தானாக கீழே விழும் பொருள், தரையை அடையும் போது பெற்றிருக்கும் திசை வேகம்
\(v=\sqrt{2 g h}\)
அதாவது \( v_1=\sqrt{2 g h_1}\) மற்றும்
\(v_2=\sqrt{2 g h_2}\)
எனவே, \(\frac{m_1 v_1}{m_2 v_2}=\frac{m_1 \sqrt{h_1}}{m_2 \sqrt{h_2}}=\frac{m_1}{m_2} \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}\)

திருப்புவிசை = விசை x செங்குத்து தொ்லைவு
\(\tau\) = F x r
திருப்பு விசையின் பரிமாணம்
\(=\left[M L T^{-2}\right][\mathrm{L}]=M L^2 T^{-2}\)
ஆற்றல்
= விசை x இடப்பெயர்ச்சி ஆற்றலின் பரிமாணம் 
\(=\left[M L T^{-2}\right][L]=M L^2 T^{-2}\)

W  = 20 N \(\triangle \)l  = 1 x  10^-4 m 
\(\therefore \) \(Y=\frac { F }{ A } .\frac { l }{ \triangle l } =\frac { w }{ A } .\frac { l }{ \triangle l } \)
 = \(\frac { 20 }{ { 10 }^{ -6 } } \times \frac { 1 }{ 1\times { 10 }^{ -4 } } \)
= 2 x 10¹¹Nm^-2 
 

1. உயர் வெப்பநிலை வளைகோட்டைக் காண்பதற்கு படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு X அச்சுக்கு இணையாக கிடைத்தளக் கோட்டினை வரைய வேண்டும். இது மாறா அழுத்ததிற்கான கோடு ஆகும்.
2.மாறா, அழுத்தக் கோட்டினை வெட்டும் செங்குத்துக் கோடுகளுக்கான பருமங்கள் V₁ மற்றும் V₂ ஆகியவை, ஒரே அழுத்தத்தில் உள்ள பருமன்களைக் குறிக்கின்றன.

3.மாறா அழுத்தத்தில் அதிக பருமனுள்ள வாயுவில் வெப்பநிலையும் அதிகமாக இருக்கும். படத்திலிருந்து V₁ > V₂ எனவே, T₁>T₂ என அறியலாம். பொதுவாக வெப்பநிலை குறைவாக உள்ள வளைகோடுகள் ஆதிப்புள்ளிக்கு அருகே அமையும்.

(i) நிறை Mயை விட்டு விலகிச் செல்ல ஈர்ப்புப்பபுலத்தின்  \(\vec {E }\)வலிமை குறையும். தொலைவு r அதிகரிக்கும் போது \(\vec {E }\)யின் எண்மதிப்பு குறையும்.
(ii) புள்ளிகள் P , Q  மற்றும் R ல் ஈர்ப்பு புலமானது \(\left| { \vec { E } }_{ p } \right| <\left| { \vec { E } }_{ Q } \right| \left| { <\vec { E } }_{ R } \right| \) என எழுதலாம். புள்ளிகள் P, Q மற்றும் R க்கான விசை வெக்டர்களின் நீளங்களை சாப்பிடுவதன் மூலம் எதனை புரிந்து கொள்ளலாம். 

(iii)ஈர்ப்பியல் விசையை கணக்கிடுவதற்காக "ஈர்ப்புப் புலம்" என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. பின்பு ஈர்ப்புப்புலம் ஒரு இயற்பியல் அளவு என்றும் அது வெளியில் ஆற்றலையும் உந்தத்தையும் பெற்றுள்ளது என்றும் கண்டறியப்பட்டது. இன்னும் சொல்லப்போனால் மின்னுட்டங்கள் இயங்குகின்ற முறையை புரிந்து கொள்ள புலக்கொள்கையானது தவிர்க்க முடியாத ஒன்றாக விளங்குகிறது. ஈர்ப்புப் புலத்தின் அலகு நியூட்டன்/கிலோகிராம் (N/kg) அல்லது ms^-2.

ஆற்றலானது நிறை மற்றும் ஒளியின் திசைவேகத்தைப் பொறுத்தது எனில்
E \(\alpha \) m^a c^b
E = km^a c^b இங்கு k என்பது மாறிலி
ஆற்றலின் பரிமாண வாய்ப்பாடு E = [ML² T²]
நிறையின் பரிமாண வாய்ப்படு = [M]
திசைவேகத்தின் பரிமாண வாய்ப்பாடு
c = [LT^-1]
பரிமாண மதிப்புகளை சமன்பாட்டில் பிரதியிட
[ML²T²] = K [M]^a [LT ¹]^b
அடுக்குகளை இருபுறமும் சமன்செய்ய,
a = 1
b = 2
E = k.mc²
இங்குமாறிலி k = 1
E = mc²
இதுவே நிறை ஆற்றல் சமன்பாடாகும்.

தடகள வீரர் கடந்த தொலைவு
= 3 × ஓடுபாதையின் சுற்றளவு
\(=3\times2\pi\times50\ m=300\pi\ m\) (அல்லது)
கடந்த தொலைவு \(\approx300\times3.14\approx942\) m
தடகளவீரர் அடைந்த இடப்பெயர்ச்சி சுழி. ஏனெனில் தடகள வீரரின் தொடக்கநிலை மற்றும் இறுதிநிலை ஆகியவை ஒரே புள்ளியில் உள்ளன.

