2x² + 3xy - 2y² + 3x + y + 1 = 0 கொடுக்கப்பட்ட இணை கோடுகளின் சமன்பாடு
இரட்டை இணைகோடுகளுக்கான பொதுச் சமன்பாடு ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
a = 2
2h = 3
\(h=\frac { 3 }{ 2 } \)
b = -2
2g = 3
g=\(\frac { 3 }{ 2 } \)
2f = 1
f=\(\frac { 1 }{ 2 } \)
c = 1
இரட்டைக் கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு.
a + b = 0
\(\therefore\) 2 + (-2) = 0
 \(\therefore\) இவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்கும்.

i) 3x + 4y -12 = 0 கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோட்டின் சமன்பாடு
செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 4x - 3y + k = 0
நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு = 4x - 3y + k = 0, K\(\in \)R  
ii) 3x + 4y - 12 = 0ற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 4y +k₁ = 0 ஆகும். இது நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாட்டினைக் குறிப்பதால் நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்புச் சமன்பாடு.
=3x + 4y + k₁ = 0, k₁ \(\in \) R 

வெட்டுத்துண்டு வடிவம் \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)  .....(1)
கொடுக்கப்பட்டது a + b =1 \(\Rightarrow\) b = 1-a
\(\Rightarrow \frac { x }{ a } +\frac { y }{ 1-a } =1\)
(8, 3) இக்கோட்டில் மீது அமைவதால் நமக்குக் கிடைப்பது.
\(\Rightarrow \frac { 8 }{ a } +\frac { 3 }{ 1-a } =1\quad \Rightarrow \frac { 8(1-a)+3a }{ a(1-a) } =1\)
\(\Rightarrow \frac { 8-8a+3a }{ a-{ a }^{ 2 } } =1\Rightarrow 8-8a+3a=a-{ a }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \) 8 - 8a + 3a - a + a² = c
a² - 6a +8 = 0
​​​​​ \(\Rightarrow \) (a-4)(a - 2) = 0 ​​ \(\Rightarrow \) a = 4 (அ) 2
a=4 எனில் b =1 -4 = -3
a=2 எனில் b = 1 - 2 = -1
a = 4, b = -3 எனில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac { x }{ 4 } +\frac { y }{ -3 } =1\)
\(\Rightarrow \) -3x + 4y = -12    ((1)ன் மூலம்)
\(\Rightarrow \) -3x - 4y = 12
a =2, b = -1 எனில் \(\frac { x }{ 2 } +\frac { y }{ -1 } =1\)
\(\Rightarrow \) -x + 2y = -2 \(\Rightarrow \) x - 2y = 2

3x+4y =7 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு
3x+4y =3x₁+4y₁
இங்கு (x₁,y₁) என்பது (1, 2) என்க.
⇒ 3x+4y = 3(1) +4(2)
 3x+4y = 11
மேலும் 3x+4y =7 என்ற கோட்டிற்குச் செங்குத்து கோட்டின் சமன்பாடு
4x-3y = 4x₁-3y₁
மேற்கண்ட சமன்பாடு (x₁,y₁) = (1,2) என்ற புள்ளி வழியே செல்கிறது எனில்
⇒ 4x-3y = 4(1) - 3(2)
4x-3y = 2
எனவே தேவையான இணைக்கோடு மற்றும் செங்குத்து கோடுகளின் சமன்பாடுகள் முறையே
3x+4y = 11
4x-3y = -2 ஆகும்.

R(\(\alpha\),\(\beta \)), P(6, 2), Q(-2,1) என்பன \(\Delta\) PQR ன் முனைப்புள்ளிகள் R என்பது y =x² - 3x+4 - ன் மீது அமைந்துள்ள புள்ளி.
P(h, k) என்பது  \(\Delta\)PQR-ன் மையக்கோட்டுச் சந்தியின் வழியாகச் செல்லக்கூடிய நியமப்பாதையில் நகரும் புள்ளி.
நடுக்கோட்டுச்சந்தி =\(\left( \frac { 6-2+\alpha }{ 3 } ,\frac { 2+1+\beta }{ 3 } \right) =(h,k)\)
\(\left( \frac { 4+\alpha }{ 3 } ,\frac { 3+\beta }{ 3 } \right) =(h,k)\)
\(\Rightarrow \frac { 4+\alpha }{ 3 } =h\)
\(\Rightarrow 4+\alpha =3h\)
\(\Rightarrow \alpha =3h-4\)  .....(1)
\(\frac { 3+\beta }{ 3 } =k\)
\(\\ 3+\beta =3k\)
\(\beta =3k-3\) .......(2)
\(R(\alpha ,\beta )\) ஆனது y = x² - 3x +4-ன் மீது அமைந்துள்ளது என்பதால்
\(\beta ={ \alpha }^{ 2 }-3\alpha +4\) .......(3)
(1), (2)-ஐ (3)-ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow \) (3k-3)=(3h-4)² -3(3h-4)+4
\(\Rightarrow \)3k-3=9h² - 24h + 16 -9h + 12 +4
\(\Rightarrow \) 3k-3 = 9h² -33h + 32
\(\Rightarrow \) 9h² - 33h - 3k + 35 =0
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை 9x² - 33x -3y + 35 =0 

