\(\frac { { a }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =\frac { \sin { \left( A-C \right) } }{ \sin { \left( A+C \right) } } \)
\(\frac { a }{ \sin { A } } =\frac { b }{ \sin { B } } =\frac { c }{ \sin { C } } =k\) என்க.
⇒ a = k sin A. b = k sin B, c = k sin C
L.H.S = \(\frac { { a }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =\frac { { k }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ A } -{ k }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ C } }{ { k }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ B } } \)
= \(\quad \frac { \sin ^{ 2 }{ A } -\sin ^{ 2 }{ C } }{ \sin ^{ 2 }{ B } } =\frac { \sin { \left( A+B \right) \sin { \left( A-C \right) } } }{ \sin ^{ 2 }{ \left( 1180-\left( A+C \right) \right) } } \)
= \(\frac { \sin { \left( A+C \right) \sin { \left( A-C \right) } } }{ \sin ^{ 2 }{ \left( A+C \right) } } =\frac { \sin { \left( A-C \right) } }{ \sin { \left( A+C \right) } } \)
= R.H.S (∵ sin(180 - (A +C) = sin (A+C))

(i) ஒரு வினாவிற்கான வாய்ப்புகள் = 4
10 வினாக்களுக்கான  வாய்ப்புகள் = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x  4   = 4¹⁰
(ii) முதல் நான்கு வினாக்களுக்கான வாய்ப்புகள் = 3 x 3 x  3 x  3  = 3⁴
மீதமுள்ள ஆறு வினாக்களுக்கான வாய்ப்புகள் = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5  = 5⁶
மொத்த வினாக்களுக்கான வாய்ப்புகள்  = 3⁴ x  5⁶  
(iii) n ஆவது வினாவிற்கு n  + 1 வாய்ப்புகள்  எனில் 
10  வினாக்களுக்கு 10 + 1 வாய்ப்புகள்  = 11 வழிகள்  

f :A ⟶ B ஒன்றுக்கொன்று எனில் A உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் B-ல் ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் தொடர்பு படுத்தப்பட்டிருக்க வேண்டும். அப்படி இருக்கும் பொழுது அது மேற்கோர்த்தல் ஆகும். எனவே ஒன்றுக்கொன்று ஆனால் மேற்கோர்த்தல் அல்ல என்பது ஒரு சார்ப்பாகாது.

A = { 1,2,3,4 }, B = {a,b,c,d} எனில் f = A ⟶ B ஒரு சார்பு அல்ல. ஒரு சார்பு மேற்கோர்த்தல் எனில் அது ஒன்றுக் கொன்றாக இருத்தல் வேண்டும். ஆனால் ஒன்றுக்கொன்று அல்ல என்பதால் இது சார்பாக இருக்க முடியாது.

i) 3x + 4y -12 = 0 கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோட்டின் சமன்பாடு
செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 4x - 3y + k = 0
நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு = 4x - 3y + k = 0, K\(\in \)R  
ii) 3x + 4y - 12 = 0ற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 4y +k₁ = 0 ஆகும். இது நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாட்டினைக் குறிப்பதால் நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு.
=3x + 4y + k₁ = 0, k₁ \(\in \) R 

B முனை (-4, 7), மற்றும் மூலைவிட்டம் AC =5-y+7=0 என்க.
மூலைவிட்டம் BD=x+5y+k =0 ஆகும்.
\(\therefore \)(AC\(\bot \) BD)
BD என்ற கோடு (-4, 7) என்ற புள்ளி வழி செல்வதால் நமக்கு கிடைப்பது

-4+5(7)+k =0
31+k=0
k=-31
\(\therefore \)மற்றொரு மூலை விதத்தில் சமன்பாடு=x +5y-31=0

கொடுக்கப்பட்டது \(\alpha \) = 30, P = 12
நேர்கோட்டின் சமன்பாடு = x cos \(\alpha \) + y sin \(\alpha \) = p
\(\Rightarrow xcos30°+ysin30°=12\)
\(\Rightarrow x\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) y\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =12\)
\(\Rightarrow \frac { \sqrt { 3 } x+y }{ 2 } =12\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt { (3) } x+y\)=24

