வெப்பநிலை மாறா நிகழ்வில் செய்யப்பட்ட வேலை:
நல்லியல்பு வாயு ஒன்றினைக் கருதுக. மாறா வெப்பநிலையில், மீமெது நிகழ்வில் (P_i, V_i) என்ற தொடக்க நிலையிலிருந்து (P_f, V_f) என்ற இறுதி நிலைக்கு அதனை விரிவடைய அனுமதிக்கவும்.
\(W=\int _{ { V }_{ i } }^{ { V }_{ f } }{ PdV } \)   ...(1)
(ii) இந்நிகழ்வு மீமெது நிகழ்வாக உள்ளதால் ஒவ்வொரு நிலையிலும் வாயுவானது சூழலுடன் சமநிலையில் ஐயூர்க்கும். இங்கு வாயு நல்லியல்பு வாயுவாகவும் ஒவ்வொரு நிலையிலும் சூழலுடன் சமநிலையில் உள்ளதாலும் நள்ளியிபு வாயுச் சமன்பாட்டை இங்கு நாம் பயன்படுத்தி அழுத்தத்தை பருமன் மற்றும் வெப்பநிலையின் சார்பாக எழுதலாம்.
\(P=\frac { \mu Rt }{ V } \) ....(2)
சமன்பாடு (2) ஐ சமன்பாடு (1)இல் பிரதியிடும்போது
\(W=\int _{ { V }_{ i } }^{ { V }_{ f } }{ \frac { \mu RT }{ V } } dV\)
\(W=\mu RT\int _{ { V }_{ i } }^{ { V }_{ f } }{ \frac { dV }{ V } } \)
சமன்பாடு (3) இல் T தொகையீட்டிற்கும் வெளியே வைத்திருக்ககாரணம் வெப்பநிலை மாறா நிகழ்வு முழுமைக்கும் இது மாறிலியாகும்.
சமன்பாடு (3) ஐ தொகைப்படுத்தும்போது
\(W=\mu RTIn\left( \frac { { V }_{ f } }{ { V }_{ i } } \right) \)  ...(4)
இங்கு ஏற்பட்ட பருமன் விரிவு ஓர் வெப்பநிலை மாறாவிரிவாகும்.
(iii) மேலும் \(\frac { { V }_{ f } }{ { V }_{ i } } >1\) என்பதால் \(In\left( \frac { { V }_{ f } }{ { V }_{ i } } \right) >0\) எனவே, வெப்பநிலை மாறா அமுக்கத்தில் வாயுவின்மீது செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்க்குறி ஆகும்.
(iv) சமன்பாடு (4) வெப்பநிலை மாறா அமுக்கத்திற்கும் பொருந்தும். ஆனால் வெப்பநிலை மாறா அமுக்கத்தில் \(\frac { { V }_{ f } }{ { V }_{ i } } <1\) எனவே \(In\left( \frac { { V }_{ f } }{ { V }_{ i } } \right) >0\) எனவே, வெப்பநிலை மாறா அமுக்கத்தில் வாயுவின்மீது செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்க்குறி ஆகும்.
(v) PV வரைபடத்தில், வெப்பநிலைமாறா விரித்த பொது வாயுவால் செய்யப்பட்ட வேலை வரைபடத்திற்குக் கீழே உள்ள பரப்பிற்குச் சமம்.

(v) இதேபோன்று வெப்பநிலை மாறா அமுக்கத்தில் PV வரைபடத்திற்குக் கீழே உள்ள பரப்பு வாயுவின் மீது செய்யப்பட்ட வேலைக்குச்சமமாகும். இது எதிர்க்குறியில் குறிப்பிடப்படும்.

