\({ x }_{ 0 }=3,f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } ,;\quad x\neq 3 \\ 5\quad ,\quad ;\quad x=3 \end{cases}\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ \frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ x+3=6 } \)
ஆனால் f(3) = 5
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ + } }{ f(x)\neq f(3) } } \)
\(\therefore \) f(x) ஆனது x₀ = 3-ல் தொடர்ச்சியானது.

A_i என்பது போக்குவரத்துச் சமிக்கை i வது குறுக்குச் சாலையில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்ச்சி என்க  இங்கு i =1,2,3,4
B_i என்பது போக்குவரத்துச் சமிக்கை i வது குறுக்குச் சாலையில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்ச்சி என்க  இங்கு i =1,2,3,4
போக்குவரத்துச் சமிக்கைகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள், எனவே Ai மற்றும் Bi சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள், இங்கு i=1,2,3,4
கொடுக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து
P(A_i)=0.4, =1, 2, 3, 4
P(B_i)=0.6, =1, 2, 3, 4
(i) முதல் குறுக்குச் சாலையில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
P(A_i)=0.4
(ii) முதல் இரண்டு குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
P(A₁∩A₂)=P(A₁A₂)=(0.4)(0.4)=0.16
(iii) மூன்றாவது குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து  நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
P(A₁∩A₂∩B₃∩A₄)=P(A₁A₂B₃A₄)=(0.4)(0.4)(0.6)(0.4)=0.0384
(iv) ஒரு குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் ஒரு மகிழுந்து  நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
P(B₁A₂A₃A₄ U A₁B₂A₃A₄ U A₁A₂B₃A₄ U A₁A₂A₃B₄
=P(B₁A₂A₃A₄)+ P(A₁B₂A₃A₄) + P(A₁A₂B₃A₄)+P(A₁A₂A₃B₄)
=4(0.4)(0.4)(0.6)(0.4)=4(0.0384)=0.1536

 \(I=\int { \frac { 2x-3 }{ { x }^{ 2 }+4x-12 } dx } \) என்க 
\(2x-3=A.\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }+4x-12)+B\)
\(\Rightarrow 2x-3=A.(2x+4)+B\)
x மற்றும் மாறிலி உறுப்புகளின் கெழுக்களை சமப்படுத்த 
\(2=2A\Rightarrow A=1\)
\(-3=4A+B\Rightarrow -3=4+B\)
\(\Rightarrow B=-7\)
\(\therefore 2x-3=1(2x+4)-7\)
\(\therefore I=\int { \frac { 2x-3 }{ { x }^{ 2 }+4x-12 } dx } =\int { \frac { (2x+4)-7 }{ { x }^{ 2 }+4x-12 } dx } \)
\(=\int { \frac { (2x+4)dx }{ { x }^{ 2 }+4x-12 } -7\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }+4x-12 } } } \)
\(=log|{ x }^{ 2 }+4x+12|-7\)
\(\times \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }+4x+4-4-12 } } \)

\(=log|{ x }^{ 2 }+4x+12|-7\int { \frac { dx }{ { (x+2) }^{ 2 }-16 } } \)
\(=log|{ x }^{ 2 }+4x+12|-7\int { \frac { dx }{ { (x+2) }^{ 2 }-{ 4 }^{ 2 } } } \)
\(=log|{ x }^{ 2 }+4x-12|-7\times \frac { 1 }{ 2\times 4 } log|\frac { x+2-4 }{ x+2+4 } |+c\)
\(= \log|x^{2}+4x-12|-\frac{7}{8}\log|\frac{x-2}{x+6}|+c\) 

