θ மற்றும் 90-θ ஆகிய கோணங்களுக்கு நெடுக்கம் ஒன்றுபோல் இருக்கும்.

\(\mathrm{V} =2 \hat{i}+t^2 \hat{j}-9 \hat{k}  \)
\(\vec{a} =\frac{d v}{d t}=2 t \cdot \hat{j} \)
\(\mathrm{t} =\mathrm{t}=0.5 \mathrm{~s} \) எனில் 
\(\mathrm{a} =1 \mathrm{~ms}^{-2}\)

இயக்க ஆற்றல் \(\mathrm{E}_{\mathrm{k}} =\frac{P^2}{2 m} \)
\(\frac{\Delta E_k}{E_k} =\frac{2 \Delta P}{P}  \)
\(\frac{\Delta P}{P} =0.1\)
இயக்க ஆற்றலின் உ யர்வு
\(\frac{\Delta E_k}{E_k} =2 \frac{\Delta P}{P}  \)
\(=2 \times 0.1=0.2 \%\)

விசை F = (2i + j) N 
இடப்பெயர்ச்சி d =
(5i + 3j) - (3j + k)
= (5i - k) m 
வேலை W = FD
= (2i + j) (5i - k) 
= 10 - 0 - 0 = 10 J

பிளாங்க் மாறிலியின் பரிமாண வாய்ப்பாடு
= ஆற்றல் / அதிர்வெண்
\(=\frac{M L^2 T^{-2}}{T^{-1}}  \)
\(=M L^2 T^{-2+1}=M L^2 T^{-1}\)

h இன் அலகு-(h-பிளாங்க் மாறிலி)-Js
C இன் அலகு-(ஒளியின் திசைவேகம்) ms^-1
G இன் அலகு-(புவி ஈர்ப்பு மாறிலி)- \( \frac{\mathrm{Nm}^2}{\mathrm{~kg}^2}\)
\(\therefore \frac{h c}{G}\) இன் அலகு \(=\frac{J s \times m s^{-1}}{N m^2 / \mathrm{kg}^2} \)
\(=\frac{(\mathrm{Nm}) s \times m \mathrm{~s}^{-1} \times \mathrm{kg}^2}{\mathrm{Nm}^2} \)
\({[J} =\mathrm{Nm}]=\mathrm{kg}^2\)

\(v_0=r w \quad \therefore v_0 \propto r\)
சீரான சக்கரத்தில் பரியில் (rim) உள்ள புள்ளிக்கும் மையத்திற்கும் உள்ள தொலைவு (ஆரம்) \(=\sqrt{2} r\)
∴ அதன் வேகம் \(=\sqrt{2} \mathrm{v}_0\)

\(\mathrm{m}=3 \mathrm{~kg}, \mathrm{r}=40 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=0.4 \mathrm{~m}, \mathrm{~F}=30 \mathrm{~N}\)
உருளையின் நிலைமத்திருப்புத்திறன்
\(I=M R^2 \)
\(\mathrm{I} =3 \times\left(40 \times 10^{-2}\right)^2  \)
\(=3 \times 0.4 \times 0.4  \)
\(=0.48 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^2  \)
\(\mathrm{fR} =\mathrm{I} \alpha  \)
\(30 \times 40 \times 10^{-2} =0.48 \alpha  \)
\(\alpha=\frac{12}{0.48} =\frac{1200}{48}=25 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-2}\)

ஆம், சார்பு திசைவேகம் சுழியாக அமைய வாய்ப்புள்ளது.
A மற்றும் B என்ற இரு பொருள்கள் ஒரே திசையில் சம திசைவேகத்தில் செல்லும்போது அவற்றின் சார்பு திசைவேகங்கள்
V_AB = V_A - V_B = 0 மேலும்
V_BA = V_B - V_A = 0 (இரண்டின் திசைவேகங்களும் சமம்)
இரண்டு பொருட்களும் ஒன்று மற்றொன்றைப் பொறுத்து ஓய்விலிருப்பது போன்று தோன்றும்.

அழுத்தம் மாறா நிகழ்விற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
1.வாயுவை வெப்பப்படுத்தும்போது வாயு வெப்பமடைந்து பின்னர் அது பிஸ்டனைத் தள்ளுகிறது. ஏனவே வாயுவானது வளிமண்டல அழுத்தம் மற்றும் புவியீர்ப்பு விசை இவற்றின் கூடுதலுக்குச் சமமான ஓர் விசையை பிஸ்டனின் மீது செலுத்துகிறது எனில் இந்நிகழ்வு ஓர் அழுத்தம் மாறா நிகழ்வாகும்.

2.நமது வீட்டு சமையல் அறையில் நடைபெறும் பெரும்பாலான சமையல் நிகவுகள் அழுத்தம் மாறா நிகழ்வுகள் ஆகும். திறந்த பாத்திரத்தில் உணவினை சமைக்கும் போது உணவிற்கு மேலே உள்ள அழுத்தம் எப்போதும் வளிமண்டல அழுத்தத்திற்கு சமமாகும்.

V_{\(\rho \)} = 7.8 /cm3; r_w = 10cm/s
\(\eta \)_w = 8.5 x 10^-4 pas; _{\(\rho \)g =} 1.29/cm³
\({ \eta }_{ g }\) = 13.2 pas V_g = ?

முற்றுத் திசைவேகம்   \(V=\frac { { 2r }^{ 2 }\left( \rho -{ \rho }_{ 0 } \right) g }{ a\eta } \)
\(V\infty \frac { \left( \rho -{ \rho }_{ 0 } \right) }{ \eta } \)
பந்து நீரில் விழும்போது  
\({ V }_{ w }\infty \frac { \left( \rho -{ \rho }_{ 0 } \right) }{ \eta _{ w } } \)
பந்து கிளிசரினில் விழும் போது    
\({ V }_{ g }\infty \frac { \left( \rho -{ \rho }_{ 0 } \right) }{ \eta _{ w } } \)
\(\frac { { V }_{ g } }{ { V }_{ w } } =\left( \frac { \rho -{ \rho }_{ g } }{ \rho -{ \rho }_{ w } } \right) \frac { { \eta }_{ w } }{ { \eta }_{ g } } \)
\(10\left( \frac { 7.8-1.2 }{ 7.8-1 } \right) \times \frac { 8.5\times { 10 }^{ -4 } }{ 13.2 } \)
= 6.25 10^-4 cm/s

1.நிலவில் வளிமண்டல அற்ற நிலை: நிலவின் குறைந்த ஈர்ப்புவிசையின் காரணமாக, நிலவுப் பரப்பில் உள்ள வாயுக்களின் சராசரி இருமுடி மூல வேகமானது அதன் விடுபடு வேகத்தைவிட அதிகமாக உள்ளது. இதன் காரணமாக நிலவுப்பரப்பில் உள்ள அனைத்து வாயுக்களும் நிலவிலிருந்து வெளியேறி விடுகின்றன.
2.புவியின் வளிமண்டலத்தில் ஹைட்ரஜன் வாயுவற்ற நிலை:  ஹைட்ரஜன் வாயுவின் சராசரி இருமுடி மூல வேகமானது, நைட்ரஜனைவிட மிகவும் அதிகமானது. எனவே ஹைட்ரஜன் புவியின் வளிமண்டலத்திலிருந்து எளிதாகத் தப்பிச்சென்றுவிடும்.