வெப்பநிலை மாறா நிகழ்வு (Isothermal process):
(i) வெப்பநிலை மாறா நிகழ்வில் வெப்பநிலை ஓர் மாறா மதிப்பினைப் பெற்றிக்கும். ஆனால் வெப்ப இயக்கவியல் அமைப்பின் அழுத்தம், பருமனும் மாற்றமடையும்
நல்லியல்பு வாயுச்சமன்பாடு
PV=μRT
இந்நிகழ்வில் T ஓர் மாறிலி. எனவே வெப்பநிலை மாறா நிகழ்விற்கான சமன்பாடு
PV = மாறிலி
(ii) இந்த சமன்பாடு நமக்கு உணர்த்துவது வாயு ஒரு சமநிலை நிலையிலிருந்து (P₁, V ₁) மற்றொரு சமநிலை நிலைக்குச் (P₂, V₂) செல்லும் போது பின்வரும் தொடர்பு பொருந்தும் என்பதே
P₁V₁ = P₂V₂     ...(2)
(iii) இங்கு PV = மாறிலி. எனவே P_i ஆனது V யுடன் எதிர் விகிதத்தொடர்பைப் பெற்றுள்ளது. அதாவது \(P\propto \frac { 1 }{ V } \). இதிலிருந்து PV வரைபடம் ஓர் அதிபரவளையம் (hyperbola) என அறியலாம்.
(iv) மாறா வெப்பநிலையில் வரையப்படும் அழுத்தம் பருமன் வரைபடத்தை வெப்பநிலை மாறா வரைபடம் (isotherm) என்ற அழைக்கலாம்.
(v) ஒரு வெப்பநிலை மாறா நிகழ்வில் அக ஆற்றலும் ஓர் மாறிலியாகும். ஏனெனில் வெப்பநிலை இங்கு மாறாமல் உள்ளது. எனவே, dU அல்லது ∆U = 0. வெப்பநிலை மாறா நிகழ்விற்கான வெப்ப இயக்கவியலின் முதல் விதி பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது.
Q=W ...(3)
(vi) சமன்பாடு (3) இல் இருந்து வெப்பநிலை மாறா நிகழ்வில் வாயுவிற்குக் கொடுக்கப்படும் வெப்பம் புறவேலைக்கு மட்டுமே பயன்படுகிறது என்பதை நமக்கு உணர்த்துகிறது. வெப்பநிலை மாறா அமுக்கம் ஏற்படும்போது உருளையின் உள்ளே பிஸ்டன் தள்ளப்படுகிறது இது அக ஆற்றலை அதிகரிக்கும். ஆனால் இந்த அக ஆற்றல் அதிகரிப்பு வெப்பதொடர்பினால் அமைப்பிற்கு வெளியே சென்று விடுகிறது

மேயர் தொடர்பு (Meyer's  Relation):
1.\(\mu \) மோல் அளவுடைய நல்லியல்பு வாயு கொள்கலன் ஒன்றில் அடைத்து வைக்கப்பட்டுள்ளது. அவ்வாயுவின் பருமன் V, அழுத்தம் P மற்றும் வெப்பநிலை T என்க. மாறாப்பருமனில் வாயுவின் வெப்பநிலை dT அளவு உயர்த்தப்படுகிறது.
2. இங்கு வாயுவால் எவ்வித வேலையும் செய்யப்படவில்லை. எனவே அமைப்பிற்குக் கொடுக்கப்பட்ட வெப்பம் அக ஆற்றலை மட்டுமே அதிகரிக்கும். அக ஆற்றலை மட்டுமே அதிகரிக்கும். அக ஆற்றலில் ஏற்பட்ட மாற்றத்தை dU என்க. Cv என்பது  பருமன் மாறா மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன் எனில்.
dU=\(\mu C_vdT\).......(1)
3. மாறா அழுத்தத்தில் வாயுவை வெப்பப்படுத்தும்போது, அவ்வாயுவின் வெப்பநிலை உயர்வு dT எனவும், அமைப்பிற்குக் கொடுக்கப்பட்ட வெப்பத்தின் அளவு 'Q' எனவும், இந்நிகழ்வினால் பருமனில் ஏற்பட்ட மாற்றம் 'dV' எனவும் கொண்டால் 
Q =\(\mu C_p dT\).......(2)
4. இந்நிகழ்வினால் செய்யப்பட்ட வேலை 
W=PdV .........(3)
ஆனால், வெப்ப இயக்கவியலின் முதல் விதிப்படி 
Q=dU + W .......(4)
சமன்பாடுகள் (1),(2)மற்றும் (3) இம்மூன்றையும் (4) இல் பிரதியிடும்போது 
\(\mu C_p dT\)=\(\mu C_vdT\)+PdV.....(5)
எனக் கிடைக்கும்.
\(\mu \) மோல் அளவுடைய நல்லியல்பு வாயுவிற்கு நிலைச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
PV=\(\mu \)RT \(\Rightarrow PdV+VdP=\mu RdT\)....(6)
இங்கு அழுத்தம் மாறாது, எனவே dP=0
PdV = \(\mu \)RT
\(\therefore C_pdT=C_vdT+RdT\)
\(\therefore C_p=C_v+R\) (or) \(C_p-C_v=R\)......(7)
இத்தொடர்பிற்கு மேயர் தொடர்வு என்று பெயர்.
5. மாறா அழுத்தத்தில் நல்லியல்பு வாயுவின் மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன், பருமன் மாறா மோலார் தன்வெப்ப ஏற்புத்திறன் மற்றும் R ஆகியவற்றின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும் என்பதை இத்தொடர்பு நமக்குக் காட்டுகிறது.

