\(\mathrm{T}^2 =\mathrm{C}\left(\mathrm{R}_{\mathrm{E}}+\mathrm{h}\right)^3  \)
\(T  \propto\left(R_E\right)^{3 / 2} \)
\(R_E^{\prime} =2 R_E\) எனில் \(T^{\prime} \propto\left(2 R_E\right)^{3 / 2}\)
∴ அலைவு நோம் 2^3/2 மடங்கு அதிகரிக்கும்
ஒா் ஆண்டின் நாட்கள் \(=(365.4) \times 2 \sqrt{2} \)
\(\simeq 1032\)

ஈர்ப்பியல் விசை \(F \propto m_1 m_2\)
\(m_1^1=2 m ; m_2^1=2 m_2\) எனில்
\(F \propto m_1^1 m_2^1 \)
\(F \propto\left(2 m_1\right)\left(2 m_2\right) \)
\(F \propto 4 m_1 m_2\)

கடக்கும் தொலைவு \(s=\frac{1}{2} g t^2 ; s \alpha t^2\)
கடக்கும் தொலைவுகளின் விகிதம் 1: 4: 9:...... 

(அ) (ஆ) மற்றும் (இ) ஆகிய தோ்வுகள் எதிர்க் கடிகாரத் திசையில் அமையப் பெற்ற அச்சுகளைக் கொண்டுள்ளது. தேர்வு (ஈ) மட்டும் கடிகாரத் திசையில் அச்சுகள் அமைந்துள்ளன.

விசை \(\mathrm{F} =v \frac{d x}{d t} \)
\(=v \frac{d}{d t}\) (கனஅளவு x அடர்த்தி)
\(=v \frac{d}{d t}(A x \rho)  \)
\(=v A \rho \frac{d x}{d t}  \)
\(=v A \rho \times v  \)
\(=A \rho v^2\)
திறன் = விசை x திசைவேகம் 
\(=A \rho v^2 \times v=A \rho v^3\)
∴ திறன் \(\propto v^3\)

ஆரம் = R
\(v_1^2-v_2^2 =4 \mathrm{gr}\)     ....(1)
இழுவிசை \(\mathrm{T}_2=\frac{m v_2^2}{r_2}-m g\)
T₂ = 0 உண்மையான திசைவேகம்
\(0 =\frac{m v_2^2}{r}-m g  \)
\(\frac{m v^2}{r} =m g  \)
\(v_2^2=\operatorname{rg} \therefore v_2=\sqrt{g r} \)   ....(2)
(2) யை (1) இல் பிரதியிட
\(v_1^2-(\sqrt{g r})^2 =4 \mathrm{gr}  \)
\(v_1^2-g r =4 \mathrm{gr}  \)
\(v_1^2 =4 \mathrm{gr}+\mathrm{gr}=5 \mathrm{gr}  \)
\(\mathrm{v}_1 =\sqrt{5 g r}\)

உட்புகுதிறனின் பரிமாணம்
\(\varepsilon=\left[\mathrm{A}^2 C^2 N^{-1} m^2\right]\)
போல்ட்ஸ்மேன் மாறிலியின் பரிமாணம்
\(k_B=\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}\right]\)
வெப்பநிலை பரிமாணம் = T
ஒரலகு பருமனில் உள்ள மின்னூட்டங்களின் எண்ணிக்கை = பரிமாணம் இல்லை
மின்னூட்டத்தின் பரிமாணம் = AT
நீளத்தின் பரிமாணம் = L
\(\sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n g^2}}\) இன் பரிமாணம்
\(=\sqrt{\frac{\left[A^2 L^2 N^{-1} m^{-2}\right]\left[M L^2 T^{-2} K^{-1}\right][T]}{[A T]^2}}  \)
\(=\sqrt{L^2}=L\)
= நீளத்தின் பரிமாணம்
\(\therefore l=\sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{n q^2}}\)

பிளாங்க் மாறிலியின் பரிமாண வாய்ப்பாடு
= ஆற்றல் / அதிர்வெண்
\(=\frac{M L^2 T^{-2}}{T^{-1}}  \)
\(=M L^2 T^{-2+1}=M L^2 T^{-1}\)

மையத்தின் வழியேநிலைமத்திருப்புத்திறன்
\(I=\frac{1}{2} M R^2\)
முதல் வட்டத்தட்டில் ஆற்றல் \(=\frac{1}{4} I \omega_1^2\)
இரண்டாவது வட்டத்தட்டில் ஆற்றல்
\(=\frac{1}{4} I \omega_2^2\)
ஆற்றலில் இழப்பு \(\frac{1}{4} \mathrm{I}\left(\omega_1-\omega_2\right)^2\)

(i) மிக அதிகமான வெப்ப ஏற்புத்திறன் கொண்ட வெப்ப இயக்கவியல் அமைப்பு என்று இதனை வரையறுக்கலாம்.
(ii) தேக்கியிலிருந்து வெப்பத்தை எடுத்தாலும் அல்லது தேக்கிக்கு வெப்பத்தை அளித்தாலும் தேக்கியின் வெப்பநிலை மாறாது.  

நைட்ரஜன், ஆக்சிஜன் போன்ற கனமான மூலக்கூறுகள் தப்பிச் செல்ல போதுமான வேகம் உடையவை அல்ல. ஆனால் ஹைட்ரஜன், ஹீலியம் போன்ற லேசான மூலக்கூறுகள் புவிப்பரப்பை விட்டு தப்பி செல்வதற்கு போதுமான வேகம் கொண்டுள்ளன.

(i) ஈர்ப்பின் முடுக்கமானது முடுக்கமடையும் பொருளின் நிறையைச் சார்ந்ததல்ல.
(ii) g ன் மதிப்பு புவியின் நிறையையும், ஆரத்தையும் சார்ந்துள்ளது.
(iii) புவியை நோக்கி விழும் அனைத்துப் பொருள்களும் சமமாக முடுக்கமடைகிறது.
(iv) பூமத்தியரேகைப் பகுதியில் g=9.8 ms^-2

வேகவைக்கப்பட்ட சூடான  முட்டையை குளிர்ந்த தண்ணீரில் போட்டு அதன் ஓட்டினை உரித்தால் அது முட்டையிலிருந்து  எளிதாக பிரிந்து வரும். ஏனெனில் முட்டை மற்றும் ஒடு ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு வெப்பவிரிவைப் பெற்றிருப்பதாகும். 

(i) பெர்னெளலி தேற்றமானது, முக்கியமாக தணியங்கி வாகனங்களில் கார்புரேட்டர் , வடிகட்டி பாம்புகள் , தெளிப்பான்கள் ஆகியவற்றை வடிவமைக்கப் பயன்படுகிறது.
(ii) உதாரணமாக கார்புரேட்டரில்  குழாய்முனை எனப்படும் நுண்ணிய  துளையின் வழியாக காற்றானது மிக வேகமாக உள்ளே வருகிறது.இந்நேர்வில் நுண்ணிய கழுத்துப் பகுதியில்  அழுத்தம் குறைக்கப்பட்து, பெட்ரோல் அல்லது  எரிபொருள் உள்ளிழுக்கப்பட்டவுடன் கலனில் பற்றவைப்புக்கு சரியான அளவில் காற்றும் எரிபொருளும் கலக்கப்படுகிறது.                                             

லாரியானது சீரான வேகத்தில் செல்லும்போது அதன் வாயு மூலக்கூறுகளின் இடம் பெயர்வு இயக்கத்தில் எவ்வித பாதிப்பும் இருக்காது. ஆகையால், வாயு மூலக்கூறுகளின் வெப்ப நிலையும் மாறாது.  

