\(I=\int { { x }^{ 2 }cosxdx } \)
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\int { udv } =uv-u'v_{ 1 }+u''{ v }_{ 2 }...\)
= x² sin x - 2x (-cos x) +2 (-sin x) + c
= x² sin x + 2x cosx - 2 sin x + c

மோட்டார் சைக்கிளின் திசைவேகம் v எனவும் மற்றும் முடுக்கம் a எனவும் எடுத்து கொள்வோம், s என்பது  தூரத்தைக் குறிக்கிறது.நுண்கணிதத்தில் v-ஐ \(v=\frac{ds}{dt}\)எனவும் a-ஐ \(a=\frac{d}{d}\) எனவும் குறிப்போம்.மோட்டார் சைக்கிளின் வேகத்தைக் குறைக்கும் போது அதன் முடுக்கம் மோட்டார் சைக்கிளின் இயக்கத்தின் எதிர் திசையில் செயல்படுகிறது.ஆகையால் முடுக்கத்தைக் குறைக் குறியீடுடன் எழுதுவோம்.
மோட்டார் சைக்கிளின் எதிர்முடுக்கம் 8 மீ/வினாடி² எனத் தரப்பட்டுள்ளது.
எனவே, \(a=\frac{dv}{dt}=\) -8 மீ/வினாடி²
\(v=\int{a \ dt}=\int{-8dt}=-8t+c_{1}\)
பிரேக்கைப் பயன்படுத்தும்போது 
t=0, மற்றும் v=24 மீ/வி.
24=-8(0)+c₁⇒ c₁=24    
எனவே, v=-8t+24.
அதாவது,  \(\frac{ds}{dt}= -8t+24\).
தூரம் கேட்கப்பட்டுள்ளதால் அதனைக் காண்பதற்காக மேலும் ஒருமுறை தொகையீடு காண வேண்டியது அவசியமாகிறது.
\(s=\int{v\ dt}=\int{(-8t+24)}dt\)
\(s=-4t^{2}+24t+c_{2}\)
c₂-ஐ தீர்மானிக்க, பிரேக்கை எங்கே உபயோக்கின்றோமோ,அங்கிருந்து நிறுத்தும் தூரம் s அளவிடப்படுகிறது.அதாவது t=0,s=0 எனில் 
\(s=-4t^{2}+24t+c_{2} \Rightarrow 0=-4(0)^{2}+24(0)+c_{2} \Rightarrow c_{2}=0\)
\(s=-4t^{2}+24t\)
பிரேக்கைப் பயன்படுத்திய பின்பு மோட்டார் சைக்கிள் நிற்பதற்கான நேரம் அறிந்திருந்தால்,நிறுத்துதல் தூரத்தை மதிப்பிடலாம்.திசைவேகச் சமன்பாட்டிலிருந்து நேரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
வாகனம் நிறுத்தப்படும்போது,v=0 ஆகும்.
\(\Rightarrow v=-8t+24 \Rightarrow 0=-8t+24 \Rightarrow t=3\).
t=3, எனில்,
\(s=-4t^{2}+24t \Rightarrow s=-4(3)^{2}+24(3)\)
s=36மீட்டர் <40மீட்டர் 
எனவே வாகனம் தடுப்பிற்கு 4 மீட்டர் முன்பே நிற்கும்.                

உயரத்தைப் பொறுத்து எடையின் மாறுவீதம்  
\(\frac{dw}{dh}=4.364\times 10^{-5}h^{2}\)
\(w=\int 4.364\times 10^{-5}h^{2} \ dh\)
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})+c\)
உயரம் பூஜ்ஜியம் எனும்போது அந்நபரின் எடை பூஜ்ஜியமாக  இருக்கும் என்பது தெளிவு.தொடக்க நிபந்தனை h=0 எனும்போது w=0, என்பதை மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டால், தொகையீட்டு மாறிலியை c-ஐக் கணக்கிடலாம்.      
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})+c\Rightarrow c=0\)
ஒரு நபரின் எடை மற்றும் உயரம் ஆகியவற்றிக்கிடையேயான தொடர்பானது 
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})\)ஆகும் 
h=150 செ.மீ எனில் , \(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{150^{3}}{3})\)
உயரம் h=150 செ.மீ எனும்போதும், எடை தோராயமாக w = 49 கிகி.ஆகும்.   

\(I=\int { (3x+4)\sqrt { 3x+7 } } dx\) என்க
\(=\int { (3x+7-3)\sqrt { 3x+7 } } dx\)
\(=\int { ((3x+7)\sqrt { 3x+7 } )-3\sqrt { 3x+7 } dx } \)
\(=\int { (3x+7)\sqrt { 3x+7 } dx-3 } \int { \sqrt { 3x+7 } dx } \)
\(=\int { (3x+7)^{ \frac { 3 }{ 2 } }-3 } \int { (3x+7)^{ \frac { 1 }{ 2 } }dx } \)
\(=\frac { (3x+7)^{ \frac { 3 }{ 2 } +1 } }{ (\frac { 3 }{ 2 } +1)(3) } -\frac { (3x+7)^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ (\frac { 1 }{ 2 } +1)(3) } \)+c
 
=\(\frac{2}{15}(3x+7)^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}(3x+7)^{\frac{3}{2}}+c\).

\(\int{(x-3)\sqrt{x+2}}dx=\int{(x+2-5)\sqrt{x+2}}dx\)
=\(\int{x+2}\sqrt{x+2}dx-5 \int\sqrt{x+2}dx\)
=\(\int(x+2)^{\frac{3}{2}}dx-5\int{(x+2)^{\frac{1}{2}}}dx\)
=\(\frac{(x+2)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-5\frac{(x+2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c\)
=\(\frac{2}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}}-\frac{10}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}+c\).