பரப்பு விதி (Law of area):
(i) சூரியனையும் ஒரு கோளையும் இணைக்கும் ஆர வெக்டரானது சமகால இடைவெளியில் சம பரப்புகளை ஏற்படுத்தும்.
(ii) கோள் ஒன்று சூரியனை சுற்றி வரும்போது \(\triangle \)t என்ற சிறிய நேர அலைல் ஆரவெக்டர் ஏற்படுத்திய பரப்பு. \(\triangle \)A. நீள்வட்டத்தின் மையத்தில் சூரியன் இல்லை.
(iii) எனவே கோள் சூரியனுக்கு அருகே வேகத்திலும், சூரியனிடமிருந்து நீண்ட தொலைவில் செல்லும் போது குறைந்த திசைவேகத்திலும் செல்லும். இதன் மூலம் சமகால அளவில் சம அளவு பரப்புகளை கடந்து செல்கிறது. கோள்களின் வேகம் மாறுபடுவதை தரவுகள் மூலம் கெப்ளர் கண்டறிந்தார்.

இணை அச்சு தேற்றபடி
\(I={I_0}+mx^2\)
\(={Ml^2\over 12}+M\left(l\over 2\right)^2\)
\(={Ml^2\over12}+{Ml^2\over4}=Ml^2\left[{1\over12}+{1\over 4}\right]\)
\(=Ml^2\left[1\over 3\right]\)
\(I={Ml^2\over 3}\)

4 m தொலைவை பயணிக்க எடுத்துக் கொள்ளும் கால அளவு 
\({ t }_{ 1 }=\frac { \frac { d }{ 2 } }{ { v }_{ 1 } } =\frac { d }{ 2{ v }_{ 1 } } =\frac { 4 }{ 2\times 4 } =\frac { 4 }{ 2 } =2sec\)
3 m தொலைவை பயணிக்க எடுத்துக் கொள்ளும் கால அளவு 
\({ t }_{ 2 }=\frac { \frac { d }{ 2 } }{ { v }_{ 2 } } =\frac { d }{ 2{ v }_{ 2 } } =\frac { 4 }{ 2\times 0.7 } =\frac { 3 }{ 1.4 } =2.14sec\)
மொத்த கால அளவு =t₁+t₂
=2+2.14=4.14sec 
சராசரி திசைவேகம் \(=\frac { d }{ { t }_{ 1 }+t_{ 2 } } =\frac { 2{ v }_{ 1 }{ v }_{ 2 } }{ { { v }_{ 1 }+v }_{ 2 } } =\frac { 2\times 1\times .7 }{ 1+.7 } =\frac { 1.4 }{ 1.7 } \)
=0.82ms^-1

1.இயற்பியலின் கோட்பாடுகளை நடைமுறையில் பயன்படுத்துவதே தொழில் நுட்பமாகும்.
2.பல்வேறு துறைகளில் பயனுள்ள பொருட்களை கண்டுபிடிக்கவும் அவற்றைத் தயாரிக்கவும் மற்றும் நடைமுறைப் பிரச்சனைகளைத் தீர்க்கவும் அறிவுத் திறனைப் பயன்படுத்துவதே தொழில் நுட்பவியலாகும்.
3.எனவே, நம் சமுதாயத்துடன் நேரடியாகவோ அல்லது மறைமுகமாகவோ இயற்பியலும், தொழில் நுட்பவியலும் இணைந்து தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகின்றன.
4. மின்னோட்டவியல் மற்றும் காந்தவியலின் அடிப்படை விதிகளின் கீழ் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட கம்பியில்லா தொலைத் தொடர்பு முறை உலகத்தைச் சுருக்கி மிக நீண்ட தொலைவிற்கான மிகச்சிறந்த தொடர்பை ஏற்படுத்துகிறது.
5.விண்வெளியில் (space)நிலை நிறுத்தப்பட்ட செயற்கைக் கோள்கள் தொலைத் தொடர்பில் மிகப்பெரிய புரட்சியை உருவாக்குகின்றன.
6.நுண் எலக்ட்ரானியல் (Microlectroncs)லேசர் (Laser),கணினி (Computer),மீக்கடத்தி (Super Conductor )மற்றும் அணுக்கரு ஆற்றல் ஆகியவை மனிதனின் சிந்தனையையும், வாழ்க்கை முறையையும் முழுமையாக மாற்றியுள்ளன.

அமைப்பின் மீது செய்யப்பட்ட வேலை(நீரினைக் கலக்குவதன் மூலம் மனிதரால் செய்யப்பட்ட வேலை) W=-30KJ =-30,000J
அமைப்பிலிருந்து வெப்பம் வெளிப்படுகிறது, Q = 5Kcal = 5 x 4184J = -20920J 
வெப்ப இயக்கவியலின் முதல் விதியைப் பயன்படுத்தும்போது 
\(\Delta \)U = Q-W
\(\Delta \)U = -20,920 J-(-30,000) J
\(\Delta \)U = -20,920 J+30,000 J = 9080 J
இங்கு, அமைப்பின் மீது செய்யப்பட்ட வேலையைவிட வெப்ப இழப்பு குறைவாக உள்ளது. எனவே அக ஆற்றல் மாறுபாடு நேர்குறியாகும். இது அமைப்பின் அக ஆற்றல் அதிகரித்தைக் காட்டுகிறது.

\(F=-\eta A\frac { dv }{ dx } \)
எண் மதிப்பில், \(\eta =\frac { F }{ A } \frac { dx }{ dv } \)
\(=\frac { (2.5N) }{ \left( 2.5\times { 10 }^{ -4 }{ m }^{ 2 } \right) } \frac { \left( 0.25\times { 10 }^{ -3 }m \right) }{ \left( 3\times { 10 }^{ -2 }{ ms }^{ -1 } \right) } \)
= 0.083×10³ Nm^-2s

ஒரு பொருள் தனது இயக்கத்தை தொடங்க வேண்டுமானால், அது நிலையியல் உராய்வை எதிர்கொள் வேண்டும். நிலையியல் உராய்வு, இயக்க உராய்வை விட அதிகம். எனவே ஒரு பொருளின் இயக்கத்தை தொடரச் செய்வதைவிட, முதலில் தொடங்குவது கடினம்.