சுருள்வில் மாறிலி K = 0.1 N m^-1
இடப்பெயர்ச்சி x = 25 cm = 0.25 m
(a) சுருள்வில்லில் சேமிக்கப்பட்ட நிலை ஆற்றல்
\(U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \times 0.1\times ({ 0.25 })^{ 2 }=0.0031J\)
b) சுருள்வில் விசை  \(\vec { F } \) ஆல் செய்யப்பட்ட வேலை W_s மதிப்பு
\(\mathrm{W}_{\mathrm{s}}=\int_{\mathrm{n}}^x \overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{s}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{r}}=\int_n^x(-\mathrm{k} x \hat{\mathrm{i}}) \cdot(\mathrm{d} x \hat{\mathrm{i}})\)
சுருள்வில்விசை \(\vec { F } _s\) எதிர்க்குறி x அச்சின் திசையில் செயல்படுகிறது. அதேசமயம் நீட்சியானது நேர்க்குறி x அச்சின் திசையில் செயல்படுகிறது
\(\mathrm{W}_{\mathrm{s}}=\int_0^x(-\mathrm{k} x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2} \mathrm{k} x^2 \)
\(\mathrm{~W}_{\mathrm{s}}=-\frac{1}{2} \times 0.1 \times(0.25)^2=-0.0031 \mathrm{~J}\)
வெளிப்புற அமைப்பால் செய்யப்பட்ட வேலையின் மூலம் நிலை ஆற்றலை வரையறுக்கலாம். நிலை ஆற்றலில் உள்ள நேர்க்குறி, ஆற்றலானது அமைப்பிலிருந்து பொருளுக்கு மாற்றப்படுவதைக் குறிக்கிறது. ஆனால் இந்நேர்வில் மீள் விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்க்குறி மதிப்புடையது. ஏனென்றால் மீள்விசையானது இடப்பெயர்ச்சியின் திசைக்கு எதிர்த்திசையில் செயல்படுகிறது
(c) அமுக்கத்தின் போதும் பொருளில்  அதே அளவு நிலை ஆற்றல் சேமிக்கப்படுகிறது.
\(U=\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=0.0031J\)
அமுக்கப்படும் போதும் சுருள்வில் மீள் விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை
\(W_s=\int_o^x \vec{F}_s \cdot \vec{d} r=\int_o^x(k x \hat{i}) \cdot(-d x \hat{i})\)
அமுக்கப்படும் நேர்வில் சுருள்வில் மீள்விசை நேர்க்குறி x அச்சை நோக்கி செயல்படுகிறது. மற்றும் இடப்பெயர்ச்சியானது எதிர்க்குறி x அச்சின் திசையில் உள்ளது.
\({ W }_{ s }=\int _{ 0 }^{ x }{ (-kx)dx=-\frac { 1 }{ 2 } { kx }^{ 2 }=-0. 0031 J} \)

1. பொருத்தமான நிலைமக்குறிப்பாயம் ஒன்றைக் கருத வேண்டும் பொதுவாக புவியினை ஒரு நிலைமக்குறிப்பாயமாகக் கருதலாம்.
2. நியூட்டன் விதிகளைப் பயன்படுத்தத் தேவையான அமைப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். அவ்வமைப்பானது ஒரு பொருள் அமைப்பாகவோ அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பொருள்கள் சேர்ந்த அமைப்பாகவோ இருக்கலாம்.
3. பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளைக் கண்டறிந்து அவற்றைக் கொண்டு விசைப்படம் வரைய வேண்டும். பின்னர் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை பயன்படுத்த வேண்டும். இடப்பக்கம் பொருளின் மீது செயல்படும் விசைகளை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும். வலப்பக்கம் பொருளின் நிறை மாற்றம் அப்பொருள் முடுக்கம் இவற்றின் பெருக்கல்பலனை வெக்டர் வடிவில் குறிப்பிட வேண்டும். ஏனெனில் முடுக்கம் ஒரு வெக்டர் அளவாகும்.

4. முடுக்கம் கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் விசையைக் கண்டறியலாம். அதே போல் விசை கொடுக்கப்பட்டிருப்பின் பொருளின் முடுக்கத்தைக் காணலாம்.
மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கருத்துகளின்படி படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு தரையில் ஒரு நிலமைக் குறிப்பாயத்தைக் கருத வேண்டும்.

மாங்காயின் மீது பின்வரும் இரண்டு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
i) மாங்காயின் மீது எதிர்க்குறி y அச்சுத்திசையில் கீழ் நோக்கி செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை, நேர்க்குறி y அச்சுத்திசையில் செயல்படும் மாங்காயைத் தாங்கியுள்ள காம்பு, மாங்காயின் மீது செலுத்தும் மேல் நோக்கிய இழுவிசை.
மாங்காயின் விசைப்படம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

