\(I=\int { \frac { { 8 }^{ 1+x }+{ 4 }^{ 1-x } }{ { 2 }^{ x } } dx } \) என்க
\(=\int { \frac { { (2 }^{ 3 })^{ 1+x }+{ (2 }^{ 2 })^{ 1-x } }{ { 2 }^{ x } } } dx=\int { \frac { { 2 }^{ 3+3x }+{ 2 }^{ 2-2x } }{ { 2 }^{ x } } dx } \)
\(=\int { \frac { 2^{ 3+3x } }{ { 2 }^{ x } } dx+\int { \frac { { 2 }^{ 2-2x } }{ { 2 }^{ x } } dx } } \)
\(=\int { { 2 }^{ 3+3x-x }dx+\int { 2^{ 2-2x-x }dx } } \)
\(=\int { 2^{ 3+2x }dx+\int { { 2 }^{ 2-3x }dx } } \)
\(=\frac { 2^{ 3+2x } }{ log2 } -\frac { { 2 }^{ 2-3x } }{ -3log2 } +c=\frac { { 2 }^{ 3+2x } }{ log2 } -\frac { { 2 }^{ 2-3x } }{ 3log2 } +c\)

\(\int{a^{x}e^{x}dx}=\int{(ae)^{x}dx}=​​\frac{(ae)^{x}}{\log(ae)}+c\)

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } \)
\(\vec { b } =6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \)
\(\vec { c } =3\hat { i } -6\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } ).(6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )\)
=2 x 6 +3 x 2 + 6 x -3
=12+6-18=0    ∴ \(\vec { a } \bot \vec { b } \)
\(\vec { b } .\vec { c } =(6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } ).(3\hat { i } -6\hat { j } +2\hat { k } )\)
=6 x 3 + 2 x -6 + (-3 x 2)
=18-12-6
=18-18=0     ∴ \(\vec { b } \bot \vec { c } \)
\(\vec { c } .\vec { a } =(3\hat { i } -6\hat { j } +2\hat { k } ).(2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } )\)
=3 x 2 +(-6 x 3) + 2 x 6
=6-18+12
=18-18=0   ∴ \(\vec { c } \bot \vec { a } \)
∴ \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து ஆகும்.

A = \(\left[ { a }_{ ij } \right] \)_{3 x 4}
A^T = \(\left[ { a }_{ ij } \right] \)_{4 x 3}
B = \(\left[ { b }_{ ij } \right] \) _{x x y}  என்க 
A^TB = \(\left[ { a }_{ ij } \right] \)_{4 x 3} \(\left[ { b }_{ ij } \right] \)_{x x y}
\(\therefore \) x = 3
BA^T = \(\left[ { b }_{ ij } \right] \)_{x x y}  \(\left[ { a }_{ ij } \right] \)_{4 x 3} 
\(\therefore \) y = 4
\(\therefore \) B -ன் வரிசை   x x y = 3 x 4

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 5x²+6xy+y²= 0
மேற்கண்ட சமன்பாட்டை காரணிபடுத்த,
5x²+5xy+xy+y² = 0
5x(x+y)+y(x+y) = 0
(5x+y)(x+y) = 0
எனவே, தேவையான கோடுகள் ,5x+y =0 ,x+y = 0
மாற்றுமுறை
கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு சம படித்தான சமன்பாடு
5x²+6xy+y² = 0
இருபுறமும் ஆல் வகுக்க
\(5+6\left( \frac { y }{ x } \right) +\left( \frac { y }{ x } \right) ^{ 2 }\) =0
y/x = m (சமப்படித்தான சமன்பாட்டின் சாய்வு)
மேற்கண்ட சமன்பாடானது
m²+6m+5 =0
காரணிபடுத்த கிடைப்பது
(m+1)(m+5) = 0
⇒ m = -1 , m= -5
⇒ \(\frac { y }{ x } =-1,\frac { y }{ x } =-5\)
தேவையான சமன்பாடுகள் x+y = 0, 5x+y = 0

log ₄2^8x = 2^log₂8
\(8x{ \log }_{ 4 }^{ 2 }={ 2 }^{ { \log }^{ { 2 }^{ 3 } } }\)
\(\Rightarrow 8x{ \log }_{ 4 }^{ 2 }={ 2 }^{ { 3\log }^{ { 2 }^{ 3 } } }\)
\(\Rightarrow 8x{ \log }_{ 4 }^{ 2 }=2^{ 3(1) }[\because { \log }_{ 2 }^{ 2 }=1]\)
\(\Rightarrow \frac { 8x }{ { \log }_{ 2 }^{ 4 } } =8\)
\(\Rightarrow x={ \log }_{ 2 }^{ 4 }\)
\(\Rightarrow x={ \log }_{ 2 }^{ { 2 }^{ 2 } }\)
\(\Rightarrow x=2{ \log }_{ 2 }^{ { 2 }^{ 2 } }\)
\(\Rightarrow x=1\)