O(0, 0) ஆதிப்புள்ளி R(a, b) OR-ன் நடுப்புள்ளி P(h, k)
P-என்பது OR-ன் நடுப்புள்ளி என்பதால்

\(\left( h,k \right) =\left( \frac { 0+a }{ 2 } ,\frac { 0+b }{ 2 } \right) \)
\(h=\frac { a }{ 2 } \) மற்றும் \(\\ k=\frac { b }{ 2 } \)
a = 2h மற்றும் b = 2k
a, b என்பன மாறிகள் அவற்றை நீக்க வேண்டும்.
\(\therefore\) R(a, b) ஆனது y² = 4x - ன் மீது அமைந்துள்ளதால்
\(\Rightarrow\)b² = 4a
\(\Rightarrow\)(2k)² = 4(2h)
\(\Rightarrow\)4k² = 4(2h)
\(\Rightarrow { k }^{ 2 }=2h\)
\(\Rightarrow\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை y² = 2x ஆகும்

(i) x அச்சிலிருந்து  அலகுகள் தூரத்தில் நகரும் புள்ளி P(h, k) x அச்சிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு
y = c
\(\therefore\) c = 2
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை
y = 2

(ii) y அச்சிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு x = k
y அச்சிலிருந்து 3 அலகுகள் தூரத்தில் நகரும் புள்ளி P(h, k)-ன் நியமப்பாதை
x = 3

y -அச்சுடன் கோணம் 30° ஏற்படுத்தும் கோடுகள் இரண்டு உள்ளன.
படத்திலிருந்து அக்கோடுகள் x -அச்சுடன் 60° மற்றும் 120° ஆகிய கோணங்களை ஏற்படுத்துகின்றன எனத் தெளிவாகிறது.
m₁=tan 60°=\(\sqrt { 3 } \) மற்றும்
m₂=tan 120° =tan (180°-60°)
=-tan 60° =-\(\sqrt { 3 } \)
m₁=\(\sqrt { 3 } \), m₂ =-\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் b=7
தேவையான நேர்க்கோடுகளின் சமன்பாடுகள்
y=m₁x+b மற்றும் y=m₂x+b
y=\(\sqrt { 3 } \)x+7 மற்றும் y=-\(\sqrt { 3 } \)x+7

P(h,k) என்பது தேவையான பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க
O, A மற்றும் B ஆகிய புள்ளிகளின் ஆயக் கூறுகள் முறையே (0, 0), (a,0) மற்றும் (0, b) என்க.
ΔOAB -ன் நடுப்புள்ளி  \(\left( \frac { 0+a+0 }{ 3 } ,\frac { 0+0+b }{ 3 } \right) \) = (h,k)
\(\frac { a }{ 3 } =h\Rightarrow a=3h,\frac { b }{ 3 } =k\Rightarrow b=3k\)
செங்கோணம் ΔBOA லிருந்து
 OA²+OB² =AB²
(3h)²+ (3k)² = (6)² ⇒ h²+k² =4
எனவே P(h,k) என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை, x²+y² =4

கொடுக்கப்பட்ட இரு புள்ளிகள் A(1,0) மற்றும் B(5,0) ஆகும்.
P(h,k)என்பது தேவையான பாதையின்மீது அமைந்துள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையின்படி AP = BP
அதாவது
\(\sqrt { (h-1)^{ 2 }+(k-0)^{ 2 } } =\sqrt { (h-5)^{ 2 }+(k-0)^{ 2 } } \)
⇒ h  = 3
எனவே, புள்ளி P(h,k)-ன் நியமப்பாதை, x = 3
இது y-அச்சிற்கு இணையாக உள்ள நேர்க்கோடு ஆகும்.

A, B மற்றும் C என்ற புள்ளிகள் முறையே \(\left( 0,-\frac { 3 }{ 2 } \right) \), (1,-1) மற்றும் \(\left( 2,-\frac { 1 }{ 2 } \right) \) என்க.
கோட்டின் சாய்வு m =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
AB -ன் சாய்வு =\(\frac { -1+\frac { 3 }{ 2 } }{ 1-0 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
BC -ன் சாய்வு =\(\frac { -\frac { 1 }{ 2 } +1 }{ 2-1 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
AB -ன் சாய்வும், BC -ன் சாய்வும் சமம். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A, B, C ஒரு நேர்க் கோட்டில் அமைகிறது.

(x₁,y₁) மற்றும் (x₂,y₂) என்பன முறையே (5, 7) மற்றும் (7, 5) என்க.
\(\theta \) என்பது x -அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் சாய்வுக் கோணம் என்க.
கோட்டின் சாய்வு  m=\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 5-7 }{ 7-5 } \)=-1
மேலும், m =tanፀ
tanፀ=-1 ⇒ \(\theta =\frac { 3\pi }{ 4 } \) அல்லது 135°
சாய்வு மற்றும் சாய்வு கோணம் முறையே
m =-1 மற்றும் \(\theta =\frac { 3\pi }{ 4 } \).

