வகை 1
P(x, 3) ஆனது x அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளி B(5, 1)

\(\Rightarrow { AB }^{ 2 }=25\)
\(\Rightarrow { (x-5) }^{ 2 }+{ (3-1) }^{ 2 }=25\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-10x+25+4=25\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-10x+4=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2\times 1 } \)
\(=x=\frac { +10\pm \sqrt { { 10 }^{ 2 }-4\times 1\times 4 } }{ 2\times 1 } \)
\(=\frac { 10\pm \sqrt { 100-16 } }{ 2 } \)
\(=\frac { 10\pm \sqrt { 84 } }{ 2 } =\frac { 10\pm \sqrt { 4\times 21 } }{ 2 } \)
\(x=2\left( \frac { 5\pm \sqrt { 21 } }{ 2 } \right) =5\pm \sqrt { 21 } \)
\(\therefore\) புள்ளிகள் \(\left( 5+\sqrt { 21 } ,3 \right) \left( 5-\sqrt { 21 } ,3 \right) \)
A(-x, -3) ஆனது x அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தொலைவில் உள்ள புள்ளி.
B(5, 1), AB = 5
\(\Rightarrow\)AB² = 25
\(\Rightarrow\)(5+x)² + (1+3)² = 25
\(\Rightarrow\) 25 + x² + 10x + 16 = 25
\(\Rightarrow\) x² + 10x + 16 = 0
\(\Rightarrow x=\frac { 10\pm \sqrt { { 10 }^{ 2 }-4\times 16 } }{ 2\times 1 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 10\pm \sqrt { 100-64 } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 10\pm \sqrt { 36 } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 10\pm 6 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { -10+6 }{ 2 } \) அல்லது \(\frac { 10-6 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow\) x = 8, 2
\(\therefore\) அந்த புள்ளிகள் =(2, -3), (8, -3)
\(\therefore\) தேவையான புள்ளிகள்\((5-\sqrt { 21 } ,3),(5+\sqrt { 21 } ,3),(8,-3)\)மற்றும் (2,-3)

x² - 5x + ky = 0 ......(1) 
P(-3, 1) Q(2, 6)
(1)-ன் மீது P(-3,1) அமைந்துள்ளதால்
(-3)² - 5(-3) + k(1) = 0
9 + 15 + k = 0
k = (-24)
(1)-ன் மீது Q(2, 6) அமைந்துள்ளதால் நியமப்பாதை x² - 5x + ky = 0
2² - 5(2) + k(b) = 0
4 - 10 + (-24)b =0
-24b = 6
\(b=\frac { 6 }{ -24 } =\frac { 1 }{ 4 } \)

P(h,k) என்பது தேவையான பாதையின் மீது அமைந்துள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி
h= a θ sec மற்றும் k= b tan θ
⇒  \(\frac { h }{ a } \)=sec θ  , \(\frac { k }{ b } \) =tan θ
முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, துணையலகு θ-ஐ நீக்கலாம்.
\(\left( \frac { h }{ a } \right) ^{ 2 }-\left( \frac { k }{ a } \right) ^{ 2 }\)    = sec²θ - tan²θ
\(\left( \frac { h }{ a } \right) ^{ 2 }-\left( \frac { k }{ a } \right) ^{ 2 }\)  =1  .  
⇒\(\frac { h^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { k^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \) =1
P(h,k)  என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை  \(\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \) =1 

A, B மற்றும் C என்ற புள்ளிகள் முறையே \(\left( 0,-\frac { 3 }{ 2 } \right) \), (1,-1) மற்றும் \(\left( 2,-\frac { 1 }{ 2 } \right) \) என்க.
கோட்டின் சாய்வு m =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
AB -ன் சாய்வு =\(\frac { -1+\frac { 3 }{ 2 } }{ 1-0 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
BC -ன் சாய்வு =\(\frac { -\frac { 1 }{ 2 } +1 }{ 2-1 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
AB -ன் சாய்வும், BC -ன் சாய்வும் சமம். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A, B, C ஒரு நேர்க் கோட்டில் அமைகிறது.

P(h,k) ஆனது RQ-ன் மீது அமைந்த நகரும் புள்ளி
\(\angle \)ORQ = Q
\(\Delta\)PLR லிருந்து \(sin\ \theta =\frac { k }{ b } \)   ......(1)
\(\Delta\)PMQ விலிருந்து cos\(\theta =\frac { h }{ b } \) .....(2)
(1), (2)-ஐ வர்க்கப்படுத்தி கூட்ட
\(\Rightarrow { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta ={ \left( \frac { k }{ b } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { h }{ a } \right) }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow 1=\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\therefore\)P(h, k)-ன் நியமப்பாதை\(\frac { { x }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1\)