H₁,H₂,H₃,H₄என்பன முறையே விமானத்தை முதல்,இரண்டாவது,மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது முறையில் துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தும் நிகழ்ச்சி என்க.\(\overline{H}\) என்பது விமானத்தை துப்பாக்கியால் சுட்டு வீழ்த்தாத நிகழ்ச்சியாகும்.
P(H₁)=0.2 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_1\))=1-P(H₁)=0.8
P(H₂)=0.4 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_2\))=1-P(H₂)=0.6
P(H₃)=0.2 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_3\))=1-P(H₃)=0.8
P(H₄)=0.1 \(\Rightarrow\) P(\(\overline{H}_4\))=1-P(H₄)=0.9
விமானம் துப்பாக்கியால் சுட்டுவீழ்த்தப்பட்டதற்கான நிகழ்தகவு 
P(H)=1-P(\(\overline{H}\))=1-P\(\overline{(H_1\cup H_2\cup H_3\cup H_4)}\)
=1-P\({(\overline H_1\cap \overline H_2\cap \overline H_3\cap \overline H_4)}\)
=1-(0.8)(0.6)(0.8)(0.9)=1-0.3456
P(H)=0.6544

\(I=\int { \frac { (2x+3) }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } } dx } \)என்க 
\(2x+3=A.\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }+4x+1)+B\)
\(\Rightarrow 2x+3=A(2x+4)+B\)
x மற்றும் மாறிலி உறுப்புகளின் கெழுக்களை சமப்படுத்த
\(2=2A\Rightarrow A=1\)
மற்றும் 3 = 4A +B 
\(\Rightarrow 3=4+B\Rightarrow 3-4=B\Rightarrow B=-1\)
\(\therefore 2x+3=1(2x+4)-1\)
\(\therefore I=\int { \frac { (2x+3) }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } } } dx-\int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } } } \)
\(=2\sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } -\int { \frac { dx }{ \sqrt { x^{ 2 }+4x+4-4+1 } } } \)
\(=2\sqrt { { x }^{ 2 }+4x+1 } -\int { \frac { dx }{ \sqrt { { (x+2) }^{ 2 }-(\sqrt { 3 } )^{ 2 } } } } \)
\(2\sqrt{x^{2}+4x+1}-\log|+2+\sqrt{x^{2}+4x+1}|+c\)
\([\because \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\log|x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } |+C]\)

I = \(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \)
= tan \(\theta\) \(\Rightarrow\) dx = sec² \(\theta\)d\(\theta\)
I = \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( \frac { 2tan\theta }{ 1-{ tan }^{ 2 }\theta } \right) { sec }^{ 2 }\theta d\theta \)
= \(\int { { tan }^{ -1 } } \left( tan2\theta \right) { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(\int { 2 } \theta { sec }^{ 2 }\) \(\theta\) d \(\theta\)
= \(2\int { \left( \theta \right) \left( { sec }^{ 2 }\theta d\theta \right) } \)
பகுதித் தொகையிடல் முறையைப் பயன்படுத்த
I = \(2\left[ \theta tan\theta -\int { tan } \theta d\theta \right] \)
= \(2\left( \theta tan\theta -log\left| sec\theta \right| \right) +c\)
\(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \) = 2x tan^-1 x - 2log |\(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)| +c

tan θ = x 
sec θ = \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \)

\(f(x)=x\ sin\frac { \pi }{ x } \)
\(-x\le xsin\frac { \pi }{ x } \le x.\)
\(g(x)=-x,f(x)=x\ sin\frac { \pi }{ x } \)
h(x) = x
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ g(x)=0,\lim _{ x\rightarrow 0 }{ h(x)=0 } } \)
இடையீட்டுத் தேற்றத்தின்படி
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \ xsin\frac { \pi }{ x } } =0\)
f(x) தொடர்ச்சியானதாக இருக்க வேண்டும் எனில்
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ xsin\frac { \pi }{ x } =0=f(0) } \)
\(\Rightarrow\) f(0) = 0

\(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-2x-8 }{ x+2 } ,{ x }_{ 0 }=-2\)
f(x) ஆனது x = -2 - ல் அமையாது.
\(\therefore\) இதற்கு x = -2-ல் நீக்கக் கூடிய தொடர்ச்சியற்ற தன்மை உள்ளது.
\(\lim _{ x\rightarrow -2 }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow -2 }{ \frac { { x }^{ 2 }-2x-8 }{ x+2 } } } \)

\(=\lim _{ x\rightarrow -2 }{ x-4=-2-4=-6 } \)
\(\therefore \) g(x) ஓர் தொடர்ச்சியான சார்பு
\(g(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-2x-8 }{ x+2 } ,x\neq -2 \\ -6,\quad x=-2\quad \quad \end{cases}\)என எழுதலாம்.