வாயுவின் ஒரு மோலுக்கான இயக்க ஆற்றல் 
\(\frac { 1 }{ 2 } M\overline { { v }^{ 2 } } =\frac { 3 }{ 2 } RT\)
\(R=NK\)

உருக்குலைவிக்கும் விசைகள் நீக்கப்பட்ட பிறகு பொருளானது அதன் தொடக்க அளவு மற்றும் வடிவத்தை மீளப் பெறக்கூடிய தகைவின் பெருமமதிப்பு மீட்சி எல்லை எனப்படும்        

நிறை m =10 kg 
விசை F=16N 
காலம் t =10s 
\(a=F/m=\frac { 16 }{ 10 } =1.6m{ s }^{ -2 }\)
நாம் அறிந்தவாறு, 
v=u+at=0+1.6x 10=16ms^-1
இயக்க ஆற்றல் K.E=\(\frac{1}{2}\)mv²
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times 10\times 16\times 16=1280J\)

(i) பொருளின் அமைப்பிற்குள் உள்ள துகள்களுக்கிடையே செயல்படும்  விசை அகவிசை.
(ii) வெளிப்புறத்தில் இருந்து துகள்கள் அடங்கிய அமைப்பின் மீது செயல்படும் விசை புறவிசை.

செய்யப்பட்ட மொத்த வேலைக்கும் எடுத்துக்கொண்ட மொத்த நேரத்திற்கும் இடையே உள்ள விகிதம் சராசரித் திறன்(P_{சராசரி}) என வரையறுக்கப்படுகிறது.
P_{சராசரி} =

 

கேரம், பில்லியர்ட்ஸ், கோலிக்குண்டு ஸ்நோபால் எனப்படும் ஐஸ் பந்து விளையாட்டுகள். இரு பொருட்களுக்கிடையே மோதல்களானது தொடுதலுடன் அல்லது தொடுதலின்றி ஏற்படலாம்.

ஒன்றிணைந்துப் பார்த்தல் என்பது வேறுபட்ட இயற்பியல் நிகழ்வுகளை ஒரு சில தத்துவங்கள் மற்றும் விதிகளைப் பயன்படுத்தி விளக்க முயற்சித்தலாகும். (எ.கா) சூரியனைச் சுற்றி வரும் கோள்களின் இயக்கம்.

படித்தர வெப்பநிலை மற்றும் அழுத்தத்தில் வெப்பநிலை 
(S.T.P)= T₁=273 K
v_rms 1வாயுவின்  v_rms=v
v_rms 2=3v
v_rms 2ல் புதிய வெப்பநிலை T₂=?
v_rms= \(\sqrt{3RT\over m},i.e\)v_rms\(\alpha T\)
\({v^2_{rms \ 1}\over v^2_{rms \ 2}}={V^2\over(3V)^2}={273\over T_2}\)
 \(\therefore\)T₂=273 x 9=2457 K

நிலவின் குறைந்த ஈரப்புவிசையின் காரணமாக, நிலவுப் பரப்பில் உள்ள வாயுக்களின் சராசரி இருமுடி மூல வேகமானது அதன் விடுபடு வேகத்தைவிட அதிகமாக உள்ளது. இதன் காரணமாக நிலவுப்பரப்பில் உள்ள அனைத்து வாயுக்களும் நிலவிலிருந்து வெளியேறி விடுகின்றன.

பருமன் மாறா நிகழ்விற்கான நிலைச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
P=\(\left( \frac { \mu R }{ V } \right) \)
இங்கு \(\left( \frac { \mu R }{ V } \right) \)=மாறிலி
இதிலிருந்து அழுத்தம், வெப்பநிலைக்கு (கெல்வின்) நேர்த்தகவில் இருக்கும்.

மாறப்பருமனில் μ மோல் அளவுள்ள வாயுவிற்குக் கொடுக்கப்படும் வெப்பத்தை Q என்றும், அதனால் ஏற்படும் வெப்பநிலை வேறுபாட்டை Δ எனவும் கொண்டால்
Q = μC_vΔT   ....(1)
என எழுதலாம்.
இம் மாறாபரும நிகழ்விற்கு வெப்ப இயக்கவியலின் முதல் விதியைப் பயன்படுத்தினால் (W = 0, ஏனெனில் dv = 0)
Q = ΔU - 0  ....(2)
எனக் கிடைக்கும்.
(1) மற்றும் (2) இவற்றை ஒப்பிடும்போது
ΔU = μC_vΔT or C_v = \(\frac {lΔU}{μΔT}\)
ΔT யின் எல்லை சுழியினை அடையும்போது (ΔT ➝ 0) நாம் பெறுவது
Cv  = \(\frac {ldU}{μdT}\)
என எழுதலாம். இங்கு வெப்பநிலை மற்றும் அக ஆற்றல் இரண்டுமே நிலை மாறிகள். எனவே மேற்கண்ட சமன்பாடு அனைத்து நிகழ்வுகளுக்கும் பொருத்தமானதாகும்.

            

திரவத்தின் ஒப்படர்த்தி 0.72 = \(\rho \)_{திரவம்}
 Ag-இன் ஒப்படர்த்தி 10 = \({ \rho }_{ Ag }\)
வெள்ளிக் கட்டியின் நிறை = x kg 
கம்பியில் நீட்சி T = 37.12 N 
தோற்ற எடை W_app = W-B 
m =\(\rho \)_{திரவம்} x  V_g   \(\left[ \rho =\cfrac { m }{ V } \right] \)
= 0.72 x V_g
\(W={ \rho }_{ Ag }\quad V_{ g }=10\quad { V }_{ g }\)
W_app   =10V_g-0.72V_g
W_app= 9.28 V_g
\({ V }_{ p }=\cfrac { 37.12 }{ 9.28 } \)
Mass x = 4kg

புவிப் பரப்பிற்கு மேலே உள்ள = h = 200km
g_h = ? R_e = 6371 km
\({ g }_{ h }=g\left[ 1-\frac { 2h }{ R } \right] \)
\({ g }_{ h }=g\left[ 1-\frac { 2\times 200 }{ 6371 } \right] =\frac { 5971 }{ 6371 } g\)
g_h = 0.937g (or) g_h = 0.94 g
புவி பரப்பிற்குக் கீழே ஆழம் d = 200km
g_d = ? R_e = 6371km
\({ g }_{ d }=g\left( 1-\frac { d }{ { R }_{ e } } \right) \)
\(g=\left( 1-\frac { 200 }{ 6371 } \right) =g\left( \frac { 6171 }{ 6371 } \right) \)
g_d = 0.968g.
\(\therefore\) g_d < g_h