(i) \(\omega=\omega_0+\alpha t \quad \omega=\) இறுதி கோணத் திசைவேகம்
(ii) \(\theta=\omega_0 t+\frac{1}{2} \alpha t^2 \quad \omega_0=\) தொடக்க கோணத் திசைவேகம்
(iii) \(\omega^2=\omega_0^2+2 \alpha \theta \ \theta=\) கோண இடப்பெயா்ச்சி
(iv) \(\theta=\frac{\left(\omega_0+\omega\right) t}{2} \quad \alpha=\) கோண முடுக்கம்
t = காலம் 

1 kg நிறையுடைய பொருளின் மீது ஒரு விசை செயல்பட்டு அந்த விசையின் திசையிலேயே 1 ms^-2 முடுக்கத்கை ஏற்படுத்தினால், அவ்விசையின் அளவே ஒரு நியூட்டன் எனப்படும்.

புவியிலிருந்து நிலவின் தொலைவைக் கணக்கிடுதல் (இடமாறு தோற்றமுறை)
படத்தில் C என்பது புவியின் மையம். A மற்றும் B என்பது புவி மேற்பரப்பில் நோ் எதிரெதிரான பகுதிகள். வானியல் தொலைநோக்கியின் உதவியால் A மற்றும் B யிலிருந்து அருகில் உள்ள விண்மீனுக்கும் சந்திரனுக்கும் (M) இடையேயான இடமாறு தோற்றக்கோணம் முறையே θ₁ மற்றும் θ₂ கண்டறியப்படுகிறது. எனவே, புவியிலிருந்து நிலவின் மொத்த இடமாறு தோற்ற கோணம்
\(\angle A M B=\theta_1+\theta_2=\theta  \)
\(\theta=\frac{A B}{A M} ; A M \approx M C  \)
\(\theta=\frac{A B}{M C} \Rightarrow M C=\frac{A B}{\theta}\)
AB மற்றும் θ மதிப்பு அறிந்திருந்தால் புவிக்கும் சந்திரனுக்கும் இடையேயான தொலைவை (MC) கணக்கிடலாம்

m₁ =10 kg
m₂ = 5 kg
\(\overset { \rightarrow }{ { r }_{ 1 } } =(-3\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )m\)
\(\overset { \rightarrow }{ { r }_{ 2 } } =(3\hat { i } +6\hat { j } +5\hat { k } )m\)
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\frac { { m }_{ 1 }\overset { \rightarrow }{ { r }_{ 1 } } +{ m }_{ 2 }\overset { \rightarrow }{ { r }_{ 2 } } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \)
∴ \(\overset { \rightarrow }{ r } =\frac { 10(-3\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )+5(3\hat { i } +6\hat { j } +5\hat { k } ) }{ 10+5 } \)
=\(\frac { -30\hat { i } +20\hat { j } +40\hat { k } +15\hat { i } +30\hat { j } +25\hat { k } }{ 15 } \)
=\(\frac { -15\hat { i } +50\hat { j } +65\hat { k } }{ 15 } \)
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\left( \hat { -i } +\frac { 10 }{ 3 } \hat { j } +\frac { 13 }{ 3 } \hat { k } \right) m\)
\(\overset { \rightarrow }{ r } \) என்பது நிறைமையத்தின் நிலை வெக்டரைக் குறிக்கும்.

(a) பளுதூக்குபவர் நிறையைத் தூக்கும்போது விசையும் இடப்பெயர்ச்சியும் ஒரே திசையில் உள்ளதால் அவற்றிற்கிடையே உள்ள கோணம் θ = 0°. எனவே பளுதூக்குபவரால் செய்யப்பட்ட வேலை
W_ப.தூ = F_whcos\(\theta\) = F_Wh(cos 0⁰)
= 5000 x 5 x (1) = 25000 J = 25 kJ
(b) பளுதூக்குபவர் நிறையைத் தூக்கும்போது புவியீர்ப்புவிசை கீழ்நோக்கி செயல்படுவதால் விசையும் இடப்பெயர்ச்சியும் எதிரெதிர் திசையில் உள்ளன. எனவே அவற்றிற்கிடையே உள்ள கோணம் θ = 180⁰
W_ஈ = F_ghcos θ = mgh(cos 180⁰)
 = 250 x 10 x 5 x (-1)
= -12500 J =- 12.5 kJ
c) பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட நிகர வேலை (மொத்த வேலை)
W_{நிகரம்} = W_ப.தூ + W_ஈ
= 25 kJ  - 12.5 KJ = + 12.5 KJ

உலோகங்கள் சிறந்த வெப்பக்கடத்திகள். மேலும் குறைந்த தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன் உடையன.

(i) ஈர்ப்பின் முடுக்கமானது முடுக்கமடையும் பொருளின் நிறையைச் சார்ந்ததல்ல.
(ii) g ன் மதிப்பு புவியின் நிறையையும், ஆரத்தையும் சார்ந்துள்ளது.
(iii) புவியை நோக்கி விழும் அனைத்துப் பொருள்களும் சமமாக முடுக்கமடைகிறது.
(iv) பூமத்தியரேகைப் பகுதியில் g=9.8 ms^-2

ஒரே வெப்பநிலையில் உள்ள இரு நீர் மாதிரிகளை ஒன்றுடன் ஒன்று கலக்கும்போது அவற்றின் இறுதி வெப்பநிலையும் அவ்விரண்டும் மாதிரிகளின் வெப்ப நிலையே ஆகும். ஏனெனில் இவை வெப்பச் சமநிலையில் உள்ளன. எவ்வித வெப்பப்பரிமாற்றமும் நிகழவில்லை.  

(i)  கொசுக்கள் நீரின் மேற்பரப்பில் முட்டைகளை இடுகின்றன.நீரின் பரப்பு இழுவிசையைக்  குறைக்க சிறிது எண்ணெய் ஊற்றப்படுகிறது.இது நீரின்  ,மேற்பரப்பிலுள்ள மீட்சிப்படலத்தை உடைத்து விடுவதால் கொசு முட்டைகள் நீரினுள் மூலகச் செய்து அழிக்கப்படுகின்றன.               
(ii) பரப்பு இழுவிசையை நுட்பமாக அளவுக்கு சரி செய்து  தானியங்கி வாகனங்கள் மற்றும் அலங்காரப் பொருள்களுக்கு  வர்ணம் பூசப் பயன்படுகிறது.
(iii) துணிகளைத் துவைக்கும்போது  வெந்நீரில் சலவைத்தூளை சேர்ப்பதால் நீரின் பரப்பு இழுவிசை குறைக்கப்பட்டு அழுக்குத்துகள்கள்  எளிதில் நீக்கப்படுகின் றன.
(iv) நீர் ஒட்டாத துணிகள் தயாரிக்கும்போது  நீர் ஒட்டாத பொருளானது (மெழுகு) துணியுடன்  சேர்க்கப்படுகிறது. இது  சேர்கோணத்தை அதிகரிக்கிறது.                       

