i) சாய்வு முறை
A(1, 3), B(2, 1), C\(\left( \frac { 1 }{ 2 } ,4 \right) \)கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்
AB-ன் சாய்வு \(=\frac { 1-3 }{ 2-1 } =\frac { -2 }{ 1 } \left( \because m=\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \right) \)
BC-ன் சாய்வு =\(\frac { 4-1 }{ \frac { 1 }{ 2 } -2 } =\frac { 3 }{ \frac { 1-4 }{ 2 } } =\frac { 6 }{ -3 } =-2\)
\(\therefore\) AB -ன் சாய்வு = BC-ன் சாய்வு
\(\therefore\) AB || BC, B-ன் பொதுப்புள்ளி
\(\therefore\) A,B,C ஒரே கோட்டில் அமையும்.
ii) நேர்கோட்டு முறை மற்றும்
AB-ன் சமன்பாடு \(\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \Rightarrow \frac { y-3 }{ 1-3 } =\frac { x-1 }{ 2-1 } \)
\(\Rightarrow \frac { y-3 }{ -2 } =\frac { x-1 }{ 1 } \Rightarrow y-3=-2x+2\)
\(\Rightarrow 2x+y-5=0\)
\(C\left( \frac { 1 }{ 2 } ,4 \right) \)-ஐ பிரதியிட
\(2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) +4-5=1+4-5=0\)
\(\therefore\) A, B, C என்பன ஒரே கோட்டில் அமைவன என நிரூபிக்கப்பட்டது. 
iii) வேறு ஏதேனும் முறை

\(\Delta ABC\) - ன் பரப்பு =\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left( 6+\frac { 1 }{ 2 } +4 \right) -\left( 1+8+\frac { 3 }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left( 10+\frac { 1 }{ 2 } \right) -\left( 9+\frac { 3 }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 10+\frac { 1 }{ 2 } -9-\frac { 3 }{ 2 } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } (1-1)=\frac { 0 }{ 2 } =0\)
\(\therefore \Delta ABC\)- யின் பரப்பு =0, \(\therefore \) A,B, C ஒரே கோட்டில் அமையும் புள்ளிகள் ஆகும்.

i) வெப்பநிலை C-க்கும் F-க்கும் இடையே உள்ள நேரிய தொடர்பின் சமன்பாடு
\(\frac { F-32 }{ 212-32 } =\frac { C-0 }{ 100-0 } \)
\(\frac { F-32 }{ 180 } =\frac { C }{ 100 } \Rightarrow C=\frac { 100 }{ 180 } (F-32)\)
\(C=\frac { 5 }{ 9 } (F-32)\) ...(1) (or) \(F=\frac { 180 }{ 100 } C+32\)
\(\Rightarrow F=\frac { 9 }{ 5 } C+32\)
(\(\therefore\) x செல்சியஸ் வெப்பநிலையையும், y பாரன்ஹீட் வெப்பநிலையையும் குறிக்கிறது) 
ii) F=98.6° எனில் C =?
C-ன் மதிப்பை காண (1) பிரதியிட
\(\Rightarrow C=\frac { 5 }{ 9 } (98-6-32)\)
\(\Rightarrow \frac { 5 }{ 9 } (66.6)=\frac { 333 }{ 9 } =37°\)
iii) C=38° எனில் F=?
F-ன் மதிப்பை காண (1)-ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow 38=\frac { 5 }{ 9 } (F-32)\)
\(\Rightarrow \frac { 38\times 9 }{ 5 } =F-32\)
\(\Rightarrow \frac { 342 }{ 5 } +32=F\Rightarrow F=68.4+32\)
\(\Rightarrow F=100.4°C\)