வட்டத்தின் ஆரம் = r என்க 
வட்டக்கோணப்பகுதியின் சுற்றளவு = l + 2r 
l = rθ, ∴ = rθ + 2r

⇒ 2 + θ = π
θ = (π - 2) ஆரையன் = (π - 2) x \(\frac { 180 }{ \pi } \)
= 180 - \(\frac { 360 }{ \pi } \) = 180 - 360 x \(\frac { 7 }{ 22 } \)
[ \(\frac { 360 }{ \pi } =360\times \frac { 7 }{ 22 } \)
= \({ 114 }^{ 0 }\frac { 12 }{ 22 } \)
= \({ 114 }^{ 0 }\left( \frac { 12 }{ 22 } \times 60 \right) \)
= 114⁰32'44"
180⁰ = 179⁰ 60' 60''
\(\frac { -360 }{ \pi } =\frac { { 114 }^{ 0 }\pm 32'44'' }{ { 65 }^{ 0 }28'16'' } \) ]
= 180⁰ - 114⁰32'44''
= 65⁰ 28' 16''

இரண்டு வட்டங்களில் ஒரே அளவு கொண்ட வில்லின் நீளங்கள் தாங்கும் கோணங்கள் 60⁰, 75⁰ அவற்றின் ஆரங்கள் r₁, r₂ என்க 
θ = 60⁰ = \(60\times \frac { \pi }{ 180 } =\frac { \pi }{ 3 } \) ஆரையன் 
⇒ \(\frac { l }{ r } \) ⇒ θ₁r₁
= 60⁰ x r₁
l = \(\frac { \pi }{ 3 } { r }_{ 1 }\)    ..(1)
θ₂ = 75⁰ ⇒ = 75 x \(\frac { \pi }{ 180 } =\frac { 15 }{ 36 } \pi \)  ஆரையன் 
θ₂ ⇒ \(\frac { l }{ { r }^{ 2 } } \) ⇒ l = θ₂r₂
= 75⁰ r₂
= \(\frac { 15 }{ 36 } \pi { r }_{ 2 }\)
l = \(\frac { 15 }{ 12 } \pi { r }_{ 2 }\)   ...(2)
(1), (2) லிருந்து   

\(\frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) ⇒ r₁ : r₂ = 5 : 4

இங்கு p = 12 மற்றும் கோணம் α=150⁰
எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
x cosα+y sinα=p
அதாவது, x cos150⁰+y sin150⁰=12
⇒ \(\sqrt { 3 } \)x-y+24=0

n≥2-க்கு  3ⁿ ≥n² என்பதை P(n) என்ற கூற்று என்க. முதல்படி n = 2 ஆகும்.
P(2)=3²=9 மேலும் 2²=4
9 > 4 ஆதலால் P(2) உண்மை.
n = k-க்கு P(n) உண்மை எனக் கொள்க.
எனவே, P(k) > k²
P(k+1) = 3 × 3k = 3 × P(k)
>3k²
>(k+1)² 
எனவே n≥2 என உள்ள அனைத்து முழு எண்களுக்கும் 3ⁿ>n².

3x - 9 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 9 அதாவது, x ≥ 3 எனக் கிடைக்கும்.
அதேபோன்று 4x - 10 ≤ 6-லிருந்து,4x ≤ 16 எனக் கிடைக்கும். அதாவது x ≤ 4.
தீர்வுகள் [3,∞) மற்றும் (-∞,4]-ன் வெட்டுகணமாகும். எனவே, தீர்வு [3,4]