சூரியனிலிருந்து இரு கோள்கள் உள்ள தொலைவுகளின் தகவு \(\frac { { d }_{ 1 } }{ { d }_{ 2 } } =2\)
இரு கோள்கள் உணரும் ஈர்ப்பு புல வலிமைகளின் தகவு \(\frac { { E }_{ 1 } }{ { E }_{ 2 } } =?\)
\(E=\frac { Gm }{ { r }^{ 2 } } \)
\(\therefore { E }_{ 1 }=\frac { Gm }{ { d }_{ 1 }^{ 2 } } ;{ E }_{ 2 }=\frac { Gm }{ { d }_{ 2 }^{ 2 } } \)
\(\therefore \frac { { E }_{ 1 } }{ { E }_{ 2 } } =\frac { Gm }{ { d }_{ 1 }^{ 2 } } \times \frac { { A }_{ 2 }^{ 2 } }{ Gm } \)
\(\frac { { E }_{ 1 } }{ { E }_{ 2 } } =\frac { { d }_{ 2 }^{ 2 } }{ { d }_{ 1 }^{ 2 } } \)
\(\frac { { E }_{ 2 } }{ { E }_{ 1 } } ={ \left( \frac { { d }_{ 1 } }{ { d }_{ 2 } } \right) }^{ 2 }={ 2 }^{ 2 }\) \(\left[ \because \frac { { d }_{ 1 } }{ { d }_{ 2 } } =2 \right] \)
\(\therefore\) E₂ = 4E₁

1.ரேடியன்/நொடி கோண திசைவேகத்துடன் சுழலும் பொருளின் இயக்க ஆற்றலின் இருமடங்கு நிலைமத் திருப்புத்திறன் என வரையறுக்கப்படுகிறது.

(1) \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) என்ற இரண்டு வெக்டர்கள், ஒரே திசையிலும் இணைகோடுகள் வழியாகவும் செயல்பட்டால் அவற்றை இணைவெக்டர்கள் என்று அழைக்கலாம்.
(2) இணைகோடுகள் வழியே செயல்படுவதால் அவற்றுக்கு இடையே உள்ளகோணம் 0⁰.

ஒரே எண் மதிப்பையும் ஒரே திசையிலும் செயல்பட்டு ஒரே இயற்பியல் அளவினைக் குறிப்பிடும் வெக்டர்கள் சம வெக்டர்கள் எனப்படும். மேலும் சம வெக்டர்களின் கூறுகளும் தனித்தனியே சமமாக இருக்க வேண்டும்.

மைய நோக்கு விசை சீராக இருக்காது ஏனெனில் அதன் எண் மதிப்பு மாறாத நிலையில் இருக்கின்ற போதும் அதன் திசையில் மாற்றம் ஏற்படுகிறது.

1.புவியின் மையத்திலிருந்து சூரியனின் மையம் வரை உள்ள சராசரி தொலைவு வானியல் அலகு எனப்படும்.
2. 1 வானியல் அலகு =1.496 x 10¹¹மீ .

நிறை = m
\(\alpha =0.2 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-2}  \)
\(\omega =0  \)
\(\mathrm{t} =3 \mathrm{~s}  \)
\(\theta =\omega_0 t+\frac{1}{2} \alpha t^2  \)
\(=0+\frac{1}{2} \times 0.2 \times 9  \)
\(=0.9 \mathrm{rad}  \)
\(=0.9 \times \frac{180}{22} \times 7  \)
\(=51.5^{\circ}\)

நீரூற்றிலிருந்து வரும் நீா் வட்டப் பாதை இயக்கம் உடையது. எனவே
மையநோக்கு முடுக்கம் \(=\frac{v^2}{r}\)
மைய நோக்கு முடுக்கத்தை புவி ஈர்ப்பு முடுக்கம் அளிக்கிறது.
\(\therefore \mathrm{g}=\frac{v^2}{r}\)
அல்லது \(\mathrm{r}=\frac{v^2}{g}\)
நீரூற்றை சுற்றி ஈரமாகும் பகுதியின் பரப்பு \(=\pi r^2\)
\(=\pi\left(\frac{v^2}{g}\right)^2=\frac{\pi v^4}{g^2}\)

மீட்டர் அளவுகோல் தீக்குச்சியைவிட நீளத்திலும், அளவிலும் பெரியது.
எனவே அதன் ஈர்ப்பு மையத்தை எளிதில் அறிய முடியும்.
தீக்குச்சி அளவில் சிறியது மேலும் அதன் ஈர்ப்பு மையம் சிறிய அளவில் இருக்கும். ஆகையால் தீக்குச்சியை விரல் நுனியில் சமன் செய்வது கடினமாக உள்ளது.
ஆனால் ஈர்ப்புமையம் பெரிதாக உள்ள மீட்டர் அளவுகோலை எளிதில் விரல் நுனியில் சமன் செய்ய இயலுகிறது.

இரு நூலிலும் உள்ள இழுவிசை T கல்லெறி கருவியின் மீதுள்ள விசை கீழ்நோக்கி செயற்படுகின்றது.
\(\frac{2 T}{\sin 2 \theta} =\mathrm{F}  \)
\(\frac{2 T}{\sin (2 \times 30)} =50  \)
\(\frac{2 T}{\sin 60^{\circ}} =50 \mathrm{~N} \quad \frac{2 T}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=50 \mathrm{~N}  \)
\(\therefore T =\frac{50}{\sqrt{3}}=28.268 \mathrm{~N}\)

தொகுதி சமநிலையில் இருப்பதற்கு, m₁ என்ற கப்பியுடன் இணைந்துள்ள நூலின் மீதுள்ள இழுவிசை
\(T=\mu_s\left(m_3+m_1\right) g\)    ....(1)
m₂ என்ற கப்பியின் சமநிலையில்
T = m₂ g    ....(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) களிலிருந்து
\(\mu_s\left(m_3+m_1\right) g=m_2 g  \)
\(\therefore m_3=\frac{m_2}{\mu_s}-m_1\)

திசைவேகம் v = 5 ms^-1
மோதலின் கோணம் θ = 60°
மீட்சியளிப்பு குணகம் e = 0.5
\(\mathrm{e}=0.5 =\frac{v \cos \left(90^{\circ}-60^{\circ}\right)}{u \cos 60^{\circ}}  \)
\(=\frac{v \sin 60^{\circ}}{5 \cos 60^{\circ}}  \)
\(0.5 =\frac{v \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{5 \times \frac{1}{2}}=\frac{v \sqrt{3}}{5}  \)
\(\therefore v \sqrt{3} =5 \times 0.5=2.5  \)
\(\therefore v =0.3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)
மோதலுக்குப் பின் திசைவேகம் = 0.3 m / s

புவியிலிருந்து ஜுபிடரின் தொலைவு \((x)=824.7 \times 10^6 \mathrm{~km}\)
அளவிடப்பட்ட கோணவிட்டம் \((\theta)=35.72^{\prime \prime}\)
\(1^{\prime \prime} =4.85 \times 10^{-6}\) ரேடியன் 
\(\therefore \theta =35.72 \times\left(4.85 \times 10^{-6}\right)\) ரேடியன் 
∴ ஜுபிடரின் விட்டம் \(b=x \times \theta\)
\(\mathrm{x}=\frac{b}{\theta}\)
\(\mathrm{b} =824.7 \times 10^6 \times 173.242 \times 10^{-6}  \)
\(\therefore \mathrm{b} =142,872.6 \times 10^{6-6}  \)
\(=1.428 \mathrm{~km}\)