ΔABC-யின் உச்சிகளின் நிலைவெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \)
∴ \(\vec { OA } =\vec { a } ,\vec { OB } =\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { OC } =\vec { c } \)
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =\vec { b } -\vec { a } \)
\(\vec { AC } =\vec { OC } -\vec { OA } =\vec { c } -\vec { a } \)
∴ \(\vec { AB } \times \vec { AC } =(\vec { b } -\vec { a } )\times (\vec { c } -\vec { a } )\)
=\(\vec { b } \times \vec { c } -\vec { b } \times \vec { a } -\vec { a } \times \vec { c } +\vec { a } \times \vec { a } \)
=\(\vec { b } \times \vec { c } +\vec { a } \times \vec { b } +\vec { c } \times \vec { a } +\vec { 0 } \)
\((\because \vec { a } \times \vec { a } =\vec { 0 } ,\vec { b } \times \vec { a } )=-(\vec { a } \times \vec { b } ),\vec { a } \times \vec { c } =-(\vec { c } \times \vec { a } )\)
=\(\vec { a } \times \vec { b } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } \)
\(|\vec { AB } \times \vec { AC } |=|\vec { a } \times \vec { b } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } |\)
ΔABC-யின் பரப்பு =\(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { AB } \times \vec { AC } |\)
=\(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { a } \times \vec { b } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } |\)
A, B, C ஒரு கோடமைப் புள்ளிகளாக இருக்க நிபந்தனை Δ-ன் பரப்பு =0
∴ \(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { a } \times \vec { b } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } |\)=0
⇒ \(|\vec { a } \times \vec { b } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } |\)=0 இதுவே A, B,C ஒரே கோட்டிலமைவதற்கான நிபந்தனை ஆகும்.

\(\frac { a }{ sinA } =\frac { b }{ sinB } =\frac { c }{ sinC } =2R\)  என்பது சைன் சூத்திரம்.
\(\frac { { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ 2bc } =\frac { (2RsinB)^{ 2 }+(2RsinC)^{ 2 }-(2RsinA)^{ 2 } }{ 2(2RsinB)(2RsinC) } \)
\(=\frac { { sin }^{ 2 }B+sin(C+A)sin(C-A) }{ 2SinBsinC } \)
\(=\frac { sinB[sinB+sin(C-A] }{ 2sinBsinC } \)
\(=\quad \frac { sin(C+A)+sin(C-A) }{ 2sinC } =cosA\)
\(cosA=\frac { { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ 2bc } \)
இதே போல மற்ற இரண்டு கொசைன் சூத்திரங்களை வருவிக்கலாம்.

S =6+66+666+.....n உறுப்புகள் வரை
=6(1+11+111+.......)n உறுப்புகள் வரை
=\(\frac { 6 }{ 9 } \)(9+99+999+........) n உறுப்புகள் வரை
(∵ 9 ஆல் பெருக்கி 9 ஆல் வகுக்க)
= \(\frac { 6 }{ 9 } \)[(10-1)+(10²-1)+(10³-1)+.....] n  உறுப்புகள் வரை
= \(\frac { 6 }{ 9 } \)(10+10²+10³+......) - (1+1+1+.......) n உறுப்புகள் வரை
=\(\frac { 6 }{ 9 } \left( \frac { 10(10^{ n }-1) }{ 10-1 } -n \right) \)  [பெருக்கி தொடரில் a=10, r=10, S_n=\(\frac { ({ r }^{ n }-1) }{ r-1 } \)]
=\(\frac { 6 }{ 9 } \left[ \frac { 10({ 10 }^{ n }-1) }{ 9 } -n \right] =\frac { 6 }{ 9 } \left[ \frac { 10({ 10 }^{ n }-1)-9n }{ 9 } \right] \)
∴ S_n=\(\frac { 6 }{ 18 } \)[10(10ⁿ-1)-9n]

