ x-3 } +\frac { B }{ (x-2) } \therefore { x }^{ 2 }-5x+6=1+\frac { 6x-5 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } ...(1)\)
\(\frac { 6x-5 }{ \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } =\frac { AS\left( x-2 \right) +B\left( x-3 \right) }{ \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) } \)
\(\Rightarrow 6x-5=A(x-2+B(x-3)\)
x = 2 என (2) -ல் பிரதியிட 
7 = B (-1) \(\Rightarrow \) B =-7
x = 3 என (2) -ல் பிரதியிட
13 = A  (1) \(\Rightarrow \) A = 13
\(\therefore \frac { 6x-5 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =\frac { 13 }{ x-3 } -\frac { 7 }{ x-2 } \)
இதை (1)-ல் பிரதியிட 
\(\frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =1+\frac { 13 }{ x-3 } -\frac { 7 }{ x-2 } \)

\(\frac{1}{x^4-1}\)\(=\frac { 1 }{ { (x }^{ 4 }+1){ (x }^{ 2 }-1) } =\frac { 1 }{ { (x }^{ 2 }-1)\left( x+1 \right) \left( x-1 \right) } \)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { x }^{ 4 }+1 } =\frac { Ax+B }{ { x }^{ 2 }+1 } +\frac { C }{ x+1 } +\frac { D }{ x-1 } \)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { x }^{ 4 }+1 } =\frac { \left( Ax+B \right) \left( x+1 \right) \left( x-1 \right) +\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( x-1 \right) +D\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( x+1 \right) }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( x+1 \right) \left( x-1 \right) } \)
\(\Rightarrow 1=\left( Ax+B \right) \left( x+1 \right) \left( x-1 \right) +\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( x-1 \right) +D\left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( x+1 \right) \)
x = 1 என (1)-ல் பிரதியிட 
1 = D (2)(-2) \(\Rightarrow D=\frac { -1 }{ 4 } \)
x ³ -ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 
0 = A +C +D \(\Rightarrow \) A = -C -D 
\(\Rightarrow A=\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } =0\Rightarrow A=0\)
x = 0 என (1) -ல் பிரதியிட 
1 = -B -C +D
\(\Rightarrow 1=-B+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow B=-1+\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow B=\frac { -1 }{ 2 } \)
\(\therefore \frac { 1 }{ { x }^{ 4 }+1 } =\frac { 0x\frac { 1 }{ -2 } }{ { x }^{ 2 }+1 } +\frac { \frac { -1 }{ 4 } }{ x+1 } +\frac { \frac { -1 }{ 2 } }{ x-1 } \)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ { x }^{ 4 }+1 } =\frac { -1 }{ 2({ x }^{ 2 }+1) } -\frac { 1 }{ 4(x+1) } +\frac { 1 }{ 4(x-1) } \) 

\(\frac{x}{(x^2+1)(x-1)(x+2)}\) = \(\frac { Ax+B }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { C }{ (x-1) } +\frac { D }{ (x+2) } \)
\(=\frac { { (Ax+B)(x-1)(x+2)+C(x }^{ 2 }+1)(x+2)+D(x^{ 2 }+1)(x-1) }{ { (x }^{ 2 }+1)(x-1)(x+2) } \)
\(\Rightarrow x={ (Ax+B)(x-1)(x+2)+C(x }^{ 2 }+1)(x+2)+D(x^{ 2 }+1)(x-1).....(1)\)
x =1 என (1)- ல் பிரதியிட 
1 = C (2)(3) \(\Rightarrow \boxed { C=\frac { 1 }{ 6 } } \)
x =-2 என (1)-ல் பிரதியிட 
 -2 = D (5)(-3) \(\Rightarrow \boxed { D=\frac { 2 }{ 15 } } \)
x = 0 என (1)- ல் பிரதியிட 
\(\Rightarrow 0=B(-1)(2)+C(1)(2)+D(1)(-1)\)
\(\Rightarrow 0=-2B+2C-D\)
\(\Rightarrow 0=-2B+2\left( \frac { 1 }{ 6 } \right) -\frac { 2 }{ 15 } \)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 2 }{ 6 } -\frac { 2 }{ 15 } =\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 2 }{ 15 } \)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 5-2 }{ 15 } =\frac { 3 }{ 15 } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \boxed { B=\frac { 1 }{ 10 } } \)
x³ - ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 
0 = A+ C+ D
\(\Rightarrow A=-C-D\)
\(\Rightarrow A=\frac { -1 }{ 6 } -\frac { 2 }{ 15 } \Rightarrow A=\frac { -5-4 }{ 30 } =\frac { -9 }{ 30 } =\frac { -3 }{ 10 } \)
\(\Rightarrow \boxed { A=\frac { -3 }{ 10 } } \)
\(\therefore \frac { x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) \left( x-1 \right) \left( x+2 \right) } =\frac { \frac { -3 }{ 10 } x+\frac { 1 }{ 10 } }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { \frac { 1 }{ 6 } }{ \left( x-1 \right) } -\frac { \frac { 2 }{ 15 } }{ \left( x+2 \right) } \)
\(=\frac { -3x+1 }{ 10\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } +\frac { 1 }{ 6(x-1) } +\frac { 2 }{ 15(x+2) } \) 