கொடுக்கப்பட்ட இம்மூன்று வேகங்களிலும் \({ v }_{ ms }\)பெரும மதிப்பையும் \({ v }_{ mp }\) சிறும மதிப்பையும் பெற்றிருக்கும்.
\({ v }_{ rms }>\overline { v } >{ v }_{ mp }\) விகித அடிப்படையில் 
\({ v }_{ rms }:\overline { v } :{ v }_{ mp }=\sqrt 3:\sqrt {8\over \pi }:\sqrt {}2\)=1.732:1.6:1.414

(i) எரட்டோஸ்தனீஸ்-புவியின் ஆரத்தைகே கண்டறிந்தார்.
(ii)  ஹிப்பார்க்கஸ்-புவிக்கும், நிலவுக்கும் இடையே உள்ள தொலைவைக் கண்டறிந்தார்.
(iii) வடிவியல் மற்றும் முக்கோணவியல் பயன்படுத்தப்பட்டது

திரவப் பரப்பிலிருந்து வேகமாக இயங்கும் மூலக்கூறுகள் தப்பியோடுவதால் ஏற்படும் நிகழ்வு ஆவியாதல் என அனுமானிக்கப்படுகிறது.
எனவே ஆவியாதல் எஞ்சியுள்ள மூலக்கூறுகளின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் குறைவாக இருக்கும் 
\(\frac { 1 }{ 2 } m \overline { { v }^{ 2 } } \propto T\)
ஆதலால் மீதமுள்ள திரவத்தின் வெப்பநிலை குறைவாக இருக்கும். இதனால் ஆவியாதலால் குளிர்வு ஏற்படுகிறது.

ஆம். அதீத  சூழ்நிலைகளில் பிற நிலைகளை பிளாஸ்மா 1 போஸ் - ஐன்ஸ்டீன் வாயுப் பண்பு ஆகிய நிலைகளிலும் உள்ளது. குலார்க் - குளுவான் பிளாஸ்மா மற்றும் அண்டத்தில் வெப்ப பிளாசாஸ்மாவாகவும் உள்ளது.                    

வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பரப்பு கணத்தாக்கத்தை தருகிறது.
கணத்தாக்கம் I= \(\Delta\)OAE இன் பரப்பு+செவ்வகம் ABDE இன் பரப்பு+ \(\Delta\)DBC இன் பரப்பு
\(I=\frac { 1 }{ 2 } \times 4\times { 10 }^{ -3 }\times 10+(8-4)\times { 10 }^{ -3 }\times 10+\frac { 1 }{ 2 } \times 10\times { 10 }^{ 2 }(1-0.8)\)
=2x10^-2+4x10^-2+1x10^-2
=7x10^-2kgms^-1
ஆனால் கணத்தாக்கம் =2x பொருளின் தொடக்க உந்தம்.
2mu=7x10^-2
\(u=\frac { 7\times { 10 }^{ -2 } }{ 2\times m } =\frac { 7\times { 10 }^{ -2 } }{ 2\times 70\times { 10 }^{ -3 } } =50cm{ s }^{ -1 }\)
எனவே பொருளானது எதிர்த்திசையில் திரும்பி அதன் தொடக்க வேகத்தில் இயங்கும்.

நீளத்தின் அலகு மீட்டர். குறியீடு m. வெற்றிடத்தில் \(\frac { 1 }{ 299,79,2458 } \) நொடியில் ஒளியானது கடக்கும் பதியின் நீளம் 1 மீட்டர் ஆகும்.

இயக்கமானது முடுக்கமடையவில்லை தளத்திற்கு இணையான தொகுபயன் விசை சுழியாக இருக்க வேண்டும்.

எனவே, F = M_g sin 45° = 0.
விசை, F = M_g sin 45°;
தொலைவு d = 10 m
செய்யப்படும் வேலை
W = Fd cos,
= (Mg sin45°)d cos0° [\(\because\) \(\theta\) = 0° so,cos 0° = 1]
= 20 \(\times\) 10 \(\times\) sin 45° \(\times\) 10 \(\times\) cos0°
\(=20\times 10\times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times 10\times 1\)
= 1414J
செய்யப்பட்ட வேலை W = 1414 J. 

ஒரு பொருளின் நிலைமத் திருப்புத்திறனானது சுழலும் அச்சை சார்ந்திருப்பது மட்டுமல்லாமல் அச்சிலிருந்து சுழலும் திசையமைப்பை பொருத்தும் மாறுபடும். எனவே சுழலும் அச்சுக்களை இடப்பெயர்வு செய்து நிலைமத் திருப்புத்திறனை காண இணையச்சுத் தேற்றம் செங்குத்து அச்சுத் தேற்றம் அவசியமாகிறது.

(i) புவியீர்ப்பு விசை mg
(ii) செங்குத்து விசை (N)
(iii) உராய்வு விசை F
(iv) மைய விலக்கு விசை \(\left (mv^2\over r\right)\)

இரண்டு கார்களும் வெவ்வேறான திசையில் ஒரே எண்மதிப்புடைய திசைவேகத்தில் (15 ms^-1) செல்கின்றன. எனவே, இரு கார்களும் வெவ்வேறு திசைவேகத்தில் செல்கின்றன எனலாம். ஆனால், திசை வேகத்தின் எண் மதிப்பு வேகம். இதற்குத் திசை இல்லை. எனவே, வெவ்வேறு திசைகளில் சென்றாலும் சமவேகத்தில் செல்கின்றன.

I அணுவின் நிறை =1.67 x 10^-27 kg
ஆக்சிஜன் அணுவின் நிறை =1.67 x  10^-27 kg
=26.72 x  10^-7 kg
உந்தம் P =mv
=26.72 x  10^-7x 8 x 2 x 10³
=427.5 x 10^-4 kgm s^-1
ஆக்சிஜன் மூலக்கூறுகள் செங்குத்துத் தளத்துடன் 30^o கோணத்தில் தாக்கும்போது 
= 427.5 x 10^-4x cos 30^o
= 427.5 x 10^-4x \({\sqrt 3\over 2}\)
= 370.2 x 10^-4 kgm s^-1
அழுத்தம் =\({F\over A}\)
\(={370.2\times 10^{-4}\over 4\times 10^{-4}}\)
P=92.4Nm^-2

1. வாயு முலக்கூறு சுவரின்மீது மோதும்போது, ஒரு உந்தத்தை சுவரின் மீது செலுத்துகிறது.
2. இந்த உந்த மாற்றத்தினால் கொள்கலனின் சுவர் ஓரலகு பரப்பில் உணரும் விசை,சுவரின் மீது வாயுவால் ஏற்படும் அழுத்தத்தை நிர்ணயிக்கிறது.

i) சாதாரண வெப்பநிலை T = 98.6°F 
செல்சியஸில், C = (F - 32) ÷ 1.8
C = (98.6 - 32) ÷ 1.8
C = 37°C 
கெல்வினில், K = 273 + 37 = 310 k
 

ii) காய்ச்சலின் வெப்பநிலை T = 104°F 
செல்சியஸில் C = (F - 32) ÷ 1.8
= (104 - 32) ÷ 1.8
= 40°C 
கெல்வினில், K = 40 + 273 = 313k
 

= 9259 × 10^-9 m
λm = 9259 nm 
a) \({ \lambda }_{ max }\approx \)9348 nm at 98.6^oF
b) \({ \lambda }_{ max }\approx \)9258 nm at 104^oF