பருமனில் மாற்றம் ஏற்படும்போது செய்யப்பட்ட வேலை:
1. நகரும் பிஸ்டனைக் கொண்ட வாயு நிரப்பப்பட்ட உருளை ஒன்றைக் கருதுக. மீமெது நிகழ்வில் உள்ளவாறு வாயு விரிவடைந்து பிஸ்டனை dx தொலைவுக்கு மெதுவாகத் தள்ளுகிறது.
2. இங்கு மீமெது நிகழ்வின் அடிப்படையில் வாயு விரிவடைகிறது. எனவே ஒவ்வொரு கணத்திலும் அழுத்தம், வெப்பநிலை மற்றும் அக ஆற்றல் ஆகியவை ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பினைப் பெற்றிருக்கும். வாயுவால் பிஸ்டன் மீது செய்யப்பட்ட சிறிய வேலை 
dW =Fdx .........(1)
3. வாயுவால் பிஸ்டனின் மீது செலுத்தப்பட்ட விசை F=PA. இங்கு A என்பது பிஸ்டனின் பரப்பையும், P என்பது வாயு பிஸ்டனின் மீது செலுத்தும் அழுத்தத்தையும் குறிக்கிறது.
சமன்பாடு 1ஐ பின்வருமாறு மாற்றியமைக்கலாம்.
dW = PA dx ......(2)
ஆனால் Adx=dV = வாயுவின் விரிவினால் ஏற்பட்ட பருமன் மாறுபாடு எனவே வாயு விரிவடைந்தால் செய்யப்பட்ட சிறிய வேலை 
dW =PdV ......(3)

4. இங்கு dV நேரக்குறி என்பதை கவனிக்க வேண்டும். ஏனெனில் பருமன் அதிகரிக்கிறது பொதுவாக வாயுவின் பருமன் V_i லிருந்து V_f வரை அதிகரிப்பதால் செய்யப்பட்ட வேலையை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.
\(W=\int^{V_f}_{V_i}PdV\).......(4)
5. அமைப்பின்மீது வேலை செய்யப்பட்டிருப்பின் W எதிர்க்குறி மதிப்பைப் பெறும். சமன்பாடு (4) இல் அழுத்தம் P, தொகைக் குறியீட்டிற்கு உள்ளே உள்ளதைக் கவனிக்க வேண்டும். அமைப்பு வேலை செய்யும்போது அழுத்தம் மாறிலியாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை இது உணர்த்துகிறது. தொகையீட்டு மதிப்பினைக் காண நிலைச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அழுத்தத்தை பருமன் மற்றும் வெப்பநிலையின் சார்பாகக் குறிப்பிட வேண்டும்.

ஜூலின் வெப்ப இயந்திரவியல் சமானம் (Joule's Mechanical Equivalent of Heat)
1. பொருளொன்றின் வெப்பநிலையை அதனை வெப்பப்படுத்துவதன் மூலம் உயர்த்தலாம் அல்லது அப்பொருளின்மீது வேலை செய்வதன் மூலம் உயர்த்தலாம். பதினெட்டாம் நூற்றாண்டில் ஜேம்ஸ் ஜூல் என்ற அறிவியல் அறிஞர் இயந்திர ஆற்றலை அக ஆற்றலாகவும், அக ஆற்றலை இயந்திர ஆற்றலாகவும் மாற்ற முடியும் என்று நிரூபித்தார்.
2. அவரின் ஆய்வின் இரண்டு நிறைகள் கயிறு ஒன்றின் வழியே துடுப்பு சக்கரத்துடன் (Paddle wheel) இணைக்கப்பட்டுள்ளன. புவியீர்ப்பு விசையால் இரண்டு நிலைகளும் h தூரத்திற்கு கீழேவரும்போது 2mgh அளவு நிலை ஆற்றலை இரண்டு நிறைகளும் இழக்கின்றன.
3. நிறைகள் கீழே வரும்போது நீரினுள் உள்ள துடுப்பு சக்கரம் சுற்றும். எனவே துடுப்பு சக்கரத்திற்கும் நீருக்கும் இடையே ஓர் உராய்வு விசைத்தோன்றும். இது நீரில் வெப்பநிலையை உயர்ந்தும். இங்கு ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல் (Gravitational potential energy) நீரில் அக ஆற்றலாக மாற்றமடைவதை இது உணர்த்துகிறது.
4. புவியீரப்புவிசையால் செய்யப்பட்ட வேலையினால் நீரில் வெப்பநிலை உயர்ந்துள்ளது. உண்மையில் வெப்பத்தை கொடுப்பதால் ஏற்படும் அதே விளைவை இயந்திரத்தைக் கொண்டுசெய்யப்படும் வேலையினால் ஏற்படுத்த முடியும் என்று ஜூல் நிரூபித்துள்ளார்.


5. 1 கிராம் நிறைடைய நீரில் வெப்பநிலையை 1^oC உயர்த்த 4.186 J ஆற்றல் தேவைப்படும் என்று ஜூல் கண்டறிந்தார். பழங்காலங்களில் வெப்பமானது கலோரி (Clorie)என்ற அலகினால் அளக்கப்பட்டது 
1 cal=4.186 J 
இதற்கு ஜூலின் வெப்ப இயந்திரவியல் சமானம் என்று பெயர்.