தனித்தனிச் சமன்பாடுகள் x- 2y -3 = 0,  x + y + 5 = 0
அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடு 
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }\) + xy +5x -2xy -2y - 10y -3x -3y -15 =0
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-{ 2y }^{ 2 }\) -xy + 5x -3y -15 =0

(i) x+ 3y – 4 = 0 என்ற இணையான கோட்டின் சமன்பாடு x + 3y – k = 0
இந்த கோடு(1, -1) என்ற புள்ளி வழியே செல்வதால் கிடைப்பது.
\(\therefore \)1 + 3(-1)–4 =0
\(\Rightarrow \) k = -6
\(\therefore \)தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு = 4x+3y+6=0
(ii) 3x+4y-6=0 என்ற செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 4x-3y+k=0
இந்த கோடு(1, -1) என்ற புள்ளி வழியே செல்வதால் கிடைப்பது.
\(\therefore \)4(1)-3(-1)+k =0
\(\Rightarrow \)k = -7
\(\therefore \)தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு =4x-3y-7=0

x வெட்டு 3 எனில், A(3, 0) தேவையான கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளியாகும்.
5x-4y+3=0 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோடு 5x-4y+k =0 ஆகும்
(3, 0) என்ற புள்ளியை (1)-ல் பிரதியிட.
5x3-4x0+k=0 \(\Rightarrow \)15+k=0 \(\Rightarrow \)k=-15
\(\therefore \)தேவையான கோட்டின் சமன்பாடு 5x-4y-15=0

y வெட்டுத்துண்டு (-4)
y வெட்டுத்துண்டும் ஒரு புள்ளியும் கொடுக்கப்பட்டால் கோட்டின் சமன்பாடு y = mx + c
ஒரு புள்ளி (1, 1), y வெட்டுத்துண்டு (-4) அதாவது (0, -4)
\(\therefore\) சாய்வு =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { -4-1 }{ 0-1 } =\frac { -5 }{ -1 } =5\)
\(\therefore\) தேவையான சமன்பாடு y = 5x - 4 (m=5, c =-4)
(ii) சாய்வு 3
ஒரு புள்ளியும் சாய்வும் கொடுக்கப்பட்டால் சமன்பாடு
y-y₁ = m(x-x₁)
\(\therefore\) m = 3, (x₁.y₁) = (1, 1)
\(\Rightarrow\) சமன்பாடு y - 1 = 3 (x -1)
y - 1 = 3x - 3
3x - y -2 = 0
(iii) (- 2, 3) என்ற புள்ளி
புள்ளி (-2, 3) வழியாகவும் (1,1) வழியாகவும் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு இரு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால் கோட்டின் சமன்பாடு
\(\Rightarrow \frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { { x }-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { y-1 }{ 3-1 } =\frac { x-1 }{ -2-1 } \Rightarrow \frac { y-1 }{ 2 } =\frac { x-1 }{ -3 } \)
\(\Rightarrow \) -3y + 3 = 2x -2
\(\Rightarrow \) 2x + 3y = 3 + 2 \(\Rightarrow \) 2x+3y =5
(iv) ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து ஒரு புள்ளி P(1, 1) \(\alpha =60°\)கொடுக்கப்பட்டுள்ளது செங்குத்துத்தூரம் = OP

\(=\sqrt { { (1-0) }^{ 2 }+{ (1-0) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 2 } \)
\(\therefore\) தேவையான சமன்பாடு
\(=(x\ cos\alpha +ysin\alpha )=p\)
\(\Rightarrow xcos60°+ysin60°=p\)
\(\Rightarrow x\times \frac { 1 }{ 2 } +y.\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =p\)
\(\Rightarrow\) (1, 1) புள்ளி வழியே செல்லும்
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =P\Rightarrow P=\left( \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2 } \right) \)
\(\\ \\ \Rightarrow \frac { x }{ 2 } +\frac { y\sqrt { 3 } }{ 2 } =\frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x+y\sqrt { 3 } =1+\sqrt { 3 } \)

x-அச்சின் வெட்டுத்துண்டு = a மற்றும்
y -அச்சின் வெட்டுத்துண்டு = –a என்க.
எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac { x }{ a } -\frac { y }{ a } \)= 1
⇒ x-y=a
மேற்கண்ட சமன்பாடானது (-1, 1) வழியே செல்வதால்,
(-1)-(1)= a ⇒ a = – 2
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
x - y + 2 = 0

கொடுக்கப்பட்ட y -ன் குறை வெட்டுத்துண்டு = 5,
அதாவது b=-5
கோணம் \(\theta \) =150°
சாய்வு m = tan 150° = tan (180-30)
= - tan 30 =\(-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
நேர்க்கோட்டின் சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம்:
y=mx+b
அதாவது, y=\(-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)x-5
\(x+\sqrt { 3 } y+5\sqrt { 3 } =0\).