\({ e }^{ \frac { 1 }{ 2 } x }=1+\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) }{ 1! } +\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) ^{ 2 } }{ 2! } +\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) ^{ 3 } }{ 3! } +\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) ^{ 4 } }{ 4! } +\frac { \left( \frac { x }{ 2 } \right) ^{ 5 } }{ 5! } +...\)
=\(1+\frac { x }{ 2 } +\frac { x^{ 2 } }{ 8 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 48 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 384 } +\frac { x^{ 5 } }{ 3840 } +...\)

e^x=\(1+\frac { x }{ 1! } +\frac { x^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3! } +..\)
e^5x=\(1+\frac { 5x }{ 1! } +\frac { (5x)^{ 2 } }{ 2! } +\frac { (5x)^{ 3 } }{ 3! } +\frac { (5x)^{ 4 } }{ 5! } +....\)
=\(1+5x+\frac { 25x^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 125{ x }^{ 3 } }{ 6 } +\frac { 625{ x }^{ 4 } }{ 24 } +\frac { 3125{ x }^{ 5 } }{ 120 } +...\).

படி  1
y = x²யின் வரைபடம் வரைக.

படி  2: y =(x-1)² ஓரலகு வலது புறத்தில் நகர்த்தப்பட்டு வரையப்படுகிறது.
படி  3:y = 3(x-1)²-ன் வரைபடம் y-அச்சை நோக்கி அழுத்தப்பட்டு அதாவது x அச்சிலிருந்து விலகுவதால் வரையப்படுகிறது. ஏனென்றால் (x-1)²ஆனது 3ஆல் பெருக்கப்பட்டு பெறப்படுகிறது.3>1
படி  4:y = 3(x-1)²+5-ன் வரைபடம் 5அலகுகள் மேல்நோக்கி நகர்வதால் பெறப்படுகிறது.

\((1+x)^{ \frac { p }{ q } }=\left[ 1+\frac { p }{ q } x+\frac { \frac { p }{ q } \left( \frac { p }{ q } -1 \right) }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { \left( \frac { p }{ q } \right) \left( \frac { p }{ q } -1 \right) \left( \frac { p }{ q } -2 \right) }{ 3! } { x }^{ 2 }+... \right] \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left( 1+\frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) ^{ \frac { 2 }{ 3 } }\)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left( 1+\frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) +\frac { \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -1 \right) }{ 2! } \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) ^{ 2 }+\frac { \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -1 \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } -2 \right) }{ 3! } \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right) ^{ 3 }+... \right) \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ 1+\frac { 2x^{ 2 } }{ 15 } +\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { -1 }{ 3 } \right) .\frac { { x }^{ 4 } }{ 50 } +\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \left( \frac { -1 }{ 3 } \right) \left( \frac { -2 }{ 3 } \right) \frac { { x }^{ 6 } }{ 125\times 6 } +.... \right] \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ 1+\frac { 2x^{ 2 } }{ 5 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 9\times 50 } +\frac { 4 }{ 3\times 3\times 3 } \frac { { x }^{ 6 } }{ 125\times 6 } .... \right] \)
=\({ 5 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left[ 1+\frac { 2x^{ 2 } }{ 5 } -\frac { { x }^{ 4 } }{ 225 } +\frac { 2x^{ 6 } }{ 10125 } ..... \right] \).
இந்த விரிவு ஏற்புடையதாக இருக்க வேண்டுமெனில் \(\left| \frac { { x }^{ 2 } }{ 5 } \right| \)<1 ⇒ x²<5 இருக்க வேண்டும்.

வட்டத்தின் விட்டம் = 40 செ.மீ.
r = 20 செ. மீ
AB  = 20
OA = OB = AB = 20 செ.மீ
∴ OAB -ல் 0    (∵ OAB ஒரு சமபக்க முக்கோணம்)
θ = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
θ = \(\frac { l }{ r } \) ⇒ l = rθ
= 20 x \(\frac { \pi }{ 3 } \) = 20 x \(\frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 1 }{ 3 } \)
= 20.95 செ.மீ. (தோராயமாக).

f(x) = x² என்ற சார்புக்கு\(-f(x)=-x^2\) ஆகும். ஆகையால் x -அச்சினைப் பொறுத்து y = x² –ன் பிரதிபலிப்பு y = -x² ஆகும்.

