(அ) x -ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு மற்றும் y – ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு. எனவே, (3,–8) என்ற புள்ளி IV ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்.
(ஆ) x -ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு மற்றும் y -ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு. எனவே, (–1,–3) என்ற புள்ளி III ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்.
(இ) x -ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு மற்றும் y -ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு. எனவே, (2,5) என்ற புள்ளி I ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்.
(ஈ) x -ஆயத்தொலை குறை மதிப்பு மற்றும் y – ஆயத்தொலை மிகை மதிப்பு. எனவே, (–7,3) என்ற புள்ளி II ஆவது காற்பகுதியில் அமையும்.

ஒரு சீரான பகடையை உருட்டும்போது கிடைக்கும் கூறுவெளி  S ={1,2,3,4,5,6}
n(S) =6
இரட்டை எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி A என்க.
A={2,4,6}
n(A)=3
இரட்டை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } \)

வாரத்தில் உள்ள நாட்கள் (S) = {ஞாயிறு, திங்கள், செவ்வாய், புதன், வியாழன், வெள்ளி, சனி}
n(S)=7
வாரத்தில் உள்ள நாட்கள் = 7
பிறந்த நாள் ஞாயிற்றுக் கிழமையாக இருக்கும் நிகழ்ச்சி
A=(ஞாயிறு}
n(A)=1
ஞாயிற்றுக்கிழமை கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு = \(P(A)=\frac{n(A )}{n(S)}=\frac { 1 }{ 7 } \)

செங்கோண முக்கோணம் ABD யிலிருந்து, பிதாகரஸ் தேற்றப்படி 
\(AB=\sqrt { { AD }^{ 2 }+{ BD }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { { 12 }^{ 2 }+{ 16 }^{ 2 } } =\sqrt { 144+256 } =\sqrt { 400 } =20\)செ.மீ 
∆ABD யின் பரப்பு =1/2bh 

முக்கோணம் ABC யின் பக்கங்கள் a=42செ.மீ , b=34 செ.மீ  மற்றும் c =20 செ.மீ 
முக்கோணம் ABC யின் பரப்பு =\(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\(S=\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 42+34+20 }{ 2 } =\frac { 96 }{ 2 } =48\)
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(​​​​=\sqrt { 48(48-42)(48-34)(48-20) } \)
\(=\sqrt { 112896 } = \sqrt {336 \times 336}\)
= 336 ச.செமீ 
நிழலிடப்படாத பகுதியின் பரப்பு 
= Δ ABC யின் பரப்பு - Δ ABD யின் பரப்பு 
= (336 - 96)ச.செமீ =240ச.செமீ
நிழலிடப்படாத பகுதியின் பரப்பு = 240 செ மீ²

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a=48செ.மீ, b=20 செ.மீ  மற்றும் c=52 செ.மீ
\(S=\frac { a+b+c }{ 2 } =\frac { 48+20+52 }{ 2 } =\frac { 120 }{ 2 } =60\)செ.மீ
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\sqrt { S(s-a)(s-b)(s-c) } \)
\(=\sqrt { 60(60-48)(60-20)(60-52) } \)
\(=\sqrt { 60\times 12\times 40\times 8 } \)
\(=\sqrt { 5\times 12\times 12\times 5\times 8\times 8 } \)
\(\sqrt { 5\times 5\times 12\times 12\times 8\times 8 } \)
=480 ச.செ.மீ 
i) முக்கோணத்தின் பரப்பு =480 ச.செ.மீ 
இணைக்கரத்தின் பரப்பு = முக்கோணத்தின் பரப்பு =480 ச.செ.மீ 
இணைகரத்தின் பரப்பு =bh 
அடிப்பக்கம் b =20செ.மீ 
உயரம்=h செ.மீ 
இணைக்கரத்தின் பரப்பு =480 ச.செ.மீ 
அடிப்பக்கம் x உயரம் =480
20x h =480
=24 செ மீ

ii) இணைக்கரத்தின் உயரம் =24 செ மீ

A(4, -3), B(9, 7) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் P(x, y) என்பது கோட்டுத்துண்டு AB யை உட்புறமாக 3:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது என்க.
பிரிவுச் சூத்திரத்தின்படி,
P(x,y)=P\(\left( \frac { { mx }_{ 2 }+{ nx }_{ 1 } }{ m+n } ,\frac { { my }_{ 2 }+{ ny }_{ 1 } }{ m+n } \right) \)
இங்கு x₁=4, y₁=-3 ,x₂=9, y₂=7
m = 3, n = 2
∴ P(x,y)=P\(\left( \frac { 3(9)+2(4) }{ 3+2 } ,\frac { 3(7)+2(-3) }{ 3+2 } \right) \)
=P\(\left( \frac { 27+8 }{ 5 } ,\frac { 21-6 }{ 5 } \right) \)
= P(7,3)

cos θ : sin θ = 1 : 2
\(\frac{\cosθ}{\sinθ}=1/2\)


பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
\(AB=\sqrt { AB^{ 2 }{ -BC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { { 4+1 } } =\sqrt { 5 } \)

\(\frac { 8\cos\theta -2\sin\theta }{ 4\cos\theta +2\sin\theta } =\frac { 8\times \frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } -2\times \frac { 2 }{ \sqrt { 5 } } }{ 4\times \frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } +2\times \frac { 2 }{ \sqrt { 5 } } } \)

\(\frac { 8\cos\theta -2\sin\theta }{ 4\cos\theta +2\sin\theta } =1/2\)

3 cot A = 2


\(AB=\sqrt { { BC }^{ 2 }{ -AC }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { { 9+4 } } =\sqrt { 13 } \)

\(\frac { 4\sin A-3\cos A }{ 2\sin A+3\cos A } =\frac { 4+\frac { 3 }{ \sqrt { 13 } } -3\times \frac { 2 }{ \sqrt { 13 } } }{ 2\times \frac { 3 }{ \sqrt { 13 } } +3\times \frac { 2 }{ \sqrt { 13 } } } \)

\(\frac { 4\sin A-3\cos A }{ 2\sin A+3\cos A } =1/2\)

l³ - 8m³ - 27n³ - 18lmn = l³ + (-2m)³ + (-3n)³ - 3(l)(-2m)(-3n)
=(l - 2m - 3n) (l² + (-2m)² + (-3n)² - l \(\times\) -2m - (-2m \(\times\) -3n) - (-3n\(\times\) l))
= (l - 2m - 3n) (l² + 4m² + 9n² + 2lm - 6mn + 3nl)

கொடுக்கப்பட்ட தரவில், மிகப்பெரிய நிகழ்வெண் 9 ஐப் பெற்றிருக்கும் அளவு 6. எனவே முகடு 6 ஆகும்.

இத்தரவில் 20, 21, 22 என்ற எண்கள் ஒவ்வொன்றும் இருமுறை இடம்பெறுவதால், இத்தரவுகளுக்கு 20, 21, 22 ஆகிய மூன்று முகடுகள் உள்ளன.

\(\begin{aligned} \frac{8-5 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}} & =\frac{(8-5 \sqrt{2}) \times(3+2 \sqrt{2})}{(3-2 \sqrt{2})\times (3+2 \sqrt{2})} \times \frac{24-15 \sqrt{2}+16 \sqrt{2}-10 \times 2}{3^2-(2 \sqrt{2})^2} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{24+\sqrt{2}-20}{9-(4 \times 2)}=\frac{4+\sqrt{2}}{1} \end{aligned}\)
= 4 + 1.414 = 5.414
 

\(\sqrt[3]{40} \times \sqrt[3]{16}=(\sqrt[3]{2\times2\times2\times5})\times(\sqrt[3]{2\times2\times2\times2})\)
\(=(2\times \sqrt[3]{5})\times (2\times \sqrt[3]{2})=4\times (\sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{5})=4\times \sqrt[3]{2\times 5}\)
\(=4\sqrt[3]{10}\)

\(Q=\left\{ \frac { 4 }{ 9 } ,\frac { 4 }{ 12 } ,\frac { 4 }{ 15 } \right\} \)
n(Q) = 3

(i) P = ‘J’ என்ற எழுத்தில் தொடங்கும் ஆங்கில மாதங்களின் கணம்
(ii) Q = 5 மற்றும் 31 இக்கு இடைப்பட்ட பகா எண்களின் கணம்.
(iii) R = 5 ஐ விடச் சிறிய இயல் எண்களின் கணம்
(iv) S = ஆங்கில மெய்யெழுதுக்களின் கணம்.

இணைகரம் அல்ல

செங்கோணத்தின் மிகை நிரப்புக் கோணம் = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