கூறுவெளி S={H,T} x {H,T}
S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}
மற்றும் E={(H,H),(H,T)}
F={(H,H),(T,H)}
EUF={(H,H),(H,T),(T,H)}
\(E\cap F=\{(H,H)\}\)
(i) P(EUF)=P(E)+P(F)-P(E\(\cap\)F) அல்லது \((={n(EUF)\over n(S)})\)
\(={2\over4}+{2\over4}-{1\over4}={3\over4}\)
(ii) P(E/F) \(={P(E\cap F)\over P(F)}={(1/4)\over (2/4)}={1\over2}\)
(iii) P\((\overline{E}/F)={P(\overline{E}\cap F)\over P(F)}\)
\(={P(F)-P(E\cap F)\over P(F)}\)
\(={(2/4)-(1/4)\over (2/4)}\)
\(={1\over2}\)
(iv) E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகுமா?
\(P(E\cap F)={1\over4}\)
\(P(E)={2\over4},P(F)={2\over4}\)
\(P(E),P(F)={2\over4}.{2\over4}={1\over4}\)
\(\Rightarrow P(E \cap F)=P(E).P(F)\)
எனவே E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.

A₁ : மனைவி தொலைக்காட்சி காணும் நிகழ்வு
B : கணவர் தொலைக்காட்சி காணும் நிகழ்வு என்க
P(A) = 0.60
P(B/A) = 0.40
P(B/\(\overline { A } \)) = 0.30
P(\(\overline { A } \)) = 1 - 0.60 = 0.40
(i) P(கணவர் தொலைக்காட்சி காண்பது) 
= P(B) = P(A)P(B/A) + P(\(\overline { A } \)) P(B/\(\overline { A } \))
= (0.60)(0.40) + (0.40) (0.30)
= 0.24 + 0.12
⇒ P(B) = 0.36
⇒ P(B) = \(\frac { 36 }{ 100 } =\frac { 9 }{ 25 } \)
(ii) P(கணவர் தொலைக்காட்சி காணும் நேரங்களில் மனைவியும் தொலைக்காட்சி காண்பது)
⇒ P(A/B) = \(\frac { P\left( A \right) P\left( B/A \right) }{ P\left( B \right) } \)
= \(\frac { \left( 0.60 \right) \left( 0.40 \right) }{ \frac { 9 }{ 25 } } =\frac { 0.24 }{ \frac { 9 }{ 25 } } \)

A₁ - இயந்திரம் - I தயாரிக்கும் பொருட்கள் என்க.
A₂ - இயந்திரம் - II தயாரிக்கும் பொருட்கள் என்க.
P(A₁) = \(\frac { 60 }{ 100 } \)  P(B/A₁) = \(\frac { 2 }{ 100 } \)
P(A₂) = \(\frac { 40 }{ 100 } \) P(B/A₂) = \(\frac { 4 }{ 100 } \)
A₁, A₂ ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள், B -ன் நிகழ்தகவு காண வேண்டும் எனில்
P(B) = P(A₁).P(B/A₁) + P(A₂).P(B/A₂)
P(B) = \(\frac { 60 }{ 100 } \times \frac { 2 }{ 100 } +\frac { 40 }{ 100 } \times \frac { 4 }{ 100 } \)
P(B) = \(\frac { 120 }{ 10000 } +\frac { 160 }{ 10000 } =\frac { 280 }{ 10000 } \)
P(B) = 0.028

ஞாயிற்றுக்கிழமையை துவக்க நாளாக கொள்வோம்.
\(\frac { dA }{ dt } =\frac { -3 }{ (t+2)^{ 2 } } \) செ.மீ/நாள்
dA=-3(t+2)^-2 dt
இருபுறமும் தொகையீடு காண
\(\int { dA } =-3\int { (t+2)^{ -2 }dt } \)
⇒ A=-3\(\frac { (t+2)^{ -2+1 } }{ -2+1 } +c\)
⇒ A=3(t+2)^-1+c
⇒ A=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+c    .....(1)
t=1, A=2 செ.மீ² எனில்
2=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+c
⇒ 2=1+c
⇒ c=1
∴ (1) ⇒ A=\(\frac { 3 }{ 1+2 } \)+1     ....(2)
(அ) ஞாயிற்றுக்கிழமை துவக்க நேரம் t =0 என்க
∴ A=\(\frac { 3 }{ t+2 } \)+1
=\(\frac { 3 }{ 2 } +1=\frac { 5 }{ 2 } \)=2.5 செ.மீ²
(ஆ) ஞாயிறு முதல் வியாழன் வரையுள்ள 4 நாட்களில்
∴ t=4, (2) ⇒ A=\(\frac { 3 }{ 4+2 } +1=\frac { 3 }{ 6 } +1=\frac { 1 }{ 2 } +1\)
=1.5  செ.மீ²