உள்ளீடற்ற உருளையை வெட்டிச் செவ்வக வடிவில் தட்டையாக்கப்பட்டு மேலும் ஒரு பிரதிபலிப்பு செய்யும்போது எறும்பு செல்லும் பாதையை எளிதாக காண முடியும். படத்தில் கண்டவாறு, உருளையின் அடிப்பக்கத்தை x -அச்சாகவும், எறும்பு உள்ள தொடக்கப்புள்ளி A வழியே செல்லும் குத்துக்கோட்டை y -அச்சாகவும் கொள்க. இங்கு H என்பது தேன்துளி இருக்கும் இடம் ஆகும். E என்பது எறும்பு உருளையின் உள்ளே நுழையும் தொடக்க இடம். கொடுக்கப்பட்ட கணக்கின்படி,
A(x₁,y₁) மற்றும் H(x₂,y₁) முறையே (0, 4) மற்றும் (12, 13) என்க.
(i) A -க்கும், H -க்கும் இடைப்பட்ட மீச்சிறு தொலைவு
AH =\(\sqrt { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })^{ 2 }+({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 })^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 12^{ 2 }+{ 9 }^{ 2 } } \)=15

எறும்பானது தேன் துளியைச் சென்றடைய எடுத்துக் கொள்ளும் மீச்சிறு தூரம் 15 செமீ ஆகும்.
(ii) AH பாதையின் சமன்பாடு
\(\frac { y-4 }{ 13-4 } =\frac { x-0 }{ 12-0 } \)
⇒ y= 0.75x+4   (6.19)
(iii) நுழைவுப் புள்ளி E -ல் y = 10 ⇒ x = 8
⇒ E=(8,10) ஆகும்.

(i) பொது சமன்பாடு  ax²-2hxy+by²+2gx+2fy+c =0
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு λx²-10xy+12y²+5x-16y-3 = 0
மேற்கண்ட சமன்பாடுகளை ஒப்பிட,
a = λ , b= 12 , c=-3, h = -5 g =\(\frac { 5 }{ 2 } \) ,f = -8
இம்மதிப்புகளை இரட்டைக் கோட்டிற்கான கட்டுப்பாட்டில் பிரதியிட
abc+2fgh-af²-bg₂-ch² = 0
அதாவது \(\lambda(12)(-3)+2(-8)\left( {5\over 2} \right)(-5)-\lambda{(-8)}^{2}-12{(-5)}^{2}=0\)
⇒  -36λ+200-64λ-75+75 = 0
⇒  λ = 2
எனவே, தேவையான சமன்பாடு, 2x² –10xy + 12y² + 5x –16y – 3 = 0
மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் இருபடி உறுப்புகள் 2x² –10xy + 12y²- ஐ எடுத்துக்கொண்டு காரணிப்படுத்த
2x² –10xy + 12y² ≡ (x-2y)(2x-6y)
எனவே   2x² –10xy + 12y²+5x-16y-3 ≡ (x-2y+c₁)(2x-6y+c₂)
ஒரே மாதிரியான கெழுக்களைச் சமப்படுத்த,
2c₁+c₂ =5, 3c₁+c₂ = 8 ,c₁c₂= -3
முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்வு காண்பதன் மூலம் c₁= 3 ,c₂= -1 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே, தனித்தனிச் சமன்பாடுகள்
x-2y+3 = 0 ,2x-6y-1 =0
(ii) இரட்டைக் கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியைக் காண,
தனித்தனிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் (x,y) =\(\left( -10,\frac { -7 }{ 2 } \right) \)  அல்லது \(\left( \frac { hf-bg }{ ab-{ h }^{ 2 } } ,\frac { gf-af }{ ab-{ h }^{ 2 } } \right) \) என்ற சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்திக் காணலாம்.
(iii) கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
\(\tan\theta =\left| \frac { 2\sqrt { { h }^{ 2 }-ab } }{ a+b } \right| \)
= \(\left| \frac { 2\sqrt { 25-24 } }{ 2+12 } \right| =\frac { 1 }{ 7 } \)
எனவே, \(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \)

x+y=3  என்ற கோடு  x²-4xy+y²= 0 என்ற இரட்டைக் கோட்டை A மற்றும் B-ல் வெட்டுகிறது என்க.மேலும் x²-4xy+y²= 0 ஆதிபுள்ளியில் O வெட்டிக்கொள்ளும்
 x²-4xy+y²= 0 என்ற கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்.
\(\tan \theta =\left| \frac { 2\sqrt { { h }^{ 2 }-ab } }{ a+b } \right| =\frac { 2\sqrt { 4-1 } }{ 2 } =\sqrt { 3 } \)
⇒ \(\angle AOB =\theta ={ tan }^{ -1 }\sqrt { 3 } ={ 60 }^{ o }\)
ΔAOB இன் கோண இருசமவெட்டியின் சமன்பாடு,
\(\frac { { x }^{ 2 }-y^{ 2 } }{ a-b } =\frac { xy }{ h } \)
⇒  x²-y²= 0  ⇒ (x+y)(x-y) = 0
⇒  x+y = 0 மற்றும் x-y =0
x-y=0 ன் கோண இருசமவெட்டி கொடுக்கப்பட்ட கோடு AB, அதாவது x+y = 3 -க்கு செங்குத்தாக உள்ளது
எனவே ΔAOB என்பது இரு சமப்பக்க முக்கோணம் ஆகும்
⇒  \(\angle ABO=\angle BAO={ 60 }^{ o }\)   மேலும் \(\angle ABO={ 60 }^{ o }\)
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு சம்பக்க முக்கோணத்தை அமைக்கின்றது.