\(\overset { \rightarrow }{ r } =(7\hat { i } +4\hat { j } -2\hat { k } )\)
\(\overset { \rightarrow }{ F } =(4\hat { i } -3\hat { j } +5\hat { k } )\)
திருப்பு விசை, \(\overset { \rightarrow }{ \tau } =\overset { \rightarrow }{ r } \times \overset { \rightarrow }{ F } \)
\(\overset { \rightarrow }{ \tau } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 7 & 4 & -2 \\ 4 & -3 & 5 \end{matrix} \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ \tau } =\hat { i } (20-6)-\hat { j } (35+8)+\hat { k } (-21-16)\)
\(\hat { \tau } =(14\hat { i } -43\hat { j } -37\hat { k } )Nm\)

ஒரு பொருளானது, சமநிலையில் இருக்கும் போது, எதிர்கடிகார திசையில் திருப்புத் திறன்களின் கூடுதல், திருப்பு புள்ளியில் கடிகார திசையில், திருப்புத் திறன்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

ஐந்து

ஆம், சார்பு திசைவேகம் சுழியாக அமைய வாய்ப்புள்ளது.
A மற்றும் B என்ற இரு பொருள்கள் ஒரே திசையில் சம திசைவேகத்தில் செல்லும்போது அவற்றின் சார்பு திசைவேகங்கள்
V_AB = V_A - V_B = 0 மேலும்
V_BA = V_B - V_A = 0 (இரண்டின் திசைவேகங்களும் சமம்)
இரண்டு பொருட்களும் ஒன்று மற்றொன்றைப் பொறுத்து ஓய்விலிருப்பது போன்று தோன்றும்.

m₁ = m,m₂ = M - m
\(R=\frac { G\left( M-m \right) .m }{ { r }^{ 2 } } =\frac { G\left( M-{ m }^{ 2 } \right) }{ { r }^{ 2 } } \)
m ன் சார்பாக வகைப்படுத்தி \(\frac { dF }{ dm } =\frac { G }{ { R }^{ 2 } } (M-2m)\)
F பெருமம்  எனில் \(\frac { dF }{ dm } \) = 0
\(\frac { G }{ { r }^{ 2 } } \) (M -2m) = 0; M  = 2m 
m  = \(\frac { M }{ 2 } \)
\(\therefore \) m₁ = m₂ = \(\frac { M }{ 2 } \)

கலனில் ஹீலியத்திலுள்ள மோல்களின் எண்ணிக்கை , n = \(\frac { 1 }{ 2 } mole\).
வெப்ப ஏற்புத்திறன் C_v =3 J g^-1 K^-1
 ஹீலியத்தின் மூலக்கூறின் நிறை, M = 4
\(\therefore C_{ v }={ MC }_{ v }=4\times 3\Rightarrow { C }_{ v }=12J/mo1.K\)
\(\therefore \frac { { P }_{ 2 } }{ { P }_{ 1 } } =\frac { { T }_{ 2 } }{ { T }_{ 1 } } =2\)
\(\triangle T={ 2T }_{ 1 }-{ T }_{ 1 }=273K\)
\(\triangle Q=n{ C }_{ v }\triangle T=\frac { 1 }{ 2 } \times 12\times 273\)
\(\triangle Q=1638J\)

ஓரணு வாயுவிற்கு \(\\ { C }_{ v }=\frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 1 }n=1\)மூலக்கூறு,
ஈரணு வாயுவிற்கு\(\\ { C }_{ v }=\frac { 5 }{ 2 } { R }_{ 1 }n=1\) மூலக்கூறு,
ஆற்றல் மாறாக் கோட்பாட்டின்படி,
கலவையின் மூலக்கூறு தன் வெப்பம்,  
\({ C }_{ v }=\frac { n({ C }_{ v })+n'({ C }'_{ v }) }{ n+n' } \)
\(=\frac { 1\times \frac { 1 }{ 3 } R+3\times \frac { 5 }{ 2 } R }{ (2+3) } \)
\(=\frac { 1.5R+7.5R }{ 4 } =\frac { 9R }{ 4 } \)
\(\therefore \)C'_v=9 x 8.31=18.7 J mol^-1 K^-1.

மீட்சிப் பண்பின் பயன்பாடுகள்:
(i) மீட்சிப்பண்பு கட்டிடங்களின்  தூண்கள் மற்றும் விட்டங்களின்   கட்டுமான வடிவமைப்பை முடிவு  செய்கிறது.

(ii) கட்டுமானப் பொறியியலை ப் பொறுத்த வரை ஒரு வடிவமைப்பு தாங்கக்கூடிய தகைவின் அளவானது முதன்மையான பாதுகாப்புக் காரணியாகும். ஒரு பலாமானது அதன்மீது  செல்லும் போக்குவரத்தின் பளு , காற்றின் விசை மற்றும் பாலத்தின் எடை ஆகியவற்றின் தாங்கும் வகையில் வடிவமைக்கப்பட்ட வேண்டும்.
(iii) மிட்ச்ப் பண்பு அல்லது விட்டங்களின் வளைவு என்பது கட்டிடங்கள் மற்றும் பாலங்களின்  உறுதித் தன்மையில் முக்கிய பங்காற்றுகிறது
(iv) எஃகின் யங் குணகம் அலுமினியம்  அல்லது  தாமிரத்தை விட அதிகமாகும் எனத் தெளிவாகும். இரும்பு எஃகுக்கு அடுத்தபடியாக உள்ளது . எஃகு கனரக இயந்திரங்களை வடிவமைக்கும் இரும்புக்கம்பிகள் கட்டிடங்கள் கட்டுவதற்கும் அதிகமாக பயன்படுத்துப்படுவதற்கு இதுவே காரணமாகும்.                           

கணக்கீடு முழுமைக்கு இரண்டு கனச் செவ்வகப் பொருட்களுக்கும் வெவ்வேறு குறிப்பாயங்களைப் பயன்படுத்தினால் தீர்வு காண்பது எளிமையாக்கும். 
கனச் செவ்வகப் பொருள் 1ஐப் பொருத்த வரை சாய்தளத்திற்கு இணையாக மேல் நோக்கிச் செல்லும் இயக்கத்தை நேர்குறி X அச்சுத் திசையிலும் சாய்தளத்திற்கு செங்குத்தாக மேல் நோக்கிச் செல்லும் இயக்கத்தை நேர்குறி y அச்சுத் திசையிலும் கருத வேண்டும். மேலும் கனச் செவ்வகப் பொருள் 2ஐப் பொறுத்தவரை அதன் கீழ் நோக்கிய இயக்கத்தை நேர்குறி y அச்சுத் திசையாகக் கருத வேண்டும்.
கனச் செவ்வகப் பொருள் 1 றிற்கும் சாய்தளத்திற்கும் இடையேயான தொடுவிசையின் செங்குத்துக்கூறு N பின்வருமாறு 
N = m₁g cos\(\theta \)   (1)
கனச் செவ்வகப் பொருள் 1 இன் மீது செயல்படும் தொகுபயன்விசையின் x கூறு 
F_1x = T− f_friction − m₁ g sin\(\theta \)  (2)
இங்கு T என்பது மெல்லிய கயிற்றின் இழு விசை சற்றே சறுக்கும் நிபந்தனையில், உராய்வு விசையின் எண் மதிப்பு 
f_friction = \(\mu\)_sN = \(\mu\)_s m1g cos\(\theta \)  (3)
தொங்கிக் கொண்டிருக்கும் நிறையின் ஈர்ப்பு விசை கயிற்றின் இழு விசையாகச் செயல்படும் 
T = m₂ g (4)
சற்றே சறுக்கும் நிபந்தனையில் கனச் செவ்வகப் பொருள் 1 இன் மீது செயல்படும் தொகுப்பயன் விசை சுழியாகும். 
சமன்பாடுகள் (2),(3) மற்றும் (4) ஆகியவற்றிலிருந்து 
0 = m₂g- \(\mu\)s m₁gcos θ – m₁g sin θ
m₂=m₁( \(\mu\)s cos θ + sin θ)