x-y+3=0 என்ற கோட்டின் சாய்வுக் கோணம் 45⁰ மற்றும் புள்ளி (4,7) கோட்டின் மீது உள்ளது.
துணையலகு வடிவத்திலிருந்து,
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ cos\theta } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ sin\theta } \)=r
மேற்கண்ட சமன்பாட்டை இவ்வடிவத்தில் எழுதலாம்
\(\frac { x-a }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } =\frac { y-7 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } \)=土5\(\sqrt { 2 } \)
(கோட்டின்மீது (4,7) - க்கு வெவ்வேறு பக்கங்களிலிருந்து தூரம் r=土5\(\sqrt { 2 } \))
அதாவது, x-4=y -7=土5
இதன் மூலம், கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள (4,7) என்ற புள்ளிக்கு ஏதேனும் ஒரு பக்கத்திலிருந்து 5\(\sqrt { 2 } \) அலகுகள் தூரத்தில் உள்ள புள்ளிகள் (4+5, 7+5) மற்றும் (4-5, 7-5)
தேவையான புள்ளிகள் (9, 12), (–1, 2) மற்றும் சாய்வு
m =tan 60°=\(\sqrt { 3 } \)
மேற்கண்ட மதிப்புகளை பயன்படுத்தி சாய்வு-புள்ளி வடிவத்தில் எழுத
\(\sqrt { 3 } \)x-y+(12-9\(\sqrt { 3 } \)) = 0 மற்றும்
\(\sqrt { 3 } \)x-y+(2+\(\sqrt { 3 } \)) = 0

P(h, k) நகரும் புள்ளி என்க.
A(4, 0), B(-4, 0) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்.
PA + PB = 10
\(\sqrt { { (h-4) }^{ 2 }+{ (k-0) }^{ 2 } } +\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ (k-0) }^{ 2 } } =10\)
\(\sqrt { { (h-4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } =10-\sqrt { { (h-4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\Rightarrow { (h-4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 }=100+\left[ { \left( h+4 \right) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } \right] -20\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow h^{ 2 }-8h+16+{ k }^{ 2 }=100+{ h }^{ 2 }+16+8h+{ k }^{ 2 }-20\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)

\(\Rightarrow -16h-100=-20\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
-4 ஆல் இருபுறமும் வகுக்க
\(\Rightarrow 4h+25=5\sqrt { { (h+4) }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தினால் கிடைப்பது.
\(\Rightarrow\) (4h + 25)² = 25(h² + 8h + 16 + k²)
\(\Rightarrow\)(16h² + 625 + 200h = 25h² + 400 + 200h + 25k²
\(\Rightarrow\) 9h² + 25k² = 225 \(\Rightarrow\) 9h² + 25k² = 225  (\(\because\) 225 ஆல் இருபுறமும் வகுக்க)
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ 25 } +\frac { { k }^{ 2 } }{ 9 } =1\)
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\)

ஒரு கூட்டுத் தொடர் முறையானது ஒரு நேரிய சார்பு ஆகும். x என்பது உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் y என்பது அந்த உறுப்பின் மதிப்பு என்க
(x₁, y₁) மற்றும் (x₂, y₂) முறையே (7, 30) மற்றும் (10, 21) என்க.
y-y₁=m(x-x₁) என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து
y-y₁=\(\frac { ({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }) } (x-x_ 1)\) 
y-30=\(\frac { (21-30) }{ (10-7) } (x -7)\)
y=-3x+51      ....(6.14)
(i) x = 1, 2 மற்றும் 3 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட A.P. -ன் முதல் மூன்று உறுப்புகள் முறையே 48, 45 மற்றும் 42 ஆகும்
(ii) y = 0 எனச் சமன்பாடு (6.14) -ல் பிரதியிட
0=-3x+51 ⇒ x=17
அதாவது, கூட்டுத்தொடர் முறையில் பதினேழாவது உறுப்பு பூச்சியமாகும்.
(iii) இந்நேர்கோட்டின் சாய்வு -3, கூட்டுத் தொடரின் பொது வித்தியாசத்திற்குச் சமம் என்பது தெளிவாகியது.(கூட்டுத்தொடரின் பொது வித்தியாசமும், அதன் கோட்டின் சாய்வும் ஒன்றே என நிரூபிக்க முயற்சிக்கவும்).