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
x² - 2kxy -y² = 0 .....(1)
x² - 2lxy -y² = 0 ......(2)
(2) ஆனது (1)-ன் இருசமவெட்டி என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
a = 1, b = -1, 2h = -2k \(\Rightarrow\) h = -k
(1) - ன் இருசமவெட்டிக்கான  சமன்பாடு
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ a-b } =\frac { xy }{ h } \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { xy }{ -k } \)
\(\Rightarrow\) -k(x²-y²) = 2xy
\(\Rightarrow\) -kx² + ky² = 2xy = 0
\(\Rightarrow\) -kx² - ky² + 2xy = 0 ........(3)
(2) மற்றும் (3) சமம் என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
(2), (3) ஐ ஒப்பிட
\(\frac { 1 }{ k } =\frac { -2l }{ 2 } =\frac { -1 }{ -k } \Rightarrow \frac { 1 }{ k } =-l=\frac { 1 }{ k } \Rightarrow k=1,kl=-1\) ....(4)
(2)-ன் இருசமவெட்டிக்கான சமன்பாடு
\(\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ a-b } =\frac { xy }{ l } \)
\(\Rightarrow\) -lx² + ly² = 2xy
\(\Rightarrow\) -lx² + ly² - 2xy = 0  .......(5)
\(\Rightarrow\) lx² -ly² + 2xy = 0
(1) மற்றும் (5) சமம் என நிரூபிக்க
ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களை ஒப்பிட
\(\frac { 1 }{ l } =\frac { -2k }{ 2 } =\frac { -1 }{ -l } \Rightarrow \frac { 1 }{ l } =\frac { -k }{ 1 } =\frac { 1 }{ l } \)
\(\Rightarrow -kl=1\Rightarrow kl=-1\)
(4) மற்றும் (6) லிருந்து இரண்டாவது ஜோடி முதல் ஜோடி கோடுகளின் கோண இருசமவெட்டியாகும் என்பது முடிவாகிறது.  

இரட்டைக் கோடுகளின் சமன்பாடு 
6x² + 5xy - py² + 7x + q - 5 = 0
இங்கு a = 6, b = -p, 2h = 5, 2g = 7, 2f = q
⇒ h = \(\frac { 5 }{ 2 } \), g = \(\frac { 7 }{ 2 } \), f = \(\frac { q }{ 2 } \), c = -5
இரட்டை கோடுகள் செங்குத்துக்கோடுகளாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு
a + b = 0 ⇒ 6 - p = 0 ⇒ p = 6
இரட்டை கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு
abc + 2fgh - af² - bg² - ch² = 0
6(-6) (-5) + \(\left( \frac { 7 }{ 5 } \right) \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) -6\left( \frac { { q }^{ 2 } }{ 4 } \right) +6\left( \frac { 4q }{ 4 } \right) +5\left( \frac { 25 }{ 4 } \right) \) = 0
முழுவதையும் 4 ஆல் பெருக்க,
720 + 35q -6q² + 294 + 125 = 0
⇒ 35q - 6q² + 1139 = 0
⇒ q = \(\frac { 35\pm \sqrt { \left( { -35 }^{ 2 } \right) -4\left( 6 \right) \left( 1139 \right) } }{ 2\times 6 } \)
= \(\frac { 35\pm \sqrt { 1225+27336 } }{ 12 } =\frac { 35\pm \sqrt { 28561 } }{ 12 } \)
= \(\frac { 35\pm 169 }{ 12 } \)
⇒ q = \(\frac { 35+169 }{ 12 } \)  (அ) q =\(\frac { 35-169 }{ 12 } \)
⇒ q = \(\frac { 204 }{ 12 } \) = 17  (அ) q = \(-\frac { 134 }{ 12 } \) = \(-\frac { 67 }{ 6 } \)
p = 6, q = 17 (அல்லது) \(-\frac { 67 }{ 6 } \)

m, 3m ஆனவை இரட்டைக் கோடுகளின் (ax²+2hxy+by²)=0 ன் சாய்வுகள்
m₁+m₂=-\(\frac {2h}{b}\) மற்றும் m₁m₂=\(\frac{a}{b}\)
m+2m =-\(\frac {2h}{b}\) மற்றும்  m(3m)=\(\frac{a}{b}\)
4m=-\(\frac {2h}{b}\) மற்றும் 3m²=\(\frac{a}{b}\)
4m=\(\frac {2h}{b}\) மற்றும் 3m²=\(\frac{a}{b}\)
m=-\(\frac {2h}{b}\) மற்றும் 3m²=\(\frac{a}{b}\)
m=-\(\frac {-h}{2b }\) -----(1)
மற்றும் 3m²=\(\frac{a}{b}\)   ------(2)
(1) ஐ (2) ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow { \left( -\frac { h }{ 2b } \right) }^{ 2 }=\frac { a }{ b } \)
\(\Rightarrow { \left( -\frac { { h }^{ 2 } }{ 4{ b }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }=\frac { a }{ b } \)
3h²=4ab  எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

P₁=(0,0) விலிருந்து x secθ +y cosθ = 2aθ  ற்கு இடைப்பட்ட செங்குத்துத் நீளம் என்க.
P₁=\(\pm \left( \frac { x(0)+y(0)-2a }{ \sqrt { { sec }^{ 2 }\theta +cosec\theta } } \right) \)
=\(\frac { 2a }{ \sqrt { \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }\theta } \_ \frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }\theta } } } =\frac { 2a }{ \sqrt { \frac { { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta }{ { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta } } } \) [\(\therefore \)sin²θ +cos²θ=1]
P₁=\(\frac { 2a }{ \sqrt { \frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }\theta .{ cos }^{ 2 }\theta } } } \)=2a sinθ cosθ -----(1)
P₂=(0, 0) விலிருந்து x cosθ -y sinθ -a cosθ 2 செங்குத்துத் தொலைவு என்க.
=\(\pm \left( \frac { x(0)+y(0)-acos2\theta }{ \sqrt { { sin }^{ 2 }\theta +{ (-{ cos }^{ 2 }\theta ) }^{ 2 } } } \right) \)
=\(\frac { acos2\theta }{ \sqrt { 1 } } \)
=a.cos²θ  [sin²θ+cos²θ=1] -----(2)
(1), (2)-ஐ வர்க்கப்படுத்தி கூட்டினால் கிடைப்பது 
P₁²+P₂²=(2asinθ cosθ)²+(a.cos²2θ)² 
=(a.sin2θ)²+(a.cos2θ)² [\(\therefore \)sin 2θ=2cosθ sinθ]
=a²sin²2θ+a²cos²2θ=a²+cos²2θ)
=a²(1)  \(\therefore \)P₁²+P₂²=a², எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது. 

செங்குத்து வடிவம்
\(\sqrt { 3 } x-y+4=0\)
⇒ (-\(\sqrt { 3 } \))x+y=4     (6.17)-ஐ
Ax+By+C=0 என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது
A =-\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் B =1   ∴ \(\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } \)=2
சமன்பாடு (6.17) -ஐ இருபுறமும் 2 ஆல் வகுக்க
⇒ \(-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } x+\frac { 1 }{ 2 } y\)     (6.18)-ஐ
x cosα+y sinα = p இச்சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும் போது
cosα=\(-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \), sinα =\(\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் p =2 என்க.
⇒  α =150^° =\(\frac { 5\pi }{ 6 } \) மற்றும் p =2
செங்குத்து வடிவத்தின் சமன்பாடு
\(xcos\frac { 5\pi }{ 6 } +ysin\frac { 5\pi }{ 6 } \)=2 ஆகும்.

சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம்
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\sqrt { 3 } \)x-y+4=0=0
⇒ y=\(\sqrt { 3 } \)x+4   (6.15)-ஐ
y=mx+b என்ற சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிடும்போது
சாய்வு =\(\sqrt { 3 } \) மற்றும் y-ன் வெட்டுத்துண்டு =4

பிரதிபலிப்புத் தத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வு காணல்:
PQ-ஐ இணைக்கும் நேர்கோட்டை x -அச்சாகவும்,
PA -ஐ இணைக்கும் நேர்கோட்டை y -அச்சாகவும்,
P -ஐ ஆதிப்புள்ளியாகவும் கொள்க.
எனவே, P(0, 0), A(0, 3) மற்றும் B(6, 5) ஆகியவை கிடைக்கும்
x -அச்சு பொருத்து A -ன் பிம்பம் \(\bar { A } \) எனில், \(\bar { A } \) என்பது (0, –3) ஆகும்.
\(\bar { A } B \) மற்றும் x -அச்சு ஆகியவை வெட்டும் புள்ளியே தேவையான R ஆகும்
AR மற்றும் BR ஆகியவை கம்பி செல்லும் பாதையாகும் மிகக் குறைந்த கம்பியின் நீளம்
 = AR+BR=\(\bar { A } \)R+RB=\(\bar { A } \)B
\(=\sqrt{{(6-0)}^{2}+{(5+3)}^{2}}\)= 10 கிலோமீட்டர்
\(\bar { A } \)B -ன் சமன்பாடு y-(-3) =\(\left( \frac { 5-(-3) }{ 6-0 } \right) (x-0)\) 
4x-3y = 9
y = 0 எனில்R\(\left( \frac { 9 }{ 4 } ,0 \right) \)  ஆகும்.
எனவே, துணை மின் நிலையம் P -லிருந்து 2.25 கிமீ தூரத்தில் இருக்கும்.
R\(\left( \frac { 9 }{ 4 } ,0 \right) \)    மற்றும் A(0, 3) ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும்
RA -ன் சமன்பாடு 4x + 3y = 9
RA மற்றும் RB (அல்லது \(\bar { A } \)B) ஆகிய இரு கம்பிகள் செல்லும் சமன்பாடுகள் முறையே 4x+3y = 9 மற்றும்  4x-3y = 9

i) 

நேரம்	தொலைவு
15	d -1400
18	d -800

d என்பது இலக்கிற்கும் இடத்திற்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு என்க.