\(\overrightarrow { { F }_{ g } } mg\left( -\hat { j } \right) =-mg\hat { j } \)
இங்கு mg என்பது புவியீர்ப்பு விசையின் எண்மதிப்பு மற்றும் \(\left( -\hat { j } \right) \) என்பதை எதிர்குறி y அச்சுத்திசையைக் குறிக்கும் ஓரலகுவெக்டர்.
\(\vec{T}=T \hat{j}\)
இங்கு T என்பது மாங்காயின் மீது செயல்படும் இழுவிசை மற்றும் \((\hat{j})\) என்பது நேர்குறி y அச்சுத்திசையைக் குறிக்கும் ஓரலகு வெக்டர்
\(\vec{F}_{\text {net }}=\vec{F}_g+\vec{T }=-mg \hat{j }+T \hat{j}=(T-m g) \hat{j}\)
நியூட்டன் இரண்டாம் விதிப்படி, \(\vec{F}_{n e t}=m \vec{a}\)
நம்மைப்பொருத்து (நிலைமக்குறிப்பாயத்தை பொருத்து) மாங்காய் ஓய்வு நிலையில் உள்ளது. எனவே அதன் முடுக்கம் சுழி \((\vec{a}=0)\)
எனவே, \(\vec{F}_{n e t}=m \vec{a}=0\)
\((T-m g) \hat{j}=0\)
மேமே உள்ள சமன்பாட்டின் இரண்டுபக்கங்களின் வெக்டர் கூறுகளை ஒப்பிடும்போது T - mg = 0 எனக்கிடைக்கும்.
எனவே, மாங்காய்க் காம்பின் இழுவிசை T = mg
மாங்காயின் நிறை m = 400 g மேலும் \(\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}\)
எனவே மாங்கையின் மீது செயல்படும் இழுவிசை T = 0.4 x 9.8 = 3.92 N.

g =\(\frac { 4{ \pi }^{ 2 } }{ { T }_{ p }^{ 2 } } l=\frac { 4{ \pi }^{ 2 } }{ (2.00)^{ 2 } } \)
=\(\frac { 4\times (3.14)^{ 2 } }{ 4.00s^{ 2 } } \times 1m=\frac { 39.4m }{ 4s^{ 2 } } \)
=9.85 m/s².

விசை \(\overrightarrow { F } =(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )N\)
இடப்பெயர்ச்சி \(\overrightarrow { s } =4\hat { x } \)
செலுத்தும் விசையின் திசையில் இருப்பதால் \(\theta =0°\)
\(w=\vec { F } .\vec { S } =(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } ).(4\hat { i } )\)
= 8
விசையால் செய்யப்பட்ட வேலை w = 8 J.

வெப்ப இயக்கவியல் அமைப்பு ஒரு நிலையிலிருந்து தொடர்ச்சியாக மாற்றமடைந்து இறுதியில் தனது தொடக்க நிலையை மீண்டும் அடையும், அமைப்பு தனது தொடக்க நிலையையே மீண்டும் அடைவதால் அக ஆற்றலில் ஏற்பட்ட மாறுபாடு சுழியாகும், சுழற்சி நிகழ்வில் அமைப்பிற்குள் வெப்பம் செல்லும், அதே போன்று அமைப்பிலிருந்தும் வெப்பம் வெளியேறும்.

y ஆனது x அச்சைப் பொறுத்து நேர்க்கோட்டில் இயக்கம். இது x அச்சைப் பொறுத்து நேர்க்கோட்டில் மாறுபடும்.

கோண உந்தம் மாறாது, சூரியனைச் சுற்றி கோள்கள் சுற்றி வரும்போது ஈர்ப்பு விசையின் இயங்கு அச்சானது, பாதையின் அச்சுடன் பொருத்தும்போது புறத்திருப்பு விசை சுழியாகும்.
\(\tau=\frac{d L}{d t}\) திருப்புவிசை \(\tau\) சுழியாகும்போது கோண உந்தம் (L) மாறாது. 

மேசையின் மீது வேகாத முட்டையை சுற்றும் போது அதன் வேகம் வேகவைத்த முட்டையை சுற்றும் வேகத்தைவிட குறைவு.
ஏனெனில் முட்டையின் உள்ளே உள்ள திரவம் சுற்றும் வேகத்தை குறைகிறது.
எனவே அதிக வேகத்துடன் சுற்றும் முட்டை வேக வைத்தது குறைவான வேகத்துடன் சுற்றும் முட்டை வேக வைக்காதது.

சுற்றுச்சூழலும், காலத்தில் மாற்றத்தினாலும் பிளாட்டின் -இரிடிய உருளை மிகக் குறைந்த அளவே பாதிக்கப்படும்.

பெரும உயரம் \(= \frac{u^2 \sin ^2 \theta}{2 g} \)
நெடுக்கம் \( \mathrm{R} =\frac{u^2 \sin 2 \theta}{g} \)
R = 4 x பெரும உயரம் 
\(\therefore \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g} =\frac{4 \times u^2 \sin ^2 \theta}{2 g}  \)
\(\sin 2 \theta =2 \sin ^2 \theta  \)
\(2 \sin \theta \cos \theta =2 \sin ^2 \theta  \)
\(\cos \theta =\sin \theta  \)
\(\therefore \theta =45^{\circ}\)

ஆம்.M > 1 உராய்வுக் குணகம் ஒன்றை விட அதிகமாக இருக்கும் போது நிலைமம் அதிகரிக்கும்.