வெப்பத்தைக் கடத்தும் திறனுக்கு  வெப்பக்கடத்துத்திறன் என்று பெயர்.
மாறாநிலை நிபந்தனையை ஓரலகு வெப்பநிலை வேறுபாட்டில், ஓரலகு  தடிமன் கொண்ட பொருளின் வழியே ஓரலகு பரப்பிற்குச் செங்குத்தாக உள்ள திசையின் கடத்தப்படும் வெப்பத்தின் அளவே, பொருளின்   வெப்பக்கடத்துத்திறன் என அழைக்கப்படுகிறது. 
\(\frac { Q }{ t } =\frac { KA\triangle T }{ L } \)
இங்கு K என்பது வெப்பக்கடத்தல் எண் ஆகும்.
(இதனை கெல்வின் வெப்பநிலை K எனத் தவறாக புரிந்து கொள்ளக்கூடாது)
வெப்பக்கடத்துத்திறனின் SI அலகு J s^-1 m ^-1 K^-1 அல்லது Wm^-1 K^-1.

(i) வென்சுரிமானி பெர்னெளலியின் தேற்றப்படி செயல்படுகிறது.அதன்படி வரிச்சீர் ஓட்டத்தில் உள்ள அமுக்க இயலாத பாகுநிலையற்ற, ஓரலகு நிறையுள்ள  நீர்மத்தின் அழுத்த ஆற்றல் , இயக்க ஆற்றல், மற்றும் நிலையாற்றல் ஆகியவற்றின் கூட்டுத் தொகை மாறிலியாகும்.
(ii) இக்கருவியானது ஒரு குழாயின் வழியே செல்லும்  அமுக்க இயலாத நிர்மம் பாயும் விதத்தை அல்லது  பாயும் வேகத்தை அளவிட உதுவுகிறது.
\(V=aA\sqrt { \frac { 2\left( \triangle p \right) }{ \rho \left( { A }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) } } \)                        

புவிப் பரப்பிற்கு மேலே உள்ள = h = 200km
g_h = ? R_e = 6371 km
\({ g }_{ h }=g\left[ 1-\frac { 2h }{ R } \right] \)
\({ g }_{ h }=g\left[ 1-\frac { 2\times 200 }{ 6371 } \right] =\frac { 5971 }{ 6371 } g\)
g_h = 0.937g (or) g_h = 0.94 g
புவி பரப்பிற்குக் கீழே ஆழம் d = 200km
g_d = ? R_e = 6371km
\({ g }_{ d }=g\left( 1-\frac { d }{ { R }_{ e } } \right) \)
\(g=\left( 1-\frac { 200 }{ 6371 } \right) =g\left( \frac { 6171 }{ 6371 } \right) \)
g_d = 0.968g.
\(\therefore\) g_d < g_h

பருவங்களே இருக்காது.

திறனின் SI அலகு Watt ஆகும். ஒரு வினாடியில் ஒரு ஜூல் வேலை செய்யப்பட்டால் திறன் ஒரு வாட் என அழைக்கப்படுகிறது. 1W=1Js^-1

(1) இரு சுழி அல்லாத வெக்டர்கள் \(\vec { A } \) மற்றும் \(\vec { B } \) ஆகியவற்றை ஓர் இணைகரத்தின் அடுத்தடுத்த பக்கங்களாக குறித்தால், அவற்றின் தொகுபயன்.
(2) இரு வெக்டர்கள் வால் பகுதி வழியே செல்லும் மூலைவிட்டத்தால் எண்மதிப்பிலும், திசையிலும் குறிக்கப்படும்.

வாகனம் வளைவுச் சாலையில் செல்லும் போது மையநோக்கு விசையைத் தரும் உராய்வு விசை போதுமானதாக இல்லை எனில் வாகனம் வழுக்கி விழுந்து விடும்.இதைத் தடுக்க உராய்வு விசையை அதிகரிக்கும் பொருட்டு சாலையின் வெளிப்புற விளிம்பு உயர்த்தப்பட்டிருக்கும்.இதையே விளிம்பு உயர்த்தப்பட்ட பாதை என்கிறோம்.

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட விசைகள் ஒரே நேரத்தில் செயல்பட்டு ஏற்படுத்தும் விளைவை தனியொரு விசை ஏற்படுத்தினால் அவ்விசை தொகுபயன் விசை எனப்படும்.

1.வெற்றிடத்தில் ஓர் ஆண்டில் ஒளி செல்லக்கூடிய தொலைவு ஒளி ஆண்டு எனப்படும்.
2.1 ஒளி ஆண்டு = 9.467 x 10¹⁵மீ .

அ) \(\vec a\) = மாறிலி,
ஆ) \(\vec v\) = மாறிலி,
இ) \(\vec a\) = மாறிலி ஆனால் முதல் வரைபடத்தில் உள்ளதை விட அதிகம்,
ஈ) \(\vec a\)  = மாறி

\(\overrightarrow{r_1} =5 \hat{i}+6 \hat{j}  \)
\(\overrightarrow{r_2} =2 \hat{i}+3 \hat{j}  \)
\(\overrightarrow{\Delta r} =\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{i}-6 \hat{j}  \)
\(=-3 \hat{i}-3 \hat{j}  \)
\(\Delta \mathrm{t} =5 \mathrm{sec} \)
∴Δv_{சராசரி} \(=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{-3}{5}(\hat{i}+\hat{j})\)

உராய்வின்றி உள்ள A  - ன் இயக்க ஆற்றல் = \(k_A={1\over 2}m(2gh)\)
நழுவுதல்லற்ற B - ன் உருளுதலின் இயக்க ஆற்றல் = \(k_B={1\over 2}m\left( 2gh\over 1+k^2/R^2\right)\)
நழுவி உருளுதலுடன் கூடிய C - ன் இயக்க ஆற்றல் = \(k_C={1\over2}m^2gh\)

1. மேசையின் மேலும் கட்டையின் செங்குத்து விசை (N)h - ஐ சார்ந்து இருக்காது.
2. ஏனெனில் கிடைத்தாலே விசை மேல்நோக்கி செங்குத்தாக ஈர்ப்பு மையத்தை நோக்கி செயல்படும்.