3x = y எனில்\(\frac { 1 }{ { (1+3x) }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { (1+y) }^{ 2 } } \)
இப்போது,\(\frac { 1 }{ { (1+y) }^{ 2 } } \) ஐ ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் மூலம் y-ன் அடுக்குகளாக எழுதலாம் |y|<1 எனவுள்ள எல்லா y மதிப்புகளுக்கும் இது பொருந்தும். பின்பு y-க்கு 3x எனப் பிரதியிட |3x|<1 எனவுள்ள எல்லா x மதிப்புகளுக்கும் \(\frac { 1 }{ { (1+3x) }^{ 2 } }\) -ன் விரிவு ஏற்புடையதாகும். \(\left| x \right| <\frac { 1 }{ 3 } \) ஐ நிறைவு செய்யும் x-ன் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே இந்த விரிவுபொருந்தும்.
\(\frac { 1 }{ { (1+3x) }^{ 2 } } ={ (1+3x) }^{ -2 }\)
\(=1-2(3x)+\frac { 2(2+1) }{ 2! } ({ 3x) }^{ 2 }-\frac { 2(2+1)(2+2) }{ 3! } ({ 3x) }^{ 3 }+\frac { 2(2+1)(2+2)(2+3) }{ 4! } ({ 3x) }^{ 4 }-...\)
எனவே,\(\frac { 1 }{ { (1+3x) }^{ 2 } } =1-6x+27{ x }^{ 2 }-108{ x }^{ 3 }+405{ x }^{ 4 }-...\left| x \right| <\frac { 1 }{ 3 } \) 

2x² + x- 15 ≤ 0
\(\Rightarrow (x+3)(2x-5)\le 0\Rightarrow 2(x+3)\left( x-\frac { 5 }{ 2 } \right) \le 0\)
\(\therefore \) மாறுநிலைப்  புள்ளிகள் \(-3,\frac { 5 }{ 2 } \)
\(\therefore \) அச்சமன்பாடு நிறைவு செய்யும் சாதகமான இடைவெளிகள் 
\((-\infty ,-3)\left( -3,\frac { 5 }{ 2 } \right) \left( \frac { 5 }{ 2 } ,\infty \right) \)

அசமன்பாடு நிறைவு செய்யும்  இடைவெளி \(\left( -3,\frac { 5 }{ 2 } \right) \)

3x - 9 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 9 அதாவது, x ≥ 3 எனக் கிடைக்கும்.
அதேபோன்று 4x - 10 ≤ 6-லிருந்து,4x ≤ 16 எனக் கிடைக்கும். அதாவது x ≤ 4.
தீர்வுகள் [3,∞) மற்றும் (-∞,4]-ன் வெட்டுகணமாகும். எனவே, தீர்வு [3,4]

இடப்புறம் = \((\frac{1}{cosA}-\frac{1}{sinA})[1+\frac{sinA}{cosA}+\frac{cosA}{sinA}]\)
= \(\frac{\sin^3A-\cos^3A}{\sin^2A\cos^2A}\) ......(i)
வலப்புறம் = \(\frac{\sin A}{\cos^2A}-\frac{\cos A}{\sin^2A}=\frac{\sin^3A-\cos^3A}{\sin^2A\cos^2A}\) ......(ii)
(i) மற்றும் (ii) இலிருந்து நமக்குத் தேவையான தீர்வு கிடைத்துள்ளது.

(i) (n + 1)! = 20 (n - 1)! கொடுக்கப்பட்டுள்ளது   
\(\Rightarrow \)  (n + 1) (n) (n - 1)! = 20 (n - 1)!
\(\Rightarrow \) (n + 1) (n) = 20
\(\Rightarrow \) n² + n - 20 = 0
\(\Rightarrow \) (n  + 5) (n - 4) = 0
n = -5  ஆக இருக்க முடியாது 
\(\therefore \)  n  = 4

ஒவ்வொரு முதல் பரிசும் எந்த ஒரு மாணவர்களுக்கும் 10 வழிகளில் பகிர்ந்தளிக்கலாம் 
 \(\therefore \)  12 பரிசுகளை  ஒவ்வொரு  10 மாணவர்களுக்கும்  
= 10 x  10 x 10  x 10  x 10  x 10  x10  x 10 x 10  x 10  
= 10¹² வழிகளில் பகிர்ந்தளிக்கலாம்   

ஒருவர் 10 இந்திய உணவை 10 வழியிலும் 7சீன உணவை 7 வழியிலும் தேர்வு செய்ய முடியும்.
\(\therefore \)  கூட்டுதலின் அடிப்படைக் கொள்கையின் படி 10 இந்தியன் மற்றும் 7 சீன உணவை  (10 + 7) = 17 வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம்.    

a₁=1
a₂=2
a₃=3
a₄=2+3=5
a₅=3+5=8
a₆=5+8=13
∴ முதல் 6 உறுப்புகள் 1,2,3,5,8,13, .....

