\(I=\int { { x }^{ 3 }sinxdx } \)
பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
\(\int { udv } =uv-u'v_{ 1 }+u''{ v }_{ 2 }+u'''{ v }_{ 3 }....\)
= x³ (-cos x) - 3x² (-sinx) + 6x (cos x) -6 (sin x) + c
=-x³ cos x + 3x² sin x + 6x cos x - 6 sin x + c
 

\(I=\int { \frac { 1 }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } } dx\)என்க 
\(\frac { 1 }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { B }{ x+2 } +\frac { C }{ (x+2)^{ 2 } } \)
[பகுதி பின்னமாக்கியதால்]
\(\Rightarrow \) 1 = A (x+2)² + B (x-1) (x+2) + C(x-1) ..(1)
\(\therefore \) x =- என (1) -ல் பிரதியிட 
 1 = C (-2-1) \(\Rightarrow \)1 = = C (-3)
\(\Rightarrow C=-\frac { 1 }{ 3 } \)
(1) -ல் x =0 என்க.
1 = (A) (1+2)²
\(\Rightarrow 1=A(9)\Rightarrow A=\frac { 1 }{ 9 } \)
(1)-ல் x =0 என்க.
1 = 4A +B(-2) + C(-1) 
\(\Rightarrow 1=4A-2B-C\)
\(\Rightarrow 1=4(\frac { 1 }{ 9 } )-2B-(-\frac { 1 }{ 3 } )\)
\(\Rightarrow 1=\frac { 4 }{ 9 } -2B+\frac { 1 }{ 3 } \)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 4 }{ 9 } +\frac { 1 }{ 3 } -1=\frac { 4+3-9 }{ 9 } =\frac { -2 }{ 9 } \)
\(\Rightarrow B=-\frac { 1 }{ 9 } \)
\(\therefore \frac { 1 }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 9(x-1) } -\frac { 1 }{ 9(x+2) } -\frac { 1 }{ 3(x+2)^{ 2 } } \)
\(\therefore I=\int { \frac { dx }{ (x-1)(x+2)^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 9 } \int { \frac { 1 }{ x-1 } dx-\frac { 1 }{ 9 } \int { \frac { dx }{ x+2 } -\frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { dx }{ (x+2)^{ 2 } } } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 9 } log|x-1|-\frac { 1 }{ 9 } log|x-2|-\frac { 1 }{ 3 } \int { (x+2)^{ -2 }dx } \)
\(=\frac { 1 }{ 9 } log|x-1|-\frac { 1 }{ 9 } log|x-2|-\frac { 1 }{ 3 } \frac { (x+2)^{ -2+1 } }{ -2+1 } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } log|x-1|-\frac { 1 }{ 9 } log|x-2|-\frac { 1 }{ 3 } \frac { (x+2)^{ -1 } }{ -1 } +c\)
\(=\frac{1}{9}\log|(x-1)|-\frac{1}{9}\log|(x+2)|+\frac{1}{3(x+2)}+c\)

\(I=\int { \frac { 1 }{ \sqrt { x+3 } -\sqrt { x-4 } } dx } \)
பகுதியை விகிதப்படுத்த விகிதப்படுத்தும் காரணி \(\sqrt { x+3 } +\sqrt { x-4 } \) ஆல் பெருக்கி வகுக்க
\(I=\int { \frac { \sqrt { x+3 } +\sqrt { x-4 } }{ (\sqrt { x+3 } -\sqrt { x-4) } (\sqrt { x+3 } +\sqrt { x-4 } )\quad } dx } \)
\(=\int { \frac { (\sqrt { x+3 } +\sqrt { x-4 } ) }{ (x+3)-(x-4) } } dx[\because (a+b)(a-b)={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }]\)
\(=\int { \frac { (\sqrt { x+3 } +\sqrt { x-4 } ) }{ 7 } dx } \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } [\int { \sqrt { x+3 } dx+\int { \sqrt { x-4 } } dx] } \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } [\frac { (x+3)^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } +\frac { (x-4)^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } ]+c\)
\(=\frac { 1 }{ 7 } [\frac { (x+3)^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } +\frac { (x-4)^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } ]+c\)
\(=\frac { 1 }{ 7\times \frac { 3 }{ 2 } } [(x+3)^{ \frac { 3 }{ 2 } }+(x-4)^{ \frac { 3 }{ 2 } }]+c\) 
=\(\frac{2}{21}[(x+3)^{\frac{3}{2}}+(x-4)^{\frac{3}{2}}]+c\)

\(\int{\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}dx=\int{\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}[\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}]dx\)
=\(\int{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}^{2}-(\sqrt{x}^{2})}}dx\)
=\(\int{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x}}dx=\int{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx\)
=\(\int{\sqrt{x+1}}dx-\int{\sqrt{x}}dx=\int{({x+1})^{\frac{1}{2}}}dx-\int{x^{\frac{1}{2}dx}}\)
=\(\frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c\)
=\(\frac{2}{3}|(x+1)^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{3}{2}}|+c\).

காலம் t-ஐ பொறுத்து உயரம் h -ன் மாறு வீதம் எனபது காலம் t -ஐ பொறுத்து h-ஐ வகையீடு செய்வதாகும்.
எனவே, \(\frac{dh}{dt}=\frac{18}{\sqrt{t}}=18t^{-\frac{1}{2}}\) 
எனவே உயரத்தினை பொது வடிவம் பெறுவதற்கு மேலே உள்ள சமன்பாட்டைத் தொகையிட வேண்டும்.
\(h=\int{18t^{-\frac{1}{2}}dt=18(2t^{\frac{1}{2}})}+c=36\sqrt{t}+c\)
t = 0 என இருக்கும்போது உயரம் 5செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
5=0+c ⇒ c=5
\(h=36\sqrt{t}+5\).
(i) நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரத்தை நாம் காண வேண்டும்.
t=4 எனில்,
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow h=36\sqrt{4}+5=77\)
நான்கு ஆண்டிற்குப் பிறகு மரத்தின் உயரம் 77 செ.மீ ஆக இருக்கும்.
(ii) h=149 செ.மீ எனில்,t-ஐ காண வேண்டும்.
\(h=36\sqrt{t}+5 \Rightarrow 149=36\sqrt{t}+5\)
\(\sqrt{t}=\frac{149-5}{36}=4 \Rightarrow t=16\)
எனவே உயரம் 149செ.மீ வளர,மரம் 16 ஆண்டுகள் எடுத்துக்கொள்கிறது.