n₁ = 72 kmh^-1 n₂ = ?
L₁ = 1 km   L₂ = 1m
T₁ = 1h   T₂ = 1s
\({ n }_{ 2 }={ n }_{ 1 }{ \left[ \frac { { L }_{ 1 } }{ { L }_{ 2 } } \right] }^{ a }{ \left[ \frac { { T }_{ 1 } }{ { T }_{ 2 } } \right] }^{ 6 }\)
திசைவேகத்தின் பரிமாண வாய்ப்பாடு
[M⁰ L T¹] = [L T¹]
a = 1 b = -1
\({ n }_{ 2 }=72{ \left[ \frac { 1km }{ 1m } \right] }^{ 1 }{ \left[ \frac { 1h }{ 1s } \right] }^{ 1 }\)
\({ n }_{ 2 }=72{ \left[ \frac { 1000m }{ 1m } \right] }^{ 1 }{ \left[ \frac { 3600s }{ 1s } \right] }^{ 1 }\)
= 72 \(\times\) 1000 \(\times\) 1/3600 = 20 m s^-1
72 km h^-1 = 20 m s^-1

(i) திருப்பு விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை திண்மப் பொருளொன்று நிலையான அச்சைப்பற்றி சுழல்கிறது எனக்கொள்க. இந்தப்பாட புத்தகத்தாளின் தளத்திற்கு செங்குத்தான அச்சைப் பொறுத்துச் சுழலக் கூடிய பொருள் ஒன்றின் குறுக்கு வெட்டுத் தோற்றத்தை படத்தில் காணலாம். F என்ற தொடுகோட்டு விசை பொருளின் மீது P என்ற புள்ளியில் செயல்படுகிறது.
(ii) இந்த தொடுகோடு விசை F ஆனது பொருளைச் சிறிய அளவில் இடப்பெயர்ச்சி (ds) செய்கிறது. விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை (dw)
dW = Fds
இடப்பெயர்ச்சி ds க்கும் சுழற்சி கோணம் dθ க்கும் இடையேயான தொடர்பு
ds = rdθ
விசையால் செய்யப்பட்ட வேலைக்கான சமன்பாடு
dW = Fds dW = Fr dθ​​​​​​​
(iii) இதில் F r ஆனது விசையினால் பொருளின் மீது உருவாக்கப்பட்ட திருப்புவிசை \(\tau\) என்பதால்
dW = \(\tau\) dθ​​​​​​​
(iv) ஒரு நிலையான அச்சைப் பொருத்து சுழலும் பொருளின் மீது வெளிப்புறத் திருப்பு விசையினால் \(\tau\) செய்யப்பட்ட வேலை மேற்கண்ட சமன்பாட்டினால் பெறப்படுகிறது. இடப்பெயர்வு இயக்கத்திற்கு தொடர்புடைய விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலையின் சமன்பாடு.
dW = Fds

ஒரு கிடைத்தள விசை F =3.2 kg wt 
=3.2 x 9.8 N 
(m)= 3.7 kg 
உராய்வுக் குணகம் \(\mu \)=0.6
f =\(\mu \)R =\(\mu \)mg=0.6x 3.7x 9.8
நிகர விசை =F -f =(3.2x9.8)-(0.6x 3.7x 9.8)
=9.8[3.2-(0.6x 3.7)]
=9.8(3.2-2.22)=9.8x 0.98
பிளாக்கில் உண்டாகும் முடுக்கம் 'a' = நிகர விசை / நிறை
=\(\frac { 9.8\times 0.98 }{ 3.7 } \)
'a'=2.6 ms^-2

\(\hat {i }+\hat {j}\)ன் எண் மதிப்பு 
\(=|\hat { i } +\hat { j } |=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } \)
\(tan\theta =\frac { |j| }{ |i| } =\frac { 1 }{ 1 } =1\)
\(\theta =tan^{ -1 }1=45^{ o }x\)அச்சுடன் 
\(\hat {i }-\hat {j}\)ன் எண் மதிப்பு 
\(=|\hat { i } -\hat { j } |=\sqrt { { 1 }^{ 2 }-{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } \)
\(tan\theta =\frac { |-j| }{ |i| } =\frac { -1 }{ 1 } =-1\)
\(\theta =tan^{ -1 }(-1)\)
\(\theta \)=-45^o x அச்சுடன் 

நீராவி இயந்திரம் கார்னோ இயந்திரம் அல்ல. ஏனெனில் நீராவி இயந்திரத்தில் செய்யப்படும் சுழற்சி நிகழ்வுகள் அனைத்தும் முழுமையான மீள் நிகழ்வுகள் அல்ல. இருப்பினும் இதனை ஒரு கார்னோ இயந்திரம் எனக்கருதி அதன் பெரும பயனுறுதிறனைக் கணக்கிடலாம்.
\(\eta =1-\frac { { T }_{ L } }{ { T }_{ H } } =1-\frac { 300K }{ 523K } =0.43\)
நீராவி இயந்திரத்தின் பெரும  பயனுறுதிறன் 43% ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட வெப்பத்தில் 43% மட்டுமே பயன்தரும் வேலையாக மாற்றப்படுகிறது. என்பதை இது காட்டுகிறது. மீதமுள்ள 57% வெப்பம் வெளியேற்றப்படுகிறது. ஆனால் நடைமுறையில் நீராவி இயந்திரத்தின் பயனுறுதிறன் 43% வீடாக குறைவாகும்.

\({ a }_{ 1 }{ v }_{ 1 }=30\quad { a }_{ 2 }{ v }_{ 2 }\Rightarrow \pi { r }_{ 1 }^{ 2 }{ v }_{ 1 }=30\pi { r }_{ 2 }^{ 2 }{ v }_{ 2 }\)
\({ v }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 30 } { \left( \frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } \right) }^{ 2 }{ v }_{ 1 }\)
\(\Rightarrow { v }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 30 } \times { \left( \frac { 0.8\times { 10 }^{ -2 }m }{ 0.4\times { 0.4 }^{ -2 }m } \right) }^{ 2 }\times \left( 0.33{ ms }^{ -1 } \right) \)
v₂ = 0.044 m s^-1

1.ஓர் அளவீட்டில் பெறப்படும் அளவுகளின் துல்லியமான மதிப்பைக் குறிப்பதற்குத் தேவைப்படும் இலக்கங்களின் சிறும எண்ணிக்கையே அதன் முக்கிய எண்ணுருக்கள் எனப்படும்.
2.தரப்பட்ட எண் மதிப்பில் மாறாநிலை கொண்ட எண்களும் அதனை தொடர்ந்து முதலில் வரும் நிலையில்லா இலக்கமும் அவ்வெண்ணின் முக்கிய எண்ணுரு ஆகும்.
3.எடுத்துக்காட்டாக,பொது ஈர்ப்பியல் மாறிலியின் மதிப்பு 6.67 x 10^-11Nm²kg^-2 இங்கு முதலில் உள்ள 6 மற்றும் 6 ஆகிய எண்கள் நம்பகமான நிலையான எண்கள் எண் 7 ஆனது நிலையில்லாதது. எனவே இந்த அளவிடப்பட்ட அளவு மூன்று முக்கிய எண்ணுருக்களைக் கொண்டது.

