A  = \(\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 20 \\ 1 & -2 & 5 \\ 1 & 2x & 5{ x }^{ 2 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow\)  1 (-10x² - 10x ) -4 (5x² - 5) + 20 (2x + 2) = 0
\(\Rightarrow\) -10x² - 10x - 20x² + 20 + 40x + 40 = 0
\(\Rightarrow\) -30x² + 30x + 60 = 0
-x² + x + 2 = 0
x² - x - 2 = 0
(x - 2) (x + 1) = 0
x = 2, - 1

விலை அணி A =[30 15 45],
                              P-I    P-II     P-III
பழ அணி \(B=\left[ \begin{matrix} 6 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 6 \\ 3 & 4 & 6 \end{matrix} \right] \)  ஆப்பிள் ஆரஞ்சு மாதுளை 
AB என்ற அணியை காண்பதன் மூலம் பழத் தொகுப்புகளின் விலைகளைக் காணலாம்.
அதாவது, A -இல் உள்ள ஒவ்வொரு உருப்படியின் விலையுடன் (விலை அணி A )B-ல் உள்ள   உருப்படிகளின் எண்ணிக்கையைப் (பழ அணி B ) பெருக்குவதால் பழத்தொகுப்புகளின் விலைகளைப் பெறலாம்.
\(AB=\left[ \begin{matrix} 30 & 15 & 45 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 6 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 6 \\ 3 & 4 & 6 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 360 \\ 390 \\ 540 \end{matrix} \right] = [360 \ 390 \ 540]\) 
எனவே  தொகுப்பு I-ன் விலை Rs.360,தொகுப்பு II-ன் விலை Rs.390​​​​​​​,தொகுப்பு III​​​​​​​-ன் விலை Rs.​​​​​​​540​​​​​​​

\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \)  A⁴   = AAAA 
= \(\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
A² = \(\left( \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( 1\times 1+a\times 0 \right) & \left( 1\times a+a\times 1 \right) \\ \left( 0\times 1+1\times 0 \right) & \left( 0\times a+1\times 1 \right) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( 1+0 \right) & \left( a+a \right) \\ \left( 0+0 \right) & \left( 0+1 \right) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
A⁴ = A²A² = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} \left( \left( 1\times 1 \right) +\left( 2a\times 0 \right) \right) & \left( 2a+2a \right) \\ \left( 0+0 \right) & \left( 0+1 \right) \end{matrix} \right] \)
 \(\therefore \)   A⁴ = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 4a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

 \({ A }_{ \alpha }+{ A }_{ \alpha }^{ T }=I\)
\({ A }_{ \alpha }=\left[ \begin{matrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{matrix} \right] \)
\({ A }_{ \alpha }^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha \end{matrix} \right] \)
\({ A }_{ \alpha }+{ A }_{ \alpha }^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha \end{matrix} \right] \)
= \(\begin{bmatrix} 2cos\alpha & 0 \\ 0 & 2cosa \end{bmatrix}=I=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
2cos\(\alpha \) = 1
\(\Rightarrow \)  cos \(\alpha \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
 \(\Rightarrow \)  \(\alpha \) = \(2n\pi \pm \frac { \pi }{ 3 } \) , n\(\epsilon \)Z  

A  = \(\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{matrix} \right] \)
aij = i - j,
a₁₁ = 1 - 1 = 0
a₁₂ = 1 -2 = -1
a₁₃ = 1 - 3 = -2
a₂₁ = 2 - 1 = 1
a₂₂ = 2 - 2 = 0
a₂₃ = 2 - 3 = -1
a₃₁ = 3 - 1 = 2
a₃₂ = 3 - 2 = 1
a₃₃ = 3 - 3 = 0
\(\therefore \)  A = \(\left[ \begin{matrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} \right] \)
A^T = \(\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{matrix} \right] \)= -A  
\(\therefore \)  A என்பது ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணியாகும்