முதல் பொருளின் நிறை m என்க, மற்றும் அதன் தொடக்க திசைவேகம் u₁ = 10 m s^-1. எனவே இரண்டாேது பொருளின் நிறை 2 m மற்றும் அதன தொடக்க திசைவேகம்
\({ u }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } { u }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( 10ms^{ -1 } \right) \)
\({ V }_{ 1 }=\left( \frac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 1 }+\left( \frac { 2{ m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 2 }\)
\({ V }_{ 1 }=\left( \frac { { m }-{ 2m } }{ { m }+{ 2m } } \right) 10+\left( \frac { 2{ \times 2m } }{ { m }+2{ m } } \right) 5\)
\({ V }_{ 1 }=-\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) 10+\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) 5=\frac { -10+20 }{ 3 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
\({ V }_{ 1 }=3.33ms^{ -1 }\)
\({ V }_{ 2 }=\left( \frac { 2{ m }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 1 }+\left( \frac { { m }_{ 2 }-{ m }_{ 1 } }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \right) { u }_{ 2\\ }\)
\({ V }_{ 2 }=\left( \frac { { 2m } }{ { m }+{ 2m } } \right) 10+\left( \frac { 2{ m-m } }{ { m }+2{ m } } \right) 5\)
\({ V }_{ 2 }=-\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) 10+\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) 5=\frac { 20+5 }{ 3 } =\frac { 25 }{ 3 } \)
V₂ =8.333 ms^-1
v₁ மற்றும் v₂ ஆகி்ய இரு வேகங்களும் நேர்க்குறியாக உள்ளதால் அவை இரண்டும் முறையை 3.33 m s^-1 மற்றும் 8.33 m s^-1 என்ற திசை வேகங்களுடன் மோதலுக்கு முன் இயங்கிய திசையிலேயே இயங்குகின்றன.

வாகனத்தின் இயந்திரம், எதிர்க்கும் விசைக்கெதிராக வேலை செய்து வாகனத்தை ஒரு முடுக்கத்துடன் இயக்க வேண்டும். எனவே வாகனத்தின் இயந்திரம் வெளிப்படுத்தும் திறன்
P = (எதிர்க்கும் விசை + (நிறை × முடுக்கம்)) (திசைவேகம்)
\(\mathrm{P}=\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{F}\right) \mathrm{v}  \)
\(\mathrm{P}=\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\text {tot }} \cdot \overrightarrow{\mathrm{V}}=\left(\mathrm{F}_{\text {resistive }}+\mathrm{ma}\right) \mathrm{V}  \)
\(=(500+(1250 \times 0.2))(30)=22.5 \mathrm{~kW} \)

(a) சுருள்வில் விசை ஒரு ஆற்றல் மாற்றா விசை ஆகையால் மொத்த  ஆற்றல் மாறிலி ஆகும்.
x = 10 m எனும்போது மொத்த ஆற்றல் ழுமுவதும் நிலை ஆற்றலாக மட்டுமே இருக்கும்
\(E=U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \times (1)\times \left( { 10 } \right) ^{ 2 }=50J\)
பொருள் சமநிலையைக் கடக்கும்போது, நிலை (x = 0), நிலை ஆற்றலானது
\(U=\frac { 1 }{ 2 } \times (1)\times \left( 0 \right) =0J\)
இந்நிலையில் முழு ஆற்றலும் இயக்க ஆற்றலாக மட்டுமே உள்ளது.
\(E=K E=\frac{1}{2} m v^2=50 \mathrm{~J}\)
வேகம்
\(v=\sqrt{\frac{2 K E}{m}}=\sqrt{\frac{2 \times 50}{2}}=\sqrt{50} \mathrm{~ms}^{-1} \approx 7.07 \mathrm{~ms}^{-1}\)
(b) சுருள்வில்லின் மீள்விசை F = - kx என்பதால் பொருளானது நடுநிலையைக் கடக்கும் போது அது எவ்விசையையும் உணராது. நடுநிலையில் பொருளானது மிக வேகமாக நகருகிறது என்பதை அறியவும். பொருளானது x = + 10 m (நீட்சி) என்ற நிலையில் உள்ளபோது விசை F = - kx
F = - (1) (10) = - 10 N இங்கு எதிர்குறியானது விசை நடுநிலையை நோக்கி, அதாவது எதிர் x- அச்சை நோக்கி உள்ளதைக் குறிக்கிறது. மேலும் பொருளானது
x = - 10 m (அமுக்கம்) என்ற நிலையில் உள்ளபோது அது உணரும் விசை
F= - (1) (-10) = + 10 N. இங்கு நேர்க்குறியானது விசை நேர் x – அச்சை நோக்கி உள்ளதைக் குறிக்கிறது
x = ± 10 m என்ற நிலையில் பொருளானது இந்த இரு விளிம்பு புள்ளிகளிலும் பெரும விசையை உணர்ந்தாலும் கணநேர ஓய்வு நிலைக்கு வருகிறது.