நடப்பு ஆண்டுக்கான FIDE கோப்பையை X, Y மற்றும் Z வெற்றிபெறும் நிகழ்ச்சிகளை A, B மற்றும் C என்க.X-ன் வெற்றி வாய்ப்பு Y-ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 3மடங்காக இருக்கும் எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே 
A : B : : 3 : 1       (1)
Y-ன் வெற்றி வாய்ப்பு Z -ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 3மடங்காக இருக்கும் எனவே
B : C : : 2 : 1       (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து 
A : B :C : : 6 :2:1
A = 6k, B = 2k , C = k, இங்கு k என்பது ஒரு விகித மாறிலி ஆகும்.
கோப்பையை X வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு P(A) \(={6k\over 9k}={2\over 3}\) 
கோப்பையை Y வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு P(B) \(={2k\over 9k}={2\over 9}\) மற்றும் 
கோப்பையை Z வெல்வதற்கான நிகழ்தகவு P(C) \(={k\over 9k}={1\over 9}\)

\(y={ (\cos ^{ -1 }{ x } ) }^{ 2 }\)
'x'-ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(y'=2.cos^{ -1 }x.\frac { d }{ dx } (cos^{ -1 }x)\)
\(\Rightarrow y'=2.cos^{ -1 }x\frac { -1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
\(\Rightarrow y'\sqrt { 1-x^{ 2 } } =2.cos^{ -1 }x\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\((y')^{ 2 }(1-x^{ 2 })=4(cos^{ -1 }x)^{ 2 }\)
'x'-ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகைப்படுத்த 
\((y')^{ 2 }(-2x)+(1-x^{ 2 })=2y'.y''=4(2)cos^{ -1 }x.\frac { d }{ dx } (cos^{ -1 }x)\)
\(\Rightarrow -2x(y')^{ 2 }+2(1-x^{ 2 })y'.y''\)
\(=8cos^{ -1 }x.\frac { -1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
\(\Rightarrow -2x(y')^{ 2 }+2(1-x^{ 2 })y'.y''\)
\(=4\left( \frac { -2cos^{ -1 }x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \right) \)
\(\Rightarrow -2x(y')^{ 2 }+2(1-x^{ 2 })y'.y''=4y'\)[(1)லிருந்து]
2'y ஆல் இருபுறமும் வகுக்க 
\(-xy'+(1-x^{ 2 })y''=2\)
\(\Rightarrow (1-x^{ 2 })y''-xy'-2=0\)
\(\Rightarrow \) ஆதாவது\((1-x^{ 2 })\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -x\frac { dy }{ dx } -2=0\)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது. 

\(x=a(\theta +\sin { \theta )}\)
\(\Rightarrow \frac { dx }{ d\theta } =a(1+cos\theta )\)
\(\Rightarrow \frac { dx }{ d\theta } =a(2+cos^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } )\quad [\because y=e^{ tan^{ 1 } }x]\)
\(y=a(1-cos\theta )\)
\(\Rightarrow \frac { dy }{ d\theta } =a(\sin\theta )=2a\sin\frac { \theta }{ 2 } \cos\frac { \theta }{ 2 } \)
\(\therefore y'=\frac { dy }{ dx } =\frac { \frac { dy }{ d\theta } }{ \frac { dx }{ d\theta } } =\frac { 2asin\frac { \theta }{ 2 } cos\frac { \theta }{ 2 } }{ 2a+cos^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } \)
\(=\tan\frac { \theta }{ 2 } \)
'x'-ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகைப்படுத்த,
\(y''=sec^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { d\theta }{ dx } \)
\(=sec^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } .(\frac { 1 }{ 2 } )\left( \frac { 1 }{ 2acos^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 4a } =\sec^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } \)
\(\therefore \theta =\frac { \pi }{ 2 } \) -ல் 
\(y''=\frac { 1 }{ 4a } .\left[ sec\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \right] ^{ 4 }=\frac { 1 }{ 4a } .(\sqrt { 2 } )^{ 4 }\)
\(=\frac { 1 }{ 4a } =\frac { 1 }{ a } \)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