LHS = \(\cos { A } +\cos { B } -\cos { C } \)
= \(2cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) -\left( 1-2{ sin }^{ 2 }\cfrac { C }{ 2 } \right) \)
\(A+B+C={ 180 }^{ 0 }\Rightarrow A+B=180-C\Rightarrow \cfrac { A+B }{ 2 } =90-\cfrac { C }{ 2 } \)
\(\therefore cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) =cos\left( 90-\cfrac { C }{ 2 } \right) =sin\cfrac { C }{ 2 } \)
LHS = \(2sin\cfrac { C }{ 2 } cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) -1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \)
= \(2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +sin\cfrac { C }{ 2 } \right] -1\)
= \(-1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ cos\left( \cfrac { A-B }{ 2 } \right) +cos\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right] \)
= \(-1+2sin\cfrac { C }{ 2 } \left[ 2cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B }{ 2 } \right] \)
= \(-1+4cos\cfrac { A }{ 2 } .cos\cfrac { B }{ 2 } .sin\cfrac { C }{ 2 } \)  \(\left( \because cosC=1-2{ \sin }^{ 2 }\cfrac { C }{ 2 } =90-\left( \cfrac { A+B }{ 2 } \right) \right) \)
= RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. 

\(\cos\ 18° = \sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }18° } \)
\(=\sqrt { 1-\left[ \frac { \sqrt { 5-1 } }{ 4 } \right] ^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 4 } \sqrt { 16-(5+1-2\sqrt { 5 } ) } \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \sqrt { 10+2\sqrt { 5 } } \)

a secθ - c tanθ = b   ....(1)
b secθ + d tanθ = c  ......(2)
(1) x b ⇒ ab secθ - bc tanθ = b²   ...(3)
(2) x a ⇒ ab secθ + ad tanθ = ac    .....(4)
 _____________________
(3) - (4)  ⇒ tanθ [bc + ad] = b² - ac
- tanθ = \(\frac { { b }^{ 2 }-ac }{ bc+ad } \)
tanθ = \(\frac { ac-{ b }^{ 2 } }{ bc+ad } \)
(1) x d ⇒ ad secθ  - cd tanθ = bd    .....(5)
(2) x c ⇒ bc secθ + cd tanθ = c²   .....(6)
_______________________________
(5) - (6) = (ad + bc) secθ = bd + c²
sec θ = \(\frac { bd+{ c }^{ 2 } }{ ad+bc } \)
sec²θ - tan²θ = 1
⇒\({ \left( \frac { bd+{ c }^{ 2 } }{ ad+bc } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { ac-{ b }^{ 2 } }{ bc+ad } \right) }^{ 2 }\) = 1
⇒ \(\frac { { \left( bd+{ c }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( ad+bc \right) }^{ 2 } } -\frac { { \left( ac-{ b }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( bc+ad \right) }^{ 2 } } \) = 1
⇒ \(\frac { { \left( bd+{ c }^{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( ac-{ b }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( ad+bc \right) }^{ 2 } } \) = 1
(bd + c²) - (ac - b²)² = (ad + bc)²
⇒ (c² + bd)² = (ad + bc)² + (ac - b²)²
எனவே θ நீக்கப்பட்டுள்ளது.