x = 2 - 5t + 6t²
திசைவேகம், \(v={dx\over dt}={d\over dt}(2-5t+{6t}^{2})\)
(அல்லது) v = - 5 + 12t
ஆரம்பத் திசைவேகத்திற்கு t = 0 என்க.
எனவே, ஆரம்பத் திசைவேகம் = -5m s^-1
ஆரம்பத் திசைவேகத்தில் உள்ள எதிர்க்குறி என்பது, பொருளானது ஆரம்பத்தில் எதிர் x –அச்சு திசையில் திசைவேகத்தைக் கொண்டிருந்தது என்று குறிக்கிறது.
துகள் கடந்த மொத்த பாதையின் நீளத்திற்கும், எடுத்துக் கொண்ட நேரத்திற்கும் உள்ள தகவு சராசரி வேகம் எனப்படும்.

F = K_AX_A = K_BX_B
\({ x }_{ A }=\frac { F }{ { K }_{ A } } ;{ x }_{ B }=\frac { F }{ { K }_{ B } } \)
சுருள்வில்கள் மீது செய்யப்பட்ட வேலை சுருள்வில்களில் நிலை ஆற்றலாக சேமிக்கப்படுகிறது.
\({ U }_{ A }=\frac { 1 }{ 2 } { K }_{ A }{ x }_{ A }^{ 2 };{ U }_{ B }=\frac { 1 }{ 2 } { K }_{ B }{ X }_{ B }^{ 2 }\)
\(\frac { { U }_{ A } }{ { U }_{ B } } =\frac { { K }_{ A }{ x }_{ A }^{ 2 } }{ { K }_{ B }{ x }_{ B }^{ 2 } } =\frac { { K }_{ A }\left( \frac { F }{ { K }_{ A } } \right) ^{ 2 } }{ { K }_{ B }\left( \frac { F }{ { K }_{ B } } \right) ^{ 2 } } =\frac { \frac { 1 }{ { K }_{ A } } }{ \frac { 1 }{ { K }_{ B } } } \)
\(\frac { { U }_{ A } }{ { U }_{ B } } =\frac { { K }_{ A } }{ { K }_{ B } } \)
k_A > k_B குறிப்பது U_B > U_A ஆகும். எனவே A – வை விட B - இன் மீது அதிக வேலை செய்யப்பட வேண்டும்.

ஜகதீஷ் தந்தை ஸ்ரீதர் கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வு கெப்ளரின் மூன்றாம் கோள்களின் இயக்கவிதி தொடர்புடையது. ஒரு பொருளின் சுழற்சியின் கால அளவு, அதன் திசை வேகத்தையும் மற்றும் ஆரத்தையும் சார்ந்ததல்ல. எனவே, வட்டப்பாதையில் ஆரம் அல்லது பொருளின் திசைவேகம் எவ்வாறு இருப்பினும் கால அளவு மாறாது. இங்ஙனம் கல்லின் சுழற்சியின் கால அளவினை வெவேறு திசைவேகங்களுக்கும், ஆரத்திற்கும் காணலாம்
(i) கெப்ளரின் மூன்றாம் விதி: நீள்வட்டப்பாதையில் சூரியனை சுற்றும் கோளின் சுற்றுக் காலத்தின் இருமுடி, அந்த நீல் வட்டத்தின் அரை நெட்டச்சின் மும்மடிக்கு நேர்தக்கவில் இருக்கும்.
\({ T }^{ 2 }\propto { a }^{ 3 },\frac { { T }^{ 2 } }{ { a }^{ 3 } } \) = மாறிலி
(ii) சூரியனுக்கு மிக அருகில் கோல் உள்ள நிலை (P) அண்மைய நிலை (Perihelion - Perigee) எனப்படும். சூரியனுக்கு பெருமைத் தொலைவில் கோல் உள்ள நிலை (A) சேய்மை நிலை (aphelion - apogee)

(i) A =4X 10-6 m 2, l =0.5 m 
T = 100-0 =100⁰C =100K 
Y = 10¹¹ Nm^-2, a = 10^-5 k^-1
நீளத்தில் மாற்றம் 
\(\Delta l=la\Delta T=0.5\times 10^{ 5 }\times 100=5\times 10^{ -4 }m\)

தகைவு =\(\cfrac { Y\Delta l }{ l } =Y\times a\Delta T\)
= 10¹¹X 10^-5X 100 =10⁸ Nm^-2
நீட்சி விசை 
F = தகைவு X பரப்பு = 10⁸X  10^-6
= 4 X 10² N 
F = Mg = \(\therefore \) M =4 X 10² N 
\(M=\cfrac { 4\times { 10 }^{ 2 } }{ g } =\cfrac { 4\times { 10 }^{ 2 } }{ 10 } =40\quad kg\)
(ii) தண்டில் சேமிக்கப்பட்ட ஆற்றல் 
=\(\cfrac { 1 }{ 2 } F\times \Delta l\)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \times 4\times { 10 }^{ 2 }\times 5\times { 10 }^{ -4 }\)
= 0.1 J 

(i) வெப்ப இயக்கவியலின் சுழி விதியின்படி, A மற்றும் B, என்ற இரண்டு அமைப்புகளின் C, மூன்றாவது அமைப்புடன் வெப்பசமநிலையில் இருப்பின், A மற்றும் B இரண்டு அமைப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று வெப்பசமநிலையில் இருக்கும்.
(ii) தொடக்கத்தில் வெவ்வேறு வெப்பநிலையில் உள்ள A, B மற்றும் C என்ற மூன்று அமைப்புகளைக் கருத்துக. படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு A மற்றும் B அமைப்புகளும் ஒன்றுடன் ஒன்று எவ்விதமான வெப்பத்தொடர்பையும் பெற்றிருக்கவில்லை.
(iii) ஆனால், அவை ஒவ்வொன்றும் C என்ற மூன்றாவது அமைப்புடன் தனித்தனியே வெப்பதொடர்பில் உள்ளன.
(iv) சிறிது நேரத்திற்குப்பிறகு A மற்றும் B என்ற இரண்டு அமைப்புகளும் தனித்தனியே C யுடன் வெப்பசமநிலையில் இருக்குக்ம். இப்போது A மற்றும் B என்ற இரண்டு அமைப்புகளையும் வெப்பத் தொடர்பில் வைக்கும் நிலையினை படத்தில் உள்ளவாறு காட்டலாம்.
(v) இப்போது A மற்றும் B அமைப்புகளுக்கிடையே எவ்விதமான நேரடி வெப்பப் பரிமாற்றமும் இல்லை. ஏனெனில் A மற்றும் B இவ்விரண்டு வெப்பசமநிலையை அடைந்திருப்பதை இது காட்டுகிறது.
(vi) இம்மூன்று அமைப்புகளும் ஒருமுறை வெப்பசமநிலையை அடைந்தபின்பு அவற்றிற்கிடையே எவ்விதமான வெப்பப் பரிமாற்றமும் இஇருக்காது ஏனெனில் அம்மூன்றும் ஒரே வெப்பநிலையில் இருக்கும்.
(vii) இதனை கணிதமொழியில் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம் 