\(u=\tan ^{ -1 }{ \frac { \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -1 }{ x } } \) மற்றும் \( v=\tan ^{ -1 }{ x } \)
\(x=tan\theta \) என்க
\(\Rightarrow \theta =\tan ^{ -1 } x\)
\(\therefore u=\tan ^{ -1 } \left( \frac { \sqrt { 1+\tan ^{ 2 } \theta -1 } }{ tan\theta } \right) \)
\(=\tan ^{ -1 } \left( \frac { { sec\theta -1 } }{ tan\theta } \right) \)
\(=\tan ^{ -1 } \left( \frac { \frac { 1 }{ cos\theta } -1 }{ \frac { sin\theta }{ cos\theta } } \right) \)
\(=\tan ^{ -1 } \left( \frac { 1-cos\theta }{ sin\theta } \right) \)
\(=\tan ^{ -1 } \left( \frac { 2sin^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } }{ 2sin\frac { \theta }{ 2 } cos\frac { \theta }{ 2 } } \right) \)
\(=\tan ^{ -1 } \left( \frac { tan\frac { \theta }{ 2 } }{ cos\frac { \theta }{ 2 } } \right) \)
\(=\tan ^{ -1 } \left( tan\frac { \theta }{ 2 } \right) =\frac { \theta }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \tan ^{ -1 } x\)
\(\therefore \frac { du }{ dx } =\frac { 1 }{ 2(1+x^{ 2 }) } \) மற்றும் \(\frac { dv }{ dx } =\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \)
\(\therefore \frac { du }{ dv } =\frac { \frac { du }{ dx } }{ \frac { dv }{ dx } } =\frac { \frac { 1 }{ 2(1+x^{ 2 }) } }{ \frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2(1+x^{ 2 }) } +\frac { 1+x^{ 2 } }{ 1 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore \frac { du }{ dv } =\frac { 1 }{ 2 } \)

\({ x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 }=16\)
உட்படு வகைக்கெழுவின்படி \(4{ x }^{ 3 }+4{ y }^{ 3 }{ y }^{ ' }=0\)
\(y^{ ' }=\frac { { x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \)
\(y^{ '' }\) கண்டறிய \(y^{ ' }\) மீது வகுத்தல் விதியினைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.x-ன் சார்பாக y உள்ளது  என்பது கவனத்தில் கொள்ளத்தக்கது.
\(y^{ '' }=\frac { d }{ dx } \left( \frac { { -x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \right) =\frac { -\left[ { y }^{ 3 }\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 3 })-{ x }^{ 3 }\frac { d }{ dx } { (y }^{ 3 }) \right] }{ { (y }^{ 3 }{ ) }^{ 2 } } \)
\(=-\frac { \left[ { y }^{ 3 }.3{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 3 }(3{ y }^{ 2 }y^{ ' }) \right] }{ { y }^{ 6 } } =\frac { 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }-3{ x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }\left( -\frac { { x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \right) }{ { y }^{ 6 } } \)
\(=-\frac { 3{ (x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }+{ x }^{ 6 }) }{ { y }^{ 7 } } =-\frac { 3{ x }^{ 2 }{ [{ x }^{ 4 }+y }^{ 4 }] }{ { y }^{ 7 } } \)
\(=\frac { -3{ x }^{ 2 }(16) }{ { y }^{ 7 } } =\frac { -48{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 7 } } \)