P1, P2 என்பன இரு கோள வடிவ சோப்பு குமிழிகளின்  உள்ளே அழுத்தங்கள் 
\({ P }_{ 1 }-{ P }_{ 2 }=\frac { 4T }{ { r }_{ 1 } } \Rightarrow { P }_{ 1 }=P+\frac { 4T }{ { r }_{ 1 } } \)
இதைப்போலவே   
\({ P }_{ 1 }-{ P }=\frac { 4T }{ { r }_{ 2 } } \Rightarrow { P }_{ 2 }=P+\frac { 4T }{ { r }_{ 2 } } \)
குமிழிகள் இணையும் போது  
P₁V₁ + P₂V₂ = PV
புதிய குமிழியின் உள்ளே அழுத்தம்   
\(P=P+\frac { 4T }{ r } \)
P, P₁, P₂  இல்  பிரதியிட 
P₁V₁ + P₂V₂ = PV
\(\left( P+\frac { 4T }{ { r }_{ 1 } } \right) { V }_{ 1 }+\left( P+\frac { 4T }{ { r }_{ 2 } } \right) { V }_{ 2 }=\left( P+\frac { 4T }{ { r } } \right) V\)
\(\left( P+\frac { 4T }{ { r }_{ 1 } } \right) \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 1 }^{ 3 }+\left( P+\frac { 4T }{ { r }_{ 2 } } \right) \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 2 }^{ 3 }\)
= \(\left( P+\frac { 4T }{ { r } } \right) \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }\)
\(\frac { 4 }{ 3 } \pi P\left( { r }_{ 1 }^{ 3 }+{ r }_{ 1 }^{ 3 }-{ r }^{ 3 } \right) +\frac { 16\pi T }{ 3 } \left( \frac { { r }_{ 1 }^{ 3 } }{ { r }_{ 1 } } +\frac { { r }_{ 2 }^{ 3 } }{ { r }_{ 2 } } -\frac { { r }^{ 3 } }{ { r }_{ 1 } } \right) =0\)
\(\frac { 4 }{ 3 } \pi P\left( { r }_{ 1 }^{ 3 }+{ r }_{ 1 }^{ 3 }-{ r }^{ 3 } \right) +\frac { 16\pi T }{ 3 } \left( { r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }^{ 2 }-{ r }^{ 2 } \right) =0\)....... (2)
பருமனில் கொடுக்கப்பட்ட மாற்றம் 
\(V=\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 1 }^{ 3 }+\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 2 }^{ 3 }-\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }\) ......... (3)
பரப்பில் மாற்றம் 
\(V=4\pi { r }_{ 1 }^{ 2 }+{ 4\pi r }_{ 1 }^{ 2 }-4\pi r^{ 2 }\).......(4)
சமன் (3), (4) ஐ சமன் (2)ல் பிரதியிட 
\(p\left( \frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 1 }^{ 3 }+\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }_{ 2 }^{ 3 }-\frac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 } \right) +\frac { 4 }{ 3 } \left( 4\pi { r }_{ 1 }^{ 2 }+4\pi { r }_{ 2 }^{ 2 }-4{ \pi { r } }^{ 2 } \right) =0\)
\(P(V)+\frac { 4T }{ 3 } (A)=0\)
\(PV+\frac { 4T }{ 3 } A=0\)
3PV + 4TA = 0
\(\therefore\)3PV + 4TA = 0
 

(i) தனி ஊசல் என்பது சீரலைவு இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் ஒரு இயந்திரவியல் அமைப்பாகும். நீளமான கயிற்றில் (நிறையற்ற மீட்சித் தன்மையற்றதாக கருதுக.) m நிறை கொண்ட ஊசல்குண்டு ஒரு முனையில் தொங்கவிடப்பட்ட நிலையில் மாரு முனையானது தொங்கியில் பொருத்தப்பட்டுள்ளது.

(ii) சமநிலையில், தனி ஊசல் அலைவு றாமல் செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி தொங்கிக் கொண்டிருக்கும். இந்நிலை சமநிலைப்புள்ளி அல்லது நாடுநிலைப்புள்ளி எனப்படும். தனி ஊசலானது சமநிலைப் புள்ளியிலிருந்து சிறிய இடப்பெயர்ச்சிக்கு உட்படுத்தப்பட்டு விடப்படும் போது, ஊசல் குண்டானது முன்னும் பின்னும் இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும்.
(iii) தனி ஊசலின் நீளம் l என்பது தொங்கிவிடப்பட்ட புள்ளிக்கு ஊசல் குண்டின் ஈர்ப்பு மையத்திற்கு இடைப்பட்ட தொலைவு ஆகும். ஊசல் குண்டின் மீது எந்த ஒரு இடம் பெயர்ந்த நிலையிலும் இரு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
(a) ஈர்ப்பியல் விசை \(\vec { F } =m\vec { g } \) செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி செயல்படுகிறது.
(b) தொங்கிவிடப்பட்ட புள்ளியை நோக்கி கயிற்றின் வழியாக செயல்படும் இழுவிசை \(\vec { T } \).
ஈர்ப்பியல் விசையின் இருகூறுகளாவன
(a) செங்குத்துகூறு: கயிற்றின் வழியாக இழுவிசைக்கு எதிர்திசையில் செயல்படும் கூறு. F_as=mgcosθ
(b) தொடுவியல் கூறு: கயிற்றிற்கு செங்குத்தாக உள்ள கூறு அதாவது வில்லின் தொடுகோட்டு திசையில் உள்ள கூறு F_ps=mgsinθ
எனவே, கயிற்றின் வழியே விசையின் செங்குத்துக்கூறு
T-W_as=\(m\frac { { v }^{ 2 } }{ l } \)
இங்கு v என்பது ஊசல் குண்டின் வேகம்
T-mgcosθ=\(m\frac { { v }^{ 2 } }{ l } \)
(iv) ஈர்ப்பியல் விசையின் தொடுகோட்டு கூறானது எப்பொழுதும் சமநிலை நோக்கியே அமையும். அதாவது ஈர்ப்பியல் விசையானது, ஊசல் குண்டின் சமநிலைப்புள்ளியிலிருந்து அடைந்த இடப்பெயர்ச்சியின் எதிர்திசையில் அமையும். இந்தொடுவியல் விசையே மீள் விசையாகும். தொடுவியல் விசையை நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியின் மூலம் நாம் பெறலாம்.