\(\mathrm{F}_{1 \mathrm{x}} =\mathrm{F}_{\mathrm{i}} \cos 30^{\circ}  \)
\(=50 \times \frac{\sqrt{3}}{2}  \)
\(\mathrm{~m} =20 \mathrm{~kg}  \)
\(\mathrm{a}_{\mathrm{x}} =\frac{F_{1 x}}{m}  \)
\(=\frac{25 \sqrt{3}}{20}=2.165 \mathrm{~m} / \mathrm{s}  \)
\(\mathrm{F}_{1 \mathrm{y}} =\mathrm{F}_1 \sin 30^{\circ}  \)
\(=50 \times \frac{1}{2}=25  \)
\(\mathrm{a}_{\mathrm{y}} =\frac{F_{1 y}}{m}=\frac{25}{20}=1.25 \mathrm{~ms}^{-1}\)

காற்றின் தடையின் காரணத்தினால் பாராசூட் மெதுவாகக் கீழிறங்குகிறது. கீழே விழும் பாராசூட்டின் மீது செயல்படும் விசைகள்
1. கீழ்நோக்கிய காற்றின் தடை
2. மேல்நோக்கிய ஈர்ப்பு விசை
ஈர்ப்புவிசை காற்றின் தடை விசையை விட அதிகம்.
பாராசூட் திறக்கப்பட்டவுடன் காற்றின் தடை அதிகரிக்கும். எனவே பராசூட் மெதுவாகக் கீழிறங்குகின்றது

குண்டின் நிறை \(\mathrm{m} =20 \mathrm{~g} \)
\(=20 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}  \)
\(=0.02 \mathrm{~kg} \)
குண்டின் ஊசல் நிறை M = 5 kg
உயரம் h =10 cm
\(=10 \times 10^{-2}=0.1 \mathrm{~m} \)
இயக்க ஆற்றல் = நிலை ஆற்றல்
\(\frac{1}{2} m v^2 =m g h  \)
\(v =\sqrt{2 g h}  \)
\(\mathrm{v} =\sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1}  \)
\(=\sqrt{1.96}=1.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)
இறுதி திசைவேகம் \(\mathrm{v}=1.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)
\(\mathrm{v} =\frac{m_1 u_1+m_2 u_2}{m_1+m_2}  \)
\(=\frac{0.02 u_1+5 \times 0}{(0.02+5)}=\frac{0.02}{5.02} u_1  \)
\(\mathrm{v} =1.4  \)
\(1.4 =\frac{0.02}{5.02} \mathrm{u}_1  \)
\(\mathrm{u}_1 =\frac{1.4 \times 5.02}{0.02}  \)
\(=\frac{7.028}{0.02}=351.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)
தொடக்க திசைவேகம் \(=351.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)

திருகு அளவியின் மீச்சிறு அளவு =\({Pitch\over No.of divisions}\)
\(={1\over 100}\)
=0.01mm
=0.001cm
வெர்னியரின் மீச்சிறு அளவு =1MSD-1VSD=1-\({19\over20}\)
\(={1\over20}\)
=0.05
=0.005cm
மீச்சிறு அளவினை ஒப்பிட திருகு அளவியே சிறந்ததாக உள்ளது.

x = \(a^2b^3\over c\sqrt{d}\)
x ன் விழுக்காட்டுப்பிழை
\({Δx\over x}\times100=2{Δa\over a}\times100+3{Δb\over b}\times100+{Δc\over c}\times100+{1\over2}{Δd\over d}\times100\)
= (2 × 4%) + (3 × 2%) + (1 × 3%) + (½ × 1%)
= 8% + 6% + 3% + 0.5%
x ன் விழுக்காட்டுப்பிழை = 17.5%

வாயுக்களின் இயக்கவியற் கொள்கையிலிருந்து பெறப்பட்ட சில அடிப்படை விதிகள் 
பாயில் விதி:
\(PV=\frac { 2 }{ 3 } U\)
அனால் நல்லியல்பு வாயு ஒன்றின் அகஆற்றல், அதன் ஒவ்வொரு மூலக்கூறில் சராசரி இயக்க ஆற்றலின் (\(\in \)),N மடங்கிற்குச் சமமாகும்.
\(U=N\in \)
\(PV=\frac { 2 }{ 3 } N\in \)
மாறா வெப்பநிலையில், சராசரி இடப்பெயர்வு இயக்கஆற்றல் ஒரு மாறிலியாகும். இதிலிருந்து PV=மாறிலி என அறியலாம்.
எனவே, மாறா வெப்பநிலையில், கொடுக்கப்பட்ட வாயு ஒன்றின் அழுத்தம் அதன் பருமனுக்கு எதிர்த்தகவில் இருக்கும், இதுவே பாயில் விதியாகும்.
சார்லஸ் விதி: ஒரு குறிப்பிட்ட அழுத்தத்தில், வாயு ஒன்றின் பருமன் அதன் அகஆற்றலுக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும் அல்லது வாயுவின் சராசரி இயக்க ஆற்றலுக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும். மேலும் வெப்பநிலைக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும்.
இதிலிருந்து நாம் அறிவது என்னவென்றால் 
\(V\propto T\)அல்லது \(=\frac { V }{ T } \)மாறிலி 
இதுவே சார்லஸ் விதியாகும்.
அவகாட்ரோ விதி:
மாறா வெப்பநிலை மற்றும் அழுத்தத்தில் சம பருமனுள்ள அனைத்து வாயுக்களும் ஒரே எண்ணிக்கையில் வாயுமூலக்கூறுகளைப் பெற்றிருக்கும். ஒரே வெப்பநிலை மற்றும் அழுத்தத்தில் உள்ள இரண்டு வெவ்வேறு வாயுக்களுக்கு, வாயுக்களின் இயக்கவியற் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\(P=\frac { 1 }{ 3 } \frac { { N }_{ 1 } }{ V } m_{ 1 }\overline { { v }_{ 1 }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3 } \frac { { N }_{ 2 } }{ V } m_{ 2 }\overline { { v }_{ 2 }^{ 2 } } \)...(1)
இங்கு\(\overline { { v }_{ 1 }^{ 2 } } \) மற்றும்\(\overline { { v }_{ 2 }^{ 2 } } \) என்பவை இரண்டு வெவ்வேறு வாயுக்களின் சராசரி இருமுடி வேகங்களாகும். மேலும்\({ N }_{ 1 }\) மற்றும் \({ N }_{ 2 }\)என்பவை அவ்விரு வாயுக்களில் உள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையாகும்.
இவ்விரண்டு வாயுக்களிலும் உள்ள வாயு மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல். ஒரே வெப்பநிலையில் சமமதிப்பைப் பெற்றிருக்கும்.
\(=\frac { 1 }{ 2 } m_{ 1 }\overline { { v }_{ 1 }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } m_{ 2 }\overline { { v }_{ 2 }^{ 2 } } \)..........(2)
சமன்பாடு (1)ஐ சமன்பாடு (2)ஆல் வகுக்கும்போது \({ N }_{ 1 }\)=\({ N }_{ 2 }\)எனக்கிடைக்கும்.
இதுவே அவகாட்ரோ விதியாகும்.  

(i)திண்மங்களில்  அணுக்கள் அல்லது மூலக்  கூறுகள் இறுக்கமாக பொருத்தப்பட்டுள்ளன. திண்மம் உருவாகும்போது  அணுக்கள் பல்வேறு வகையான பிணைப்புகள் மூலம் ஒன்றாக பிணைக்கப்பட்டுள்ளன.
(ii) அணுக்களுக்கு இடையே உள்ள இடைவினை காரணமாக  அவை ஒரு குறிப்பிட்ட அணுவிடை தொலைவில் தாங்களாகவே நிலை கொண்டுள்ளன.பிணைக்கப்பட்ட நிலையில் உள்ள அணுக்களின் இந்த நிலையானது அணுக்களின் நடுநிலை எனப்படும்.