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
12x² + 7xy - 12y² - x + 7y + k = 0   .....(1)
a = 12, b = -12, 2h = 7, 2g = -1, 2f = 7, c = k
⇒ h = \(\frac { 7 }{ 2 } \), g = \(-\frac { 1 }{ 2 } \), f = \(\frac { 7 }{ 2 } \)
இரட்டைக் கோடுகளுக்கான கட்டுப்பாடு 
⇒ abc + 2fgh - af² - bg² - ch² = 0
⇒ 12(-12)(k) + 7 \(\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) -12\left( \frac { 49 }{ 4 } \right) +12\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) -k\left( \frac { 49 }{ 4 } \right) \) = 0
⇒ -144k - \(\frac { 49 }{ 4 } -\frac { 588 }{ 4 } +\frac { 12 }{ 4 } -\frac { 49k }{ 4 } \) = 0
முழுவதையும் 4 ஆல் பெருக்க.
⇒ -576 k² - 49 - 588 + 12 - 49k = 0
⇒ -625 k = 625 ⇒ k = -1
இரண்டு கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி
(ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0) 
= \(\left( \frac { hf-bg }{ ab-{ h }^{ 2 } } ,\frac { gh-af }{ ab-{ h }^{ 2 } } \right) \)
= \(\left( \frac { \frac { 7 }{ 2 } \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) +12\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) }{ -144-\frac { 49 }{ 4 } } ,\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) -12\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }{ 144-\frac { 49 }{ 2 } } \right) \)
= \(\left( \frac { \frac { 49 }{ 4 } -6 }{ \frac { -576-49 }{ 4 } } ,\frac { \frac { 7 }{ 4 } -42 }{ \frac { -576-49 }{ 4 } } \right) \)
= \(\left( \frac { -25 }{ 625 } ,\frac { -175 }{ -625 } \right) =\left( \frac { -1 }{ 25 } ,\frac { 7 }{ 5 } \right) \)
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்ளும்.

\(f(x)={\sqrt{4-x^3}\over \sqrt{x^2-9}}\)
x=2  எனில் f(x)= \({\sqrt{4-2^2}\over \sqrt{2^2-9}}={\sqrt{0}\over \sqrt{-5}}={0\over \sqrt{-5}}=0\)
x=-2 எனில் f(x)=\({\sqrt{4-(-2)^2}\over \sqrt{(-2)^2-9}}={{0}\over \sqrt{-5}}=0\)
x=ன் மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் குறை எண்களின் வர்க்க மூலமாக கிடைப்பதால் அது சார்பாகாது. எனவே மீப்பெரு சார்பகம்=\(\varphi \)

\(=\frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ x({ x }^{ 2 }+1) } =\frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\Rightarrow (x-1)^{ 2 }=A({ x }^{ 2 }+1)+\left( Bx+C \right) x.....(1)\)
x = 0 என (1) -ல் பிரதியிட 
1 = A 
x = 1 என (1) -ல் பிரதியிட
0 = A(2) +(B + C)1
\(\Rightarrow \) 0 = 2A +B +C........(2)
x² -ன் கெழுக்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த 
1 = A +B  \(\Rightarrow \) 1 = 1+ B \(\Rightarrow \) B = 0
A =1, B = 0 என (2) -ல் பிரதியிட
0 = 2 + 0 + C  \(\Rightarrow \) C =-2
\(\therefore =\frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+x } =\frac { 1 }{ x } +\frac { 0x-2 }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\Rightarrow \frac { (x-1)^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+x } =\frac { 1 }{ x } -\frac { 2 }{ { x }^{ 2 }+1 } \)

x-y+3=0 என்ற கோட்டின் சாய்வுக் கோணம் 45⁰ மற்றும் புள்ளி (4,7) கோட்டின் மீது உள்ளது.
துணையலகு வடிவத்திலிருந்து,
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ cos\theta } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ sin\theta } \)=r
மேற்கண்ட சமன்பாட்டை இவ்வடிவத்தில் எழுதலாம்
\(\frac { x-a }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } =\frac { y-7 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } \)=土5\(\sqrt { 2 } \)
(கோட்டின்மீது (4,7) - க்கு வெவ்வேறு பக்கங்களிலிருந்து தூரம் r=土5\(\sqrt { 2 } \))
அதாவது, x-4=y -7=土5
இதன் மூலம், கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள (4,7) என்ற புள்ளிக்கு ஏதேனும் ஒரு பக்கத்திலிருந்து 5\(\sqrt { 2 } \) அலகுகள் தூரத்தில் உள்ள புள்ளிகள் (4+5, 7+5) மற்றும் (4-5, 7-5)
தேவையான புள்ளிகள் (9, 12), (–1, 2) மற்றும் சாய்வு
m =tan 60°=\(\sqrt { 3 } \)
மேற்கண்ட மதிப்புகளை பயன்படுத்தி சாய்வு-புள்ளி வடிவத்தில் எழுத
\(\sqrt { 3 } \)x-y+(12-9\(\sqrt { 3 } \)) = 0 மற்றும்
\(\sqrt { 3 } \)x-y+(2+\(\sqrt { 3 } \)) = 0