(C + \(\Delta\)C) = (3.0 \(\pm \) 0.1) \(\mu\)F
(V+\(\Delta\)V) = (18 \(\pm \) 0.4) V
Q = CV
Q = 3.0 \(\times\) 10^-6 \(\times\) 18 = 54 \(\times\) 10^-6 C
C இல் உள்ள சதவீதப் பிழை =\(\frac { \Delta C }{ C } \times 100\)
\(=\frac { 0.1 }{ 3 } \times 100=3.3\)%
V இல் உள்ள சதவீதப் பிழை = \(\frac { \Delta V }{ V } \times 100\)
\(=\frac { 0.4 }{ 18 } \times 100=2.2\)%
Q இல் உள்ள சதவீதப் பிழை = C இல் உள்ள சதவீதப் பிழை + V இல் உள்ள சதவீதப் பிழை
= 3.3% + 2.2% = 5.5%
\(\therefore \) மின்னூட்டம் Q = (54 \(\times\) 10^-6 \(\pm \) 5.5%) C   

(i) m நிறையுள்ள ஒரு பொருள் நிறையற்ற, நீட்சித் தன்மையற்ற நூலின் ஒரு முனையில் இணைக்கப்படுகிறது. மேலும், நூலின் மறுமுனையானது நிலையாக இருக்குமாறு பொருத்தப்பட்டுள்ளது.
(ii) அந்தப்பொருள் செங்குத்து த் தளத்தில் அமைந்த வட்ட இயக்கத்தை மேற்கொள்வதாகக் கருதுவோம். நூலின் நீளமானது வட்டப்பாதையின் ஆரமாக \(\vec {r}\)  உள்ளது.படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு பொருளின் இயக்கத்தைப் பற்றி அறிய தனித்த பொருளின் விசைப்படம் (Free body diagram) ஒன்றைக் கருதுவோம்.
(iii) இங்கு நிலை வெக்டர் \(\vec {r}\)ஆனது செங்குத்தான கீழ்நோக்கிய திசையுடன்  \(\theta \)கோணத்தை ஏற்படுத்து படத்தில் உள்ளவாறு உடனடி திசைவேகத்தைக் கொண்டுள்ளன. பொருளின் மீது இரு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
1.கீழ் நோக்கி செயல்படும் புவிஈர்ப்பு விசை
2. நூலின் வழியே செயல்படும் இழுவிசை
(iv) பொருளின் மீது நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த,
தொடுகோட்டுத் திசையில்
mg sin\(\theta \) =m a₁
mg sin\(\theta \) =-m \(\left( \frac { dv }{ dt } \right) \) ----------------(1)
இங்கு a_t =-m\(\left( \frac { dv }{ dt } \right) \) என்பது தொடுகோட்டுத் திசையில் எதிர் முடுக்கம் ஆகும்.
T-mg cos \(\theta \)=m a
T-mg cos\(\theta \)=\(\frac { m{ v }^{ 2 } }{ r } \)  ------------------(2)
இங்கு a_r =\(\frac { { v }^{ 2 } }{ r } \) என்பது மையநோக்கு முடுக்கம் ஆகும்.

(v) இயக்கத்தை நன்கு புரிந்து கொள்ளும் வகையில் வட்டத்தை A, B, C, து என்ற நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம். மேற்கண்ட இரு சமன்பாடுகளில் இருந்து கீழ்க்கண்டவாறு நான்கு முக்கிய கருத்துகளை புரிந்து கொள்ளலாம்.
(vi) பொருளானது அனைத்து  \(\theta \)மதிப்புகளுக்கும் (\(\theta =0^ {o}\)தவிர) தொடுகோட்டுத் திசையில் முடுக்கத்தை (g sin\(\theta \)) கொண்டிருக்கிறது. இந்த செங்குத்து வட்ட இயக்கம் ஒரு சீரான வட்ட இயக்கம் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது.
(vii) சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இல் இருந்து அறிந்து கொள்வது என்னவெனில் இயக்கத்தின் போது திசைவேகத்தின் எண் மதிப்பு மாறுவதால், நூலின் இழுவிசையும் மாறுகின்றது.
(viii) சமன்பாடு (2) T=mg cos\(\theta +\frac { m{ v }^{ 2 } }{ r } \)சுட்டிக்காட்டுவது வட்டத்தின் A மற்றும் D பகுதிகளில் (\(-\frac { \pi }{ 2 } <\theta <\frac { \pi }{ 2 } \)மற்றும் cos\(\theta \) நேரக்குறி) mg cos \(\theta \) எப்போதும் சுழியை வீட்டா அதிகமாகும்.எனவே திசைவேகம் சுழியானாலும் இழுவிசை சுழியாகாது.
(ix) சமன்பாடு (2) \(\frac { m{ v }^{ 2 } }{ r } \)=T=mg cos\(\theta \) மேலும் சுட்டிக்காட்டுவது வட்டத்தின் B மற்றும் C பகுதிகளில் (\(\frac { \pi }{ 2 } <\theta <\frac { 3\pi }{ 2 } \)மற்றும் cos\(\theta \) எதிர்க்குறி) சமன்பாட்டின் இரண்டாவது பகுதி(mg cos\(\theta \)) எப்போதும் சுழியைவிட அதிகமாகும். எனவே இழுவிசை சுழியானாலும் திசைவேகம் சுழியாகாது.