\(\Rightarrow \) 6(d -1400) = 5(d - 800)
\(\Rightarrow \) 6d -8400=5d - 4000
\(\Rightarrow \) d = 1400 மீ.
ii) 

15 வது வினாடியில் கடந்த தொலைவு:

நேரம்	தொலைவு
15	d-1400=4400-1400=3000
18	d-800=4400-800=3600

இருபுள்ளி வடிவம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(\Rightarrow \frac { y-15 }{ 18-15 } =\frac { x-3000 }{ 3600-3000 } \)

\(\Rightarrow y-15=\frac { x-3000 }{ 200 } \)
நேரம் 15 வினாடிகள் எனில்
15-15 = \(\frac { x-3000 }{ 200 }\)
\(\Rightarrow 0=\frac { x-3000 }{ 200 } \)
\(\Rightarrow x-3000=0\Rightarrow x=3000\) மீ.
iii) இலக்கை தாக்க எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம்
T₁(15 ஆவது வினாடி) D₁(1400 மீ)
T₂(18 ஆவது வினாடி) D₂(800 மீ)
இரு புள்ளி வடிவம் பயன்படுத்தி
\(\Rightarrow \frac { T-{ T }_{ 1 } }{ { T }_{ 2 }-{ T }_{ 1 } } =\frac { D-{ D }_{ 1 } }{ { D }_{ 2 }-{ D }_{ 1 } } \Rightarrow \frac { T-15 }{ 18-15 } =\frac { D-1400 }{ 800-1400 } \)
\(\Rightarrow \frac { T-15 }{ 3 } =\frac { D-1400 }{ -600 } \)
\(T-15=\frac { 1400-D }{ 200 } \)
\(T=\frac { 1400-D }{ 200 } +15\) .....(1)
D = 0 என (1)-ல் பிரதியிட.
\(T=\frac { 1400-0 }{ 200 } +15=7+15=22\) வினாடிகள்

i) வெப்பநிலை C-க்கும் F-க்கும் இடையே உள்ள நேரிய தொடர்பின் சமன்பாடு
\(\frac { F-32 }{ 212-32 } =\frac { C-0 }{ 100-0 } \)
\(\frac { F-32 }{ 180 } =\frac { C }{ 100 } \Rightarrow C=\frac { 100 }{ 180 } (F-32)\)
\(C=\frac { 5 }{ 9 } (F-32)\) ...(1) (or) \(F=\frac { 180 }{ 100 } C+32\)
\(\Rightarrow F=\frac { 9 }{ 5 } C+32\)
(\(\therefore\) x செல்சியஸ் வெப்பநிலையையும், y பாரன்ஹீட் வெப்பநிலையையும் குறிக்கிறது) 
ii) F=98.6° எனில் C =?
C-ன் மதிப்பை காண (1) பிரதியிட
\(\Rightarrow C=\frac { 5 }{ 9 } (98-6-32)\)
\(\Rightarrow \frac { 5 }{ 9 } (66.6)=\frac { 333 }{ 9 } =37°\)
iii) C=38° எனில் F=?
F-ன் மதிப்பை காண (1)-ல் பிரதியிட
\(\Rightarrow 38=\frac { 5 }{ 9 } (F-32)\)
\(\Rightarrow \frac { 38\times 9 }{ 5 } =F-32\)
\(\Rightarrow \frac { 342 }{ 5 } +32=F\Rightarrow F=68.4+32\)
\(\Rightarrow F=100.4°C\)

ax+by+c =0 என்ற கோட்டிற்கும் (x₁,y₁) என்ற புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரம்
\(D=\left| \frac { { ax }_{ 1 }+{ by }_{ 1 }+c }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } \right| \)
அதாவது, 5x + 12y – 3 = 0 என்ற கோட்டிற்கும் (1 , 2) என்ற புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரம்.
\(D=\left| \frac { 5(1)+12(2)-3 }{ \sqrt { { 5 }^{ 2 }+{ 1 }2^{ 2 } } } \right| =2\)

P(h, k) ஒரு நகரும் புள்ளி என்க.
P(\(\alpha \), \(\beta\)) ஒரு புள்ளி, O(0, 0) ஆதிப்புள்ளி
P ஆனது OQ-ஐ வெளிப்புறமாக 3 : 4 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
\(\therefore (h,k)=\left( \frac { 3\alpha -4(0) }{ 3-4 } ,\frac { 3\beta -4(0) }{ 3-4 } \right) \) \(\left[ \because (x,y)\left[ \frac { { mx }_{ 2 }-{ nx }_{ 1 } }{ m-n } ,\frac { { my }_{ 2 }-{ ny }_{ 1 } }{ m-n } \right] \right] \)
\((h,k)=\left( \frac { 3\alpha }{ -1 } ,\frac { 3\beta }{ -1 } \right) \)
\((h,k)=\left( -3\alpha ,-3\beta \right) \)
இருபுறமும் ஒத்த கெழுக்களை சமப்படுத்த
h = -3\(\alpha \) \(\Rightarrow\)

\(k=-3\beta \) 
\(\alpha =\frac { h }{ -3 } ,\beta =\frac { k }{ -3 } \)
Q(\(\alpha \),\(\beta\)) ஆனது x² + y² + 4x - 3y + 7 = 0 ன் மீது அமைவதால்
\({ \left( \frac { -h }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { -k }{ 3 } \right) }^{ 2 }+4\left( \frac { -h }{ 3 } \right) -3\left( \frac { -k }{ 3 } \right) +7=0\)
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ 9 } +\frac { { k }^{ 2 } }{ 9 } -\frac { 4h }{ 3 } +k+7=0\)
9 ஆல் பெருக்க
\(\Rightarrow { h }^{ 2 }+{ k }^{ 2 }-12h+9k+63=0\)
P(h,k) ன் நியமப்பாதை x² + y² - 12x + 9y + 63 = 0 ஆகும்.