P(n)= 3²ⁿ⁺²-8n-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும் என்க.
n = 1 என பிரதியிட P(1)=3²⁺²-8(1)-9=64, இது 8ஆல் வகுபடும்.
எனவே P(1) உண்மை.
n = k-க்கு இந்த கூற்று உண்மை எனக்  கொள்க.
எனவே P(k)=3^2k+2-8k-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும்.
ஆகவே, P(k)=3^2k+2-8k-9 =8k₁,k₁∈N
ஆகவே,3^2k+2=8k₁+8k+9 என எழுதலாம்.
P(k+1)=3^2(k+1)+2-8(k+1)-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும் என நிறுவ வேண்டும்.
P(k+1)=3^2(k+1)+2-8(k+1)-9 
=3²3^2k+2-8k-8-9
=3²(8k₁+8k+9)-8k-17 
=72k₁+72k+81-8k-17=72k₁+64k+64
=8(9k₁+8k+1)
=8k₂,k₂=9k₁+8k+1∈N
P(k+1) என்பது 8ஆல் வகுபடும். எனவே P(k+1) என்பது உண்மை. P(k) உண்மை எனக் கொண்டு P(k+1) உண்மை என நிறுவியுள்ளோம். எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல்படி n≥1-க்கு 3²ⁿ⁺²-8n-9 ஆனது 8ஆல் வகுபடும்.

x = \(\sum _{ n=0 }^{ \alpha }{ \cos ^{ 2n }{ \theta } } =\cos ^{ 0 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 4 }{ \theta } +....\)
= \(1+\cos ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 4 }{ \theta } +....\)
= \(1+{ \left( \cos { \theta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+.......=\frac { 1 }{ 1-\cos ^{ 2 }{ \theta } } \)   (∵ 1+ x² - x = \(\frac { 1 }{ 1-x } \) )  |x| < 1
= \(\frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \)    ....(1)
y = \(\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \sin ^{ 2n }{ \theta } } =\sin ^{ 0 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 4 }{ \theta } ...\)
= \(1+\sin ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 4 }{ \theta } +...\)
= \(1+{ \left( \sin { \theta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+.....=\frac { 1 }{ 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } } =\frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } \)  .....(2)
z = \(\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \cos ^{ 2n }{ \theta } \sin ^{ 2n }{ \theta } } \)
= \(\cos ^{ 0 }{ \theta } \sin ^{ 0 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 4 }{ \theta } \sin ^{ 4 }{ \theta } +....\)
= \(1+{ \left( \sin { \theta } \cos { \theta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) }^{ 2 }+.....\)
= \(\frac { 1 }{ 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } } \)     ....(3)
∴ x + y + z = \(\frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } +\frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } +\frac { 1 }{ 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } } \)    [∵ (1) + (2) + (3)]
= \(\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) +\sin ^{ 2 }{ \theta } \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) +\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) } \)
= \(\frac { \cos ^{ 2 }{ \theta } -\sin ^{ 2 }{ \theta \cos ^{ 4 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta -\sin ^{ 4 }{ \theta \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } } } } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta \cos ^{ 2 }{ \theta \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta \cos ^{ 2 }{ \theta } } \right) } } } \)
= \(\frac { 1-\left( \sin ^{ 2 }{ \theta \cos ^{ 4 }{ \theta } +\sin ^{ 4 }{ \theta \cos ^{ 2 }{ \theta } } } \right) +\sin ^{ 2 }{ \theta \cos ^{ 2 }{ \theta } } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta \cos ^{ 2 }{ \theta } } \right) } \)
= \(\frac { 1-\sin ^{ 2 }{ \theta \cos ^{ 2 }{ \theta } \left( \cos ^{ 2 }{ \theta } +\sin ^{ 2 }{ \theta } \right) +\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } } }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta \cos ^{ 2 }{ \theta } } \right) } \)
= \(\frac { \left[ 1-\left( \sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) \left( 1 \right) +\left( \sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) \right] }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta \cos ^{ 2 }{ \theta } } \right) } \)
= \(\frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } \right) } =\frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } } \times \frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ \theta } } \times \frac { 1 }{ 1-\sin ^{ 2 }{ \theta } \cos ^{ 2 }{ \theta } } \) = x × y × z
∴ x + y + z = xyz எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