(i) வாயு மூலக்கூறுகள் ஒழுங்கற்ற முறையில் எல்லா திசைகளிலும் இயங்கிக் கொண்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு மூலக்கூறும் மற்ற மூலக்கூறுகளுடன் மோதலுற்று அவற்றின் மேகங்களைப் பரிமாறிக் கொள்கின்றன.
(ii) .v முதல் v + dv என்ற வேக எல்லைகளுக்குள் உள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையை மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் வேகப்பகிர்புச் சார்பினைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.
\({ N }_{ v }=4\pi N{ \left( \frac { m }{ 2\pi kT } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ v }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }\)
வேகப்பகிர்வு சார்பின் வரைபடம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

(iv) படத்திலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட கெல்வின் வெப்பநிலையில் குறைந்த வேகத்தைப் வெப்பநிலையில் குறைந்த வேகத்தைப் பெற்றுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை பரவளைய வடிவில் (v²) அதிகரித்து, மிகவும் சாத்தியமான வேகத்தை அடைந்தவுடன் அடுக்குகுறியீட்டு (exponentially) \({ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }\) மதிப்பில் குறையும் என்பதைத் தெளிவாக அறியலாம். மேலும் படத்தில் சராசரி இருமடிமூல வேகம் v_rms சராசரி வேகம் v மற்றும் மிகவும் சாத்தியமான வேகம் V_mp ஆகியவை சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளன. இவற்றிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட மூன்று வேகங்களில் vrms பெரும மதிப்பைப் பெற்றுள்ளதையும் அறியலாம். உதாரணமாக 50 ms^-1 முதல் 60 ms^-1 வரை வேகமதிப்புகளைப் பெற்றுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்பதற்கு
\(\int _{ 50 }^{ 60 }{ 4\pi N } { \left( \frac { m }{ 2\pi kT } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ v }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }dv =N \) (50 முதல் 60 ms^-1) எனத் தொகைப்படுத்த வேண்டும்.
(v) பொதுவாக v யிலிருந்து v + dv வரை வேக மதிப்புகளைப் பெற்றுள்ள மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்.
\(\int _{ v }^{ v+dv }{ 4\pi N } { \left( \frac { m }{ 2\pi kT } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }{ v }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { { mv }^{ 2 } }{ 2kT } }dv=N(v \ to \ v+dv)\)
வாயு மூலக்கூறுகளின் செயல்பாட்டை இவ்வரைபடத்தின் அடிப்படையில் நம்மால் அனுமானிக்க இயலும்.
வரைபடத்திற்குக் கீழே உள்ள பரப்பு, அமைப்பிலுள்ள வாயு மூலக்கூறுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கும்.
படத்தில் இருவேறு வெப்பநிலைகளில் உள்ள வாயு மூலக்கூறுகளின் வேகப்பகிர்வு, வரைபட வடிவில் காட்டப்பட்டுள்ளது. கெல்வின் வெப்பநிலை அதிகரிக்கும்போது வளைகோட்டின் உச்சி வலதுபக்கத்தை நோக்கி நகர்கின்றது. இது ஒவ்வொரு மூலக்கூறின் சராசரி வேகமும் அதிகரிப்பதைக் காட்டுகின்றது. ஆனால் வரைபடத்தின் பரப்பில் எவ்வித மாற்றமும் இல்லை. ஏனெனில் வரைபடத்தின் பரப்பு வாயு மூலக்கூறுகளின் மொத்த எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும்.

அழுத்தம் மாறா நிகழ்வு (Isobaric process) :
(i) இது மாறாத அழுத்தத்தில் ஏற்படும் ஒரு வெப்ப இயக்கவியல் நிகழ்வாகும். இந்நிகழ்வில் அழுத்தம் மாறிலியாக இருந்தாலும், வெப்பநிலை, பருமன் மற்றும் அக ஆற்றல் போன்றவை மாறிலிகள் அல்ல நல்லியல்பு வாயுச் சமன்பாட்டிலிருந்து
\(V=\left( \frac { \mu R }{ P } \right) T\)   ...(1)
Here \(\frac { \mu R }{ P } \) = மாறிலி
(ii) அழுத்தம் மாறா நிகழ்வில், கெல்வின் வெப்பநிலை பருமனுக்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும்.
V ∝ T (அழுத்தம் மாறா நிகழ்வு)  ...(2)
(iii) அழுத்தம் மாறா நிகழ்வில் V - T வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி வழியேச்செல்லும் ஓர் நேர்கோடாக அமையும் என்பதை மேற்கண்ட சமன்பாடு உணர்த்துகிறது. வாயு ஒன்று (V_i,T_i) என்ற நிலையிலிருந்து (V_f,Tf) என்ற நிலைக்கு மாறா அழுத்தத்தில் செல்லும்போது பின்வரும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.
\(\frac { { T }_{ f } }{ { V }_{ f } } =\frac { { T }_{ i } }{ { V }_{ i } } \)
(iv) அழுத்தம் மாறா நிகழ்விற்கான PV வரைபடம் பெரும அச்சுக்கு இணையாகச் செல்லும் ஓர் கிடைத்தளக் கோடாகும். பருமன் குறையும் அழுத்தம் மாறா நிகழ்வினை படம் (a) காட்டுகிறது.