A என்பது முதல் முறை எடுக்கப்படும்போது ஜாக் (Jack கிடைக்கப்பெறும் நிகழ்ச்சி என்க.
B என்பது இரண்டாம் முறை எடுக்கப்படும்போது ஜாக் (Jack கிடைக்கப்பெறும் நிகழ்ச்சி என்க.
நிலை(i)
எடுக்கப்பட்ட சீட்டு மீண்டும் சீட்டுக்கட்டில் வைக்கப்படுகிறது
n(A) = 4 (Jack)
n(B) = 4 (Jack
மற்றும் n(S)=52
நிகழ்ச்சி A ஆனது B-ன் நிகழ்தகவினைப் பாதிக்காது.
ஆதலால் A ம் B-ம் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளாகும்.
P(A∩B)=P(A).P(B)
P(A)=\(\frac{4}{52}\), P(B)=\(\frac{4}{52}\)
 P(A∩B)=P(A).P(B)
=\(\frac{4}{52}\).\(\frac{4}{52}\)
=\(\frac{1}{169}\)
நிலை (ii)
எடுக்கப்பட்ட சீட்டு மீண்டும் சீட்டுக்கட்டில் வைக்கப்படவில்லை.
முதல் முறை எடுக்கும்போது மொத்தம் 52 சீட்டுகளும் அதில் 4 ஜாக் (Jack) சீட்டுகளும் இருக்கும். முதல் சீட்டை மீண்டும் வைக்காமல் இரண்டாம் முறை எடுக்கும்போது மொத்தம் 51 சீட்டுகளில் 3 ஜாக் (Jack) சீட்டுகள் இருக்கும். எனவே முதலில் நடந்த நிகழ்ச்சி A ஆனது பின் நடக்கும் நிகழ்ச்சி B-நிகழ்தகவினைப் பாதிக்கின்றது. ஆதலால் A, B நிகழ்ச்சிகள் சார்பிலா நிகழ்ச்சிகள் அல்ல. அவை ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்த நிகழ்ச்சிகளாகும்.
எனவே  P(A∩B)=P(A).P(B)
P(A)=\(\frac{4}{52}\)
P(B/A)=\(\frac{3}{51}\)
 P(A∩B)=P(A).P(B)
=\(\frac{4}{52}\).\(\frac{3}{51}\)
=\(\frac{1}{221}\)

A₁ : A  மேலாளர் ஆகும் நிகழ்வு
A₂ : B மேலாளர் ஆகும் நிகழ்வு
A₃ : C மேலாளர் ஆகும் நிகழ்வு என்க
B : அலுவலக உணவகம் மேம்பாடு அடையும் நிகழ்வு என்க.
P(A₁) = \(\frac { 5 }{ 5+3+2 } =\frac { 5 }{ 10 } \)
P(B/A₁) = 0.4
P(A₂) = \(\frac { 3 }{ 10 } \)
P(B/A₂) = 0.5
P(A₃) = \(\frac { 2 }{ 10 } \)
P(B/A₃) = 0.3
போயஸ்-ன் விதிப்படி
P(A₂/B) = \(\frac { P\left( { A }_{ 2 } \right) .P\left( B/{ A }_{ 2 } \right) }{ P\left( { A }_{ 1 } \right) .P\left( B/{ A }_{ 2 } \right) +P\left( { A }_{ 3 } \right) .P\left( B/{ A }_{ 3 } \right) } \)
= \(\frac { \frac { 3 }{ 10 } \times 0.5 }{ \frac { 5 }{ 10 } \times 0.4+\frac { 3 }{ 10 } \times 0.5+\frac { 2 }{ 10 } \times 0.3 } \)
= \(\frac { \frac { 1.5 }{ 10 } }{ \frac { 2 }{ 10 } +\frac { 1.5 }{ 10 } +\frac { 0.6 }{ 10 } } =\frac { \frac { 1.5 }{ 10 } }{ \frac { 4.1 }{ 10 } } \)
P(A₂/B) = \(\frac { 1.5 }{ 10 } \times \frac { 10 }{ 4.1 } =\frac { 1.5 }{ 4.1 } =\frac { 15 }{ 41 } \).

உயரத்தைப் பொறுத்து எடையின் மாறுவீதம்  
\(\frac{dw}{dh}=4.364\times 10^{-5}h^{2}\)
\(w=\int 4.364\times 10^{-5}h^{2} \ dh\)
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})+c\)
உயரம் பூஜ்ஜியம் எனும்போது அந்நபரின் எடை பூஜ்ஜியமாக  இருக்கும் என்பது தெளிவு.தொடக்க நிபந்தனை h=0 எனும்போது w=0, என்பதை மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டால், தொகையீட்டு மாறிலியை c-ஐக் கணக்கிடலாம்.      
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})+c\Rightarrow c=0\)
ஒரு நபரின் எடை மற்றும் உயரம் ஆகியவற்றிக்கிடையேயான தொடர்பானது 
\(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{h^{3}}{3})\)ஆகும் 
h=150 செ.மீ எனில் , \(w= 4.364\times 10^{-5} (\frac{150^{3}}{3})\)
உயரம் h=150 செ.மீ எனும்போதும், எடை தோராயமாக w = 49 கிகி.ஆகும்.   