\(f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 4 }-1 }{ x-1 } ,\quad ;x\neq 1 \\ \alpha \quad ,\quad ;\quad x=1 \end{cases}\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \frac { { x }^{ 4 }-1 }{ x-1 } } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \frac { { ({ x }^{ 2 }) }^{ 2 }-{ 1 }^{ 2 } }{ x-1 } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \frac { ({ x }^{ 2 }+1)({ x }^{ 2 }-1) }{ x-1 } } \)

=(2)(2) = 4
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ \alpha =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { \left( { x }^{ 4 }-1 \right) }{ x-1 } } } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ \alpha =\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ ({ x }^{ 2 }+1)(x+1)=4 } } \)
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ \alpha =4 } \)
f(x) ஆனது x =1, ஒரு பக்க எல்லை = சார்பின் மதிப்பு.
\(\therefore\) f(1) = \(\alpha\) = 4
\(\therefore\) \(\alpha\)=4

\(f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } ,\quad x\neq 1 \\ 2\quad ,\quad x=1 \end{cases}\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ } \)x+1 = 1 + 1 =2
\(\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } \)
f(1) = 2
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ x+1=2 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது x₀ = 1 - ல் தொடர்ச்சியானது.

\(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 2-\sqrt { x+2 } }{ \sqrt [ 3 ]{ 2 } -\sqrt [ 3 ]{ 4-x } } } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { \sqrt { x+2 } -2 }{ \sqrt [ 3 ]{ 4-x } -\sqrt [ 3 ]{ 2 } } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { { (x+2) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-({ 2 }^{ 2 })^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { (4-x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ (2) }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } } \)
தொகுதி, பகுதியை (x -2) ஆல் பெருக்க
\(=\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { (x+2)^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 4 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ x-2 } } \times \frac { (x-2) }{ { (4-x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { (x+2)^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ (4) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ (x+2)-4 } } \times \frac { -(2-x) }{ (4-x)^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } \)
\(=\left[ \lim _{ (x+2)\rightarrow 4 }{ \frac { (x+2)^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 4 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ (x+2)-4 } } \right] \times \frac { -1 }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { (4-x)^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }{ 4-x-2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times { (4) }^{ \frac { 1 }{ 2 } -1 }\times \frac { -1 }{ \frac { 1 }{ 3 } \times (2)^{ \frac { 1 }{ 3 } -1 } } =\frac { 1 }{ 2 } { (4) }^{ \frac { -1 }{ 2 } }\times \frac { -1 }{ \frac { 1 }{ 3 } (2)^{ -2/3 } } \)
\(=-\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 3 }{ 1 } \times \frac { 1 }{ { 4 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \times { 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }=\frac { -3 }{ 4 } \times \left( { 2 }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }=-\frac { 3 }{ 4 } \sqrt [ 3 ]{ 4 } \)

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } -1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+16 } -4 } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 1 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { \left( { x }^{ 2 }+16 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ \left( 16 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } } \)
தொகுதி, பகுதியை x² ஆல் பெருக்க
\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 1 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { x }^{ 2 } } \times \frac { { x }^{ 2 } }{ { ({ x }^{ 2 }+16) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 16 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 1 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ ({ x }^{ 2 }+1)-1 } } \times \frac { ({ x }^{ 2 }+16)-16 }{ { ({ x }^{ 2 }+16) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 16 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \)
\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 1 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) -1 } } \times \frac { 1 }{ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( { x }^{ 2 }+16 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ 16 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ ({ x }^{ 2 }+16)-16 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } (1)^{ \frac { 1 }{ 2 } -1 }\times \frac { 1 }{ { \frac { 1 }{ 2 } 16 }^{ \frac { 1 }{ 2 } -1 } } \left[ \because \lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { { x }^{ n }-{ a }^{ n } }{ x-a } } ={ n.a }^{ n-1 } \right] \)

\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +...+\frac { 1 }{ n(n+1) } =1 } \)
LHS = \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +...+\frac { 1 }{ n(n+1) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum { \frac { 1 }{ n(n+1) } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+n } } } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } +\frac { n(n+1) }{2 } } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 6 }{ n(n+1)(2n+1)+3n(n+1) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 6 }{ n(n+1)(2n+1+3) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 6 }{ n(n+1)(2n+4) } } \)