பருமன் அதிகரிக்கும் அழுத்தம் மாறா நிகழ்வினை படம் (b) காட்டுகிறது.
அழுத்தம் மாறா நிகழ்வில் செய்யப்பட்ட வேலை:
வாயுவால் செய்யப்பட்ட வேலை
\(W=\int _{ { V }_{ i } }^{ { V }_{ r } }{ PdV } \)
\(W=P\int _{ { V }_{ i } }^{ { V }_{ r } }{ dV } \)
அழுத்தம் மாறா நிகழ்வில் அழுத்தம் ஓர் மாறிலியாகும் எனவே P தொகையீட்டிற்கு வெளியே உள்ளது.

W = P[V_f - V_i] = P∆V    ...(1)
(v) இங்கு, ∆V என்பது பருமனில் ஏற்பட்ட மாற்றத்தைக் குறிக்கிறது. ∆V எதிர்குரியாக இருந்தால் W எதிர்க்குறியாக இருக்கும். இது வாயுவின் மீது வேலை செய்யப்படுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. ∆V நேரக்குறியாக இருந்தால் W நேரக்குறியாகும். இது வாயுவால் வேலை செய்யப்படுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது.

நீரில் சோனார் அலைகளின் திசைவேகம் = 1500 m
கடலின் ஆழத்திலிருந்து அலையினால் எதிரொளிப்புப் பிறகு எடுத்துக் கொள்ளும் காலம் 
2t = 3.5s 
t = 1.75s 
தொலைவு (d) = ?
\(C=\frac { d }{ T } \) ⇒ 1500 x 1.75 = 2625
100 கி.மீ நகர்ந்தபின் அலையினால் எடுத்துக் கொண்ட காலம் = 2t = 3.5s 
t = \(\frac { 2 }{ 2 } \) = 1s d = ?
d = 1475.25 x 1 = 1475.25
உயரங்களுக்கிடையே வேறுபாடு = 2625 - 1475.25
= 1149.75 m

புவிபரப்பிலிருந்து h உயரத்தில் உள்ள நிறை m ஐ கருதுவோம். புவியின் ஈர்ப்பு விசையால் அப்பொருள் உணரும் முடுக்கம்.
\(g'=\frac { GM }{ { ({ R }_{ e }+h) }^{ 2 } } \)
\({ g }^{ ' }=\frac { GM }{ { R }^{ 2 }_{ e }{ \left( 1+\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) }^{ 2 } } \)
\(g'=\frac { GM }{ { R }_{ e }^{ 2 } } { \left( 1+\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) }^{ -2 }\)

h << R_e எனில் ஈருறுபு தேற்றத்தினை பயன்படுத்தி பின்பு உயிர் அடுக்குகளைப் புரக்கணித்துப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\(g'=\frac { GM }{ { R }_{ e }^{ 2 } } \left( 1-2\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) \)
\(g'=g\left( 1-2\frac { h }{ { R }_{ e } } \right) \)
இதிலிருந்து g' < g என நாம் காண்கிறோம். இதன் பொருள் குத்துயரம் h அதிகரிக்கும்போது ஈர்ப்பு முடுக்கம் g குறைகிறது என்பதாகும்.  

(1) f(x) என்ற சார்பாகக் கருதப்படும் ஒழுங்கற்ற வளைகோட்டிற்கு கீழே உள்ள பரப்பினை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
(2) செவ்வகப் பட்டைகளாகக் பிரித்து, அவற்றின் கூடுதலை ஒழுங்கற்ற வளைகோட்டிற்குக் கீழே உள்ளபரப்பின் தோராயமாகக் கொள்ளலாம்.
A≈ f(a)Δx+f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+f(x₃)Δx
(3) இங்கு f(a) என்பது x =a என்ற நிலையில் f(x) இன் மதிப்பாகும், மேலும் f(x) என்பது x=x₁ என்றநிலையில் f(x0 இன் மதிப்பாகும்.
(4) இவ்வாறே மற்ற மதிப்புகளையும் காண வேண்டும்.
(5) செவ்வகப்பட்டைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, பரப்பை அளவிடுதலின் துல்லியத்தன்மை மென்மேலும் அதிகரிக்கும்.
(6) வளைகோட்டிற்குக் கீழே உள்ள பரப்பினை N பட்டைகளாகப் பகுக்கும்போது, வளை கோட்டிற்குக் கீழே உள்ள பரப்பை
(7) \(A\approx \overset { N }{ \underset { n=1 }{ \Sigma } } f(x_{ n })\triangle x_{ n }\) எனக் குறிப்பிடலாம்.
(8) செவ்வகப் பட்டைகளின் எண்ணிக்கை ஈரிலா மதிப்பினை நெருங்கும் போது N⟶∞ அவற்றின்  கூடுதல், தொகையிடலாக மாறுகிறது.
(9) A =\(\int _{ a }^{ h }{ f(x)dx } \) குறிப்பு: N⟶∞, எனில் Δx⟶0
(10) இந்த தொகையிடல், வளைகோடு f(x) க்கு கீழே உள்ள மொத்த பரப்பினைக் கொடுக்கிறது.