\(y={ (\cos ^{ -1 }{ x } ) }^{ 2 }\)
'x'-ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(y'=2.cos^{ -1 }x.\frac { d }{ dx } (cos^{ -1 }x)\)
\(\Rightarrow y'=2.cos^{ -1 }x\frac { -1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
\(\Rightarrow y'\sqrt { 1-x^{ 2 } } =2.cos^{ -1 }x\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த 
\((y')^{ 2 }(1-x^{ 2 })=4(cos^{ -1 }x)^{ 2 }\)
'x'-ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகைப்படுத்த 
\((y')^{ 2 }(-2x)+(1-x^{ 2 })=2y'.y''=4(2)cos^{ -1 }x.\frac { d }{ dx } (cos^{ -1 }x)\)
\(\Rightarrow -2x(y')^{ 2 }+2(1-x^{ 2 })y'.y''\)
\(=8cos^{ -1 }x.\frac { -1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
\(\Rightarrow -2x(y')^{ 2 }+2(1-x^{ 2 })y'.y''\)
\(=4\left( \frac { -2cos^{ -1 }x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \right) \)
\(\Rightarrow -2x(y')^{ 2 }+2(1-x^{ 2 })y'.y''=4y'\)[(1)லிருந்து]
2'y ஆல் இருபுறமும் வகுக்க 
\(-xy'+(1-x^{ 2 })y''=2\)
\(\Rightarrow (1-x^{ 2 })y''-xy'-2=0\)
\(\Rightarrow \) ஆதாவது\((1-x^{ 2 })\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -x\frac { dy }{ dx } -2=0\)
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது. 

உட்படு வகையிடலின்படி \(\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 4 })+\frac { d }{ dx } ({ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 })-\frac { d }{ dx } ({ y }^{ 5 })=\frac { d }{ dx } (2x+1)\)
இதிலிருந்து, \(4{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }\left( 3{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } \right) +(2x){ y }^{ 3 }-5{ y }^{ 4 }\frac { dy }{ dx } =2+0\)
அதாவது \(4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } +2x{ y }^{ 3 }-5{ y }^{ 4 }\frac { dy }{ dx } =2\)
எனவே, \((3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-5{ y }^{ 4 })\frac { dy }{ dx } =2-4{ x }^{ 3 }-2x{ y }^{ 3 }\)
 அல்லது \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 2-4{ x }^{ 3 }-2x{ y }^{ 3 } }{ 3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-5{ y }^{ 4 } } \)  

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \frac { \sin { x(1-\cos { x) } } }{ { x }^{ 3 } } } } \)
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\quad x(1-cos\quad x) }{ { x }^{ 3 } } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\quad x\times \left( 2{ sin }^{ 2 }\frac { x }{ 2 } \right) }{ { x }^{ 2 } } } \)
\(=2\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\quad x }{ x } \times \left( \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin^{ 2 }\frac { x }{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } } \right) } \)
\(=2(1)\times \lim _{ \frac { x }{ 2 } \rightarrow 0 }{ \frac { sin^{ 2 }\frac { x }{ 2 } }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } \times 4 } } \)

\(=\frac { 1 }{ 2 } \times { 1 }^{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { sin\ x(1-cos\ x) }{ { x }^{ 3 } } } =\frac { 1 }{ 2 } \)

ஒளியின் செறிவு குறைவாக இருக்கும்போது, அதாவது  \(x\rightarrow { 0 }^{ + }\) எனும்போது, சார்பின் எல்லையைக் காண வேண்டும். 
\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { 160{ x }^{ -0.4 }+90 }{ 4{ x }^{ -0.4 }+15 } } =\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ \frac { 160+90{ x }^{ -0.4 } }{ 4+15{ x }^{ -0.4 } } }= \frac { 160 }{ 4 } =40\) மி.மீ

