\(\left| \begin{matrix} x-1 & x & x-2 \\ 0 & x-2 & x-3 \\ 0 & 0 & x-3 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0
x = 1, x = 2, x = 3

\(\left| \begin{matrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{matrix} \right| \)= x²-(x – 1)(x + 1)
= x² – (x² – 1)
= x² – x² + 1 = 1

\(\left| \overset { x }{ 2x\underset { a }{ + } 2a } \quad \overset { y }{ 2y\underset { b }{ + } 2b } \quad \overset { z }{ 2z\underset { c }{ + } 2c } \right|\)
\(=\left| \begin{matrix} x & y & z \\ 2x & 2y & 2z \\ a & b & c \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} x & y & z \\ 2a & 2b & 2c \\ a & b & c \end{matrix} \right| \)
= 0 + 0 = 0

\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=1 (1இன் சிற்றணிக்கோவை) –2 (2 இன் சிற்றணிக்கோவை) +4(4 இன் சிற்றணிக்கோவை)
\(=1\left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} -1 & 0 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)
=0 –0 –52 = –52.

1 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₁₁ = 3
− 2 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₁₂ = 4
4 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₂₁ = − 2
3 இன் சிற்றணிக்கோவை = M₂₂ = 1
1 இன் இணைக்காரணி = A₁₁ =(-1)¹⁺¹M₁₁=3
–2 இன் இணைக்காரணி = A₁₂=(-1)¹⁺²M₁₂=-4
4 இன் இணைக்காரணி = A₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁=2
3 இன் இணைக்காரணி = A₂₂=(-1)²⁺²M₂₂=1

\(\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right| \) = (2)(4)-(-1)4
= 8 + 4 = 12

\(Adj \ A=​\left[ \begin{matrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)

B= \(\left[ \begin{matrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.9 & 0.7 \end{matrix} \right] \)
I-B=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)-\(\left[ \begin{matrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.9 & 0.7 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} 0.2 & -0.2 \\ - 0.9 & 0.3 \end{matrix} \right] \)
|I-B|=  \(\left[ \begin{matrix} 0.2 & -0.2 \\ - 0.9 & 0.3 \end{matrix} \right] \)
=(0.2)(0.3)-(-0.2)(-0.9)
=0.06-0.18
=0.12<0
|I-B| என்பது குறை எண்.
ஃஹாக்கின்ஸ்-சைமன் [Hawkins-simon] நிபந்தனைகள் நிறைவு செய்யப்படவில்லை. எனவே பொருளாதாரக் கட்டமைப்புக்கு செயல்படும் வகையில் இல்லை.

\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
=16 ≠ 0
A என்பது பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகையால்,A^-1யைக் காணஇயலும்.
adj \(A=\left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adjA\)
\(=\frac { 1 }{ 16 } \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)

A_ij = (–1)^i+jM_ij
A₁₁ = (–1)¹⁺¹M₁₁ =\(\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0
A₁₂ = (–1)¹⁺²M₁₂ =\(-\left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ -4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0
A₁₃ = (–1)¹⁺³M₁₃ =\(\left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right| \)=0-(-4)=4
A₂₁ = (–1)²⁺¹M₂₁ =\(-\left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=-(0-(-3))=-3
A₂₂ = (–1)²⁺²M₂₂ =\(\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ -4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-12=-12
A₂₃ = (–1)²⁺³M₂₃ =\(-\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ -4 & 1 \end{matrix} \right| \)=-(1-8)=7
A₃₁ = (–1)³⁺¹M₃₁ =\(\left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-(-3)=3
A₃₂ = (–1)³⁺²M₃₂ =\(-\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-0=0
A₃₃ = (–1)³⁺³M₃₃ =\(\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \)=1-0=1
\(\left| { A }_{ ij } \right| =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 4 \\ -3 & -12 & 7 \\ 3 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
Adj A =[Aij]^T
\(=\left[ \begin{matrix} 0 & -3 & 3 \\ 0 & -12 & 0 \\ 4 & 7 & 1 \end{matrix} \right] \) 