x - அச்சில் நேரத்தை வினாடியிலும்
y - அச்சில் தொலைவை மீட்டரிலும் குறிக்கின்றது என்க.
தொடர்வண்டி இயந்திரம் ஆதிப்புள்ளி O-ல் உள்ளது என்க. எனவே தொடர் வண்டியின் நீளம் 560 மீ. y -அச்சின் குறை வெட்டுத்துண்டாகும்.
எனவே, b =-560
தொடர்வண்டியின் இயக்கத்தின் சீரான வேகம் 12.5 மீ/வி என்பதைச் சாய்வாகக் கருதலாம்.
m =12.5 
சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு கொடுக்கப்பட்டால் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
y= mx + b
(i) m = 12.5 மற்றும் b = -560 என்பதால் தொடர்வண்டியின் இயக்கச் சமன்பாடு
y =12.5x -560
(ii) பாலத்தின் எதிர்ப்புற முனையைத் தொடர்வண்டியின் இயந்திரம் தொடும் நேரம் y = 2065 மற்றும் b = 0
2065 = 12.5x
x = 165.2 வினாடிகள்
(iii) தொடர்வண்டியின் கடைசி பெட்டியானது பாலத்தின் தொடக்க முனையை அடையும்போது
y = 0 ⇒ = 12.5x – 560
எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம், x = 44.8 வினாடிகள்
(iv) தொடர்வண்டி பாம்பன் பாலத்தைக் கடந்து செல்வதற்காக எடுத்துக்கொண்ட நேரம்
y = 2065 ⇒ 2065 =12.5x - 560
x = 210 வினாடிகள்

கொடுக்கப்பட்ட தொடரின் n ஆவது உறுப்பு a_n என்க.அதனால்,\({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+5n+6 } \) பகுதி பின்னத்தை பயன்படுத்தி \({ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n+2 } -\frac { 1 }{ n+3 } \) என அறியலாம்
இந்த தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் s_n என்க
\({ s }_{ n }={ a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+...+{ a }_{ n }=\left( \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 5 } -\frac { 1 }{ 6 } \right) +..+\left( \frac { 1 }{ n+2 } -\frac { 1 }{ n+3 } \right) =\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ n+3 } \)
n ஆனது முடிவிலியை நோக்கி செல்லும்போது \(\frac { 1 }{ n+3 } \) ஆனது பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்லும். எனவே,\(\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ n+3 } \rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \) அல்லது \({ s }_{ n }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \)எனலாம். அதாவது \(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+5n+6 } } ={1\over 3}\) 

ஒருவன் 5 வது  தேர்வில் மதிப்பெண்கள் x என்க.
\(\frac { 84+87+95+91+x }{ 5 } \ge 90\)
\(\Rightarrow \frac { 357+x }{ 5 } \ge 90\)
இருபுறமும் 5ஆல் பெருக்க 
\(\Rightarrow 357+x\ge 450\)
இருபுறமும் 357 ஐ கழிக்க
\(x\ge 450-357\)
\(x\ge 93\)
\(\therefore \) அவர் A கிரேடு வாங்க 93 மதிப்பெண்களை குறைந்தபட்சமாக பெற்றிருக்க வேண்டும். 