\(\triangle \) =  \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
x  = y  என \(\triangle \) ல் பிரதியிட 
=  \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 0
\(\therefore \)  (x  - y ) ஒரு காரணியாகும் , இதைப் போலவே  (y -z ) (z  -x ) ம் காரணிகளாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட அணிக்கோவையின் படி 3 ஆகும் 
\(\therefore \) மற்றொரு காரணி  k எனக்  கொள்வோம்.
     \(\therefore \) \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = k (x - y ) (y  -z ) (z  - k ) இதில் 
x  = 1, y  = 2, z  = 3 எனப்  பிரதியிட
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{matrix} \right| \) =  k (1 -2) (2 - 3) (3 - 1)
1 (18 -12) -1 (9- 4)  + 1 (3 - 2) = 2k
6 - 5 + 1 = 2k
2 = 2k
\(\Rightarrow \)  k = 1
\(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 1 (x - y) (y - z) (z -x)
\(\Rightarrow \)  \(\triangle\) =   \(\left| \begin{matrix} 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & y & { y }^{ 2 } \\ 1 & z & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ { x }^{ 2 } & { y }^{ 2 } & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
(x -y) (y - z) (z -x) நிருபிக்கப்பட்டுள்ளது 

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டும் புள்ளிகளை ஆதியுடன் இணைக்கக் கிடைக்கும் கோடுகளின் சமன்பாடு ஒரு இரண்டாம் படி சமபடித்தான சமன்பாடாகும்.
3x²+5xy-2y²+4x+5y மற்றும் 3x-2y+2=0 எனக் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு சமன்பாடுகளையும் பயன்படுத்தி சமபடித்தான சமன்பாட்டைக் காண்போம்
3x²+5xy-2y²+(4x+5y)(1)=0 மற்றும்  \(\frac { (3x-2y) }{ -2 } =1\)
3x²+5xy-2y²+(4x+5y)  \(\left( \frac { 3x-2y }{ -2 } \right) \)=0
அதாவது (-2) (3x²+5xy-2y²) + (4x+5y)(3x-2) = 0
இதனைச் சுருக்குவதால்  2x²+xy-2y² = 0 எனப் பெறலாம்.
இங்கு x² மற்றும் y² -ன் கெழுக்களின் கூடுதல் பூச்சியமாகும்
அதாவது,  a+b = 0, (∵ a=2 ,b=-2)
எனவே, கோடுகள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக அமைகிறது

தளத்தில்  உள்ள புள்ளிகள்  = 11
(i) நேர்க்கோடு வரைய  2 புள்ளிகள் தேவை 
\(\therefore \) 11 புள்ளிகளிலிருந்து  வெவ்வேறான இரு புள்ளிகளை வைத்து  ¹¹C₂  வழிகளில்  நேர்க்கோடு  வரையலாம் 
11_C2 = \(\frac { 11\times 10 }{ 2\times 1 } \) = 55
இவற்றில் 4 புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைந்துள்ளன  
இவை ஒரே நேர்கோட்டில் அமையவில்லை எனில் 4C₂ வழிகளில்  நேர்க்கோடுகளை  பெறலாம் 
\(\frac { 11\times 10 }{ 2\times 1 } \) = 6 =வழிகள் 
ஆனால் 4 புள்ளிகளும் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைந்துள்ளது என்பதால் ஒரே நேர்கோட்டு மட்டுமே பெற முடியும் 
மொத்த நேர்க்கோடுகளின் எண்ணிக்கை  = 55 - 6 + 1 = 50
(ii) இந்த புள்ளிகளை முனைப்புள்ளிகளாகக்  கொண்டு வரையப்படும் முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை  ஒரு முக்கோணம் வரைய 3 புள்ளிகள் தேவை 

	ஒரே கோட்டில் அமையும்  4 புள்ளிகள்	ஒரே கோட்டில் அமையாத (7) புள்ளிகள்	சேர்வு
a)	1	2	4C1 x 7C2
b )	2	1	4C2 x  7C1
c )	0	3	4C0 x 7C3

தேவையான எண்ணிக்கை  = (⁴C₁ x ⁷C₂ ) +( ⁴C₂ x  ⁷C₁) + ⁴C₀ x ⁷C₃
= \(4\times \frac { 7\times 6 }{ 1\times 2 } +\frac { 4\times 3 }{ 1\times 2 } \times 7+1\frac { 7\times 6\times 5 }{ 3\times 2\times 1 } \) = 4 x 21 + 6 x 7 + 35
= 84 + 42 + 35 = 161 

