ac cos θ = bc மற்றும் ac sin θ = ad ஆகியவற்றை வர்க்கப்படுத்திக் கூட்டக் கிடைப்பது
a² c² = b² c² + a² d²

tan 75⁰ = tan (45⁰ + 30⁰)
= \(\frac { \tan { { 45 }^{ 0 }+\tan { { 30 }^{ 0 } } } }{ 1-\tan { { 45 }^{ 0 }.\tan { { 30 }^{ 0 } } } } \)
tan 75⁰ = \(\frac { 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } }{ 1-1.\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } } }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } } } \)
= \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } -1 } \)
cot 75⁰ = \(\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \)
∴ L.H.S = tan 75⁰ + cot 75⁰
= \(\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } -1 } +\frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1 } \)
= \(\frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 } }{ { \sqrt { 3 } }^{ 2 }-{ 1 }^{ 2 } } \)
= \(\frac { 3+1+2\sqrt { 3 } +3+1-2\sqrt { 3 } }{ 3-1 } \)
= \(\frac { 8 }{ 2 } \) = 4 R.H.S எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது .

0 < A < \(\frac { \pi }{ 2 } \), 0 < B < \(\frac { \pi }{ 2 } \),
A, B, முதல் கால் பகுதியில் அமைவன.
∴ அனைத்து முக்கோண விகிதங்களும் மிகையாகும்.
BC = \(\sqrt { { 5 }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 25-9 } \)
= \(\sqrt { 16 } \) = 4
DE = \(\sqrt { { 41 }^{ 2 }-{ 9 }^{ 2 } } \) = 40
sin A = \(\frac { 3 }{ 5 } \)
sin B = \(\frac { 40 }{ 41 } \)
cos A = \(\frac { 4 }{ 5 } \)
cos B = \(\frac { 9 }{ 41 } \)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sinB
= \(\frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 9 }{ 41 } +\frac { 4 }{ 5 } \times \frac { 40 }{ 41 } \)
= \(\frac { 27 }{ 205 } +\frac { 160 }{ 205 } \)
= \(\frac { 187 }{ 205 } \)

வில்லின் நீளம் s, ஆரம் r, மையக்கோணம் \(\theta\) எனில், s = r\(\theta\)
\(\theta\) = 15° = 15 x \(\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}\) ஆரையன்கள்
s = r\(\theta\) \(\Rightarrow\) s = 5 x \(\frac{\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}\) செ.மீ.

0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \) , 0 < y < \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(x, y) I  கால் பகுதியில் அமைவதால் இவை அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களும் மிகையாகும்.
\(\sqrt { { 17 }^{ 2 }-{ 15 }^{ 2 } } =\sqrt { 289-225 } =\sqrt { 64 } \) = 8
\(\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ 12 }^{ 2 } } =\sqrt { 169-144 } =\sqrt { 25 } \) = 5

sin x = \(\frac { 15 }{ 17 } \)   sin y = \(\frac { 5 }{ 13 } \)
cos x = \(\frac { 8 }{ 17 } \) cos y = \(\frac { 12 }{ 13 } \)
tan x = \(\frac { 15 }{ 8 } \)  tan y = \(\frac { 5 }{ 12 } \)
cosec x = \(\frac { 17 }{ 15 } \)     cot y = \(\frac { 12 }{ 5 } \)
sec x = \(\frac { 17 }{ 8 } \)        cosec y = \(\frac { 13 }{ 5 } \)
cot x =  \(\frac { 8 }{ 15 } \)       sec y =  \(\frac { 13 }{ 12 } \)
cos (x - y) = cos x cosy + sinx siny
= \(\frac { 8 }{ 17 } \times \frac { 12 }{ 13 } +\frac { 15 }{ 17 } \times \frac { 5 }{ 13 } \)
= \(\frac { 96 }{ 221 } +\frac { 75 }{ 221 } \) = \(\frac { 171 }{ 221 } \)