\(\frac { \sin{ 75 }°-\sin15^{ 0 } }{ \cos{ 75 }^{ 0 }+\cos{ 15 }^{ 0 } } =\frac { 2\cos\left( \frac { { 75 }^{ 0 }+{ 15 }^{ 0 } }{ 2 } \right) \sin\left( \frac { { 75 }^{ 0 }-{ 1 }5^{ 0 } }{ 2 } \right) }{ 2\cos \left( \frac { { 75 }^{ 0 }+{ 15 }^{ 0 } }{ 2 } \right) \cos\left( \frac { { 75 }^{ 0 }-{ 1 }5^{ 0 } }{ 2 } \right) } \)
\(=\frac { 2\cos{ 45 }°\sin{ 30 }° }{ 2\cos45°\cos30° }= \tan30°=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)

x வெட்டு 3 எனில், A(3, 0) தேவையான கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளியாகும்.
5x-4y+3=0 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோடு 5x-4y+k =0 ஆகும்
(3, 0) என்ற புள்ளியை (1)-ல் பிரதியிட.
5x3-4x0+k=0 \(\Rightarrow \)15+k=0 \(\Rightarrow \)k=-15
\(\therefore \)தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு 5x-4y-15=0

\(\sin { \theta } =\sin { \alpha } ,\alpha \in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) இன் பொது தீர்வு \(\theta =n\pi +{ \left( -1 \right) }^{ n } \alpha ,n\in Z\)
\(\sin { \theta } =-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =\sin { \left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) } \)
எனவே, பொது தீர்வு ஆனது
\(\theta =n\pi +{ \left( -1 \right) }^{ n }\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) =n\pi +{ \left( -1 \right) }^{ n+1 }\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) ;n\in Z\) ....(1)

y = f(x) = x² + 5x + 4 என்க.
\({ x }^{ 2 }+5x+\left( \frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( \frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+4\left( x+\frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\frac { 25 }{ 4 } +4\)
\(=\left( x+\frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\frac { 25+16 }{ 4 } =\left( x+\frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)

A x A-ல் என்ற கணத்தில் 16 உறுப்புகள் உள்ளன எனில் A-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்.
\(\Rightarrow n(A)=4\)
A x A -ல் உறுப்புகள் (1,3),(0,2) எனில்  
A-ல் உள்ள உறுப்புகள் A = {0, 1, 2, 3}} என இருக்கலாம்.

tan 120° = tan(180° - 60°) = - tan(60°) = \(-\sqrt { 3 } \)
(அல்லது) tan 120° ஐ tan(90° + 30°) என எழுதி மதிப்பைக் காண்க.

(a+b)ⁿ என்ற ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவில் a = 2x, b = 3 மற்றும் n = 5 எனப் பிரதியிட
(2x + 3)⁵ = (2x)⁵+ 5(2x)⁴3 + 10(2x)³3² +10(2x)²3³ +5(2x)3⁴ + 3⁵
= 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243

| 2x-17 | = 3 எனில் 2x - 17 = \(\pm \) 3
அதாவது, x = 10 அல்லது x = 7

A = {x : x = 4n + 1, n = 2,3,4,5} = {9,13,17,21} எனவே (n)A = 4 = n(p(A)) = 2⁴ = 16

\(^{ \left( n+2 \right) }{ C }_{ 7 }:^{ \left( n+1 \right) }{ P }_{ 4 }=13:24\)
\(\frac { ^{ \left( n+2 \right) }{ C }_{ 7 } }{ ^{ \left( n+1 \right) }{ P }_{ 4 } } =\frac { 13 }{ 24 } \)
\(\frac { \left( n+2 \right) ! }{ \left( n-5 \right) !\times 7! } \times \frac { \left( n-5 \right) ! }{ \left( n-1 \right) ! } =\frac { 13 }{ 24 } \Rightarrow \frac { \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) n\left( n-1 \right) ! }{ \left( n-1 \right) !\times 7! } =\frac { 13 }{ 24 } \)
\(\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \left( n \right) =\frac { 13 }{ 24 } \times 7!=\frac { 13 }{ 24 } 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\)
\(\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \left( n \right) =13\times 14\times 15\)
\(n+2=15\Rightarrow n=13.\)

முதல் கோபுரத்திலிருந்து கைபேசியின் நிலை வடக்கிலிருந்து கிழக்கிற்கு ஏற்படுத்தும் கோணம் \(\theta\) என்க.
கொசைன் சூத்திரத்தை ப் பய ன்படுத்த, நமக்குக் கிடைப்பது,
\({ \left( \sqrt { 31 } \right) }^{ 2 }\) = 5² + 6² - 2 x 5 x 6 cos\(\theta\)
31 = 25 + 36 – 60 cos\(\theta\)
\(\cos { \theta } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \theta ={ 60 }^{ o }\)
நெடுஞ்சாலையிலிருந்து கைபேசியின் தூரம் x என்க.
\(\sin { \theta } =\frac { x }{ 5 } \Rightarrow x=5\sin { \theta } =5\sin { { 60 }^{ o } } =\frac { 5\times \sqrt { 3 } }{ 2 } \) கி.மீ.

sin சூத்திரம் \(\cfrac { sin\quad A }{ a } =\cfrac { sin\quad B }{ b } =\cfrac { sin\quad C }{ c } =k\)
= sin A=ak,sin B =bk,sin C=ck
= \(\cfrac { sin\quad A }{ sin\quad C } =\cfrac { sin(A-B) }{ sin(B-C) } \) என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.( sin A= sin (B+C),sin C= sin (A+B))
\(\Rightarrow \cfrac { sin(B+C) }{ sin(A+B) } =\cfrac { sin(A-B) }{ sin(B-C) } \)
\(\Rightarrow sin(B+C).sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B)\)
\(\Rightarrow sin^{ 2 }B-sin^{ 2 }C=sin^{ 2 }A-sin^{ 2 }B\)
\(\Rightarrow \) k²b²-k²c²=k²a²-k²b²
\(\Rightarrow \) b²-c²=a²-b²
\(\Rightarrow \) 2b²=a²+c²
\(\Rightarrow \) a²,b²,c² ஒரு கூட்டுத் தொடர் 

வெள்ளைப் பந்துகள்  = 2
கருப்பு பந்துகள்  = 3
சிவப்பு பந்துகள்  = 4
தேர்ந்தெடுக்கப்படவேண்டிய பந்துகள்  = 3 (கருப்புப் பந்து  + 2)
வேறு நிறப்பந்துகள்  

 தேவையான வழிகள்  = \(\left( { 2 }_{ { c }_{ 2 } }\times { 3 }_{ { c }_{ 1 } }\times { 4 }_{ { c }_{ 0 } } \right) +\left( { 2 }_{ { c }_{ 0 } }\times { 3 }_{ { c }_{ 1 } }\times { 4 }_{ { c }_{ 2 } } \right) +\left( { 2 }_{ { c }_{ 1 } }\times { 3 }_{ { c }_{ 1 } }\times { 4 }_{ { c }_{ 1 } } \right) +\left( { 2 }_{ { c }_{ 1 } }\times { 3 }_{ { c }_{ 2 } }\times { 4 }_{ { c }_{ 0 } } \right) +\left( { 2 }_{ { c }_{ 0 } }\times { 3 }_{ { c }_{ 2 } }\times { 4 }_{ { c }_{ 1 } } \right) +\left( { 2 }_{ { c }_{ 0 } }\times { 3 }_{ { c }_{ 3 } }\times { 4 }_{ { c }_{ 0 } } \right) \)
= 1 x 3 x 1 + 1 x 3 x 6 +2 x 3 x 4 + + 2 x 3 x  1  + 1 x 3 x  4 + 1 x  1 x  1
= 3 +18 + 24 + 6 +12 + 1 = 64   

(i) எவரும் எந்த இடத்திலும் நிற்காமல் எனில்  8 பெண்கள் , 6 ஆண்கள்  நிற்கும்  வழிகள்  = 8 + 6 = 14 = ¹⁴p₁₄ = 14! 
(ii) 6 ஆண்களும்  அடுத்தடுத்து   வருமாறு  எனில் மொத்தம் 6 ஆண்களும் ஒரே குழுவாக கருதினால் 8 பெண்கள்  + 1 ஆண்கள்  = 9! அமைக்கலாம்.
இந்த 6 ஆண்களும் அவர்களுக்குள் 6! வழிகளில் நிற்கலாம்.
\(\therefore \)  மொத்த  அமைப்பு  = 9! x  6!
(iii) எந்த  இரு ஆண்களும்  ஒன்றாக  நிற்காமல் இருக்க வேண்டுமெனில் 

x  குறி ஆண்கள்  நிற்பதற்குரிய  இடங்கள்  = 9
மொத்த ஆண்கள்  = 6
\(\therefore \)  மொத்த  வழிகளின் எண்ணிக்கை  = ⁹P₆ x 8!     

LHS  = n x ^{(n - 1)}C_r-1 = \(n\times \frac { \left( n-1 \right) ! }{ \left( r-1 \right) !\left( n-1-r+1 \right) ! } \)
= \(n\times \frac { \left( n-1 \right) ! }{ \left( r-1 \right) !(n-r)! } =n\times \frac { \left( n-1 \right) !(n-r+1) }{ \left( n-r+1 \right) \left( r-1 \right) \left( n-r \right) ! } \)  (n- r + 1) ஆல் பெருக்கி வகுக்க )
= \(\frac { n!\left( n-r+1 \right) }{ \left( n-r+1 \right) !\left( r-1 \right) ! } \)  [ \(\because\) n (n- 1)! = n! (n -r + 1) (n - r)! = (n - r + 1)! ]
= (n - r + 1) \(\frac { n! }{ \left( r-1 \right) !\left( n-r+1 \right) ! } \)
= (n - r + 1) x ⁿC_r-1 = RHS  \(\left[ \because { n }C_{ r }=\frac { n! }{ r!\left( n-r \right) ! } \right] \) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.    

செங்குத்து வடிவம்
\(\sqrt { 3 } x-y+4=0\)
⇒ (-\(\sqrt { 3 } \))x+y=4     (6.17)-ஐ
Ax+By+C=0 என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது
A =-\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் B =1   ∴ \(\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } \)=2
சமன்பாடு (6.17) -ஐ இருபுறமும் 2 ஆல் வகுக்க
⇒ \(-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } x+\frac { 1 }{ 2 } y\)     (6.18)-ஐ
x cosα+y sinα = p இச்சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது
cosα=\(-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \), sinα =\(\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் p =2 என்க.
⇒  α =150^° =\(\frac { 5\pi }{ 6 } \) மற்றும் p =2
செங்குத்து வடிவத்தின் சமன்பாடு
\(xcos\frac { 5\pi }{ 6 } +ysin\frac { 5\pi }{ 6 } \)=2 ஆகும்.

வெட்டுத்துண்டு வடிவம்
\(\sqrt { 3 } \)x-y+4=0
\(\sqrt { 3 } \)x-y =-4
⇒ \(\frac { -\sqrt { 3 } }{ 4 } x+\frac { y }{ 4 } \)=1
⇒ \(\frac { x }{ \left( -\frac { 4 }{ \sqrt { 3 } } \right) } +\frac { y }{ 4 } \)     (6.16)- ஐ
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } \)=1 என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது x -ன் வெட்டுத்துண்டு =-\(\frac { 4 }{ \sqrt { 3 } } \), மற்றும் y -ன் வெட்டுத்துண்டு = 4

\(\sqrt{7-4\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}\) என்க.
இங்கு a,b ஆகியவை விகிதமுறு எண்கள்
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
7-4√3=a² + 3b² + 2ab√3 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே, a²+3b²=7 மற்றும் 2ab=-4
எனவே, a=\(\frac{-2}{b}\)
a²+3b²=7-லிருந்து \((\frac{-2}{b})^2+3b^2=7\) எனக் கிடைக்கிறது.
⇒ \(\frac{4}{b^2}+3b^2\) = 7 அல்லது 3b⁴-7b²+4=0
b²-க்கு தீர்வு காண b²=\(\frac{(7\pm\sqrt{49-48})}{6}\) எனக் கிடைக்கிறது
⇒ b²=1 அல்லது b²=\(\frac{4}{3}\)
ஆகையால், b=土1 அல்லது b=\(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\)
b ஒரு விகிதமுறு எண் என்பதால் b=士1.
எனவே, b-ஐக் கொண்டு கிடைக்கும் a-ன் மதிப்புகள் ∓2
\(\sqrt{7-4\sqrt{3}}>0\) என்பதால், \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) எனக் கிடைக்கிறது

i) நகரும் படிக்கட்டின் மொத்த மீச்சீறு நீளம்
பேரங்காடியின் வடிவம் ஒரு கனச் செவ்வகம். கனச் செவ்வகத்தை பிரித்தால் அதன் தளமானது கீழ்கண்டவாறுஅமையும்.

நகரும் படிக்கட்டின் பாதையானது OA விலிருந்து AB, AB யிலிருந்து BC க்கு, BC யிலிருந்து CD க்கும் செல்கிறது எனில் \(\Delta\) OAE-யில் OA² = AE² + OE²
\(\Rightarrow { OA }^{ 2 }={ \left[ \frac { 1 }{ 4 } (720) \right] }^{ 2 }+{ OE }^{ 2 }\)
OA² = 180² + 800²
=(20 \(\times\) 9)² + (20  \(\times\) 40)²
=20²(9² + 40²)
=20²(1681)
=20²(41²)
\(\Rightarrow\) OA = 20 \(\times\) 41 = 820
\(\therefore\) நகரும் படிக்கட்டின் மொத்த நீளம் = OA + AB + BC + CD
=4  \(\times\) OA
= 4 \(\times\) 820
மீச்சிறு நீளம் =3280 அலகுகள்.
ii) எந்தெந்த உயரத்தில் நகரும் படிக்கட்டானது திருப்புகின்றது.
நகரும் படிக்கட்டு திரும்புகின்ற உயரம்
\(AE=\frac { 1 }{ 4 } (720)=180\) அலகுகள்
\(BE=\frac { 1 }{ 2 } (720)=360\) அலகுகள்
\(GE=\frac { 3 }{ 4 } (720)=540\) அலகுகள்
iii) நகரும் படிக்கட்டுகள் திருப்பும் இடங்களில் அதன் சாய்வுகள்.
\(=\frac { AE }{ DE } =\frac { 180 }{ 800 } =\frac { 9 }{ 40 } \)
A என்ற புள்ளியின் சாய்வு = \({ \frac { 9 }{ 40 } }\)
\(\Delta\)OAE \(\equiv \)\(\Delta\)ABB'\(\equiv \)\(\Delta\)BCC'\(\equiv \) \(\Delta\)CDD'
\(\therefore \) BC என்ற புள்ளிகளில் சாய்வு \(\frac { 9 }{ 40 } \)

LHS = \(\sin ^{ 2 }{ \frac { \pi }{ 18 } } +\sin ^{ 2 }{ \frac { \pi }{ 9 } } +\sin ^{ 2 }{ \frac { 7\pi }{ 18 } } +\sin ^{ 2 }{ \frac { 4\pi }{ 9 } } \)
= \(\sin ^{ 2 }{ \left[ \frac { \pi }{ 18 } +\frac { \pi }{ 9 } +\frac { 7\pi }{ 18 } +\frac { 4\pi }{ 9 } \right] } \)
\(=\sin ^{ 2 }{ \left[ \frac { \pi }{ 18 } \times \frac { 180 }{ \pi } \right] } +\sin ^{ 2 }{ \left[ \frac { \pi }{ 9 } \times \frac { 180 }{ \pi } \right] } +\sin ^{ 2 }{ \left[ \frac { 7\pi }{ 18 } \times \frac { 180 }{ \pi } \right] } +\sin ^{ 2 }{ \left[ \frac { 4\pi }{ 9 } \times \frac { 180 }{ \pi } \right] } \)
= sin² 10⁰ + sin² 20⁰ + sin² 70⁰ + sin²80⁰
= [sin (90⁰ - 80⁰)]² + [sin (90 - 70)]² + sin² 70⁰ + sin² 80⁰
= cos² 80⁰ + cos² 70⁰ + sin² 70⁰ + sin² 80⁰
= 1 + 1 = 2 = RHS

i) 

d என்பது இலக்கிற்கும் இடத்திற்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு என்க.

\(\Rightarrow \) 6(d -1400) = 5(d - 800)
\(\Rightarrow \) 6d -8400=5d - 4000
\(\Rightarrow \) d = 1400 மீ.
ii) 

15 வது வினாடியில் கடந்த தொலைவு:

இருபுள்ளி வடிவம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(\Rightarrow \frac { y-15 }{ 18-15 } =\frac { x-3000 }{ 3600-3000 } \)

\(\Rightarrow y-15=\frac { x-3000 }{ 200 } \)
நேரம் 15 வினாடிகள் எனில்
15-15 = \(\frac { x-3000 }{ 200 }\)
\(\Rightarrow 0=\frac { x-3000 }{ 200 } \)
\(\Rightarrow x-3000=0\Rightarrow x=3000\) மீ.
iii) இலக்கை தாக்க எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம்
T₁(15 ஆவது வினாடி) D₁(1400 மீ)
T₂(18 ஆவது வினாடி) D₂(800 மீ)
இரு புள்ளி வடிவம் பயன்படுத்தி
\(\Rightarrow \frac { T-{ T }_{ 1 } }{ { T }_{ 2 }-{ T }_{ 1 } } =\frac { D-{ D }_{ 1 } }{ { D }_{ 2 }-{ D }_{ 1 } } \Rightarrow \frac { T-15 }{ 18-15 } =\frac { D-1400 }{ 800-1400 } \)
\(\Rightarrow \frac { T-15 }{ 3 } =\frac { D-1400 }{ -600 } \)
\(T-15=\frac { 1400-D }{ 200 } \)
\(T=\frac { 1400-D }{ 200 } +15\) .....(1)
D = 0 என (1)-ல் பிரதியிட.
\(T=\frac { 1400-0 }{ 200 } +15=7+15=22\) வினாடிகள்

