n(A - B) = 32 + x
n(B - A) = 5x
n(A \(\cap\) B) = x
n(A) = n(B)
32 + x + x = 5x + x
32 + 2x = 6x
4x = 32 \(\Rightarrow\) x = 8

f(x) = ax³ + 4x² + 3x –4 மற்றும் g(x) = x³ – 4x + a என்க, f(x) ஐ (x–3) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி f(3) ஆகும்.
f(3) =a(3)³ + 4(3)² + 3(3) - 4
= 27a + 36 + 9 – 4
f(3) = 27a + 41      ..(1)
g(x) ஐ (x–3) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி g(3) ஆகும்.
g(3) = 3³ – 4(3) + a
= 27 – 12+ a
= 15 + a        .....(2)
மீதிகள் சமம் என்பதனால் (1) = (2) ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்டவாறு, f(3) = g(3)
27a + 41 = 15 + a
27a – a = 15 – 41
26a = –26
\(a={-26\over 26}=-1\)
f(3) இல் a = –1 ஐப் பிரதியிட,
f(3) =27 (-1)+41
= – 27 + 41
f(3) = 14
∴ மீதி 14

A(-1, 1) B(1, 3) மற்றும் C(3, a) என்பன கொடுக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் 

தொலைவு d = \(\sqrt {(x _2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
தொலைவு AB = \(\sqrt {(1-(-1))^2+(3-1)^2}=\sqrt {(1+1)^2+2^2}\)
= \(\sqrt {2^2+2^2}=\sqrt {4+4}=\sqrt {8}\) அலகுகள்
தொலைவு BC = \(\sqrt {(3-1)+(a-3)}=\sqrt {2^2+a^2+3^2-2(a)(3)}\)
= \(\sqrt {4+a^2+9-6a}\)
= \(\sqrt {a^2-6a+13}\)
AB = BC (கொடுக்கப்பட்டது)
AB² = BC²
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
\((\sqrt {8})^2=a^2-6a+13\)
8 = a² - 6a + 13
0 = a² - 6a + 13 - 8
a² - 6a + 5 = 0
a - 1 = 0 (அல்லது) a - 5 = 0
a = 1 அல்லது a = 5
a-ன் மதிப்பு = 1 அல்லது 5.

சாய்சதுரம் ABCDல், AB = 13 செமீ மற்றும் AC = 24 செமீ என்க.
மூலைவிட்டங்கள் AC மற்றும் BD வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி O என்க.
ஒரு சாய்சதுரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இரு சமக் கூறிடும்.
∴ AO = OC = 12 செமீ மேலும் DO = OB 
செங்கோண ΔAOBல், பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, AB² = AO² + OB²
13² = 12² + OB²
169 - 144 = OB²
OB = \(\sqrt { 25 } \)
= 5 செமீ
மூலைவிட்டம் BDன் நீளம் = DO + OB
= 5 + 5
= 10 செமீ

4.863 என்பது 4 , 5 என்ற எண்களுக்கு இடையே உள்ளது.
(i) 4 , 5 என்ற எண்களுக்கு இடையே உள்ள பகுதியை 10 சமபாகங்களாகப் பிரிக்கவும்.
(ii) 4 இலிருந்து வலப்புறமாக எட்டாவது பிரிவை அல்லது 5 இலிருந்து இடப்புறமாக இரண்டாவது பிரிவை 4.8 என்ற புள்ளியாகக் குறிக்கவும்.
(iii) 4.86 என்பது 4.8 , 4.9 என்ற எண்களுக்கு இடையே இருக்கும். இவற்றுக்கிடையே உள்ள தூரத்தை 10 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கவும்.
(iv) 4.8-க்கு வலப்புறமாக 6 ஆவது அல்லது 4.9-க்கு இடப்புறமாக 4 ஆவது பிரிவை 4.86 எனக் குறிக்கவும்.
(v) 4.863 என்பது 4.86, 4.87 என்ற எண்களுக்கு இடையே அமையும். இவற்றுக்கிடையே உள்ள பகுதியை 10 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கவும்.
(vi) 4.86 இலிருந்து வலப்புறமாக 3 ஆவது அல்லது 4.87 இலிருந்து இடப்புறமாக 7 ஆவது பிரிவை 4.863 எனக் குறிக்கவும்.

AB மற்றும் DC இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே P மற்றும் Q என்க.
ஆகவே  \(AP=\frac{1}{2}AB\) மற்றும்
\(QC=\frac{1}{2}DC\)  ...(1)
ஆனால், AB = DC (இணைகரத்தின் எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம்)
\(\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC\)
AP = QC ....(2)
மேலும், AB || DC
AP || QC .....(3) [∵  ABCD ஓர் இணைகரமாகும்]
எனவே, நாற்கரம் APCQ இல் AP || QC மற்றும் AP = QC [ (2) மற்றும் (3) இல் இருந்து]
ஃ  நாற்கரம் APCQ ஓர் இணைகரமாகும்.

(4x – 5), மற்றும் (2x² + 3x – 6) ஐப் பெருக்குவதற்கு, முதல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்பையும் இரண்டாவது பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்புடன் பகிர்ந்து பெருக்குதல் வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம் 4x மற்றும் –5 ஐப் பகிர வேண்டியது தேவையாகிறது. பிறகு ஒத்த உறுப்புகளை இணைக்க வேண்டும்.

=8x³+12x²-24x+10x²-15x+30
= 8x³ +2x²–39x +30
மாற்றுமுறையாக கெழுக்களைப் பிரித்துப் பெருக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்
   2 +3 -6
      +4 -5
-----------------------
     –10 –15 +30
8   +12 –24
-------------------------
8    +2 –39 +30
-------------------------
∴  (4x –5) (2x²+3x–6) = 8x³ + 2x² – 39x + 30

இருசமபக்க முக்கோணம் PQR. இங்கு PQ = PR மற்றும் Q = 50°; QR = 7 செ.மீ.

வரைமுறை :
படி 1: கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவிற்கு \(\Delta\)PQR வரை.
படி 2: எவையேனும் இரண்டு பக்கங்களுக்கு (PQ மற்றும் QR) மையக் குத்துக்கோடுகள் வரைக. அவை வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி S, சுற்று வட்ட மையம் ஆகும்.
படி 3: S ஐ மையமாகவும், SP = SQ = SR ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு P, Q மற்றும் R வழியே செல்லும் ஒரு சுற்றுவட்டம் வரைக.
படி 4: சுற்றுவட்ட ஆரம் = 3.5 செ.மீ.

அனைத்துப் புள்ளிகளும் x-அச்சின் மேல் அமைந்துள்ளன.