திரவங்கள்:
(i)திண்மப் பொருளுக்கு வெப்பம் போன்ற எந்த புற  ஆற்றலும்  அளிக்கப்படாத  போது அணுக்களுக்கு இடையே உள்ள பிணைப்பின் காரணமாக அது தொடர்ந்து திண்மமாகவே இருக்கும்.வெப்பப்படுத்தினால் திண்மத்தில் வெப்ப ஆற்றலை பெற்று அவற்றின் நடுநிலைகளை பொறுத்து அதிர்வுருகின்றன.
(ii) திண்மமானது அதன் உருகு நிலைக்கு மேல் வெப்பப்படுத்தப்பட்டால் , வெப்ப ஆற்றல்  அணுக்களின் பிணைப்பை  முறித்துவிடும். மற்றும் இறுதியாக அணுக்கள்  போதுமான ஆற்றலை பெற்று சுற்றித் திரியும்.
(iii) இந்நிலையிலும் மூலக் கூறுகளுக்கு  (அல்லது அணுக்களுக்கு ) இடையே உள்ள விசைகள்  முக்கியமானதாக அமைகின்றன.ஆனால் மூலக்  கூறுகள்  போதுமான ஆற்றலைக் கொண்டு  நகர்வதால் இதன் வடிவம் இயங்கக் கூடியதாக ஆகிறது.
வாயுக்கள் :
(i) ஒரு திரவமானது மாறா அழுத்தத்தில் அதன் கொதி நிலைக்கு வெப்பபடுத்தப்பட்டலோ அல்லது  ஒரு மாறா வெப்ப நிலையில் அதன் அழுத்தம் குறைக்கப்பட்டலோ அது வாயுவாக மாறும்.திரவமானது வாயுவாக மாறும் இந்தச் செயல் முறை ஆவியாதல் எனப்படும்.
(ii) வாயு மூலக் கூறுகள் மிகுவும் வலுவற்ற பிணைப்புகளை கொண்டிருக்கும்  அல்லது பிணைப்புகளே இருக்காது.எனவே வாயுவானது அதன் கொள்கலனின் வடிவத்திற்கு இணங்கி விரிவடைந்து கொள்கலனை நிரப்பும்   (iii) திண்மத்திலிருந்து  திரவம் மற்றும் திரவத்திலிருந்து வாயுநிலைக்கு  புற ஆற்றல் மாறுபாட்டுடன் நிலைமாற்றம் அடையும்.                                            

ஆய அச்சு அமைப்பை பொருத்து நிறை மையத்தின் நிலையை கீழ்கண்ட மூன்று வழிகளில் காணலாம்.
(i) நிறைகள் நேர் x - அச்சில் உள்ள போது: படத்தில் காட்டுப்பட்டுள்ளதைப்போல் m₁, m₂ என்ற நிறைகள் தன்னிச்சையாக எடுக்கப்பட்ட ஆதிபுள்ளியைப் பொருத்து நேர் X அச்சில் முறையே x₁ மற்றும் x₂ நிலைகளில் உள்ளதாக எடுத்துக்கொள்வோம். நேர் X அச்சிலேயே x_CM என்ற தொலைவில் அமைந்த நிறைமையத்தின் சமன்பாடானது.
\(x_{CM}={m_1x_1+m_2x_2\over m_1+m_2}\)
(ii) நிறையில் ஏதேனும் ஒன்று ஆதியுடன் ஒன்றியுள்ளபோது: படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளவாறு ஏதேனும் ஒரு நிறை ஆய அச்சின் ஆதிபுள்ளியோடு ஒன்றியுள்ள போது கணக்கீடானது இன்னும் எளிதாக்கப்படுகிறது.புள்ளி நிறை m₁ ஆதிபுள்ளியோடு ஒன்றும்போது அதன் நிலை x₁ சுழியாகிறது அதாவது x₁ சுழியாகிறது. அதாவது x₁ = 0 எனவே,
\(x_{CM}={m_1(0)+m_2x_2\over m_1+m_2}\)
இதை மேலும் எளிதாக்கும் போது
\(x_{CM}={m_2x_2\over m_1+m_2}\)
(iii) நிறைமையானது ஆதியுடன் ஒன்றியுள்ள போது:
ஆய அச்சு அமைப்பின் ஆதிபுள்ளியானது நிறை மையத்தோடு ஒன்றியுள்ளபோது x_CM = 0 மேலும் படத்தில் காட்டியுள்ளபடி நிறை m₁ன் நிலையானது எதிர்குறி X அச்சில் அமையும். எனவே இதன் நிலை எதிர்குறியாக இருக்கும்.
\(0={m_1(-x_i)+m_2x_2\over m_1+m_2}\)
0 = m₁(-x₁)+m₂x₂
m₁x₁ = m₂x₂
மேல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு திருப்புத்திறன்களின் தத்துவம் எனப்படுகிறது.

\(\overrightarrow { A } =2\hat { i } -\hat { j } ,\overrightarrow { B } =4\hat { i } -3\hat { j } \)
(i) \(\overrightarrow { A } \)ன் எண் மதிப்பு 
\(\overrightarrow { |A| } \sqrt { { (2) }^{ 2 }-{ (1) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+1 } =\sqrt { 5 } \)
\(\overrightarrow { A } \)ன் திசை \(tan\theta =\frac { { A }_{ y } }{ { A }_{ x } } =\frac { -1 }{ 2 } \)
\(\theta ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \)
(ii) \(\overrightarrow { B } \)ன் எண் மதிப்பு \(y=\sqrt { { (4) }^{ 2 }-{ (3) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 16+9 } =5\)
\(\overrightarrow { B } \)ன் திசை\(tan\theta =\frac { { B }_{ y } }{ B_{ x } } =\frac { 3 }{ 4 } \)
(iii) \(\overrightarrow { A } \)+\(\overrightarrow {B } \)ன் எண் மதிப்பு
\(\overrightarrow { A } +\overrightarrow { B } =2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { i } +3\hat { j } \)
\(\overrightarrow { A } +\overrightarrow { B } =6\hat { i } -2\hat { j } \)
\(\overrightarrow { A } \)+\(\overrightarrow {B } \)ன் எண் மதிப்பு​​​ \(\sqrt { { (6) }^{ 2 }-{ (2) }^{ 2 } } =\sqrt { 40 } =6.3\)
\(\overrightarrow { A } \)+\(\overrightarrow {B } \)ன் திசை \(tan\theta =\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
\(\theta ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) \)
(iv)\(\overrightarrow { A } \)-\(\overrightarrow {B } \)ன் எண் மதிப்பு​​​​​​​
\(\overrightarrow { A } -\overrightarrow { B } =2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { i } -3\hat { j } \)
\(\overrightarrow { A } -\overrightarrow { B } =2\hat { i } -4\hat { j } \)
\(\overrightarrow { A } \)-\(\overrightarrow {B } \)ன் எண் மதிப்பு​​​ \(\sqrt { { (-2) }^{ 2 }-{ (-4) }^{ 2 } } =\sqrt { 20 } \)
\(\overrightarrow { A } \)-\(\overrightarrow {B } \)ன் எண் மதிப்பு​​​​​​​=\(\sqrt {20}\)
\(\overrightarrow { A } \)-\(\overrightarrow {B } \)ன் திசை \(tan\theta =\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
திசை \(\theta=\frac {-4}{-2}=2\)
\(\theta ={ tan }^{ -1 }( 2) \)

