\(\frac { -33 }{ 65 } \)

\(\frac {4 \pi }{ 3 } \)

\(\tan { \left( -1215^{ o } \right) } =-\tan { \left( 1215^{ o } \right) } =-\tan { \left( 3\times { 360 }^{ o }+{ 135 }^{ \\ o } \right) } \)
\(=-\tan { \left( 135^{ o } \right) } =-\tan { \left( 90^{ o }+45^{ o } \right) } =-\left( -\cot { { 45 }^{ o } } \right) =1\)

x²+y²-6x+4y-3 =0

2Y–X–50 = 0          ... (1)
3Y–2X–10 = 0        ... (2)
(1) யும் (2) யும் தீர்க்க
நாம் பெறுவது Y=90
Y=90 என (1) ல் பிரதியிட
X =130
ஆகையால் \(\bar { X } \)=130 மற்றும் \(\bar { Y } \)=90
ஒட்டுறவுக் கெழுவை கணக்கிடுதல்
(1) ஐ X -ன் மீது Y-ன் சமன்பாடாகக் கொள்க
2Y = X+50
Y=\(\frac{1}{2}\)X + 25
b_yx =\(\frac{1}{2}\)
(2) ஐ Y -ன் மீது X-ன் சமன்பாடாகக் கொள்க
3Y–2X–10 = 0
2X = 3Y–10
X =\(\frac{3}{2}\)Y–5
b_xy =\(\frac{3}{2}\)
ஒட்டுறவுக் கெழு r=\(\pm \sqrt { { b }_{ xy }\times { b }_{ yx } } \)
r=\(\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 3 }{ 2 } } \)=0.866

X என்பது பாடம் 1 எனவும் மற்றும் Y என்பது பாடம் 2 எனவும் கருதவும்.

\({ \rho }=1-\frac { 6\Sigma { d }^{ 2 } }{ N(N^{ 2 }-1) } \)
\(\rho =1-\frac { 6(142) }{ 11(11^{ 2 }-1) } \)
\({ \rho }=1-\frac { 852 }{ 1320 } \)=0.354

பெருக்குச் சராசரியின் கணக்கீடு:

GM=Antilog\(\left( \frac { \Sigma flogX }{ N } \right) \)
=Antilog\(\left( \frac { 173.7907 }{ 93 } \right) \)
=Antilog(1.8687)
GM=73.95

(x+a)ⁿ=nC₀xⁿa⁰+nC₁x^n-1a¹+nC₂x^n-2a²+....+nC_rx^n-ra^r+.....+nC_n-1x¹a^n-1+nC_nx⁰aⁿ
(2x+3y)ⁿ=5C₀(2x)⁵+5C₁(2x)⁴(3y)+5C₂(2x)³(3y)²+5C₃(2x)²(3y)³+5C₄(2x)(3y)⁴+5C₅(3y)⁵
= 32x⁵+5(16)x⁴(3y)+\(\frac{5\times4}{2\times1}\)(8x³)(9y²)+\(\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}\)4y²(27y³)+5(2y)81y⁴+243y⁵
= 32x⁵ + 240x⁴y + 720x³y² + 1080x²y³ + 810xy⁴ + 243y⁵

\(\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { log\left( 1+{ x }^{ 3 } \right) }{ { sin }^{ 3 }x } =\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \left\{ \frac { log\left( 1+{ x }^{ 3 } \right) }{ { x }^{ 3 } } \times \frac { { x }^{ 3 } }{ { sin }^{ 3 }x } \right\} \)
\(=\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { log\left( 1+{ x }^{ 3 } \right) }{ { x }^{ 3 } } \times \frac { 1 }{ \underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \left( \frac { sinx }{ x } \right) ^{ 3 } } \)
\(=1\times \frac { 1 }{ 1 } =1\)

\(n P_r=1680 ; n C_r=70\)
\(\frac{n P_r}{r !}=70\)
\(\frac{1680}{r !}=70\)
\(r !=\frac{1680}{70}=24\)
\(r !=4 ! \Rightarrow r=4\)
\(n P_4=1680\)
\(n(n-1)(n-2)(n-3)=8 \times 7 \times 6 \times 5\)
\(n=8\)

∴ |AB| = - 30

\(\left| \begin{matrix} 2 & x & 3 \\ 4 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \end{matrix} \right| =0\)

⇒ 2 (7 -12) -x (28- 6) + 3 (8 - 1) = 0
⇒ -10 - 22x + 21 = 0
⇒ 11 = 22x
⇒ \(x={11\over 22}={1\over 2}\)

\(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0 & a-b & { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \\ 0 & b-c & { b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \begin{matrix} { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-{ R }_{ 2 } \\ { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 3 } \end{matrix}\)
\(=\left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a-b)(a+b) \\ 0 & b-c & (b-c)(b+c) \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
\(=(a-b)(b-c)\left| \begin{matrix} 0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \)
= (a - b)(b - c)[0 - 0 + {b + c - (a + b)}]
=(a - b)(b - c)(c - a)

