sin\(\frac { \theta }{ 2 } \) =\(\quad \frac { 1 }{ 2 } |\vec { a } -\vec { b } |\)
\(\vec { a } ,\vec { b } \) என்பன அலகு வெக்டர்கள் அவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ என்க.
\(|\vec { a } -\vec { b } |^{ 2 }=|\vec { a } |^{ 2 }+|\vec { b } |^{ 2 }-2(\vec { a } ).(\vec { b } )\)
=1+1-2\(|\vec { a } ||\vec { b } |\)cosθ
=2-2cosθ=2(1-cosθ)
=2.2sin²\(\frac { \theta }{ 2 } \)
sin\(\frac { \theta }{ 2 } \)=\(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { a } -\vec { b } |\)

\(|\vec { a } |\)=5, \(|\vec { b } |\)=6, \(|\vec { c } |\)=7
\(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } \)=0
\(|\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } |=|\vec { a } |^{ 2 }+|\vec { b } |^{ 2 }+|\vec { c } |^{ 2 }+2(\vec { a } .\vec { b } )+2(\vec { b } .\vec { c } )+2(\vec { c } .\vec { a } )=0\)
=25+36+49+2\((\vec { a } .\vec { b } +\vec { b } .\vec { c } +\vec { c } .\vec { a } )\)=0
⇒ 110 +(\(\vec { a } .\vec { b } +\vec { b } .\vec { c } +\vec { c } .\vec { a } \))=0
⇒ 2(\(\vec { a } .\vec { b } +\vec { b } .\vec { c } +\vec { c } .\vec { a } \))=-110
⇒ \(\vec { a } .\vec { b } +\vec { b } .\vec { c } +\vec { c } .\vec { a } \)=-55

O -வை ஆதியாகக் கொள்க.
\(\overline { OA } =2\vec { a } +4\vec { b } \) மற்றும் \(\overline { OB } =2\vec { a } -8\vec { b } \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
C மற்றும் D என்ற புள்ளிகள் AB என்ற கோட்டுத்துண்டை 1:3 என்ற  விகிதத்தில் முறையே உட்புறமாகவும் வெளிப்புறமாகவும் பிரிக்கின்றது என்க. எனவே 
\(\overline { OC } =\frac { 3\overline { OA } +\overline { OB } }{ 3+1 } =\frac { 3(2\vec { a } +4\vec { b } )+(2\vec { a } -8\vec { b } ) }{ 4 } =2\vec { a } +\vec { b } \)
\( \overline { OD } =\frac { 3\overline { OA } -\overline { OB } }{ 3-1 } =\frac { 3(2\vec { a } +4\vec { b } )-(2\vec { a } -8\vec { b } ) }{ 2 } =2\vec { a } +10\vec { b } .\)

ΔABC-யின் முனைப்புள்ளிகள்  A,B,C-யின் நிலை வெக்டர்கள் \(\vec { OA } ,\vec { OB } ,\vec { OC } \) முறையே \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்க. G என்பது ΔABC-யின் சந்தி என்க.
\(\vec { OG } =\frac { \vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } }{ 3 } \)
⇒ 3\(\vec { OG } =\vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } \)
∴ L.H.S.=\(\vec { GA } +\vec { GB } +\vec { GC } \)
=\(\vec { OA } -\vec { OG } +\vec { OB } -\vec { OG } +\vec { OC } -\vec { OG } \)
=\(\vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } -3\vec { OG } \)
=\(\vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } -[\vec { OA } +\vec { OB } +\vec { OC } ]\)
=\(\vec { 0 } \)=RHS.

ABCD ஓர் இணைகரம் \(\vec { AB } =\vec { a } ,\vec { AC } =\vec { b } \)
ΔABC-ல் \(\vec { AC } =\vec { AB } +\vec { BC } \)
⇒ \(\vec { b } =\vec { a } +\vec { BC } \)
⇒ \(\vec { BC } =\vec { b } -\vec { a } \)
ABCD ஓர் இணைகரம் என்பதால்,
\(\vec { CD } ||-\vec { AB } \)
∴ \(\vec { CD } =\vec { AB } =-\vec { a } \)
\(\vec { DA } =-(\vec { BC } )=-(\vec { b } -\vec { a } )\)
⇒ \(\vec { DA } =\vec { a } -\vec { b } \)
ΔBCD-யில் \(\vec { BD } =\vec { BC } +\vec { CD } \)
=\(\vec { b } -\vec { a } +(-\vec { a } )=\vec { b } -2\vec { a } \)
∴ இணைகரத்தின் மற்ற மூன்று பக்கங்கள்
\(\vec { b } -\vec { a } ,-\vec { a } ,\vec { a } -\vec { b } \) மற்றும் மூலைவிட்டம் \(\vec { b } -2\vec { a } \).