விசைக்கான பரிமாண வாய்ப்பாடு  =F=M¹L¹T^-2
a=1, b=1, c=-2
நியூட்டன் என்பது M.K.S முறையில் உள்ளது.
M₁=1 kg, L₁=1 m, T₁=1s
M₂=1 kg, L₂=1 cm, T₂=1s
n₁=1 நியூட்டன் (N)
n₂=?
வாய்பாட்டின்படி
n₂=n₁\(\left[ \frac { { M }_{ 1 } }{ { M }_{ 2 } } \right] _{ a }\left[ \frac { { L }_{ 1 } }{ { L }_{ 2 } } \right] _{ b }\left[ \frac { { T }_{ 1 } }{ { T }_{ 2 } } \right] _{ c }\)
n₂=1\(\left[ \frac { 1kg }{ 1g } \right] \left[ \frac { 1m }{ 1cm } \right] \left[ \frac { 1s }{ 1s } \right] ^{ -2 }\)
n₂=1\(\left[ \frac { 1000g }{ 1g } \right] \left[ \frac { 100cm }{ 1cm } \right] \times 1\)
n₂ = 1000 x 100 =100000
=10⁵ டைன்கள்
∴ N=10⁵ dynes.

ஒரு பேபால் நல்லியல்பு வாயு ஒன்றின் மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்பை, மேயர் தொடர்பு CP - CV = R கொடுக்கிறது.
ஆற்றல் சமபங்கீட்டு விதியைப் பயன்படுத்தி CP - CV மதிப்பையும் மேலும் அவற்றிற்கிடையேயான விகிதம் = γ = CP - CV யையும் கணக்கிடலாம்.
(γ -வெப்பப்பரிமாற்றமில்லா அடுக்குக்குறியீடு 
1. ஓரணு மூலக்கூறு: 
மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் = 3/2  kT
ஒருமோல் வாயுவின் மொத்த ஆற்றல் = 3/2 kT × NA = 3/2 RT
ஒருமோல் வாயுவின் பருமன் மாறா மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன் =
 

•மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன்களின் தகவு γ = CP / CV
 

2. ஈரணு மூலக்கூறு: 
தாழ்வெப்பநிலையில் உள்ள ஈரணு மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் = 5/2  kT
ஒரு மோல் வாயுவின் மொத்த ஆற்றல்   
= 5/2 kT × NA = 5/2 RT
ஒரு மோல் வாயுவின் பருமன் மாறா மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன்  
CV = dU / dT = [5/2RT ] ; CV = 5/2 R
 

உயர் வெப்பநிலையிலுள்ள ஈரணு மூலக்கூறு ஒன்றின் அகஆற்றல் = 7/2  RT
 

CV மற்றும் CP இன் மதிப்பானது ஓரணு மூலக்கூறுகளை விட, ஈரணு மூலக்கூறுகளுக்கு அதிகமாக உள்ளது. 
ஓரணு வாயு மூலக்கூறுகளின் வெப்பநிலையை 1°C உயர்த்துவதற்குத் தேவைப்படும் வெப்பத்தை விட ஈரணு வாயு மூலக்கூறுகளுக்கு அதிக வெப்பம் தேவைப்படும்.
 

III மூவணு மூலக்கூறுகள்: 

1. நேர்க்கோட்டிலமைந்த மூவணு மூலக்கூறு :
ஒரு மோல் மூலக்கூறின் அக ஆற்றல் 
 

2. நேர்க்கோட்டில் அமையாத மூவணு மூலக்கூறு :
ஒரு மோல் மூவணு மூலக்கூறின் அக ஆற்றல் = 
 

வாயுக்களின் இயக்கவியல் கொள்கையின் அடிப்படையில், பருமன் மற்றும் அழுத்தம் மாறா தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன்கள் வெப்பநிலையில் சார்ந்ததல்ல. 

ஒரு பொருளை நகர்த்தும் போது விசையினால் அல்லது விசைக்கெதிராக செய்யப்பட்ட வேலை பொருளின் தொடக்க மற்றும் இறுதி நிலைகளை மட்டும் சார்ந்தும், பொருளின் தொடக்க மற்றும் இறுதி நிலைகளுக்கிடையே சென்ற பாதையின் இயல்பைச் சாராமலும் இருப்பின்: அவ்விசை, ஆற்றல் மாற்றா விசை எனப்படும்.
எ.கா. மீட்சி சுருள்வில் விசை, நிலை மின்னியல் விசை, காந்த விசை, புவியீர்ப்பு விசை முதலியன.
ஒரு பொருளை விசையினால் அல்லது விசைக்கெதிராக நகர்த்தச் செய்யப்பட்ட வேலை தொடக்க மற்றும் இறுதி நிலைகளுக்கிடையே உள்ள பாதையைச் சார்ந்திருப்பின் அவ்விசை ஆற்றல் மாற்றும் விசை எனப்படும். இதன் பொருள் வெவ்வேறு பாதைகளில் செய்யப்பட்ட வேலையின் மதிப்பு மாறுபடும் என்பதாகும்.
எ.கா. உராய்வு விசைகள், காற்றுத்தடையால் ஏற்படும் விசை, பாகியல் விசை முதலியன.

1.செங்குத்து ஏத்தி விசை மற்றும் பெரும உராய்வு விசை (f_s ^max)ஆகிய இரண்டின் தொகுபயனுக்கும் (R) செங்குத்து எதிர்விசை (N) க்கும் இடையேயான கோணம் உராய்வுக் கோணம் எனப்படுகிறது.
2.\(R=\sqrt { ({ f }_{ s }^{ max })^{ 2 } } +N^{ 2 }\)
3.\(tan\theta=\frac{f_s^{max}}{N}\)
4.உராய்வுத் தொடர்புகளிலிருந்து f_s^max=\(\mu_k N\) ஆக இருக்கும்போது பொருள் சறுக்கத் துவங்கும் அதனை கீழ்காணுமாறும் எழுதலாம்.
5.\(\frac{f_s^{max}}{N}=\mu_s\)
6.ஆகியவற்றிலிருந்து ஓய்வுநிலை உராய்விற்கான குணகம்.
7.\(\mu_s=tan\theta\)
8.ஓய்வுநிலை உராய்விற்கான குணகம் உராய்வுக் கோணத்தின் டான்ஜென்ட் (tan θ) சமமாக இருக்கும்.