வட்டத்தட்டின் நிறையை m₁ எனவும் அதன் ஆரத்தை R எனவும் கொள்க. தொங்கவிடப்பட்ட பொருளின் நிறை m₂
m₁ = 500 g = 500 x 10^-3 kg =0.5 kg
m₂ = 100 g = 100 x 10^-3 kg = 0.1 kg
R = 10 cm = 10 x 10^-2 m = 0.1 m
வட்டத்தட்டின் விளம்பில் பல முறை சுற்றப்பட்டுள்ள மிகக் குறைந்த நிறையுள்ள மற்றும் மீட்சியற்ற கம்பியானது நழுவுதல் இல்லாமல் வட்டத் தட்டுடன் சுழல்கிறது. நிறை m₂ வின்தொடுகோட்டு முடுக்கமும் நிறை m₁ இன் இடம்பெயர்வு முடுக்கமும் சமம் . m₁ மற்றும் m₂ விற்கு தனித்தனியே தனித்த பொருளின் விசை (FBD) (Free Body Diagram) படத்தை வரைக.
வட்டத்தட்டிற்கான தனித்த பொருளின் விசைப்படம் (FBD) (Free Body Diagram)

வட்டத்தட்டின் மீது செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (m₁g) ஆனது கீழ்நோக்கியும் வட்டத்தட்டானது மையத்தில் பொருத்தப்பட்டுள்ள மையப் புள்ளியின் வழியாக செங்குத்து விசை (N) யும் செயல்படுகிறது. வட்டத்தட்டின் பரிதியில் சுழலும் அச்சிற்குச் செங்குத்தாகக் கீழ்நோக்கி இழுவிசை T செயல்படுகிறது. மேலும் புவியீர்ப்பு விசையும் (m₁g) யும் செங்குத்து விசை N ம் ஒன்றை ஒன்று சமன்செய்கிறது. m₁g = N இழுவிசை T ஆனது திருப்பு விசையை (R T) அளிப்பதால் வட்டத்தட்டானது கோண முடுக்கம் \(\left( \alpha =\frac { a }{ R } \right) \) வுடன் சுழற்சி இயக்கத்திற்கு உட்படுகிறது. இங்கு a என்பது வட்டத்தட்டின் விட்டத்தில் உள்ள புள்ளி தொடுவியல் திசையில் உணரும் நேர்கோட்டு முடுக்கமாகும். இவ்வட்டத்தட்டின் நிலைமத்திருப்புத்திறன் I மற்றும் இதன் சுழற்சி ஆரம் K எனில்
\(RT=I\alpha ;\ RT=\left( { m }_{ 1 }{ K }^{ 2 } \right) \frac { a }{ R } \)
\(T=\left( { m }_{ 1 }{ K }^{ 2 } \right) \frac { a }{ { R }^{ 2 } } \)
கம்பியின் ஒரு முனையில் கட்டப்பட்ட நிறையின் தனித்த பொருளின் விசைப்படம் (FBD)
இதன் புவியீர்ப்பு விசை (m₂g) கீழ்நோக்கிச் செயல்படுகிறது மற்றும் இழுவிசை T மேல்நோக்கி செயல்படுகிறது. இவற்றின் தொகு பயன் விசை நிறையின் மீது கீழ்நோக்கிச் செயல்படுகிறது (T < m₂g)

m₂g -T = m₂a
வட்டத்தட்டினால் செயல்படும் இழுவிசை T யை பிரதியிட
\({ m }_{ 2 }g-({ m }_{ 1 }{ k }^{ 2 })\frac { a }{ { R }^{ 2 } } ={ m }_{ 2 }a\)
\({ m }_{ 2 }g=({ m }_{ 1 }{ k }^{ 2 })\frac { a }{ { R }^{ 2 } } ={ m }_{ 2 }a\)
\({ m }_{ 2 }g=\left[ \left( { m }_{ 1 }\frac { { K }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } \right) +{ m }_{ 2 } \right] a\)
\(a=\frac { { m }_{ 2 } }{ \left[ \left( { m }_{ 1 }\frac { { K }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } \right) +{ m }_{ 2 } \right] } g\)
\(\frac { { K }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } \) என்ற சமன்பாடு வட்டத்தட்டின் தளத்திற்கு செங்குத்தாகவும் மையம் வழிச் செல்லும் அச்சைப் பற்றி சுழல்வதால் பிரதியிட்டு சுருக்க, \(\frac { { K }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } \)=\(\frac { 1 }{ 2 } \) முடுக்கத்திற்கான சமன்பாடு கீழ்க்கண்டவாறு கிடைக்கும்.
\(a=\frac { { m }_{ 2 } }{ \left[ \left( \frac { { m }_{ 1 } }{ 2 } \right) { m }_{ 2 } \right] } g\); \(a=\frac { 2m_{ 2 } }{ [{ m }_{ 1 }+2{ m }_{ 2 }] } g\)
மதிப்புகளைப் பிரதியிட
\(a=\frac { 2\times 0.1 }{ [0.5+0.2] } \times 10=\frac { 0.2 }{ 0.7 } \times 10\)
a = 2.857 ms^-2

மையவிலக்கு விசை F_cf = mω² R cosθ
புவியின் கோணத் திசைவேகம் \((ω)={2\pi \over T }\)
இங்கு T என்பது புவியின் அலைவு நேரம் (24 மணிநேரம்)
\(ω={2\pi\over 24\times60\times60}={2\pi\over 86400}\)
= 7.268 x 10^-5rad sec^-1
புவியின் ஆரம் R = 6400 km = 6400 × 10³ m
சென்னையின் குறுக்கு கோடு (Latitude) = 13°
F_cf = 60 × (7.268 × 10^-5)² × 6400 × 10³ × cos (13°) = 1.9678 N
60 kg நிறையுடைய மனிதரொருவர் உணரும் மையவிலக்குவிசை தோராயமாக 2 நியூட்டனாகும். ஆனால் புவியின் ஈர்ப்பு விசையின் காரணமாக 60 kg நிறையுடைய அம்மனிதர் உணரும் விசை = mg = 60 × 9.8 = 588 N. இந்த விசைமையவிலக்கு விசையை விட மிக அதிகம்