\(\triangle =\left| \begin{matrix} x+a & b & c \\ a & x+b & c \\ a & b & x+c \end{matrix} \right| \) என்க 
இதில் x  = 0 என்க 
\(\triangle =\left| \begin{matrix} a & b & c \\ a & b & c \\ a & b & c \end{matrix} \right| \) = 0 மூன்று நிரைகளும் சர்வசமம் 
x² ஓர் காரணியாகும் மேலும் \(\triangle \)- ல்  x  = -a  - b  - c  என்க  
\(\triangle =\left| \begin{matrix} -b-c & b & c \\ a & -a-c & c \\ a & b & -a-b \end{matrix} \right| \) இதில் 
C₁ = C₁ +C₂ + C₃ எனில்   
\(\triangle =\left| \begin{matrix} 0 & b & c \\ 0 & -a-c & c \\ a & b & -a-b \end{matrix} \right| \) = 0
\(\therefore \) (x  + a  + b  +c  ) ஒரு காரணியாகும் .கொடுக்கப்பட்ட  அணிக்கோவையின் படி 3.மற்றொரு காரணி  k ஆக இருக்க வேண்டும். 
\(\left| \begin{matrix} x+a & b & c \\ a & x+b & c \\ a & b & x+c \end{matrix} \right| \)   = kx² (x  +a  +b  +c  ) இதில்  
a  = 0, b =1, c  = 2, x  = 1 எனப் பிரதியிட    
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} \right| \)  = k (1)² (1 + 0 + 1 + 2)
(6 - 2) = k  (4)
4 = 4 k 
k  = 1
\(\therefore \)  \(\left| \begin{matrix} x+a & b & c \\ a & x+b & c \\ a & b & x+c \end{matrix} \right| \) = x² (x  +a  + b + c ) = 0
என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
x² (x  +a  + b  +c ) = 0
x² = 0   அல்லது  (x  + a  + b  +c ) = 0      
x  = 0, 0 அல்லது 
x  = -a  - b -c 
x  = -(a  + b  +c )

\(\triangle =\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 }+{ x }^{ r } & ab & ac \\ ab & { b }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } & bc \\ ac & bc & { c }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
= [ (a² +x²) [ (b² + x²) (c²+ x²) - b²c² ] - ab [ab (c² + x²) - abc² ] + ac [acb² -ac (b² + x²)]
= [(a² + x²) [b²c² + c²x² + b²c² + x4 -b²c²]] - ab (abc²  + ab - abc²) + a²c²b² - a²c² (b² + x²)]

= c²x⁴ + b²x⁴ + a²x⁴ + x⁶
= x⁴ (a² + b² + c²) + x⁶ இது x ⁴ ஆல் வகுபடும் 
மாற்றுமுறை :

\(\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 }+{ x }^{ r } & ab & ac \\ ab & { b }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } & bc \\ ac & bc & { c }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 } & ab & ac \\ ab & { b }^{ 2 } & bc \\ ac & bc & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} { x }^{ 2 } & 0 & 0 \\ 0 & { x }^{ 2 } & 0 \\ 0 & 0 & { x }^{ 2 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 } & ab & ac \\ ab & { b }^{ 2 } & bc \\ ac & bc & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| +{ x }^{ 6 }\)
= a² (b² c² - b² -c²) - ab (abc² - abc²) + ac (ab²c -ab²c) + x⁶
= 0 - 0 +0 + x⁶
x⁶ இது  x⁴ ஆல் வகுபடும் எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

\(\triangle =\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 }-bc \\ 1 & b & { b }^{ 2 }-ca \\ 1 & c & { c }^{ 2 }-ab \end{matrix} \right| \)
= 1 [ b (c² - ab)  - c (b² - ca )]
-a [1 - (c² -ab) - 1 (b² - ca)] + (a² - bc) (c- b)]
= 0 = RHS

\(\triangle =\left| \begin{matrix} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{matrix} \right| \)
= \(\left| \begin{matrix} a & -b & 0 \\ 0 & b & -c \\ 1 & 1 & 1+c \end{matrix} \right| \begin{matrix} { R }_{ 1 }= & { R }_{ 1 }- & { R }_{ 2 } \\ { R }_{ 2 }= & { R }_{ 2 }- & { R }_{ 3 } \\ { R }_{ 3 }= & { R }_{ 3 } & \end{matrix}\)
= a [b (1 + c) + c] + b (0 + c)
= a (b+ bc + c) + bc
= ab + abc + ac + bc
=abc \(\left( 1+\frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } +\frac { 1 }{ c } \right) \) = RHS

\(\left| B \right| =\left| \begin{matrix} 2(a+b+c) & 2(a+b+c) & 2(a+b+c) \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{matrix} \right| ({ R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+{ R }_{ 2 }+{ R }_{ 3 })\)
\(=2\left| \begin{matrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ -b & -c & -a \\ -c & -a & -b \end{matrix} \right| ({ R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\) and \( { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 })\)
\(=2\left| \begin{matrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ -c & -a & -b \end{matrix} \right| ({ R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+{ R }_{ 2 }+{ R }_{ 3 })\)
\(=2{ (-1) }^{ 2 }\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| A \right| \)