பிரதிபலிப்புத் தத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வு காணல்:
PQ-ஐ இணைக்கும் நேர்கோட்டை x -அச்சாகவும்,
PA -ஐ இணைக்கும் நேர்கோட்டை y -அச்சாகவும்,
P -ஐ ஆதிப்புள்ளியாகவும் கொள்க.
எனவே, P(0, 0), A(0, 3) மற்றும் B(6, 5) ஆகியவை கிடைக்கும்
x -அச்சு பொருத்து A -ன் பிம்பம் \(\bar { A } \) எனில், \(\bar { A } \) என்பது (0, –3) ஆகும்.
\(\bar { A } B \) மற்றும் x -அச்சு ஆகியவை வெட்டும் புள்ளியே தேவையான R ஆகும்
AR மற்றும் BR ஆகியவை கம்பி செல்லும் பாதையாகும் மிகக் குறைந்த கம்பியின் நீளம்
 = AR+BR=\(\bar { A } \)R+RB=\(\bar { A } \)B
\(=\sqrt{{(6-0)}^{2}+{(5+3)}^{2}}\)= 10 கிலோமீட்டர்
\(\bar { A } \)B -ன் சமன்பாடு y-(-3) =\(\left( \frac { 5-(-3) }{ 6-0 } \right) (x-0)\) 
4x-3y = 9
y = 0 எனில்R\(\left( \frac { 9 }{ 4 } ,0 \right) \)  ஆகும்.
எனவே, துணை மின் நிலையம் P -லிருந்து 2.25 கிமீ தூரத்தில் இருக்கும்.
R\(\left( \frac { 9 }{ 4 } ,0 \right) \)    மற்றும் A(0, 3) ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும்
RA -ன் சமன்பாடு 4x + 3y = 9
RA மற்றும் RB (அல்லது \(\bar { A } \)B) ஆகிய இரு கம்பிகள் செல்லும் சமன்பாடுகள் முறையே 4x+3y = 9 மற்றும்  4x-3y = 9

y = mx + 2 என்ற நேர்க்கோட்டுத் தொகுப்பில் உள்ள தேவையான கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண,துணையலகு m -ன் மதிப்புகளைக் காண வேண்டும்.
y = mx + 2 மற்றும் 2x + 3y = 10 ஆகிய இரு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி
\(\left( \frac { 4 }{ 3m+2 } ,\frac { 10m+4 }{ 3m+2 } \right) \)  ஆகும்.
இங்கு, சாய்வு m மதிப்பு மற்றும் x -ன் ஆயக்கூறுகள் முழு எண்கள் என கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
எனவே  x -ன் மதிப்பு \(\frac { 4 }{ 3m+2 } \) என்பது ஒரு முழு எண் ஆகும்.
⇒  3m + 2 என்பது 4 -ஐ வகுக்கும் முழு எண்களாக இருக்கவேண்டும்.
(அதாவது ,\(±1,±2\) மற்றும் ±4)
எனவே 3m + 2 = ±1, 3m + 2 = ±2, 3m + 2 = ±4
இங்கு m என்பது ஒரு முழு எண், மேலுள்ள சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதால்
 m = {-2,-1,0} எனக் கிடைக்கும்.
தேவையான சமன்பாடுகள் y=-2x+2,y=-x+2 மற்றும் y = 2 ஆகும்.

L என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு m என்க. மேலும் இக்கோடானது (9, 4) என்ற புள்ளி வழியே செல்கிறது எனில் L -ன் சமன்பாடு
y-4 = m(x-9).  (m<0)
P மற்றும் Q என்ற புள்ளிகள் முறையே \(\left( 9-\frac { 4 }{ m } ,0 \right) \) மற்றும் (0, 4 - 9m) ஆகும்.
|OP|+|OQ|=\(\left| 9-\frac { 4 }{ m } \right| \)+|4-9m|
=\(\left| 9+\frac { 4 }{ k } \right| \)+|4+9k|   (∵ m<0 எனில் m=-k,k>0 என்க)
=\(\left( \frac { 4 }{ k } +9k \right) \)+(4+9k) (∵ எல்லா உறுப்புகளும் மிகை ஆகும்.)
=(4+9)+\(\left( \frac { 4 }{ k } +9k \right) \)
≥13+2\(\sqrt { \frac { 4 }{ k } \times 9k } \)    (A.M. ≥ G.M.)
|OP|+|OQ|>25
எனவே, |OP|+|OQ| -ன் மீச்சிறு மதிப்பு 25 ஆகும்.

P(h, k) ஒரு நகரும் புள்ளி என்க.
P(\(\alpha \), \(\beta\)) ஒரு புள்ளி, O(0, 0) ஆதிப்புள்ளி
P ஆனது OQ-ஐ வெளிப்புறமாக 3 : 4 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
\(\therefore (h,k)=\left( \frac { 3\alpha -4(0) }{ 3-4 } ,\frac { 3\beta -4(0) }{ 3-4 } \right) \) \(\left[ \because (x,y)\left[ \frac { { mx }_{ 2 }-{ nx }_{ 1 } }{ m-n } ,\frac { { my }_{ 2 }-{ ny }_{ 1 } }{ m-n } \right] \right] \)
\((h,k)=\left( \frac { 3\alpha }{ -1 } ,\frac { 3\beta }{ -1 } \right) \)
\((h,k)=\left( -3\alpha ,-3\beta \right) \)
இருபுறமும் ஒத்த கெழுக்களை சமப்படுத்த
h = -3\(\alpha \) \(\Rightarrow\)

\(k=-3\beta \) 
\(\alpha =\frac { h }{ -3 } ,\beta =\frac { k }{ -3 } \)
Q(\(\alpha \),\(\beta\)) ஆனது x² + y² + 4x - 3y + 7 = 0 ன் மீது அமைவதால்
\({ \left( \frac { -h }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { -k }{ 3 } \right) }^{ 2 }+4\left( \frac { -h }{ 3 } \right) -3\left( \frac { -k }{ 3 } \right) +7=0\)
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ 9 } +\frac { { k }^{ 2 } }{ 9 } -\frac { 4h }{ 3 } +k+7=0\)
9 ஆல் பெருக்க
\(\Rightarrow { h }^{ 2 }+{ k }^{ 2 }-12h+9k+63=0\)
P(h,k) ன் நியமப்பாதை x² + y² - 12x + 9y + 63 = 0 ஆகும்.

P(h,k) என்பது தேவையான நியமப்பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.
h = a(θ- sin θ)  (6.1)
k = a(1-cosθ)   (6.2)
மேற்கண்ட சமன்பாடு (6.2) இலிருந்து θ மற்றும் sin θ மதிப்புகளைக் காணலாம்.
 k = a(1-cosθ)
\(\cosθ =\frac { a-k }{ a } \Rightarrow \theta ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { a-k }{ a } \right) \)  மற்றும் \(\sin\ \theta =\frac { \sqrt { 2ak-{ k }^{ 2 } } }{ a } \)
θ மற்றும் sin θ மதிப்புகளை சமன்பாடு (6.1) இல் பிரதியிட,
\(h=\ a\ { \cos }^{ -1 }\left( \frac { a-k }{ a } \right) -\sqrt { 2ak-{ k }^{ 3 } } \)
எனவே, என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை,
 \(x=\ a\ { \cos }^{ -1 }\left( \frac { a-y }{ a } \right) -\sqrt { 2ay-{ y }^{ 2 } } \)