\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 3 }{ n(n+1)(n+2) } } \)
\(=\lim _{ \frac { 1 }{ n } \rightarrow 0 }{ \frac { 3 }{ { n }^{ 3 }\left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) \left( 1+\frac { 2 }{ n } \right) } =\frac { 3 }{ { n }^{ 3 }(1+0)(1+0) } } \)
\(=\frac { 3 }{ (1+0)(1+0) } \times \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } =1\)=R.H.S

\(I=\int { { x }^{ 5 }{ e }^{ { x }^{ 2 } } } dx\)
\(=\int { { x }^{ 2 }.{ x }^{ 2 }.{ x }^{ 1 }.{ e }^{ { x }^{ 2 } }dx } \)
\({ x }^{ 2 }=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xxdx=\frac { dt }{ 2 } \)
\(\therefore I=\int { t.t.{ e }^{ t }\frac { dt }{ 2 } } =\int { { t }^{ 2 }{ e }^{ t } } \frac { dt }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \int { { t }^{ 2 }.{ e }^{ t }dt } \)
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின் படி
\(\int { udv=uv-u'{ v }_{ 1 }+{ u''v }_{ 2 }.... } \)
\(\int { { t }^{ 2 }{ e }^{ t }dt={ t }^{ 2 }{ e }^{ t }-{ 2te }^{ t }+{ 2e }^{ t }+c } \)
\(={ e }^{ t }({ t }^{ 2 }-2t+2)+c\)
\(={ e }^{ { x }^{ 2 } }({ x }^{ 4 }-{ 2x }^{ 2 }+2)+c[\because t={ x }^{ 2 })\)

\(\int { { x }^{ 3 }{ e }^{ -x } } dx\)
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\int { udv } \) = uv - u'v₁ + u''v₂
\(\int { { x }^{ 3 }{ e }^{ -x } } dx\) = (x³) (-e^x) - (3x²) (e^-x) + (6x) (-e^x)-(6)(e^-x) + c
= -x³ e^-x - 3x² e^-x - 6xe^-x - 6e^-x + C

\(\int { { x }^{ 2 }{ e }^{ 5x } } dx\).
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\int { udv } \) = uv - u'v₁ + u''v₂
\(\int { { x }^{ 2 }{ e }^{ 5x } } dx.=\left( { x }^{ 2 } \right) \left( \frac { { e }^{ 5x } }{ 5 } \right) -\left( 2x \right) \left( \frac { { e }^{ 5x } }{ { 5 }^{ 2 } } \right) +\left( 2 \right) \left( \frac { { e }^{ 5x } }{ { 5 }^{ 3 } } \right) -\left( 0 \right) \left( \frac { { e }^{ 5x } }{ { 5 }^{ 4 } } \right) +0+...+0+c\)
= \(\frac { { x }^{ 2 }{ e }^{ 5x } }{ 5 } -\frac { 2{ x }{ e }^{ 5x } }{ 25 } +\frac { { 2e }^{ 5x } }{ 125 } +c\)

f"(x) = 12x - 6
f(1) = 30
f'(1) = 5
இருபுறமும் தொகையீடு காண
\(\int { f" } (x)dx=\int { (12x-6)dx } \)
⇒ f'(x)=\(12\int { xdx } -6\int { dx } \)
=\(\frac { 12{ x }^{ 2 } }{ 2 } \)-6x+c
f'(x)=6x²-6x+c   .....(1)
f'(1)=5 என்பதால்
⇒ f'(1)=6(1)²-6(1)+c
⇒ 5=6-6+c
c=5
∴ f'(x)=6x²-6x+c    [(1) லிருந்து]
x -ஐப் பொறுத்து மீண்டும் தொகையீடு காண
\(\int { f' } (x)dx=\int { (6x^{ 2 }-6x+5)dx } \)
=\(6\int { { x }^{ 2 }dx } -6\int { x } dx+5\int { dx } \)
⇒ f(x)=\(\frac { 6.x^{ 3 } }{ 3 } -\frac { 6x^{ 2 } }{ 2 } \)+5x+k
f(x)=2x³-3x²+5x+k    ....(2)
f(1)=30 என்பதால்
f(1)=2(1)³-3(1)²+5(1)+k
⇒ 30=2-3+5+k
⇒ 30=4+k
∴ k=26
k=26 என (2)-ல் பிரதியிட
f(x)=2x³-3x²+5x+26