m = 100 kg, h = 10 m
பாதை (1) இன் வழியே:
பொருளை 10 m உயரத்திற்குத் தூக்கத் தேவையான சிறும விசை F₁ ஆனது புவியீர்ப்பு விசைக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
F₁ = mg = 100 × 10 = 1000 N
பாதை (1)இன் வழியே நகர்ந்த தொலைவு h = 10 m
பாதை (1) இன் வழியே பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட வேலை
W = Fh = 1000 × 10 = 10,000J
பாதை (2) இன் வழியே:
சாய்தளத்தின் வழியே பொருளைக் கொண்டு செல்ல பொருளின் மீது நாம் செலுத்தும் சிறும விசை F₂ ஆனது mg-க்கு சமமாக இல்லை, மாறாக
mg sinθ-க்கு சமமாகும். இங்கு θ = 30°
mg sin θ  = 100 x 10 x sin30⁰
= 100 x 10 x 0.5 = 500 N
எனவே (mg sinθ < mg)
சாய்தளப் பாதையின் நீளமானது
\(l=\frac{h}{\sin 30^{\circ}}=\frac{10}{0.5}=20 \mathrm{~m}\)
பாதை (2) இன் வழியே பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட
வேலை W = F₂l = 500 × 20 = 10,000 J
புவியீர்ப்பு விசையானது ஆற்றல் மாற்றா விசை என்பதால் புவியீர்ப்பால் பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட வேலை அதனை கொண்டு சென்ற பாதையைச் சார்ந்ததல்ல.
இரு பாதைகளிலும் புவியீர்ப்பு விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை 10,000 J ஆகும்.
பாதை (1) இன் வழியே: குறைவான தொலைவு நகர்த்த புவியீர்ப்புக்கு எதிராக அதிகமான விசை செலுத்த வேண்டியுள்ளது.
பாதை (2) இன் வழியே: அதிகமான தொலைவு நகர்த்த புவியீர்ப்புக்கு எதிராக குறைவான விசை செலுத்த வேண்டியுள்ளது.
சாய்தளத்தின் வழியே செலுத்தப்பட வேண்டிய விசை குறைவாக உள்ளதால் சாய்தளத்தின் வழியாக பொருளை எடுத்துச் செல்வது எளிதாக உள்ளது.

m = 2 kg, d  = 10 m, F_ext = 20 N, μ_k = 0.9
ஒரு பொருள்  கிடைமட்ட பரப்பில் இயங்கும்போது அது இரு விசைகளைப் பெறுகிறது
(a) புற விசை F_ext = 20 N
(b) இயக்க உராய்வு விசை
f_k = μ_k mg = 0.9 x (2) x 10 = 18 N
புறவிசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை
W_ext = Fd = 20 x 10 = 200 J
இயக்க உராய்வு விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை
W_k = f_kd = (-18) × 10 = -180 J
இங்கு எதிர்க்குறியானது இயக்க உராய்வு விசை, இடப்பெயர்ச்சியின் திசைக்கு எதிராக உள்ளதைக் குறிக்கிறது.
பொருளின் மீது செய்யப்பட்ட மொத்த  வேலை
W_total = W_ext + W_k = 200 – 180 = 20 J
உராய்வு விசை ஒரு ஆற்றல் மாற்றும் விசை என்பதால் புறவிசையால் கொடுக்கப்பட்ட 200 J இல் 180 J இழக்கப்பட்டது மற்றும் இதனை மீட்டெடுக்க இயலாது.