\(\left| \begin{matrix} 3 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right| \)


=−6+10+16=20

\(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0 & a-b & { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \\ 0 & b-c & { b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \begin{matrix} { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-{ R }_{ 2 } \\ { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 3 } \end{matrix}\)
\(=\left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a-b)(a+b) \\ 0 & b-c & (b-c)(b+c) \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
\(=(a-b)(b-c)\left| \begin{matrix} 0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
= (a - b)(b - c)[0 - 0 + {b + c - (a + b)}]
=(a - b)(b - c)(c - a)

3 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₁ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-5=-5
1 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₂ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-20=-20
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₁₃ =\(\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=2-8=-6
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₁ =\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-2=-2
2 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₂ =\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 0 \end{matrix} \right| \)=0-8=-8
5 இன் சிற்றணிக்கோவை M₂₃ = \(\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right|\)=3-4=-1
4 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₁ = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)=5-4=1
1 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₂ = \(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)=15-4=11
0 இன் சிற்றணிக்கோவை M₃₃ =\(\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right| \)=6-2=4
3 இன் இணைக்காரணி A₁₁ =(-1)¹⁺¹M₁₁=M₁₁=-5 
1 இன் இணைக்காரணி A₁₂ =(-1)¹⁺² M₁₂=-M₁₂=20
2 இன் இணைக்காரணி A₁₃ =(-1)¹⁺³M₁₃=M₁₃=-6
2 இன் இணைக்காரணி A₂₁ =(-1)²⁺¹M₂₁=-M₂₁=2 ​​​​
2 இன் இணைக்காரணி A₂₂ =(-1)²⁺²M₂₂=M₂₂=-8
5 இன் இணைக்காரணி A₂₃ =(-1)²⁺³M₂₃=-M₂₃=1
4 இன் இணைக்காரணி A₃₁ =(-1)³⁺¹M₃₁=M₃₁=1
1 இன் இணைக்காரணி A₃₂ =(-1)³⁺²M₃₂=-M₃₂=-11
0 இன் இணைக்காரணி A₃₃ =(-1)³⁺³M₃₃=M₃₃=4

LHS = \(\begin{vmatrix}-a^2&ab&ac\\ab&-b^2&bc\\ac&bc&-c^2 \end{vmatrix}\)
R1 ஐ a ஆல், R2 ஐ b ஆல், R3 ஐ முறையே பெருக்கி, abc ஆல் வகுக்கிறது,
LHS = \(abc\begin{vmatrix}-a&b&c\\a&-b&c\\a&b&-c \end{vmatrix}\)
LHS = \(a^2b^2c^2\begin{vmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1 \end{vmatrix}\)
\(R_2 \rightarrow R_2+R_1, R_3 \rightarrow R_3+R_1\)
\(=a^2b^2c^2\begin{vmatrix}0&0&2\\1&-1&1\\1&1&-1 \end{vmatrix}\)
\(=a^2 b^2 c^2[-1(0-4)]=4 a^2 b^2 c^2\)
= RHS.

\(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 }-bc \\ 1 & b & { b }^{ 2 }-ca \\ 1 & c & { c }^{ 2 }-ab \end{matrix} \right| \)
\(A =\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right|​​-\left| \begin{matrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c &ab \end{matrix} \right| \)...(1)


 

B மற்றும் C இன் மதிப்பை (1) இல் மாற்றவும்,
​A=(a−b)(b−c)(c−a)−(a−b)(b−c)(c−a)
A = 0​

\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x+y & x & y \\ 2 y+z & y & z \\ 2 z+x & z & x \end{array}\right| \quad c_1 \rightarrow c_1-c_3\)
\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x & x & y \\ 2 y & y & z \\ 2 z & z & x \end{array}\right|=0 \ \text { } c_1 \sim c_3\)

\(\left|\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ x & 2 & x \\ 1 & 3 & x \end{array}\right|=0 \Rightarrow-1\left[x^2-x\right]=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0,1\)