(a) A மற்றும் B என்ற இரண்டு அமைப்புகள் தனித்தனியே C என்ற மூன்றாவது அமைப்புடன் வெப்பத் தொடர்பிலுள்ளன. (b) A மற்றும் B அமைப்பு இரண்டும் வெப்பத்தொடர்பில் இருப்பின் அவையிரண்டும் ஒன்றுடன் ஒன்று வெப்பச்சமநிலையில் இருக்கும்.
(viii) வெப்ப இயக்கவியலின் சுழி விதியானது வெப்பநிலையைக் கண்டறியப்பயன்படுகிறது. நாக்கின் அடியில் வைத்துக்கொள்ளும்போது வெப்பநிலைமானி உடலுடன் வெப்பச் சமநிலையை அடையும். இந்நிபந்தனையின்படி வெப்பநிலைமானியின் வெப்பநிலை உடல் வெப்பநிலைக்குச் சமமாக இருக்கும் இதன் அடிப்படையில்தான் நமது உடலின் வெப்பநிலை கண்டறியப்படுகிறது.

முப்பரிமாண வெளியிலுள்ள வெப்ப இயக்கவியல் அமைப்பு ஒன்றின் நிலை மற்றும் அமைப்பினை விவரிக்கத் தேவைப்படும் குறைந்தபட்ச சார்பற்ற ஆயஅச்சுக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையே சுதந்திர இயக்கக்கூறுகள் என அழைக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு:
1.x - அச்சுத்திசையில் இயங்கும் தனித்தத் துகளொன்றின் இயக்கத்தினை முழுமையாக விளக்க, ஒரே ஒரு ஆய அச்சுக்கூறு மட்டுமே போதுமானது. எனவே அத்துகளின் சுதந்திர இயக்கக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை ஒன்று ஆகும்.
2. தளம் ஒன்றில் இயங்கும் துகளினை முழுமையாக விளக்க, இரு ஆய அச்சுக்கூறுகள் தேவைப்படும். எனவே அத்துகளின் சுதந்திர இயக்கக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை இரண்டு ஆகும்.
3.இதேபோன்று வெளியில் (Space) இயங்கும் துகளொன்றின் சுதந்திர இயக்கக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை மூன்று ஆகும்.
கொள்கலன் ஒன்றின் N வாயு மூலக்கூறுகள் உள்ளன எனக்கருதினால், அவற்றின் மொத்த சுதந்திர இயக்கக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை f=3N ஆகும்
இருவேறு வெப்பநிலைகளில் உள்ள வாயு மூலக்கூறுகளின் மேல்ஸ்வெல்  போல்ட்ஸ்மென் ​​​வேகப்பகிர்வு வரைபடம் 

ஆனால் அமைப்பு ஒன்றிற்கு q எண்ணிக்கையில் அமைந்த இயக்கத்தடைகள் (Constraints)இருப்பின், அவ்வமைப்பின் சுதந்திர இயக்கக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை ​​​​f=3N-q. இங்கு N என்பது துகள்களின் எண்ணிக்கையாகும்.

(i) கோண உந்தம் மற்றும் கோணதிசைவேகம் திண்மப் பொருள் ஒன்று நிலையான அச்சைப் பற்றி சுழல்கிறது. ஒரு புள்ளி நிறை m ஆனது படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு வட்ட இயக்கத்தை மேற்கொள்கிறது.

(ii) சுழலும் அச்சிலிருந்து r தொலைவில் புள்ளிநிறை m அமைந்துள்ளது. வட்டப்பாதையில் எந்தவொரு கணத்திலும் நேர்கோட்டு உந்தமானது தொடுகோட்டு திசையில் இருக்கும்.
(iii) கோண உந்தம் \(\vec L\)ஆனது \(\vec r\)மற்றும் \(\vec p\)க்கு வட்டப்பாதையில் செங்குத்தாக இருக்கும். எனவே கோண உந்தம் சுழலும் அச்சின் திசையில் அமையும். இந்நிகழ்வில் θ என்பது \(\vec r\)க்கும் p க்கும் இடைப்பட்ட கோணம் உந்தம் (L) இன் எண் மதிப்பு θ = 90⁰ எனும்போது 
L = r mv sin 90⁰ = r mv 
(iv) இங்கு v என்பது நேர்கோட்டு திரைவேகம் வட்ட இயக்கத்தில் கோண திசை வேகத்திற்கும் நேர்கோட்டு திசை வேகத்திற்கான  தொடர்பு v = rω
L = r mr ω
L = (mr²) ω
(v) L மற்றும் ω ஆகியவற்றின் திசை சுழலும் அச்சின் திசையிலேயே இருக்கும், மேய்ந்த சமன்பாட்டின் வெக்டர் வடிவம்.
\(\vec L(mr^2)\vec ω\)
சமன்பாடு mr² ω, mr² \(\vec ω\) கோவை உறுப்பு mr² புள்ளி நிறையின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் ஆகும். திண்மப் பொருளானது புள்ளி நிறைபோன்ற பல துகள்களினால் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது.
(vi) எனவே திண்மப் பொருளின் நிலைம திருப்புத்திறன் என்பது அப்புள்ளி நிறைகளின்  நிலைமத் திருப்புத்திறன் கூட்டுத் தொகை \((I=∑m_ir_i^2)\)ஆகும், எனவே பொருளின் கோண உந்தமானது.
\(\vec L=(∑m_ir_i^2)\vec ω\)
\(\vec L=I\vec ω\)

1 எலக்ட்ரானின் நிறை = 9.11 x 10^-31 kg
9.11 x 10^-31 kg =9.11 x 10^-31 x 10³g
=9.11 x  10^-28 g
=9.11 x 10^-25 mg
1 mg என்பது \(\frac { 1 }{ 9.11\times 10^{ -25 }mg } \) எலக்ட்ரானின் நிறை
=0.1097 x 10²⁵ எலக்ட்ரான்கள்
=1.097 x 10²⁴ எலக்ட்ரான்கள்
∴ 1 mg 1.097 x 10²⁴ எலக்ட்ரான்கள் இருக்கும்.