கோட்டின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகள் தெரியுமானால் அக்கோட்டை வரைய இயலும்.
x + y = 3 - ன் மீது (3, 0) மற்றும் (0, 3) ஆகிய புள்ளிகள் அமையும் என்பதை எளிதில் கண்டறியலாம்.
x +y = 3, 2x - y = 5 மற்றும் -x + 2y = 3 ஆகிய மூன்று கோடுகளையும் வரைக.
இப்போது, (0,0) புள்ளி x + y \(\ge \) 3 - ஐ நிறைவு செய்யாது. (0, 0)ஐ தன்னகத்தே பெற்றிருக்காத x + y = 3 பகுதியே x + y \(\ge \) 3 இன் தீர்வு கணமாகும்.
இதேபோன்று, 2x - y \(\le \) 5  ஐ ஆதிப்புள்ளி நிறைவு செய்து ஆதியைக் கொண்ட பகுதியே 2x - y\(\le \) 5  இன் தீர்வுக் கணமாகும்.
மேலும், -x + 2y\(\le \)3  ஆதிப்புள்ளி நிறைவு செய்வதால் ஆதியைக் கொண்ட பகுதியே -x + 2y  \(\le \) 3 இன் தீர்வுக் கணமாகும்.
மூன்று பகுதிகளுக்கும் பொதுவான பகுதியே கொடுக்கப்பட்ட ஒருபடி அசமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குத் தீர்வுக் கணமாகும்

(x₁,y₁) மற்றும் என்பதை (5, 4) மற்றும் (2, 0) என்க.
புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம்  D = \(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }+({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } =5\)

\({ \left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 10 }\), n=10, x=x², a=\(\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \)
∴ பொது உறுப்பு T_r+1=ⁿC_rx^n-ra^r
⇒ T_r+1=¹⁰C_r(x²)^10-r\(\left( \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) ^{ r }\)
=¹⁰C_rx^20-2rx^-3r
=¹⁰C_rx^20-5r  .....(1)
x¹⁵ ன் கெழுவினைக் காண,
20-5r=15 என பிரதியிட
⇒ 20-15=5r
⇒ r=1 என (1) ல் பிரதியிட
T₂=¹⁰C₁x^20-5=₁₀C₁x¹⁵
x¹⁵ ன் கெழு 10.

\(\frac{x+1}{x^2(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}\)என்க.
எனவே, x+1=Ax(x-1)+B(x-1)+cx²
x = 0 எனும்போது B=-1, x=1 எனும்போது C=2
x = -1 எனும்போது 2A-2B+C=0 ⇒ A=-2
எனவே, \(\frac{x+1}{x^2(x-1)}=\frac{-2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x-1}\)

∵ (a-b)ⁿ=ⁿC₀aⁿ+ⁿC₁a^n-1b+ⁿC₂a^n-2b²+..........ⁿC_na⁰bⁿ
⇒ 99⁴=(100-1)⁴
=100⁴-⁴C₁100³+⁴C₂100²-⁴C₃100(1³)+1⁴
=100000000-4(1000000)+\(\frac { 4\times 3 }{ 2\times 1 } \)(10000)-4(100)+1
=100000000-4000000+60000-400+1
=96,059,601

(i) (1, 2) என்ற உறுப்பின் மூலம் “சமச்சீர் அல்ல” என உருவாக்கப் பயன்படுத்துவோம். மேலும் {(1, 2)} என்ற தொடர்பு , வரையறையின்படி கடப்பு ஆகும். (2, 3)ஐ சேர்த்து, (1, 3)ஐ நீக்கினால் தொடர்பானது கடப்பு அல்ல. எனவே தொடர்பு {(1,2),(2,3)} என்பது தற்சுட்டு அல்ல, சமச்சீர் அல்ல மற்றும் கடப்பும் அல்ல. இதே போன்று பல உதாரணங்கள் கொடுக்க இயலும்.
(ii) வரையறையின் படி, தொடர்பு {(1,2)} என்பது கடப்பு தொடர்பாகவும் அதே நேரத்தில், தற்சுட்டு மற்றும் சமச்சீர் அல்லாமலும் உள்ளதை அறிவோம்.