கணக்கின்படி P(A) =\(\frac{3}{4}\) P(B) =\(\frac{1}{2}\),  P(C) = \(\frac{2}{3}\)
Then \(P(\bar { A } )=1-\frac { 3 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } ;P(\bar { B } )=1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் \(P(\bar { C } )=1-\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
(i)  \(P(\bar { A } )\) =(மூவரும் இலக்கை சரியாக சுடுவதற்கான)
=P(A\(\cap \)B\(\cap \)C)=P(A)P(B)P(C)  (A,B,C சாரா நிகழ்வுகள்)
=\(\frac { 3 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
(ii) P(ஒருவர் மட்டுமே இலக்கை சரியாக சுடுவதற்கான)
=\(P\{ (A\cap \bar { B } \bar { C } )\cup (\bar { A } \cap B\cap \bar { C } )(\bar { A } \cap \bar { B } \cap C\} \)
=\(P\{ (A\cap \bar { B } \cap \bar { C } +P(\bar { A } \cap B\cap \bar { C } )+P(\bar { A } \cap \bar { B } \cap C)\} \)
=\(\left( \frac { 3 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 3 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 3 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 2 }{ 3 } \right) =\frac { 1 }{ 4 } \)
(iii) P (குறைந்தபட்சம் ஒருவர் இலக்கை சுடுவதற்கான)
=1-P(ஒருவரும் சுடாமல் இருப்பதற்கான)
=\(1-P(\bar { A } \cap \bar { B } \cap \bar { C } )\)
=\(1-P(\bar { A } )P(\bar { B } )P(\bar { C } )\)
=\(1-\frac { 1 }{ 24 } =\frac { 23 }{ 24 } \) .

ரூ.13240, ரூ.36420, இயந்திரம் B வாங்கலாம்

சராசரி செலவு [AC] =இறுதிநிலைச் செலவு [MC] எனும் பொழுது சராசரி செலவானது சிறுமத்தை அடையும் என்பதை நாம் அறிவோம் 
செலவு : C=\(\frac { 1 }{ 3 } \)x³-3x²+9x 
∴ AC =\(\frac { 1 }{ 3 } x^{ 2 }-3x+9\)
MC  =x²-6x+9 
இப்பொழுது,  AC =MC ⇒\(\frac { 1 }{ 3 } \)x²-3x+9 =x²-6x+9
⇒ 2x²-9x = 0
⇒ x=\(\frac { 9 }{ 2 } \) அலகுகள் [∵ x > 0]

p = 50 - 3x
\(\frac { dp }{ dx } =-3\)
∴ \(\frac { dx }{ dp } =-\frac { 1 }{ 3 } \) 
தேவை நெகிழ்ச்சி \(\eta _{ d }=-\frac { p }{ x } .\frac { dx }{ dp } \)
= \(-\frac { 50-3x }{ x } \left( -\frac { 1 }{ 3 } \right) \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \) .......(1)
இப்போது வருவாய் R = px 
 = (50-3x) x
= 50x-3x²
சராசரி வருவாய் AR=p 
= 50-3x 
இறுதிநிலை வருவாய் MR=\(\frac { dR }{ dx } \)
= 50-6x 
∴ \(\frac { AR }{ AR-MR } =\frac { 50-3x }{ (50-3x)-(50-6x) } \)
=\(\frac { 50-3x }{ 3x } \)    ..(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து நாம் பெறுவது 
\(\eta _{ d }=\frac { AR }{ AR-MR } \)
எனவே சரி,பார்க்கப்பட்டது

\(A . A=I \left(\because \mathrm{AA}^{-1}=\mathrm{I}\right. and \left.\mathrm{A}^{-1}=\mathrm{A}\right)\)
\(A \cdot A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 4 \\ 4 & -4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 4 \\ 4 & -4 & 5 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{ccc} 1+8-8 & -2-6+8 & 2+8-10 \\ -4-12+16 & 8+9-16 & -8-12+20 \\ -4-16+20 & 8+12-20 & -8-16+25 \end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=I\)
A இன் நேர்மாறு அணி A

\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \)
A²=A.A
\(=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{matrix} \right] \)
தரவு A²-kA+I₂=0
 \(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{matrix} \right] -k\left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 7-2k+1 & 12-3k+0 \\ 4-k+0 & 7-2k+1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 8-2k & 12-3k \\ 4-k & 8-2k \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow4-k=0\)
\(\Rightarrow k=4\)
\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \)
=4 – 3 = 1≠0​
A^-1 யைக் காணஇயலும்.​​​​​​
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adjA\)
\(=\frac { 1 }{ 1 } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)

\(\left| A \right| =\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 5 & 4 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| \)
=2(15-20)-4(6-8)+4(10-10)
=2(-5)-4(-2)+4(0)
=-10+8+0=-2≠0
A என்பது பூச்சியமற்ற கோவை அணி ஆகையால்,A^-1யைக் காணஇயலும்
A₁₁=-5; A₂₁=8;A₃₁=-4
A₁₂=2; A₂₂=-2; A₃₂=0
A₁₃=0; A₂₃=-2; A₃₃=2
\(\left[ { A }_{ ij } \right] =\left[ \begin{matrix} -5 & 2 & 0 \\ 8 & -2 & -2 \\ -4 & 0 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right| } adj\quad A=\frac { 1 }{ -2 } \left[ \begin{matrix} -5 & 8 & -4 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} \frac { 5 }{ 2 } & -4 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)  

\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x+y & x & y \\ 2 y+z & y & z \\ 2 z+x & z & x \end{array}\right| \quad c_1 \rightarrow c_1-c_3\)
\(\left|\begin{array}{ccc} 2 x & x & y \\ 2 y & y & z \\ 2 z & z & x \end{array}\right|=0 \ \text { } c_1 \sim c_3\)

\(\left|\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ x & 2 & x \\ 1 & 3 & x \end{array}\right|=0 \Rightarrow-1\left[x^2-x\right]=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0,1\)