cot θ(1+ sinθ) = 4m
cot θ (i - sinθ) = 4n
⇒ cotθ + cotθ sinθ = 4m
⇒ cotθ - cotθ sinθ = 4n
⇒ cotθ + \(\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \) x sinθ = 4m
⇒ cotθ - \(\frac { \cos { \theta } }{ \sin { \theta } } \) x sinθ = 4n
⇒ cotθ + cosθ = 4m    ...(1)
cotθ - cosθ = 4n   ...(2)
(1), (2) ஐ வர்க்கப்படுத்தி (1) லிருந்து (2) ஐக் கழிக்க  
(cotθ + cosθ)² - (cotθ - cosθ)² = (4m)² - (4n)²
cot²θ + 2 cotθ.cosθ + cos²θ - (cot²θ - 2cotθcosθ + cos²θ) = 16(m² - n²)
⇒ cot²θ + 2 cotθcosθ + cos²θ - cot²θ + 2 cotθ cosθ - cos²θ = 16(m² - n²)
⇒ 4 cotθcosθ = 16 (m² - n²)
⇒ cotθ . cosθ = 4 (m² - n²)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
⇒ cot²θ cos²θ = 16(m² - n²)
⇒ \(\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } .\cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \) = 16 (m² - n²)
⇒ \(\frac { \cos ^{ 4 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \) = 16(m² - n²)²  ......(3)
(1) x (2) ⇒ (cosθ + cosθ) (cotθ - cosθ) = 16mn
⇒cot²θ - cos²θ = 16mn
⇒ \(\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \) = cos θ = 16mn
⇒ \(\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } -\cos ^{ 2 }{ \theta } \tan ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \) = 16mn
⇒ \(\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \right) }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \) = 16mn
⇒ \(\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } .\cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \) = 16mn
⇒ \(\frac { \cos ^{ 4 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \) = 16mn
(3), (4) லிருந்து 16(m² - n²)² = 16mn
⇒ (m² - n²)² = mn.

t நேரத்தில் விளைவு அலையின் உயரம் H எனக் கொள்க.
H = 8 cos t + 6 sin t
8 cos t + 6 sin t = k cos (t - \(\alpha\))
= k (cos t cos \(\alpha\) + sin t sin \(\alpha\))
இங்கு, k = 10 மற்றும் tan \(\alpha=\frac{3}{4}\)
எனவே, H = 10 cos (t - \(\alpha\))
 H - ன் மீப்பெரும் உயரம் = 10 மிமீ
t = \(\alpha\) எனும்போது மீப்பெரும் மதிப்பையடைகிறது. இங்கு tan \(\alpha=\frac{3}{4}\)

θ + Φ = α
tan θ = k tan Φ
⇒ \(\frac { \tan { \theta } }{ \tan { \phi } } =k=\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } .\frac { \cos { \phi } }{ \sin { \phi } } =\frac { k }{ 1 } \)
⇒ \(\frac { \sin { \theta } \cos { \phi } -\cos { \theta \sin { \phi } } }{ \sin { \theta } \cos { \phi } +\cos { \theta } \sin { \phi } } =\frac { k-1 }{ k+1 } \) [∵ by components and dividends]
⇒ \(\frac { \sin { \left( \theta -\phi \right) } }{ \sin { \left( \theta +\phi \right) } } =\frac { k-1 }{ k+1 } \)
⇒ \(\frac { \sin { \left( \theta -\phi \right) } }{ \sin { \alpha } } =\frac { k-1 }{ k+1 } \)
⇒ \(\sin { \left( \theta -\phi \right) } =\frac { k-1 }{ k+1 } \sin { \alpha } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

x²- ax +b = 0 ...(1) கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடுகள் 
 x² - ex +  f= 0 ...(2)
\(\alpha \) என்பது பொதுவான மூலம் என்க.
\(\alpha ,\beta \) என்பன (1) ன் மூலங்கள் என்க.
\(\therefore \alpha +\beta =\frac { -b }{ \alpha } =\frac { -(-a) }{ 1 } =a\)
\(\alpha \beta =\frac { c }{ \alpha } =\frac { b }{ 1 } =b;1=\frac { c }{ a } \)
\(\alpha ,\alpha \) என்பன (2) ன் மூலங்கள் எனில் 
x² - ex +f  = 0
\(\alpha +\alpha =e\Rightarrow 2\alpha =e\)
\({ \alpha }^{ 2 }=f\)
நிரூபிக்க வேண்டியது ae = 2(b+ f)
\(\therefore L.H.S=ae\)
\(=(\alpha +\beta )(2\alpha )\)
\(ae={ 2\alpha }^{ 2 }+2\alpha \beta \)
= 2f + 2b 
=2 (b + f) ....R.H.S
\(\therefore \) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.    

ஒரு மூலம் மற்றதைப்போல்  3 மடங்கு எனில் \(\alpha ,3\alpha \) என்பன இரு மூலங்கள்
\(\alpha +3\alpha =\frac { -b }{ a } \)
\(\Rightarrow 4\alpha =\frac { -b }{ a } \)
\(\Rightarrow \alpha =\frac { -b }{ 4a } .....(1)\)
\(\alpha (3\alpha )=\frac { c }{ a } \)
\({ 3\alpha }^{ 2 }=\frac { c }{ a } \)
\({ \alpha }^{ 2 }=\frac { c }{ 3a } .......(2)\)
(1) ஐ (2) - ல் பிரதியிட 
\(\left( \frac { -b }{ 4a } \right) ^{ 2 }=\frac { c }{ 3a } \)
\(\frac { { +b }^{ 2 } }{ 16{ a }^{ 2 } } =\frac { c }{ 3a } \)
\(\frac { { b }^{ 2 } }{ 16{ a } } =\frac { c }{ 3 } \)
3b² = 16ac இதுவே தேவையான கட்டுப்பாடு ஆகும்.

