0 < A < \(\frac { \pi }{ 2 } \), 0 < B < \(\frac { \pi }{ 2 } \),
A, B, முதல் பகுதியில் அமைவன.
∴ அனைத்து முக்கோண விகிதங்களும் மிகையாகும்.
BC = \(\sqrt { { 5 }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 25-9 } \)
= \(\sqrt { 16 } \) = 4
DE = \(\sqrt { { 41 }^{ 2 }-{ 9 }^{ 2 } } \)
= 40
sin A = \(\frac { 3 }{ 5 } \)
sin B = \(\frac { 40 }{ 41 } \)
cos A = \(\frac { 4 }{ 5 } \)
cos B = \(\frac { 9 }{ 41 } \)
cos (A - B) = cosA cosB + sinA sinB
= \(\frac { 4 }{ 5 } \times \frac { 9 }{ 41 } +\frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 40 }{ 41 } \)
= \(\frac { 36 }{ 205 } +\frac { 120 }{ 205 } \)
= \(\frac { 156 }{ 205 } \)

r₁ மற்றும் r₂ ஆகியவை இரண்டு வட்டங்களின் ஆரங்கள் மற்றும் வில்லின் நீளம் l எனில்
\({ \theta }_{ 1 }={ 30 }^{ o }=\frac { \pi }{ 6 } \) ஆரையன்கள்
\({ \theta }_{ 2 }={ 80 }^{ o }=\frac { 4\pi }{ 9 } \) ஆரையன்கள்
\(l={ r }_{ 1 }\theta ={ r }_{ 2 }\theta \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே , \(\frac { \pi }{ 6 } { r }_{ 1 }=\frac { 4\pi }{ 9 } { r }_{ 2 }\)
\(\frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } =\frac { 8 }{ 3 } \Rightarrow { r }_{ 1 }:{ r }_{ 2 }=8:3\)

0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \), 0 < y < \(\frac { \pi }{ 2 } \) ,
(x,y) I கால் பகுதியில் அமைவதால் இவை அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களும் மிகையாகும்.
\(\sqrt { { 17 }^{ 2 }-{ 15 }^{ 2 } } =\sqrt { 289-225 } =\sqrt { 64 } \) = 8
\(\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 12 }^{ 2 } } =\sqrt { 169-144 } =\sqrt { 25 } \) = 5

sinx = \(\frac { 15 }{ 17 } \)    sin y = \(\frac { 5 }{ 13 } \)
cos x = \(\frac { 8 }{ 17 } \)    cos y = \(\frac { 12 }{ 13 } \)
tan x = \(\frac { 15 }{ 8 } \)    tan y = \(\frac { 5 }{ 12 } \)
cosecx = \(\frac { 17 }{ 15 } \)   cot y = \(\frac { 12 }{ 5 } \) 
sec x = \(\frac { 17 }{ 8 } \)    cosec y = \(\frac { 13 }{ 5 } \)
cot x = \(\frac { 8 }{ 15 } \)      sec y = \(\frac { 13 }{ 12 } \)
tan (x + y)  = \(\frac { \tan { x } +\tan { y } }{ 1-\tan { x } \tan { y } } \)
= \(\frac { \frac { 15 }{ 8 } +\frac { 5 }{ 12 } }{ 1-\frac { 15 }{ 8 } \times \frac { 5 }{ 12 } } =\frac { \frac { 180+40 }{ 96 } }{ \frac { 96-75 }{ 96 } } \)
= \(\frac { 220 }{ 21 } \)

0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \), 0 < y < \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(x, y) I  கால் பகுதியில் அமைவதால் இவை அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களும் மிகையாகும்
= \(\sqrt { { 17 }^{ 2 }-{ 15 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 289-225 } \)
= \(\sqrt { 64 } \) = 8
\(\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 12 }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { 169-144 } \)
= \(\sqrt { 25 } \) = 5

sin x = \(\frac { 15 }{ 17 } \)       sin y = \(\frac { 5 }{ 13 } \)
cos x = \(\frac { 8 }{ 17 } \)       cos y = \(\frac { 12 }{ 13 } \)
tan x =\(\frac { 15 }{ 8 } \)        tan y = \(\frac { 5 }{ 12 } \)
cosec x = \(\frac { 17 }{ 15 } \)    cosec y = \(\frac { 13 }{ 5 } \)     
sec x = \(\frac { 17 }{ 8 } \)      sec y = \(\frac { 13 }{ 12 } \)
cot x = \(\frac { 8 }{ 15 } \)        cot y = \(\frac { 12 }{ 5 } \)
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
= \(\frac { 15 }{ 17 } \times \frac { 12 }{ 13 } +\frac { 8 }{ 17 } \times \frac { 5 }{ 13 } \)
= \(\frac { 180 }{ 221 } +\frac { 40 }{ 221 } =\frac { 220 }{ 221 } \)

இடப்புறம் = \((\frac{1}{cosA}-\frac{1}{sinA})[1+\frac{sinA}{cosA}+\frac{cosA}{sinA}]\)
= \(\frac{\sin^3A-\cos^3A}{\sin^2A\cos^2A}\) ......(i)
வலப்புறம் = \(\frac{\sin A}{\cos^2A}-\frac{\cos A}{\sin^2A}=\frac{\sin^3A-\cos^3A}{\sin^2A\cos^2A}\) ......(ii)
(i) மற்றும் (ii) இலிருந்து நமக்குத் தேவையான தீர்வு கிடைத்துள்ளது.