P(A) = 0.22, P(B) = 0.38, P(C) = 0.43, P(D) = 0.34
P(A) = 0.22 ≥ 0, P(B) = 0.38 ≥ , P(C) = 0.16 ≥ 0 மற்றும் P(D) = 0.34 ≥ 0 மேலும் 
P(S) = 0.22 + 0.38 + 0.16 + 0.34 = 1.1 ≠ 1
∴ நிகழ்தகவு சாத்தியமில்லை.

x-ஐப் பொறுத்து உட்படு வகைக்கெழுவின்படி
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\frac { a\quad \cos { t } }{ -a\sin { t } } =-\frac { \cos { t } }{ \sin { t } } \),
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } =\frac { d }{ dx } \left( \frac { dy }{ dx } \right) \)
\(=\frac { d }{ dx } \left( \frac { -\cos { t } }{ \sin { t } } \right) \)
\(=\frac { d }{ dt } \left( \frac { -\cos { t } }{ \sin { t } } \right) \frac { dt }{ dx } =-\left[ -{ cosec }^{ 2 }t \right] \times \frac { 1 }{ { x }^{ ' }(t) } \)
\(={ cosec }^{ 2 }t\times \frac { 1 }{ -a\sin { t } } \)
\(=-\frac { { cosec }^{ 3 }t }{ a } \)

\(\vec { a } =5\hat { i } +3\hat { j } +4\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =6\hat { i } -8\hat { j } -\hat { k } \) என்க. 
இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\theta \) என்க . எனவே ,
\(\cos { \theta } =\frac { \vec { a } .\vec { b } }{ \left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| } =\frac { 30-24-4 }{ \sqrt { 50 } \sqrt { 101 } } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 5\sqrt { 101 } } \)
\( \Rightarrow \theta =\cos ^{ -1 }{ \left[ \frac { \sqrt { 2 } }{ 5\sqrt { 101 } } \right] } \)
 

இரண்டு அணிகளும் சம அணிகள் என்பதால், அவற்றின் ஒத்த உறுப்புகளும் சமம். எனவே, 3x+4y=2,x-2y=4,a+b=5, 2a-b=-5 இச்சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண, x=2,y=-1,a=0,b=5 எனக் கிடைக்கும் .

பலகோணத்தின் மூலைவிட்டங்கள்  = 90

\(\frac { n\left( n-3 \right) }{ 2 } =90\)
n² - 3n = 180
n² - 3n - 180 = 0
(n -15) (n + 12) = 0 \(\Rightarrow\) n = 15, -12
\(\therefore \) பக்கங்கள்  - 12 ஆக இருக்க முடியாது. 
\(\therefore \)  பக்கங்களின் எண்ணிக்கை 15 ஆகும்      

L.H.S=\(\frac { \left( \cos\theta -\cos3\theta \right) \left( \sin8\theta -\sin2\theta \right) }{ \left( \sin5\theta -\sin\theta \right) \left( \cos4\theta -\cos6\theta \right) } \)
= \(\frac { 2\sin\left( \frac { \theta +3\theta }{ 2 } \right) \sin\left( \frac { 3\theta -\theta }{ 2 } \right) .2\sin\left( \frac { 8\theta +2\theta }{ 2 } \right) \cos\left( \frac { 8\theta -2\theta }{ 2 } \right) }{ 2\cos\left( \frac { 5\theta +2\theta }{ 2 } \right) \sin\left( \frac { 5\theta -\theta }{ 2 } \right) .2\sin\left( \frac { 4\theta +6\theta }{ 2 } \right) \sin\left( \frac { 6\theta -4\theta }{ 2 } \right) } \)

நேப்பியரின் சூத்திரத்தின் படி
\(\tan { \left( \frac { A-B }{ 2 } \right) } =\frac { a-b }{ b-c } \cot { \frac { C }{ 2 } } =\frac { \left( \sqrt { 3 } +1 \right) -\left( \sqrt { 3 } -1 \right) }{ \left( \sqrt { 3 } +1 \right) +\left( \sqrt { 3 } +1 \right) } \cot { \frac { { 60 }^{ 0 } }{ 2 } } \)
= \(\frac { 2 }{ 2\sqrt { 3 } } \cot { { 30 }^{ 0 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \times \sqrt { 3 } \)  = 1
∴ \(\frac { A-B }{ 2 } \) = 45⁰ ⇒ A  - B = 90⁰  .....(1)
A + B = 180⁰ - C = 180⁰ - 60⁰ = 120⁰ .....(2)
(1) + (2)லிருந்து   ⇒ A - B = 90
                                   A + B = 120
                                  ___________
                                  2A = 210 ⇒ 0
0 என (2) ல் பிரதியிட 
B = 120 - 105 = 15⁰
சைன் விதிப்படி
\(\frac { C }{ \sin { C } } =\frac { a }{ \sin { A } } \Rightarrow C=\frac { a\sin { C } }{ \sin { A } } \)
C = \(\frac { \left( \sqrt { 3 } +1 \right) \sin { { 60 }^{ 0 } } }{ \sin { { 105 }^{ 0 } } } =\frac { \left( \sqrt { 3 } +1 \right) \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ 2\sqrt { 2 } } } =\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \times 2\sqrt { 2 } \)
∴ 0, 0, C = \(\sqrt { 6 } \)