\(f(x)=\tan ^{ -1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } \) என்க 
\(g(x)={ x }^{ 2 }+x+1\)
\(\frac { df }{ dg } =\frac { { f }^{ ' }(x) }{ { g }^{ ' }(x) } \)
\({ f }^{ ' }(x)=\frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } \)
\({ g }^{ ' }(x)=2x+1\)
\(\frac { df }{ dg } =\frac { \frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } }{ 2x+1 } =\frac { 2x }{ (2x+1)(1+{ x }^{ 2 }) } \)

\(f(x)=\begin{cases} -x+2,\quad x\le 2 \\ 2x-4,\quad x>2 \end{cases};\ x=2\)
\(f'({ 2 }^{ - })={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { f(x)-f(2) }{ x-2 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { -x+2-(0) }{ x-2 } \)
\(\left[ \begin{matrix} \because f(x)=-x+2 \\ \Rightarrow f(2)=-2+2=0 \end{matrix} \right] \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { -x+2 }{ x-2 } \)
......(1)
\(\therefore f'({ 2 }^{ + })={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { f(x)-f(2) }{ x-2 } \)
\(={ \lim }_{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }\frac { (2x-4)-0 }{ x-2 } \)
\(\left[ \begin{matrix} \because f(x)=2x-4 \\ f(2)=4-4=0 \end{matrix} \right] \)

\(\\ (1),(2)\Rightarrow f'({ 2 }^{ - })\neq f'({ 2 }^{ + })\)
∴f(x) க்கு x =2-ல் வகைமை இல்லை.

\(\frac { 1 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 1 }{ x } +1\)
\(\frac { 2 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 2 }{ x } +1\)

\( \frac { 15 }{ x } -1\le \left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 15 }{ x } +1\)
கூடுதல் காண,
\(\frac { 120 }{ x } -15\le \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \le \frac { 120 }{ x } +15\)
\(120-15x\le x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] \le 120+15x\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (120-15x) } \le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } \le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ (120+15x) } \)
\(120\le \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } \le 120\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } =120.\)

(1) n(S) = 2⁸ = 256
(i) A - சரியாக 2 பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி 
⇒ ∴ n(A) = ⁸C₂ = \(\frac { 8\times 7 }{ 2\times 1 } \) = 4 x 7
∴ P(S) = \(\frac { n\left( A \right) }{ n\left( S \right) } =\frac { 4\times 7 }{ { 2 }^{ 8 } } =\frac { { 2 }^{ 2 }\times 7 }{ { 2 }^{ 8 } } =\frac { 7 }{ { 2 }^{ 6 } } =\frac { 7 }{ 64 } \)
(ii) B - குறைந்தபட்சம் 2 பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி 
n(B) = ⁸C₂ + ⁸C₃ + ⁸C₄ + ⁸C₅ + ⁸C₆ + ⁸C₇ + ⁸C₈
= n(S) = [⁸C₀ + ⁸C₁] = 2⁸ - [1 + 8]
= 2⁸ - 9 = 256 - 9 = 247
∴ P(B) = \(\frac { n\left( B \right) }{ n\left( S \right) } =\frac { 247 }{ 256 } \)
(iii) C - அதிகபட்சமாக 2 பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி 
∴ n(C) = ⁸C₀ + ⁸C₁ + ⁸C₂ 
= 1 + 8 + \(\frac { 8\times 7 }{ 2\times 1 } \) = 9 + 28 = 37
∴ P(C) = \(\frac { n\left( C \right) }{ n\left( S \right) } =\frac { 37 }{ 256 } \)