P(h,k) ஆனது RQ-ன் மீது அமைந்த நகரும் புள்ளி
\(\angle \)ORQ = Q
\(\Delta\)PLR லிருந்து \(sin\ \theta =\frac { k }{ b } \)   ......(1)
\(\Delta\)PMQ விலிருந்து cos\(\theta =\frac { h }{ b } \) .....(2)
(1), (2)-ஐ வர்க்கப்படுத்தி கூட்ட
\(\Rightarrow { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta ={ \left( \frac { k }{ b } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { h }{ a } \right) }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow 1=\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \frac { { h }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { k }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\therefore\)P(h, k)-ன் நியமப்பாதை\(\frac { { x }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1\)

P(h, k) நகரும் புள்ளி
A(3, 5), B(1, -1) என்பன கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள்
PA² + PB² = 20 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\Rightarrow \) (h-3)² + (k-5)² + (h-1)² + (k+1)² = 20
h² - 6h + 9 + k² - 10k + 25 + h² - 2h + 1 + k² + 2k + 1 = 20
\(\Rightarrow \) 2h² + 2k² - 8h - 8k + 36 = 20 (2 ஆக வகுக்க)
h² + k² - 4h - 4k + 8 = 0
\(\therefore\) P(h, k) ன் நியமப்பாதை = x² + y² - 4x - 4y + 8 = 0

கொடுக்கப்பட்டது x = a cos³ \(\theta\) , y = a sin³ \(\theta\)
\(\frac { x }{ a } ={ cos }^{ 3 }\theta ,\frac { y }{ a } ={ sin }^{ 3 }\theta \)
இருபுறம் வர்க்கப்படுத்தி கனமூலம் காண
\({ \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ \left( { cos }^{ 3 }\theta \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } },{ \left( \frac { y }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }=({ sin }^{ 3 }\theta )^{ \frac { 2 }{ 3 } }\)
\(\Rightarrow { \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ cos }^{ 2 }\theta ,\)மற்றும் \({ \left( \frac { y }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }={ sin }^{ 2 }\theta \)
அவற்றைக் கூட்ட  (\(\because\) cos² \(\theta\) + sin² \(\theta\) =1)
\(\Rightarrow { \left( \frac { x }{ a } \right) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+\left( \frac { y }{ a } \right) ^{ \frac { 2 }{ 3 } }=1\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } +\frac { { y }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } =1\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+{ y }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } =1\)
\({ x }^{ 2/3 }+{ y }^{ 2/3 }=a^{ 2/3 }\)  இதுவே நகரும் புள்ளியின் நியமப்பாதையாகும்.

P(h,k) என்பது தேவையான நியமப்பாதையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.
h = a(θ- sin θ)  (6.1)
k = a(1-cosθ)   (6.2)
மேற்கண்ட சமன்பாடு (6.2) இலிருந்து θ மற்றும் sin θ மதிப்புகளைக் காணலாம்.
 k = a(1-cosθ)
\(\cosθ =\frac { a-k }{ a } \Rightarrow \theta ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { a-k }{ a } \right) \)  மற்றும் \(\sin\ \theta =\frac { \sqrt { 2ak-{ k }^{ 2 } } }{ a } \)
θ மற்றும் sin θ மதிப்புகளை சமன்பாடு (6.1) இல் பிரதியிட,
\(h=\ a\ { \cos }^{ -1 }\left( \frac { a-k }{ a } \right) -\sqrt { 2ak-{ k }^{ 3 } } \)
எனவே, என்ற புள்ளியின் நியமப்பாதை,
 \(x=\ a\ { \cos }^{ -1 }\left( \frac { a-y }{ a } \right) -\sqrt { 2ay-{ y }^{ 2 } } \)

x - அச்சில் நேரத்தை வினாடியிலும்
y - அச்சில் தொலைவை மீட்டரிலும் குறிக்கின்றது என்க.
தொடர்வண்டி இயந்திரம் ஆதிப்புள்ளி O-ல் உள்ளது என்க. எனவே தொடர் வண்டியின் நீளம் 560 மீ. y -அச்சின் குறை வெட்டுத்துண்டாகும்.
எனவே, b =-560
தொடர்வண்டியின் இயக்கத்தின் சீரான வேகம் 12.5 மீ/வி என்பதைச் சாய்வாகக் கருதலாம்.
m =12.5 
சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு கொடுக்கப்பட்டால் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
y= mx + b
(i) m = 12.5 மற்றும் b = -560 என்பதால் தொடர்வண்டியின் இயக்கச் சமன்பாடு
y =12.5x -560
(ii) பாலத்தின் எதிர்ப்புற முனையைத் தொடர்வண்டியின் இயந்திரம் தொடும் நேரம் y = 2065 மற்றும் b = 0
2065 = 12.5x
x = 165.2 வினாடிகள்
(iii) தொடர்வண்டியின் கடைசி பெட்டியானது பாலத்தின் தொடக்க முனையை அடையும்போது
y = 0 ⇒ = 12.5x – 560
எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம், x = 44.8 வினாடிகள்
(iv) தொடர்வண்டி பாம்பன் பாலத்தைக் கடந்து செல்வதற்காக எடுத்துக்கொண்ட நேரம்
y = 2065 ⇒ 2065 =12.5x - 560
x = 210 வினாடிகள்