\(\\ \)\(\sin { x } -3\sin { 2x } +\sin { 3x } =\cos { x } -3\cos { 2x } +\cos { 3x } \)
\(\sin { 3x } +\sin { x } -3\sin { 2x } =\cos { 3x } +\cos { x } -3\cos { 2x } \)
\(2\sin { 2x } \cos { x } -3\sin { 2x } =2\cos { 2x } \cos { x } -3\cos { 2x } \)
\(\left( \sin { 2x } -\cos { 2x } \right) \left( 2\cos { x } -3 \right) =0\)
எனவே, \(\sin { 2x } -\cos { 2x } =0\) ஏனெனில்,\(2\cos { x } -3\neq 0\)
\(\sin { 2x } =\cos { 2x } \Rightarrow \tan { 2x } =1 \Rightarrow x=\frac { n\pi }{ 2 } +\frac { \pi }{ 8 } ,n\in Z\)

\(f(x)={\sqrt{4-x^3}\over \sqrt{x^2-9}}\)
x=2  எனில் f(x)= \({\sqrt{4-2^2}\over \sqrt{2^2-9}}={\sqrt{0}\over \sqrt{-5}}={0\over \sqrt{-5}}=0\)
x=-2 எனில் f(x)=\({\sqrt{4-(-2)^2}\over \sqrt{(-2)^2-9}}={{0}\over \sqrt{-5}}=0\)
x=ன் மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும் குறை எண்களின் வர்க்க மூலமாக கிடைப்பதால் அது சார்பாகாது. எனவே மீப்பெரு சார்பகம்=\(\varphi \)

tk என்பது பெருக்குத் தொடரின் k ஆவது உறுப்பு.
∴ t_n=a.r^n-1, t_n-k=a.r^n-k-1
t_n+k=a.r^n+k-1
பொது விகிதம்=\(\frac { { t }_{ n } }{ { t }_{ n-k } } =\frac { a.r^{ n-1 } }{ a.r^{ n-k-1 } } \)=a.r^n-2-n+k+1=r^k    .....(1)
=\(\frac { { t }_{ n+k } }{ { t }_{ n } } =\frac { a.r^{ n+k-1 } }{ a.r^{ n-1 } } \)=r^n+k-1-n+1     ......(2)
(i)=(2) பொது விகிதம் சமம்.
∴ இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்.

(1+x)ⁿ-ன் பொது உறுப்பு
T_r+1=ⁿC_r(1)^n-rx^r
5 வது, 6வது, 7வது உறுப்பின் கெழுக்களைக் காண
r =4,5,6 என (1)-ல் பிரதியிட
∴ 2 ⁿC₅=ⁿC₄+ⁿC₆
⇒ 2=\(\frac { { n }_{ { C }_{ 4 } } }{ { n }_{ { C }_{ 5 } } } +\frac { { n }_{ C_{ 6 } } }{ { n }_{ { C }_{ 5 } } } \Rightarrow 2=\frac { 5 }{ n-4 } +\frac { n-5 }{ 6 } \)    \(\left[ \because \frac { { n }_{ C_{ r } } }{ { n }_{ { C }_{ r-1 } } } =\frac { n-r+1 }{ r } \right] \)
⇒ 2=\(\frac { 30+(n-5)(n-4) }{ 6(n-4) } \).
⇒ 12(n-4)=30+n²-5n-4n+20
⇒ 12n-48=30+n²-9n+20
⇒ n²-21n+98=0
⇒ n(n-7)-14(n-7)=0
⇒ (n-14)(n-7)=0
⇒ n=14 அல்லது n=7.

