(i) f(m)=f(n)⇒ m² = n² ⇒ m = n (m, n ∈ N ஆதலால்) எனவே f ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு. ஆனால், துணைச்சார்பகத்திலுள்ள வர்க்கமற்ற உறுப்புகளுக்கு முன்பிம்பங்கள் கிடையாது. எனவே f மேற்கோர்த்தல் சார்பு அல்ல.
(ii) சார்பகத்திலுள்ள இரு வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு ஒரே ஒரு உறுப்பு பிம்பமாக அமைகிறது. எனவே ஒன்றுக்கொன்றானது அல்ல. மேலும் f –ன் வீச்சகம், துணைச்சார்பகத்தின் தகு உட்கணமாக அமைகிறது. எனவே f ஆனது, மேற்கோர்த்தலும் அல்ல.

m – m = 0 என்பதால், 0 = 0 × 12 என எழுதுவதன்மூலம் பூஜ்ஜியமும் 12 -ன் மடங்கு என்பது உண்மை. ஆகவே mRm என்பது எல்லா \(m \in Z\) -க்கும் பொருந்தும். எனவே, R தற்சுட்டாகும்.
mRn என்க. அப்பொழுது \(k,\in Z\) க்கு m-n = 12k ஆகும். இதனால் n-m=12(-k) ஆகையால் nRm ஆகும். இது R சமச்சீர் என்பதைக் காட்டுகிறது.
mRn மற்றும் nRp என்க. அதாவது ,\(k,l\in Z\) -க்கு, m–n = 12k மற்றும் n–p = 12l ஆகும். ஆகவே m – p = 12(k+l). அதாவது mRp. இது R என்பது கடப்பு தொடர் எனக் காட்டுகிறது. எனவே R என்பது சமானத் தொடர்பு ஆகும்.

-1 < cos x   < 1 என நமக்குத் தெரியும்.
⇒ -3 < -3cos x < 3
⇒ 1-3 < 1-3cos x < 1 + 3
⇒ -2 < 1-3 cos x < 4
\(⇒\ {1\over 1-3 \cos\ x}\le -{1\over 2}\) மற்றும் \({1\over 1-3 \cos\ x}\ge {1\over4}\)
அதாவது f -ன் வீச்சகம் \(\left(-\infty-{1\over 2}]U[{1\over 4},\infty\right)\)ஆகும்

f(x) = |x| + x =\(\{ \begin{matrix} x+x=2x, & x\ge 0 \\ -x+x, & x<0 \end{matrix}\)
g(x)=|x|-x=\(\{ \begin{matrix} x-x=0, & x\ge 0 \\ -x-x=-2x, & x<0 \end{matrix}\)

\(\therefore \) f(-3)=(-3)²+(-3)-5=9-8=1
f(5)=5²+3(5)-2=25+15-2=38
f(2)=2²-3=4-3=1
f(-1)=(-1)²+(-1)-5=-5
f(0)=0²-3=-3.
\(\therefore \) f(-3)=1, f(5)=38, f(2)=1, f(-1)=-5, f(0)=-3.