2x²-(a+1)x+a-1 = 0
\(\alpha ,\beta \) என்பன மூலங்கள் என்க.
\(\alpha -\beta =\alpha \beta \)
\(\alpha -\beta =\frac { a-1 }{ 2 } ......(1)\)
\(\alpha +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } ....(2)\)
\((1)+(2)\Rightarrow 2\alpha =\frac { a-1 }{ 2 } +\frac { a+1 }{ 2 } \quad \)
\(2\alpha =\frac { 2a }{ 2 } =a\)
\(\boxed { \alpha =\frac { a }{ 2 } } \)
\(\alpha =\frac { a }{ 2 } \) ஐ (2)- பிரதியிட
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\beta =\frac { a+1 }{ 2 } \)
\(\beta =\frac { a+1 }{ 2 } -\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\alpha =\frac { \alpha }{ 2 } ,\beta =\frac { 1 }{ 2 } \) இவற்றை \(\alpha -\beta =\alpha \beta \) ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow \frac { a }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =\frac { a }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \frac { a-1 }{ 2 } =\frac { a }{ 4 } \)
\(\Rightarrow a-1=\frac { a }{ 2 } \Rightarrow 2a-2=a\Rightarrow a-2=0\Rightarrow a=2\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது. 

x cos θ = ycos \(\left[ \theta +\frac { 2\pi }{ 3 } \right] \) = z cos \(\left[ \theta +\frac { 4\pi }{ 3 } \right] \) = λ என்க 
⇒ \(\frac { \lambda }{ x } \) = cos θ, \(\frac { \lambda }{ y } \) = cos \(\left( \theta +\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
\(\frac { \lambda }{ z } \) = cos \(\left( \theta +\frac { 4\pi }{ 3 } \right) \)
∴ \(\frac { \lambda }{ x } +\frac { \lambda }{ y } +\frac { \lambda }{ z } \) = cosθ
= cos θ + cos (120 + θ) + cos (240 + θ)
= cos θ + cos 120.cosθ - sin 120.sinθ + cos 240. cosθ - sin 240.sinθ
= cosθ - cos 60⁰ cosθ - sin60⁰ sinθ - sin 30⁰. cosθ + cos 30⁰ sinθ
(∵ cos (A + B) = cos A cosB - sinA sinB)
cos 120⁰ = cos (180⁰ - 60⁰)
= - cos 60⁰ = \(-\frac { 1 }{ 2 } \)
sin 240⁰ = sin (270⁰ - 30⁰)
= - sin 30⁰
= - cos 60⁰ = \(-\frac { 1 }{ 2 } \)

= cosθ - cosθ = 0
∴ \(\lambda \left( \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y } +\frac { 1 }{ z } \right) \) = 0 ⇒ \(\lambda \left( \frac { yz+xz+xy }{ xyz } \right) \) = 0
⇒ xy + yz + zx = 0.

கயிற்றின் நீளம் = 12 மீ.
முக்கோணத்தின் சுற்றளவு = 12 மீ.
நிலையான சுற்றளவு கொண்ட சமபக்க பரப்பு மீப்பெரும் மதிப்பாகும்.
சமபக்க Δ-ன் பக்கம் = a என்க 
a + a + a = 12
3a =12
a = 4 மீ.
சமபக்க Δ-ன் உயரம் AD = \(\sqrt { { AB }^{ 2 }-{ BD }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 4 }^{ 2 }-{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 16-4 } =\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
ABC = \(\frac { 1 }{ 2 } \) x  BC x AD

-1 < cos x   < 1 என நமக்குத் தெரியும்.
⇒ -3 < -3cos x < 3
⇒ 1-3 < 1-3cos x < 1 + 3
⇒ -2 < 1-3 cos x < 4
\(⇒\ {1\over 1-3 \cos\ x}\le -{1\over 2}\) மற்றும் \({1\over 1-3 \cos\ x}\ge {1\over4}\)
அதாவது f -ன் வீச்சகம் \(\left(-\infty-{1\over 2}]U[{1\over 4},\infty\right)\)ஆகும்