k(x - 1)² = 5x - 7 
\(\Rightarrow k({ x }^{ 2 }-2x+1)=5x-7\)
\(\Rightarrow { kx }^{ 2 }-2kx+k=5x-7\)
\(\Rightarrow { kx }^{ 2 }-2kx-5x+k+7=0\)
\({ kx }^{ 2 }+x(-2k-5)+(k+7)=0\)
\(\alpha ,2\alpha \) என்பன இரு மூலங்கள் எனில் 
\(\alpha +2\alpha =\frac { 2k+5 }{ k } \)
\(3\alpha =\frac { 2k+5 }{ k } \)
\(\alpha =\frac { 2k+5 }{ 3k } \) .....(1)
\(\alpha (2\alpha )=\frac { k+7 }{ k } \)
\(2{ \alpha }^{ 2 }=\frac { k+7 }{ k } \)
\({ \alpha }^{ 2 }=\frac { k+7 }{ 2k } ....(2)\)
(1) ஐ (2)-ல் பிரதியிட 
\(\left( \frac { 2k+5 }{ 3k } \right) ^{ 2 }=\frac { k+7 }{ 2k } \)
\(\frac { { 4k }^{ 2 }+20k+25 }{ { 9k }^{ 2 } } =\frac { k+7 }{ 2k } \)
\(\frac { { 4k }^{ 2 }+20k+25 }{ { 9k } } =\frac { k+7 }{ 2 } \)
\({ 8k }^{ 2 }+45k+50={ 9k }^{ 2 }+63k\)
\(\Rightarrow { k }^{ 2 }+23k-50=0\)
\(\Rightarrow \) (k -2) (k +25) =0
\(\Rightarrow \) k = 2 அல்லது -25 என நிரூபிக்கப்பட்டது. 

A + B + C = \(\frac { \pi }{ 2 } \) 
⇒ cos (A + B + C) = cos \(\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ cos (A + B + C) = 0
cos (A + B + C) = cos (A + B) cos C = sin (A + B) sin C
= cos C(cos A cos B - sin A sin B) - sinC (sin A cos B + cos A sin B)
= cos A cos B cos C - sin A sin B cos C - sin A cos B sin C - cos A sin B sin C
0 = cos A cos B cos C - sin A sin B cos C - sin A cos B sin C - cos A sin B sin C
∴ cos A cos B cos C - sin A sin B cos C + sin A cos B sin C + cos A sin B sin C 
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t).
இப்போது \(\frac { dx }{ dt } =a(1-\cos { t } );\quad \frac { dx }{ dt } =a\quad \sin { t } \)
எனவே \(\frac { dy }{ dx } =\frac { \frac { dx }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\frac { a\quad \sin { t } }{ a(1-\cos { t } ) } =\frac { \sin { t } }{ (1-\cos { t } ) } \)

\({ \lim _{ x\rightarrow \infty }{ \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) } }^{ 7x }=\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left[ { \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ x } \right] }^{ 7 } } \)
\(\frac { 1 }{ x } =t\) என்க.
\(x\rightarrow \infty \) எனில், \(\frac { 1 }{ x } \rightarrow 0\)ஆகும்.
\(\therefore \frac { 1 }{ x } \rightarrow 0\) எனில், t \(\rightarrow\)0 ஆகும்
\(\therefore \lim _{ t\rightarrow 0 }{ { \left[ (1+t)^{ \frac { 1 }{ t } } \right] }^{ 7 } } ={ e }^{ 7 }\) \(\left[ \because \lim _{ x\rightarrow 0 }{ (1+x)^{ \frac { 1 }{ x } }=e } \right] \)
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow \infty }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 7x }={ e }^{ 7 } } \)

\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{matrix} \right| =\hat { i } (2-3)-\hat { j } (-8+6)+\hat { k } (4-2)=-\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு செங்குத்தாக உள்ள வெக்டர்கள் \(\pm \frac { (\vec { a } \times \vec { b } ) }{ \left| \vec { a } \times \vec { b } \right| } =\pm \left[ \frac { -\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } }{ 3 } \right] \)
 \(\vec { a } \)மற்றும் \(\vec { b } \) க்கு செங்குத்தாக எண்ணளவு 6 உடைய வெக்டர்கள் \(\pm 2(-\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } ).\)

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 720

(i) f (n)= f(m) என எடுத்துக்கொண்டால் n+2=m+2 . இதிலிருந்து m = n. இதனால் f ஆனது ஒன்றுக்கொன்று ஆகும். 1 என்ற உறுப்பிற்கு முன்பிம்பம் இல்லை என்பதால் இச்சார்பு மேற்கோர்த்தல் அல்ல.

(ii) மேற்கண்டவாறு இச்சார்பு ஒன்றுக்கொன்றாகும். துணைச்சார்பகத்தில் m இருந்தால் m - 2 என்பது சார்பகத்தில் இருக்கும். மேலும் f(m-2)=(m-2)+2=m . இதனால் துணைச்சார்பகத்திலுள்ள m என்ற உறுப்பு முன்பிம்பத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே இச்சார்பு மேற்கோர்த்தல் ஆகும்