\(2\sin ^{ 2 }{ x } +\sin ^{ 2 }{ 2x } =2 \Rightarrow 2\sin ^{ 2 }{ x } +{ \left( 2\sin { x } \cos { x } \right) }^{ 2 }=2\)
\(\cos ^{ 2 }{ x } \left( 2\sin ^{ 2 }{ x } -1 \right) =0\)
\(\cos { x } =0\) அல்லது \(\sin ^{ 2 }{ x } =\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\cos { x } =0\Rightarrow x=\left( 2n+1 \right) \frac { \pi }{ 2 } ,n\in Z\)
\(\sin ^{ 2 }{ x } =\frac { 1 }{ 2 } =\sin ^{ 2 }{ \frac { \pi }{ 4 } } \)
\(\Rightarrow x=n\pi \pm \frac { \pi }{ 4 } ,n\in Z\)(எப்படி)
எனவே, பொதுத் தீர்வு \(x=\left( 2n+1 \right) \frac { \pi }{ 2 } \) அல்லது \(x=n\pi \pm \frac { \pi }{ 4 } ,n\in Z\) ஆகும்.

C என்பது இலக்கின் புள்ளி A,B என்பன விமானியின் இருப்பிடம் என்க.
ㄥBAC=30⁰, ㄥABC=45⁰
∴ ㄥC=180-(30+45)=180⁰-75⁰=105⁰
AB=100 கி.மீ
\(\frac { a }{ sinA } =\frac { c }{ sinC } \)
⇒ \(\frac { a }{ sin{ 30 }^{ 0 } } =\frac { 100 }{ sin{ 105 }^{ 0 } } \)
⇒ \(\frac { a }{ \frac { 1 }{ 2 } } =\frac { 100 }{ sin{ 105 }^{ 0 } } \Rightarrow 2a=\frac { 100 }{ sin{ 105 }^{ 0 } } \)
⇒ a=\(\frac { 50 }{ sin{ 105 }^{ 0 } } \)  .....(1)
sin105⁰=sin(60⁰+45⁰)=sin 60 cos 45 + cos 60.sin 45
=\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } \)   .....(2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட
a =\(\frac { 50 }{ \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } } \Rightarrow a=\frac { 50(2\sqrt { 2 } ) }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { 100\sqrt { 2 } \times \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 3 } +1\times \sqrt { 3 } -1 } \)
=\(\frac { 100(\sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } ) }{ 3-1 } =50(\sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } )\) கி.மீ.

cos 5θ =cos(3θ + 2θ)
= cos 3θ. cos 2θ -sin 3θ. sin2θ
= (4 cos³ θ - 3 cosθ) (2 cos²θ - 1) - [3 sinθ -4 sin³θ] 2 sinθ cosθ
= 8 cos⁵θ - 4 cos³θ - 6cos³θ + 3 cosθ - 6 sin²θ cosθ - 8 sin⁴θ cosθ
= 8 cos⁵θ - 10 cos³θ +3 cosθ - 6 cosθ (1 - cos²θ) + 8 (1 - cos²θ) cosθ
= 8 cos⁵θ - 10 cos³θ + 3 cosθ - 6 cosθ +6 cos³θ + 8 cosθ (1 + cos⁴θ - 2cos²θ)
= 8 cos⁵θ - 10 cos³θ + 3 cosθ - 6 cosθ + 6 cos³θ + 8 cosθ + 8 cos⁵θ - 16 cos³θ
= 16 cos⁵θ - 20 cos³θ + 5 cosθ
= RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

L.H.S = \(\cos { 2A } +\cos { 2B } +\cos { 2C } \)
= \(2cos\left( \cfrac { 2A+2B }{ 2 } \right) .cos\left( \cfrac { 2A-2B }{ 2 } \right) +1-2sin^{ 2 }C\)
= 2cos(A+B).cos(A-B)+1-2sin²C
= \(2cos\left( \cfrac { \pi }{ 2 } -C \right) .cos(A-b)+1-2sin^{ 2 }C+1\)
= 1+sin C. cos(A-B)-2sin² C
= \(1+2sinC\left[ cos(A-B)-sin(\cfrac { \pi }{ 2 } -(A+B) \right] \)
= 1+2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]
= 1+2sinC[2sinA.sinB]
= 1+4sin A sin B sin C = R.H.S
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

x cos θ = ycos \(\left[ \theta +\frac { 2\pi }{ 3 } \right] \) = z cos \(\left[ \theta +\frac { 4\pi }{ 3 } \right] \) = λ என்க 
⇒ \(\frac { \lambda }{ x } \) = cos θ, \(\frac { \lambda }{ y } \) = cos \(\left( \theta +\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
\(\frac { \lambda }{ z } \) = cos \(\left( \theta +\frac { 4\pi }{ 3 } \right) \)
∴ \(\frac { \lambda }{ x } +\frac { \lambda }{ y } +\frac { \lambda }{ z } \) = cosθ
= cos θ + cos (120 + θ) + cos (240 + θ)
= cos θ + cos 120.cosθ - sin 120.sinθ + cos 240. cosθ - sin 240.sinθ
= cosθ - cos 60⁰ cosθ - sin60⁰ sinθ - sin 30⁰. cosθ + cos 30⁰ sinθ
(∵ cos (A + B) = cos A cosB - sinA sinB)
cos 120⁰ = cos (180⁰ - 60⁰)
= - cos 60⁰ = \(-\frac { 1 }{ 2 } \)
sin 240⁰ = sin (270⁰ - 30⁰)
= - sin 30⁰
= - cos 60⁰ = \(-\frac { 1 }{ 2 } \)

= cosθ - cosθ = 0
∴ \(\lambda \left( \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y } +\frac { 1 }{ z } \right) \) = 0 ⇒ \(\lambda \left( \frac { yz+xz+xy }{ xyz } \right) \) = 0
⇒ xy + yz + zx = 0.