\(\overrightarrow { { r }_{ 1 } } =(2\hat { i } +\hat { j } -3\hat { k } )\)
\(\overrightarrow { { r }_{ 2 } } =(4\hat { i } +6\hat { j } -7\hat { k } )\)
நிலை வெக்டர்கள் \(\vec { r } =\vec { { r }_{ 2 } } -\vec { { r }_{ 1 } } \)
\(=(4\hat { i } +6\hat { j } -7\hat { k } )-(2\hat { i } +\hat { j } -3\hat { k } )\)
\(=4\hat { i } +6\hat { j } -7\hat { k } -2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \)
\(=\hat { i } (4-2)+\hat { j } (6-1)+\hat { k } (-7+3)\)
\(=\hat { i } (2)+\hat { j } (5)+\hat { k } (-4)\)
\(\overrightarrow { r } =\overrightarrow { { r }_{ 2 } } -\overrightarrow { { r }_{ 1 } } =2\hat { i } +5\hat { j } -4\hat { k } \)
W = \(\overrightarrow { F } .\overrightarrow { x } \)
\(=(3\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ).(2\hat { i } +5\hat { j } -4\hat { k } )\)
\(=\hat { i } .\hat { j } .\hat { k } (6+10-16)\)
= 1(0)
செய்யப்பட்ட வேலை  = 0

(i) வாயு மூலக்கூறுகள் ஒழுங்கற்ற முறையில் எல்லா திசைகளிலும் இயங்கிக் கொண்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு மூலக்கூறும் மற்ற மூலக்கூறுகளுடன் மோதலுற்று அவற்றின் மேகங்களைப் பரிமாறிக் கொள்கின்றன.
(ii) .v முதல் v + dv என்ற வேக எல்லைகளுக்குள் உள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையை மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் வேகப்பகிர்புச் சார்பினைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.
\({ N }_{ v }=4\pi N{ \left( \frac { m }{ 2\pi kT } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ v }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }\)
வேகப்பகிர்வு சார்பின் வரைபடம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

(iv) படத்திலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட கெல்வின் வெப்பநிலையில் குறைந்த வேகத்தைப் வெப்பநிலையில் குறைந்த வேகத்தைப் பெற்றுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை பரவளைய வடிவில் (v²) அதிகரித்து, மிகவும் சாத்தியமான வேகத்தை அடைந்தவுடன் அடுக்குகுறியீட்டு (exponentially) \({ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }\) மதிப்பில் குறையும் என்பதைத் தெளிவாக அறியலாம். மேலும் படத்தில் சராசரி இருமடிமூல வேகம் v_rms சராசரி வேகம் v மற்றும் மிகவும் சாத்தியமான வேகம் V_mp ஆகியவை சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளன. இவற்றிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட மூன்று வேகங்களில் vrms பெரும மதிப்பைப் பெற்றுள்ளதையும் அறியலாம். உதாரணமாக 50 ms^-1 முதல் 60 ms^-1 வரை வேகமதிப்புகளைப் பெற்றுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்பதற்கு
\(\int _{ 50 }^{ 60 }{ 4\pi N } { \left( \frac { m }{ 2\pi kT } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ v }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }dv =N \) (50 முதல் 60 ms^-1) எனத் தொகைப்படுத்த வேண்டும்.
(v) பொதுவாக v யிலிருந்து v + dv வரை வேக மதிப்புகளைப் பெற்றுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்.
\(\int _{ v }^{ v+dv }{ 4\pi N } { \left( \frac { m }{ 2\pi kT } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ v }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }dv=N(v \ to \ v+dv)\)
வாயு மூலக்கூறுகளின் செயல்பாட்டை இவ்வரைபடத்தின் அடிப்படையில் நம்மால் அனுமானிக்க இயலும்.
வரைபடத்திற்குக் கீழே உள்ள பரப்பு, அமைப்பிலுள்ள வாயு மூலக்கூறுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கும்.
படத்தில் இருவேறு வெப்பநிலைகளில் உள்ள வாயு மூலக்கூறுகளின் வேகப்பகிர்வு, வரைபட வடிவில் காட்டப்பட்டுள்ளது. கெல்வின் வெப்பநிலை அதிகரிக்கும்போது வளைகோட்டின் உச்சி வலதுபக்கத்தை நோக்கி நகர்கின்றது. இது ஒவ்வொரு மூலக்கூறின் சராசரி வேகமும் அதிகரிப்பதைக் காட்டுகின்றது. ஆனால் வரைபடத்தின் பரப்பில் எவ்வித மாற்றமும் இல்லை. ஏனெனில் வரைபடத்தின் பரப்பு வாயு மூலக்கூறுகளின் மொத்த எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும்.

ஓய்வுநிலை உராய்வு இயக்கஉராய்வு i)பொருள் நகரத்தொடங்குவதை எதிர்க்கும் பொருள் நகரும் பரப்பைப் பொறுத்து பொருளின்
சார்பியக்கத்தை எதிர்க்கும் ii) தொடும் பரப்பின் அளவினைச் சார்ந்ததில்லை தொடும் பரப்பின் அளவினைச் சார்ந்ததில்லை
விசையின் எண் மதிப்பைச் சார்ந்ததில்லை iii) ஓய்வுநிலை உராய்வு குணகம் ஒன்றை ஒன்று தொடும்
பரப்பு பொருட்களின் தன்மையை (Nature of materials) சார்ந்திருக்கும்.
சுழியிலிருந்து N வரை உள்ள எந்த ஒரு மதிப்பினையும் பெற்றிருக்கும். இயக்க உராய்வு குணகம் _k ஒன்றை ஒன்று தொடும் பரப்புகளின் 
தன்மை மற்றும் பரப்புகளின் வெப்பநிலை ஆகியவற்றைச் சார்ந்திருக்கும்.
இது எப்பொழுதும் சுழி மதிப்பினைப் பெறாது.மேலும் பொருள் எந்த வேகத்தில் இயங்கினாலும் இதன் மதிப்பு எப்பொழுதும் _k க்கு சமமாகும்.(பொருளின் வேகம் 10ms^-1 ஐவிட ) குறைவாக
உள்ளபோது இது பொருந்தும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.) iv) ஓய்வுநிலை உராய்வுவிசையின் பெரும மதிப்பும் அதிகமாக இருக்கும் இயக்க நிலை உராய்வு விசை குறைவாக இருக்கும். v) ஓய்வுநிலை உராய்வுக் குணகம் அதிகமான மதிப்பைப் பெற்றிருக்கும். இயக்க நிலை உராய்வு குணகம் ,குறைவான மதிப்பைப் பெற்றிருக்கும்

0 முதல் 40 வினாடி வரை கொடுக்கப்பப்பட்ட வளைகோட்டின் கீழே உள்ள பரப்பு துகளின் இடப்பெயர்ச்சியைக் கொடுக்கும். இங்கு O முதல் C வரை உள்ள பரப்பு துகள் நேர்க்குறி x திசையில் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சியையும், C முதல் D உள்ள பரப்பு துகள் எதிர்க்குறி x திசையில் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சியையும் கொடுக்கும்.
0 வினாடி முதல் 10 வினாடி வரை துகள் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி
\(={1\over 2 }\times 10\times 60=300\ m \)
10 வினாடி முதல் 15 வினாடி வரை துகள் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி
= 60 × 5 = 300 m
15 வினாடி முதல் 30 வினாடி வரை துகள் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி
\(={1\over 2}\times 15\times 60=450\ m \)
30 வினாடி முதல் 40 வினாடி வரை துகள் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி
\(={1 \over 2}\times 10\times (-40)=-200\ m.\)
இங்கு எதிர்க்குறியானது, துகள் எதிர்க்குறி x அச்சு திசையில் 200 m சென்றதைக் காட்டுகிறது.
0 வினாடி முதல் 40 வினாடி வரை துகள் அடைந்த மொத்த இடப்பெயர்ச்சி
300 m + 300 m + 450 m - 200 m = + 850 m.
இங்கு நேர்க்குறியானது துகளின் தொகுபயன் இடப்பெயர்ச்சி நேர்க்குறி அச்சின் திசையில் உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.
0 வினாடியிலிருந்து 40 வினாடி வரை துகள் கடந்த மொத்த தூரம் (பாதையின் நீளம்)
= 300 + 300 + 450 + 200 = 1250 m.