1 - 2 - cos x இன் மதிப்பு 0 ஆக அமையும் x மதிப்புகள் தவிர மற்ற அனைத்து x ∈ R- க்கு f(x) வரையறுக்கப்படும். அதாவது  \(\cos\ x={1\over2}\) -ஐ பூர்த்தி செய்யும் x -ஐ தவிர மற்ற மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படும். வேறு வகையில் கூறினால் \(x=2n\pi\pm{\pi\over3},n\in Z\)என்பதைத் தவிரப் பிற மதிப்புகளுக்கு f(x) வரையறுக்கப்படும். எனவே சார்பகம் \(R-\left\{2n\pi\pm{\pi\over3}\right\},n\in Z\) ஆகும்

\(\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ (9x) }^{ 2 } } } dx=\frac { 1 }{ 9 } { \sin }^{ -1 }(9x)+c } \)

\(​​y=u+v\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { du }{ dx } +\frac { dv }{ dx } \).......(1)
\(u=x ^{logx}\) என்க.
இரு புறமும் மடக்கை எடுக்க
log u=log x^logx =logx.logx=(logx)² 
\(\frac { 1 }{ u } \frac { du }{ dx } =2logx\times \frac { 1 }{ x } =\frac { 2logx }{ x } \)
\(\Rightarrow \frac { du }{ dx } =u\left( \frac { 2logx }{ x } \right) =x^{ logx }\left( \frac { 2logx }{ x } \right) \)
மற்றும் v=(log x)^x
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்க 
log v=log((log x)^x)=x.log(logx)
\(\frac { 1 }{ v } \frac { dv }{ dx } =x.\frac { d }{ dx } (log(logx))+loglog(x).\times \frac { d }{ dx } (1)\)

\(=\frac { 1 }{ logx } +log(logx)\)
\(\Rightarrow \frac { dv }{ dx } =v\left[ \frac { 1 }{ logx } +log(logx) \right] \)
\(=(logx)^{ x }\left( \frac { 1 }{ logx } +log(logx) \right) \)..(3)
(2),(3)ஐ (1)-ல் பிரதியிட 
\(\frac { dy }{ dx } =x^{ logx }\left( \frac { 2logx }{ x } \right) +(logx)^{ x }\left[ \frac { 1 }{ logx } +log(logx) \right] \)

இருபக்கமும் மடக்கையை எடுக்க,
\(\log { y } =\frac { 1 }{ 2 } \log { ({ x }^{ 2 }+4) } +2\log { (\sin { x } ) } +x\log { (2) } \) எனக் கிடைக்கிறது.
இதிலிருந்து  \(\frac { { y }^{ ' } }{ y } =\frac { 1 }{ 2 } \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+4 } +2.\frac { \cos { x } }{ \sin { x } } +\log { 2 } \)
\(=\frac { x }{ { x }^{ 2 }+4 } +2\cot { x } +\log { 2 } \)
எனவே, \({ y }^{ ' }=\frac { dy }{ dx } =y\left( \frac { x }{ { x }^{ 2 }+4 } +2\cot { x } +\log { 2 } \right) .\)

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \frac { \tan { 2x } }{ { x } } } } \)\(=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\ 2x }{ xcos\ 2x } } \)

\(=2\lim _{ 2x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\ 2x }{ 2x } \times \frac { 1 }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \ cos\ 2x } \right] } } \)
\(=2\times 1\times \frac { 1 }{ 1 } =2\) \(\therefore \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { tan\ 2x }{ x } } =2\)

 A  = \(\begin{bmatrix} 7 & 3 \\ -2 & a \end{bmatrix}\)
|A| = \(\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ -2 & a \end{vmatrix}\) = 0 எனில் 
7a  + 6 = 0
7a  = -6
a  = \(-\frac { 6 }{ 7 } \)

 = (3 x 2 x 1) x ( 4 x 3 x 2 x 1)
= 6 x 24 = 144